第1章 5.1 正弦函数的图象与性质再认识（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

本讲义聚焦高中数学正弦函数的图象与性质再认识，系统梳理定义域、值域、最值、周期性、单调性等核心性质，通过问题链引导从基本性质回顾到深化探究，结合“五点法”作图构建从基础到应用的学习支架。 资料以问题驱动探究，通过“五点法”作图培养直观想象，借助单调性比较大小提升逻辑推理能力。题型示例典型且配套自主检验，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺，强化知识应用与核心素养发展。

§5　正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 5.1　正弦函数的图象与性质再认识 学习目标 素养要求 1．了解正弦曲线的画法，能正确使用“五点法”画出简单的正弦曲线． 2．掌握正弦函数的性质，并能利用正弦函数的图象和性质解决相关问题． 1．通过正弦曲线的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．通过正弦函数图象与性质的应用，提升直观想象的核心素养． [自主梳理] 知识点一　正弦函数的图象与性质再认识 [问题]　 在前面我们学习了y＝sin x的基本性质，知道正弦函数的周期为2π，为了研究方便，我们取长度为一个周期的区间x∈上的正弦曲线，进一步探究y＝sin x的性质． (1)讨论y＝sin x在上的单调性． 答：在上递增，在上递减． (2)当x∈R时，求y＝sin x取最小值时x的取值． 答：当y最小＝－1时，x＝2kπ－，k∈Z. (3)研究正弦函数的奇偶性． 答：∵sin (－x)＝－sin x，∴正弦函数是奇函数，其图象关于原点对称． (4)正弦函数图象有对称轴吗？有对称中心吗？ 答：有，对称轴为x＝kπ＋，k∈Z，对称中心为(kπ，0)，k∈Z. ►知识填空 正弦函数的图象(正弦曲线)与性质 图象 定义域 __R__ 值域 __[－1，1]__ 最值 __当x＝＋2kπ，k∈Z__时，ymax＝1； __当x＝＋2kπ，k∈Z__时，ymin＝－1 周期性 周期函数，T＝__2π__ 单调性 在____上是递增的； 在____上是递减的(以上k∈Z) 奇偶性 __奇__函数，图象关于__原点__对称 对称轴 x＝__kπ＋，k∈Z__ 对称中心 __(kπ，0)，k∈Z__ 知识点二　五点(画图)法 [问题]　 画y＝sin x，x∈[0, 2π]图象的五个关键点是什么？ 答：三个零点(0，0)，(π，0)，(2π，0)，一个最高点，一个最低点. ►知识填空 画出正弦函数图象，在精确度要求不太高时，常常先描出这__五个__关键点，然后用光滑曲线将它们顺次__连接__起来，就得到正弦函数的简图．这种作正弦曲线的方法称为“五点(画图)法”． [自主检验] 1．函数y＝sin (－x)，x∈[0，2π]的简图是(　　) 解析：选B　y＝sin (－x)＝－sin x，y＝－sin x与y＝sin x的图象关于x轴对称，故选B. 2．在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0，2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象(　　) A．重合 B．形状相同，位置不同 C．关于y轴对称 D．形状不同，位置不同 答案：B 3．(多选)正弦函数y＝sin x，x∈R的图象的一条对称轴是(　　) A．y轴　　　　　　　 B．直线x＝－ C．直线x＝ D．直线x＝π 解析：选BC　当x＝时，y取最大值， ∴x＝是一条对称轴， 当x＝－时y取最小值，∴x＝－是一条对称轴． 4．在下列横线上填上“>”或“<”． (1)sin 250°________sin 260°； (2)sin ________sin . 答案：(1)>　(2)> 题型一　利用“五点法”作函数的图象 [例1]　利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图． 解：(1)按五个关键点列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x 1 0 1 2 1 (2)描点连线，如图所示． [反思感悟] 用“五点法”画函数y＝A sin x＋b(A≠0)在[0，2π]上的简图的步骤： (1)列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 A sin x＋b b A＋b b －A＋b b (2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，b)，，(π，b)，，(2π，b). (3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来． 画出函数y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的简图． 解：(1)按五个关键点列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 1＋sin x 1 2 1 0 1 (2)描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图). 题型二　正弦函数单调性的应用 [例2]　比较下列三角函数值的大小： (1)sin 与sin ； (2)sin 196°与cos 156°. 解：(1)∵sin ＝－sin ， sin ＝－sin ＝－sin ， 由于<<<， 且y＝sin x在上是单调递减的， ∴sin >sin ， ∴－sin <－sin ， 即sin <sin . (2)sin 196°＝sin (180°＋16°)＝－sin 16°， cos 156°＝cos (180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°， ∵0°<16°<66°<90°，且y＝sin x在0°≤x≤90°上是单调递增的， ∴sin 16°<sin 66°， ∴－sin 16°>－sin 66°， 即sin 196°>cos 156°. [反思感悟] 利用正弦函数的单调性比较正弦值大小的方法 (1)同名函数，若两角在同一单调区间，直接利用单调性得出，若两角不在同一单调区间，则要通过诱导公式把角转化到同一单调区间，再进行比较； (2)异名函数，先应用诱导公式转化为同名函数，然后再比较． 比较下列函数值的大小． (1)sin 与sin ；(2)sin 与sin . 解：(1)∵0<<<，且y＝sin x在上是增函数，∴sin >sin . (2)sin ＝sin ＝sin . ∵<<<π，且y＝sin x在上是减函数， ∴sin >sin ，即sin >sin . 题型三　与正弦函数有关的函数的定义域、值域问题 [例3]　(1)求函数f(x)＝lg sin x＋的定义域． (2)求使函数y＝－2sin x＋1取得最大值和最小值的自变量x的集合，并写出其值域． 解：(1)由题意，得x满足不等式组 即作出y＝sin x的图象， 如图所示． 结合图象可得x∈[－4，－π)∪(0，π). 即f(x)的定义域为[－4，－π)∪(0，π). (2)当x∈时， ymax＝－2×(－1)＋1＝3， 当x∈时， ymin＝－2×1＋1＝－1， ∴函数y＝－2sin x＋1的值域为[－1，3]. [反思感悟] 1．用三角函数图象解三角不等式的步骤 (1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0, 2π]上的图象； (2)写出适合不等式在区间[0, 2π]上的解集； (3)根据公式写出定义域内的解集． 2．求三角函数的最值的常用方法 (1)形如y＝A sin x＋B的最值或值域问题，要注意x的范围，结合相应函数的单调性求解； (2)形如y＝A sin2x＋B sin x＋C的函数转化为二次函数求解． 1．函数y＝ 的定义域为__________________． 解析：为使函数有意义， 需满足 即0<sin x≤. 由正弦函数的图象或单位圆(如图所示)，可得函数的定义域为{x|2kπ<x≤2kπ＋或2kπ＋≤x<2kπ＋π，k∈Z}． 答案：{x|2kπ<x≤2kπ＋或2kπ＋≤x<2kπ＋π，k∈Z} 2．若函数y＝a－b sin x(b>0)的最大值为，最小值为－，求函数y＝－4a sin bx的最大值和最小值． 解：∵y＝a－b sin x(b>0)， ∴ymax＝a＋b＝，ymin＝a－b＝－. 由解得 ∴y＝－4a sin bx＝－2sin x， ∴函数y＝－4a sin bx的最大值为2，最小值为－2. [课堂小结] 1．“五点法”画正弦曲线 若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图． 2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小，再利用单调性作出判断． 3．求三角函数值域或最值的常用方法 将y表示成以sin x为元的一次或二次函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来求函数的值域或最值． 学科网（北京）股份有限公司 $