第1章 4.3,4.4 诱导公式与对称&诱导公式与旋转（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

本讲义聚焦高中数学诱导公式这一核心知识点，通过对称（x轴、原点、y轴）和旋转（终边旋转π/2等）视角，以单位圆上点的位置关系为支架，推导-α、π±α、α±π/2等诱导公式，构建从几何直观到公式应用的知识脉络。 资料以问题链驱动探究，如通过单位圆对称关系引导学生自主推导公式，培养逻辑推理；题型涵盖求值、化简证明等，例1中角度转化求值提升数学运算。课中助力教师问题引导教学，课后自主检验与小结帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

4．3　诱导公式与对称 4．4　诱导公式与旋转 学习目标 素养要求 1．了解正(余)弦函数诱导公式的意义和作用． 2．理解诱导公式的推导过程． 3．灵活运用诱导公式进行化简、求值和证明． 1．通过诱导公式的推导，培养逻辑推理的核心素养． 2．通过诱导公式的应用，提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　诱导公式与对称 [问题1]　 如图．在平面直角坐标系中，设角α，－α，π＋α，π－α的终边与单位圆分别相交于点P，P1′，P2′，P3′，观察并思考． (1)P与P1′关于x轴有怎样的位置关系？ (2)P与P2′关于原点有怎样的位置关系？ (3)P与P3′关于y轴有怎样的位置关系？ 答：(1)关于x轴对称． (2)关于原点对称． (3)关于y轴对称． [问题2]　根据任意角正(余)弦函数的定义，并结合问题1的结论思考下面问题： (1)sin (－α)与sin α的值有何关系？cos (－α)与cos α的呢？ (2)sin (π＋α)与sin α的值有何关系？cos (π＋α)与cos α的呢？ (3)sin (π－α)与sin α的值有何关系？cos (π－α)与cos α的呢？ 答：借助单位圆，依据三角函数的定义和对称关系得sin (－α)＝－sin α，cos (－α)＝cos α，sin (π＋α)＝－sin α，cos (π＋α)＝－cos α，sin (π－α)＝sin α，cos (π－α)＝－cos α. 知识点二　诱导公式与旋转 [问题1]　 设锐角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，将终边绕点O沿逆时针方向旋转得到点P′，即α＋的终边与单位圆交于点P′. (1)怎样用点P坐标表示点P′的坐标？ (2)sin与cos α的值有何关系？ cos 与sin α的呢？ 答：(1)由平面几何的知识知P′的坐标为(－v，u). (2)依据三角函数的定义得sin ＝cos α. cos ＝－sin α. [问题2]　利用问题1中(2)的结论和－α与α的正(余)弦关系，探究－α与α三角函数值的关系？ 答：sin ＝sin ＝cos (－α)＝cos α， 同理得cos ＝sin α. ►知识填空 1．正(余)弦函数的诱导公式 　　　函数 角　　　 sin α cos α α＋2kπ(k∈Z) sin α cos α α＋π －sin α －cos α －α －sin α cos α π－α sin α －cos α α－π －sin α －cos α α＋ cos α －sin α －α cos α sin α 2．诱导公式的语言概括 除了关于－α的诱导公式sin (－α)＝－sin α和cos (－α)＝cos α，对于其他诱导公式中的角，都可以看作α＋，其中n＝1，2，3，4k(k∈Z). 当n取奇数1或3时，公式的等号两边一个是正弦函数，另一个是余弦函数；当n取偶数2或4k(k∈Z)时，公式的等号两边都是正弦函数或都是余弦函数，其符号通常把α看成锐角时原三角函数的符号． [自主检验] 1．sin 的值是(　　) A．　　　　　　　 B．－ C． D．－ 答案：A 2．点A(sin 2 024°，cos 2 024°)在直角坐标平面上位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：C 3．sin 95°＋cos 175°化简为(　　) A．sin 5° B．cos 5° C．0 D．2sin 5° 答案：C 4．已知sin (π＋α)＝－，则cos ＝____________． 解析：∵sin (π＋α)＝－sin α＝－， ∴sin α＝. ∴cos ＝cos ＝－sin α＝－. 答案：－ 题型一　利用诱导公式求值 [例1]　(1)求sin (－1 200°)·cos 1 290°＋cos (－1 020°)·sin (－1 050°)的值； (2)已知cos ＝，求sin 的值． 解：(1)由题意知： 原式＝－sin (3×360°＋120°)·cos (3×360°＋210°)－cos (2×360°＋300°)·sin (2×360°＋330°) ＝－sin (180°－60°)·cos (180°＋30°)－cos (360°－60°)·sin (360°－30°) ＝sin 60°·cos 30°＋cos 60°·sin 30° ＝×＋×＝1. (2)∵α＋＝＋， ∴sin ＝sin ＝cos ＝. [反思感悟] 解决三角函数求值问题的策略 (1)首先要仔细观察条件式与所求式之间的关系，发现它们的互补、互余关系． (2)可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化． 提醒：常见的互余关系有－α与＋α，＋α与－α等；常见的互补关系有＋θ与－θ，＋θ与－θ等． 求下列各式的值： (1) cosπ＋sin ； (2)sin 810°＋cos 360°. 解：(1)原式＝cos ＋sin ＝cos ＋sin ＝＋＝. (2)原式＝sin (2×360°＋90°)＋cos (360°＋0°)＝1＋1＝2. 题型二　利用诱导公式化简证明 [例2]　证明：＝1. 证明：左边 ＝ ＝ ＝ ＝＝1＝右边． [反思感悟] 三角恒等式证明策略 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有 (1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简． (2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子． (3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异． 化简： 解析：原式＝ ＝＝－cos α. 题型三　诱导公式的综合应用 [例3]　设角α的终边与单位圆交于点P且α为第二象限角，求的值． 解：由题意知m2＋＝1， 解得m2＝， 因为α为第二象限角，故m<0，所以m＝－， 所以sin α＝，cos α＝－. 原式＝＝ ＝－. [反思感悟] 诱导公式综合应用要“三看” 一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系． 二看函数名称：一般是正弦、余弦互化． 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形． 已知f(x)＝. (1)化简f(x)； (2)求f . 解：(1)f(x)＝ ＝＝. (2)f ＝ ＝＝ ＝－. [课堂小结] 1．诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，要记准用活． 2．诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通． 3．利用诱导公式求任意角的正弦、余弦函数值，常采用“负角化正角，大角化小角，最后转化成内的三角函数值”这种方式求解． 学科网（北京）股份有限公司 $