第1章 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

本讲义聚焦任意角的正弦函数、余弦函数定义这一核心知识点，以单位圆为载体，衔接任意角概念，通过终边上点的坐标定义函数值，为后续三角函数性质学习搭建基础支架。 资料以数学抽象和数学运算素养为导向，设计自主梳理、问题探究及分层题型（如单位圆法、终边上点坐标求函数值），课中助力教师深化概念教学，课后帮助学生通过例题解析与反思感悟巩固知识，弥补理解盲点。

§4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质 4．1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 学习目标 素养要求 1．借助单位圆理解并掌握任意角的正弦函数、余弦函数的定义． 2．已知角α终边上一点，会求sin α，cos α的值． 1．通过任意角的正(余)弦函数定义的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．通过正(余)弦函数定义的应用，提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　任意角的正弦函数和余弦函数 1．对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，那么点P的__纵坐标v__定义为角α的正弦值，记作__v＝sin_α__；点P的__横坐标u__定义为角α的余弦值，记作__u＝cos_α__． 2．对于给定的角α，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标、横坐标为函数值的函数． 3．设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则sin α＝，cos α＝，其中r＝ . [问题]　正弦、余弦函数值的大小与点P在角α终边上位置是否有关？ 答：正弦、余弦函数值是比值，是一个实数，它的大小与点P在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关． 知识点二　正弦、余弦函数值在各象限的符号 　 象限 三角函数　　　 第一 象限 第二 象限 第三 象限 第四 象限 sin α ＋ ＋ － － cos α ＋ － － ＋ [自主检验] 1．已知sin α＝，cos α＝－，则角α的终边与单位圆的交点坐标是(　　) A．　　　　　 B． C． D． 解析：选D　设交点坐标为P(x，y)， 则y＝sin α＝，x＝cos α＝－， 所以点P. 2．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α等于(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：选D　设点P(－4，3)，则|OP|＝＝5， ∴cos α＝＝－. 3．锐角α的终边交单位圆于点P，则sin α＝__________. 答案： 4．已知α＝2，则点P(sin α，cos α)在第__________象限． 答案：四 题型一　单位圆法求三角函数值 [例1]　(1)在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点和，那么sin αcos β＝(　　) A．－　　　　　　　 B．－ C． D． (2)若角α的终边与单位圆的交点为P，则sin α＋cos α的值为________． 解析：(1)由任意角正(余)弦函数的定义得 sin α＝，cos β＝－， sin αcos β＝×＝－.故选B. (2)∵x2＋＝1，∴x＝±. 当x＝时，sin α＋cos α＝＋＝； 当x＝－时，sin α＋cos α＝－＝. 答案：(1)B　(2) [反思感悟] 单位圆法求三角函数的值时，先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． 若角α终边与单位圆相交于点M，则cos2α＋sin2α的值为__________． 答案：1 题型二　坐标法求三角函数值 角度1　已知角α终边上一点坐标求三角函数值 [例2]　已知θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ的值． 解：由题意知r＝|OP|＝ ， 由三角函数定义得cos θ＝＝ . 又∵cos θ＝x，∴＝x. ∵x≠0，∴x＝±1. 当x＝1时，P(1，3)， 此时sin θ＝＝. 当x＝－1时，P(－1，3)， 此时sin θ＝＝. 综上，sin θ的值为. [反思感悟] (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值． 在α的终边上任选一点P(x，y)设P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便． (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． 角度2　已知角α终边所在直线求三角函数值 [例3]　已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值． 解：设角α的终边上任意一点为P(k，－3k)(k≠0)，则x＝k，y＝－3k，r＝ ＝|k|. (1)当k>0时，r＝k，α是第四象限角， sin α＝＝＝－，＝＝＝， 所以10sin α＋＝10×＋3＝－3＋3＝0. (2)当k<0时，r＝－k，α是第二象限角， sin α＝＝＝，＝＝＝－， 所以10sin α＋＝10×＋3×(－10) ＝3－3＝0. 综上所述，10sin α＋＝0. [反思感悟] 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sin α＝，cos α＝ . 已知角α的终边在直线y＝x上，求sin α，cos α. 解：因为角α的终边在直线y＝x上， 所以可设P(a，a)(a≠0)为角α终边上任意一点． 则r＝ ＝2|a|(a≠0). 若a>0，则α为第一象限角，r＝2a， 所以sin α＝＝，cos α＝＝. 若a<0，则α为第三象限角，r＝－2a， 所以sin α＝＝－，cos α＝＝－. 题型三　正(余)弦函数值的符号 [例4]　(1)判断下列各式的符号： ①sin 145°cos (－210°)；②sin 3·cos 4. (2)若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在(　　) A．第一象限　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：(1)①∵145°是第二象限角， ∴sin 145°>0， ∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)<0，∴sin 145°cos (－210°)<0. ②∵<3<π，π<4<π，∴sin 3>0，cos 4<0， ∴sin 3·cos 4<0. (2)∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴点P在第四象限，故选D. 答案：(1)略　(2)D [反思感悟] 三角函数值符号的判断问题 由三角函数值的符号确定α角的终边所在象限问题，应首先依据题目中所有三角函数值的符号来确定角α的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求． 下列各式： ①sin (－100°)；②cos (－220°)；③sin (－10)；④cos π. 其中符号为负的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：C [课堂小结] 1．单位圆与任意角的正(余)弦函数的定义 设角α的终边与单位圆交点为P(u，v)，则v＝sin α，u＝cos α. 正弦函数、余弦函数分别是以角α的大小(用弧度表示)为自变量，以单位圆上的点的纵坐标、横坐标为函数值的函数． 2．由正(余)弦函数值的符号确定角的终边的位置时，不仅要考虑象限角，而且还要考虑不属于任何象限的角． 学科网（北京）股份有限公司 $