第1章 6.3 探究A对y＝A sin (ωx＋ φ)的图象的影响（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

本讲义聚焦A对y=A sin(ωx+φ)图象的影响这一核心知识点，从y=sin(ωx+φ)图象出发，通过纵坐标伸缩变换（A>1伸长，0<A<1缩短）明确振幅意义，结合“五点法”梳理函数定义域、值域、周期性等性质，构建从基础到复杂函数的学习支架。 该资料以问题驱动探究（如五点法作图对比），通过逐一定参、待定系数等多方法解析题型，提升直观想象（图象变换）和数学运算（性质应用）核心素养。课中辅助教师系统教学，课后自主检验与反思感悟帮助学生巩固知识，有效查漏补缺。

6．3　探究A对y＝A sin (ωx＋φ)的图象的影响 学习目标 素养要求 1．了解A对y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响． 2．掌握探究函数y＝A sin (ωx＋φ)性质的方法和步骤． 3．会用函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质解决有关问题． 1．在图象间的变换过程中，提升直观想象的核心素养． 2．通过y＝A sin (ωx＋φ)性质的应用，提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　探究A的取值对y＝A sin (ωx＋φ)的图象的影响 [问题]　 在同一平面直角坐标系中，用“五点法”作出函数y＝4sin x与y＝sin x的图象，从列表中变量的值以及画出的图象两个方面进行观察分析，y＝A sin (ωx＋φ)的图象与y＝sin (ωx＋φ)的图象之间有什么关系？ 答：y＝A sin (ωx＋φ)的图象可以由y＝sin (ωx＋φ)的图象所有点的纵坐标伸缩(横坐标不变)得到． ►知识填空 y＝A sin (ωx＋φ)(A>0)的图象是将y＝sin (ωx＋φ)的图象上的每个点的__纵__坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的__A__倍(__横坐标__不变)得到的．A决定了函数y＝A sin (ωx＋φ)的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为__振幅__． y＝f(x)＝A sin (ωx＋φ)y＝mf(x)＝mA sin (ωx＋φ). 知识点二　探究函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质 ►知识填空 1．探究y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)性质的一般步骤 第1步，确定周期T＝____； 第2步，在y＝sin x五个关键点(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)的基础上确定该函数的__五个__关键点； 第3步，用光滑曲线顺次连接五个关键点，即可画出函数y＝A sin (ωx＋φ)在一个__周期__上的图象，再利用其__周期性__把图象延拓到R，就可以得到它在R上的图象； 第4步，借助图象讨论性质． 2．函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质 定义域 __R__ 值域 __[－A，A]__ 周期性 T＝____ 奇偶性 φ＝__kπ，k∈Z__时是奇函数； φ＝__＋kπ，k∈Z__时是偶函数 单调性 单调增区间可由__2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z__得到，单调减区间可由__2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z__得到 对称性 对称轴方程为x＝＋－，k∈Z. 对称中心为，k∈Z [自主检验] 1．函数y＝sin 的周期、振幅、初相分别是(　　) A．3π，，　　　　　　　 B．6π，， C．3π，3，－ D．6π，3， 答案：B 2．函数f(x)＝sin 的图象的一条对称轴是(　　) A．x＝－ B．x＝ C．x＝－ D．x＝ 答案：C 3．若函数f(x)＝2sin 是偶函数，则φ的值可以是(　　) A． B． C． D．－ 解析：选A　由题意得，－＋φ＝＋kπ，k∈Z，φ＝＋kπ，k∈Z. 4．同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x＝对称；(3)在上单调递增”的一个函数是(　　) A．y＝sin B．y＝cos C．y＝sin D．y＝cos 解析：选C　由(1)知T＝π＝，ω＝2，排除A． 由(2)(3)知x＝时，f(x)取最大值， 验证知只有C符合要求． 题型一　由图象求y＝A sin (ωx＋φ)的解析式 [例1]　如图是函数y＝A sin (ωx＋φ)的部分图象，求A，ω，φ的值，并确定其函数解析式． 解：法一：逐一定参法 由图象知振幅A＝3， 又T＝－＝π，∴ω＝＝2. 由点可知，－×2＋φ＝2kπ，k∈Z， ∴φ＝＋2kπ，k∈Z. 又|φ|<，得φ＝，∴y＝3sin . 法二：待定系数法 由图象知A＝3，又图象过点和，根据五点作图法原理(以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点)， 有解得 ∴y＝3sin . 法三：图象变换法 由T＝π，点，A＝3可知， 图象是由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得到的， ∴y＝3sin ， 即y＝3sin . [反思感悟] 给出y＝A sin (ωx＋φ)的部分图象确定A，ω，φ的方法． (1)第一零点法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ. (2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式． (3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝A sin ωx，再根据图象平移规律确定相关的参数． 已知函数y＝sin (ωx＋φ)(ω>0，－π<φ≤π)的图象如图所示，则φ＝________． 解析：由题意得＝2π－π， 所以T＝π，ω＝. 又由x＝π时，y＝－1， 得－1＝sin ， 又－π<π＋φ≤π， 所以π＋φ＝π，所以φ＝π. 答案：π 题型二　三角函数的对称性、奇偶性 [例2]　(1)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为(　　) A．x＝－，k∈Z B．x＝＋，k∈Z C．x＝－，k∈Z D．x＝＋，k∈Z (2)f(x)＝sin (2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为(　　) A．－　　　　　　　 B．－ C． D． 解析：(1)函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为y＝2sin ＝2sin ，令2x＋＝kπ＋，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，所以所求图象的对称轴为x＝＋，k∈Z.故选B. (2)函数f(x)＝sin (2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为f(x)＝sin ＝sin .由所得图象关于原点对称，可得f(x)＝sin 为奇函数，故＋φ＝kπ，k∈Z.所以φ＝－，可得函数f(x)＝sin .又因为x∈，所以2x∈[0，π]，所以2x－∈.故当2x－＝－时，函数有最小值，最小值为－.故选A． 答案：(1)B　(2)A [反思感悟] (1)函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝＋kπ，k∈Z求得，对称中心横坐标由ωx＋φ＝kπ，k∈Z求得． (2)函数f(x) ＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数⇔φ＝＋kπ，k∈Z. 关于函数f(x) ＝2sin ，以下说法：①其最小正周期为；②图象关于点对称；③直线x＝－是其一条对称轴．其中正确的序号是__________． 答案：①②③ 题型三　三角函数性质的综合应用 [例3]　已知曲线y＝A sin (ωx＋φ)上最高点为(2，)，该最高点与相邻的最低点间的曲线与x轴交于点(6，0). (1)求函数的解析式； (2)求函数在x∈[－6，0]上的值域． 解：(1)由题意可知A＝，＝6－2＝4， ∴T＝16，即＝16，∴ω＝， ∴y＝sin . 又图象过最高点(2，)， ∴sin ＝1， 故＋φ＝＋2kπ，k∈Z，φ＝＋2kπ，k∈Z， 由|φ|≤，得φ＝， ∴y＝sin . (2)∵－6≤x≤0，∴－≤x＋≤， ∴－≤sin ≤1. 即函数在x∈[－6，0]上的值域为[－，1]. [反思感悟] 函数y＝A sin (ωx＋φ)性质的应用 (1)应用范围：函数的单调性、最值、奇偶性、图象的对称性等方面都有体现和考查． (2)解决方法：有关函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质的问题，充分利用正弦曲线的基本性质，要特别注意整体代换思想的运用． 已知函数f(x)＝2sin ＋a＋1(其中a为常数)， (1)求f(x)的单调区间； (2)若x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值； (3)求出使f(x)取最大值时x的取值集合． 解：(1)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. ∴函数f(x)的递增区间为 ，k∈Z. 由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. ∴函数f(x)的递减区间为 ，k∈Z. (2)∵0≤x≤，∴0≤2x≤π.∴≤2x＋≤， ∴－≤sin ≤1， ∴f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，∴a＝1. (3)当f(x)取最大值时，2x＋＝＋2kπ，k∈Z. ∴2x＝＋2kπ，k∈Z，∴x＝＋kπ，k∈Z， 当f(x)取最大值时， x的取值集合是. [课堂小结] 1．由函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)的图象的步骤： 2．在研究y＝A sin (ωx＋φ) (A>0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想，如函数在ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z时取得最大值，在ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z时取得最小值等．讨论函数的单调性时，注意ω的正负，否则容易出错． 学科网（北京）股份有限公司 $