第1章 5.2 余弦函数的图象与性质再认识（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

本讲义聚焦余弦函数的图象与性质这一核心知识点，通过类比正弦函数的学习脉络，以“五点法”关键点、与正弦曲线关系、单调性等问题链为支架，系统梳理定义域、值域、周期性等性质，构建从已知到未知的认知路径。 该资料以问题驱动自主梳理，结合“五点法”作图实例培养直观想象，通过定义域值域求解提升数学运算，单调性应用强化逻辑推理。课中助力教师引导探究，课后学生可借自主检验与小结回顾巩固，有效弥补知识盲点。

5．2　余弦函数的图象与性质再认识 学习目标 素养要求 1．了解余弦曲线的画法，理解正弦曲线与余弦曲线的关系． 2．掌握余弦函数的性质，并能应用余弦函数的性质与图象解决相关问题． 1．通过学习余弦曲线，培养直观想象的核心素养． 2．通过余弦函数性质与图象的应用提升数学运算、逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点　余弦函数的图象与性质再认识 [问题1]　 “五点法”作出y＝cos x，x∈[0，2π]图象的五个关键点是什么？ 答：两个最高点(0，1)，(2π，1)，一个最低点(π，－1)，两个零点，. [问题2]　函数y＝cos x与y＝sin x图象间的关系？ 答：∵cos x＝sin ， ∴把y＝sin x的图象向左平移个单位即可得到y＝cos x的图象． [问题3]　类比正弦函数性质再认识的研究方式，利用y＝cos x的图象(如图)，进一步探究其主要性质． (1)讨论y＝cos x在[－π，π]上的单调性？ 答：在[－π，0]上递增，在[0，π]上递减． (2)当x∈R时，求y＝cos x取最大值时对应x的值？ 答：x＝2kπ，k∈Z. (3)研究y＝cos x的奇偶性？ 答：∵cos (－x)＝cos x，∴余弦函数是偶函数，其图象关于y轴对称． (4)余弦函数的图象有对称轴吗？有对称中心吗？ 答：有，对称轴为x＝kπ，k∈Z，对称中心为，k∈Z. ►知识填空 y＝cos x的图象与性质 图象 定义域 __R__ 值域 __[－1，1]__ 周期性 最小正周期为__2π__ 单调性 在__[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z__上递增； 在__[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z__上递减 最值 当__x＝2kπ，k∈Z__时，y最大＝1； 当__x＝π＋2kπ，k∈Z__时，y最小＝－1 对称轴 x＝__kπ，k∈Z__ 对称 中心 __，k∈Z__ [自主检验] 1．函数y＝sin (x∈R)是(　　) A．奇函数　　　　　　　 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．无法确定 答案：B 2．用“五点法”作出函数y＝3－cos x的图象，下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是(　　) A．(π，－1) B．(0，2) C． D． 答案：A 3．函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象与函数y＝1的图象的交点个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 4．函数f(x)＝lg cos x＋的定义域为__________． 解析：由题意，得x满足不等式组即 作出y＝cos x的图象，如图所示． 由图可得－5≤x<－或－<x<或<x≤5. 所以定义域为∪∪. 答案：∪∪ 题型一　利用“五点法”作简图 [例1]　用“五点(画图)法”作函数y＝1－cos x(0≤x≤2π)的简图． 解：列表： x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 1－cos x 0 1 2 1 0 描点并用光滑的曲线连接起来，如图所示． [反思感悟] 作形如y＝a cos x＋b，x∈[0，2π]的图象时，可由“五点(画图)法”作出，其步骤：①列表，取x＝0，，π，，2π；②描点；③用光滑曲线连线成图． 用“五点法”画出函数y＝－cos x，x∈[0，2π]的简图． 解：按五个关键点列表： x 0 π π 2π cos x 1 0 －1 0 1 －cos x －1 0 1 0 －1 利用余弦函数的性质描点画图．(如图所示) 题型二　求三角函数的定义域及值域 [例2]　(1)求f(x)＝的定义域． (2)求下列函数的值域． ①y＝－cos2x＋cosx；②y＝. 解：(1)要使函数有意义，则2cos x－1≥0，∴cos x≥， ∴－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z， ∴定义域为. (2)①y＝－＋. ∵－1≤cos x≤1， ∴当cos x＝时，ymax＝. 当cos x＝－1时，ymin＝－2. ∴函数y＝－cos2x＋cosx的值域是. ②y＝＝－1. ∵－1≤cos x≤1，∴1≤2＋cos x≤3， ∴≤≤1， ∴≤≤4， ∴≤－1≤3， 即≤y≤3. ∴函数y＝的值域为. [反思感悟] 1．含三角函数的函数的定义域的求法 图象法：先画出函数图象，找出一个周期内符合条件的并用不等式表示出来，再利用周期性表示出符合条件的所有角． 2．求值域或最大值、最小值问题的依据 (1)cos x的有界性． (2)cos x的单调性． (3)化为cos x＝f(y)，利用|f(y)|≤1来确定． (4)通过换元转化为二次函数． 1．函数y＝－cos2x＋cosx＋1的值域是________． 解析：设cos x＝t， ∵－≤x≤，则t∈， ∴y＝－cos2x＋cosx＋1＝－＋，t∈， ∴当t＝，即x＝±时，ymax＝， 当t＝1，即x＝0时，ymin＝1， ∴函数的值域为. 答案： 2．求函数y＝ ＋log的定义域． 解：根据题意需有条件 解①得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z　③ 解②得2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z 　④ 将③④求交集得2kπ＋≤x<2kπ＋，k∈Z， 所以其定义域为，k∈Z. 题型三　余弦函数单调性的应用 [例3]　(1)函数y＝3－2cos x的单调递增区间为________________________． (2)比较cos 与cos 的大小． 解析：(1)y＝3－2cos x与y＝3＋2cos x的单调性相反，由y＝3＋2cos x的单调递减区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)， 得y＝3－2cos x的单调递增区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z). 答案：[2kπ，π＋2kπ](k∈Z) (2)cos ＝cos ＝cos π， cos ＝cos ＝cos π， ∵π<π<π<2π， ∴cos π<cos π，即cos <cos . [反思感悟] 单调性是对一个函数的某个区间而言的，不同函数，不在同一单调区间内时，应先用诱导公式进行适当转化，转化到同一单调区间内，再利用函数的单调性比较大小． 比较cos 1，cos 2，cos 3的大小． 解：∵0<1<<2<3<π. 又y＝cos x在[0，π]上递减， ∴cos 1>cos 2>cos 3. [课堂小结] 1．用“五点法”画的余弦型函数在一个周期[0，2π]内的图象，如果要画出在其他区间上的图象，可依据图象的周期性和对称性画出． 2．求函数的最小正周期的常用方法： (1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T. (2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T，如y＝|sin x|. 3．判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键．如果定义域关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系，从而判断奇偶性． 学科网（北京）股份有限公司 $