第1章 4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

本讲义聚焦高中数学中单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质，系统梳理定义域、值域、最值、周期性、单调性等核心知识点，通过表格对比呈现正弦与余弦函数性质，构建“定义-性质-应用”的学习支架，衔接终边相同角的三角函数值关系。 该资料以直观表格梳理性质，结合周期性求值、单调性分析、最值求解等题型示例，培养学生直观想象（借助单位圆理解单调性）和逻辑推理（周期性角度转化）素养。课中助力教师结构化授课，课后学生可通过自主检验与例题反思查漏补缺，强化知识应用能力。

4．2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 学习目标 素养要求 1．理解并掌握正弦函数、余弦函数的基本性质．(定义域、最大(小)值、值域、周期性、单调性) 2．能用正余弦函数的基本性质解决相关问题． 通过正(余)弦函数基本性质的学习，提升直观想象、逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点　单位圆与正(余)弦函数的基本性质 ►知识填空 1．正(余)弦函数的基本性质 v＝sin α u＝cos α 定义域 __R__ __R__ 值域 __[－1，1]__ __[－1，1]__ 最值 当α＝__2kπ＋，k∈Z__ 时，v最大＝__1__ 当α＝__2kπ－，k∈Z__ 时，v最小＝__－1__ 当α＝__2kπ，k∈Z__ 时，u最大＝__1__ 当α＝__2kπ＋π，k∈Z__ 时，u最小＝__－1__ 周期性 周期函数，周期为__2π__ 周期函数，周期为__2π__ 单调性 在__，__ __k∈Z__上递增 在__，__ __k∈Z__上递减 在__[2kπ－π，2kπ]，__ __k∈Z__上递增 在__[2kπ，2kπ＋π]，__ __k∈Z__上递减 2．终边相同角的正(余)弦值 终边相同的角的正弦函数值__相等__，即对任意k∈Z，sin (α＋2kπ)＝__sin_α__，α∈R； 终边相同的角的余弦函数值__相等__，即对任意k∈Z，cos (α＋2kπ)＝__cos_α__，α∈R. [自主检验] 1．sin 750°的值为(　　) A．　　　　　　　 B． C． D．－ 答案：C 2．函数y＝的定义域为________． 答案：{α|α≠kπ，k∈Z) 3．函数y＝cos x，x∈的单调递减区间为__________. 答案：[0，π] 4．函数y＝cos α在上的最大值为__________，最小值为__________． 答案：1　－ 题型一　正(余)弦函数周期性的应用 [例1]　求值： (1)sin (－1 320°)cos 1 110°＋cos (－1 020°)sin 750°＋cos 495°； (2)cos ＋sin . 解：(1)原式＝sin (－4×360°＋120°) cos (3×360°＋30°)＋cos (－3×360°＋60°)sin (2×360°＋30°)＋cos (360°＋135°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋cos 135°＝×＋×－＝1－. (2)原式＝cos ＋sin ＝cos ＋sin ＝＋. [反思感悟] 利用终边相同角的正(余)弦函数值 相等求值的步骤 (1)定形：把已知的任意角写成2kπ＋α，α∈(0，2π)，k∈Z或k·360°＋α，k∈Z，0°<α<360°的形式． (2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值． (3)求值：若角为特殊角，直接求出该角的三角函数值. 求值sin ＋cos ·sin 16π. 解析：原式＝sin ＋cos ·sin (16π＋0)＝sin ＋cos sin 0＝. 题型二　正(余)弦函数的单调性 角度1　求正(余)弦函数的单调区间 [例2]　求下列函数的单调区间． (1)v＝sin α，α∈[－π，π]； (2)u＝cos α，α∈[0，4π]. 解：(1)由正弦函数的递增区间，k∈Z，得 当k＝0时，⊂[－π，π]. 由正弦函数的递减区间，k∈Z得 当k＝0时，，又α∈[－π，π]，即； 当k＝－1时，， 又α∈[－π，π]，即. 综上，v＝sin α的增区间为，减区间为，. (2)由余弦函数的递增区间[2kπ－π，2kπ]，k∈Z，得 当k＝1时，[π，2π]； 当k＝2时，[3π，4π]. 由余弦函数的递减区间[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z，得 当k＝0时，[0，π]； 当k＝1时，[2π，3π]. 综上，u＝cos α的增区间为[π，2π]，[3π，4π]，减区间为[0，π]，[2π，3π]. 角度2　比较正(余)弦函数值的大小 [例3]　比较下列各组数的大小． (1)sin 220°与sin 230°； (2)cos 与cos . 解：(1)因为函数y＝sin x在90°≤x≤270°上单调递减，且90°<220°<230°<270°，所以sin 220°>sin 230°. (2)cos ＝cos ＝cos ， cos ＝cos ＝cos . 因为函数y＝cos x在[0，π]上单调递减，且0<<<π， 所以cos >cos ，故cos >cos . [反思感悟] (1)求正(余)弦函数的单调区间可借助单位圆来求，也可利用基本性质(单调性)求解． (2)比较正(余)弦函数值的大小，必须强调“两同”即同名、角处同一单调区间． 1．函数y＝cos x在区间上是(　　) A．增函数　　　　　 B．减函数 C．先减后增函数 D．先增后减函数 答案：D 2．比较sin 与sin 的大小． 解：∵－<－<－<， ∴sin <sin . 题型三　正(余)弦函数的最值、值域问题 [例4]　(1)求函数y＝cos x的值域． (2)已知函数y＝a sin x＋1的最大值为3，求它的最小值． 解：(1)∵y＝cos x在区间上是单调递增的， 在区间上是单调递减的， ∴当x＝0时，ymax＝1， 当x＝时，ymin＝cos ＝－， ∴y＝cos x的值域是. (2)当a>0时，ymax＝a×1＋1＝3，得a＝2， ∴当sin x＝－1时，ymin＝2×(－1)＋1＝－1； 当a<0时，ymax＝a×(－1)＋1＝3，得a＝－2， ∴当sin x＝1时，ymin＝－2×1＋1＝－1. ∴它的最小值为－1. [反思感悟] 求含正(余)弦函数的最值的常用方法 (1)可化为y＝A sin x＋B(A≠0)的形式，利用正弦函数的性质求最值，必要时对A讨论； (2)转化成关于正弦函数的二次函数的形式，即y＝A sin2x＋B sin x＋C，换元t＝sin x，注意t的范围．利用配方法求解． 函数y＝－2 cos α，α∈的值域为__________． 答案：[－2，2] [课堂小结] 1．借助单位圆和正(余)弦函数的定义确定三角函数的基本性质． 2．求三角函数的最值或值域时，需将y表示成以sin α(或cos α)为元的一次或二次函数，再利用换元法、配方法或利用函数的单调性等来确定y的范围． 学科网（北京）股份有限公司 $