第1章 7 正切函数（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

本讲义聚焦正切函数核心知识点，以定义为起点，通过问题驱动推导诱导公式，结合图象探究周期性、奇偶性、单调性等性质，构建“定义-公式-性质-应用”的学习支架，系统梳理从概念到解题的知识脉络。 资料以数学抽象、直观想象、数学运算为核心素养导向，通过自主梳理填空、题型示例与反思感悟引导学生主动建构知识。课中助力教师高效授课，课后自主检验与例题解析帮助学生查漏补缺，提升解决定义域、单调性等问题的能力。

§7　正切函数 学习目标 素养要求 1．理解正切函数的定义；熟记正切函数的诱导公式． 2．掌握正切函数的图象和性质并能解决有关问题． 1．通过正切函数的定义，诱导公式的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．通过正切函数性质与图象的应用，提升直观想象、数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　正切函数的定义、诱导公式 [问题1]　 我们学习了正、余弦函数，那么正切函数如何定义呢？ 答：任意实数x，比值唯一确定(cos x≠0)，根据函数的定义，是x的函数，称为正切函数． [问题2]　我们学习了正、余弦函数的诱导公式，利用正切函数的定义如何推导正切函数的诱导公式？ 答：如tan (－x)＝＝－tan x. 再如tan (kπ＋x)＝＝tan x．其他类似推出． ►知识填空 1．正切函数的定义 根据函数的定义，比值____是x的函数，称为x的正切函数，记作y＝__tan_x__，其中定义域为____． 2．正切函数的诱导公式 　　　函数 角　　　　 y＝tan x kπ＋α tan α －α －tan α π＋α tan α π－α －tan α ＋α － －α 知识点二　正切函数的图象与性质 [问题1]　 诱导公式tan (kπ＋α)＝tan α，k∈Z说明了正切函数的什么性质？ 答：正切函数是最小正周期为π的周期函数． [问题2]　诱导公式tan (－α)＝－tan α，说明了正切函数的什么性质？ 答：正切函数是奇函数． [问题3]　类比画正弦函数图象的方法，可以画出正切函数的图象(如图). 根据图象，试讨论正切函数的主要性质． 答：值域为(－∞，＋∞)；周期为π；取一个周期，正切函数在上是递增的，故正切函数的增区间为，k∈Z. ►知识填空 1．正切曲线 正切函数的图象称为正切曲线． 2．正切函数的性质 函数 y＝tan x 定义域 ____ 值域 __R__ 周期 __T＝π__ 奇偶性 __奇函数__ 单调性 在每个开区间__，k∈Z__上都是增函数 对称 中心 正切曲线是中心对称图形，其对称中心为__，k∈Z__ [自主检验] 1．函数y＝2tan 的最小正周期是(　　) A．　　　　　　　 B． C． D．π 答案：B 2．函数y＝－2＋tan 的单调递增区间是(　　) A．，k∈Z B．，k∈Z C．，k∈Z D．，k∈Z 解析：选A　由－＋kπ<x＋<＋kπ，k∈Z， 解得－＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z. 3．函数y＝tan ，x∈的值域为________． 解析：∵x∈， ∴x－∈， ∴tan ∈(－1，)，∴值域为(－1，). 答案：(－1，) 4．比较大小：tan ________tan . 解析：因为tan ＝tan ，tan ＝tan ， 又0<<<， y＝tan x在内单调递增， 所以tan <tan ，即tan <tan . 答案：> 题型一　正切函数的定义域、值域问题 [例1]　(1)函数y＝的定义域为__________． (2)函数y＝tan ，x∈的值域是________. 解析：(1)要使函数y＝有意义，必须且只需 所以函数的定义域为 . (2)∵－<x<，∴－<2x－<， 即tan <1，故函数的值域为(－∞，1). 答案：(1) (2)(－∞，1) [反思感悟] (1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z. (2)求值域要用换元的思想，把tan x看作可取任意实数的自变量，一是要注意x的范围，再确定tan x的范围． 函数y＝tan (sin x)的定义域为__________，值域为__________． 答案：R　[－tan 1，tan 1] 题型二　正切函数的单调性 [例2]　(1)求函数y＝tan 的周期和单调区间； (2)比较tan 与tan 的大小． 解：(1)函数的周期T＝＝2π， 由kπ－<x－<kπ＋，k∈Z得， 2kπ－<x<2kπ＋π，k∈Z， 所以函数y＝tan 的单调递增区间是，k∈Z. (2)由于tan ＝tan ＝tan ＝－tan ， tan ＝－tan ＝－tan ， 又0<<<， 而y＝tan x在上单调递增， 所以tan <tan ， －tan >－tan ， 即tan >tan . [反思感悟] 1．求函数y＝A tan (ωx＋φ)(A>0，φ≠0，且A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法 (1)若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－<ωx＋φ<kπ＋，k∈Z，解得x的范围即可． (2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝A tan (ωx＋φ)转化为y＝A tan [－(－ωx－φ)]＝－A tan (－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可． 2．运用正切函数单调性比较大小的步骤 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系． 比较tan 1，tan 2，tan 3的大小． 解：∵1<<2<3<π，根据y＝tan x的性质可得y＝tan x在上单调递增且大于0， 在上单调递增且小于0， ∴tan 2<tan 3<0，tan 1>0，∴tan 2<tan 3<tan 1. 题型三　正切函数图象与性质的应用 [例3]　画出函数f(x)＝tan |x|的图象，并根据其图象判断周期性、奇偶性，并求单调区间． 解：f(x)＝tan |x|化为 f(x)＝ 根据y＝tan x的图象，作出f(x)＝tan |x|的图象，如图所示， 由图象知，f(x)不是周期函数，是偶函数，单调增区间为，，k∈N；单调减区间为，，k＝0，－1，－2，…. [反思感悟] 正切型函数的周期性、奇偶性问题的解题策略 (1)一般地，函数y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期． (2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系． 已知函数f(x)＝. (1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性； (3)在[－π，π]上作出函数f(x)的图象，并指出单调区间． 解：(1)由cos x≠0，得x≠kπ＋，k∈Z， 所以函数f(x)的定义域是. (2)由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称， 因为f(－x)＝＝ ＝－f(x)， 所以f(x)是奇函数． (3)f(x)＝ 所以f(x)在[－π，π]上的图象如图所示． 从图可知，函数f(x)的增区间为，减区间为，. [课堂小结] 1．掌握正切函数的定义及诱导公式． 2．正切函数的图象 正切函数y＝tan x有无数多条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋，k∈Z，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增． 3．正切函数的主要性质 (1)正切函数y＝tan x的最小正周期是π，函数y＝A tan (ωx＋φ)(A>0，ω≠0)的周期为T＝. (2)正切函数在，k∈Z上递增，不能写成闭区间，正切函数在定义域内不单调． 学科网（北京）股份有限公司 $