第一章 三角形的证明及其应用（复习课件）数学新教材北师大版八年级下册

该初中数学单元复习课件系统梳理了三角形的证明及应用，通过单元知识图谱将三角形判定、内角和外角、全等三角形、等腰与直角三角形性质等核心内容串联，构建“基础定理-特殊图形性质-应用工具”的逻辑体系。 其亮点在于采用“考点串讲-题型剖析-针对训练”分层复习模式，如等腰三角形角的分类讨论培养推理意识，尺规作图强化几何直观，反证法应用训练逻辑思维。这种设计帮助学生巩固知识，教师可精准把握学情，提升复习效率。

单元复习课件 第一章 三角形的证明及其应用 新教材北师大版·八年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.熟用三角形内角和定理计算角度；精准掌握等腰三角形“等边对等角、三线合一”及判定，直角三角形“两锐角互余、斜边中线性质”、勾股定理（及逆定理）、HL全等判定，能解决边、角计算与证明；灵活运用线段垂直平分线、角平分线的性质与逆定理，明确三角形外心、内心的本质，规范完成几何证明书写，掌握作线段垂直平分线、角平分线等尺规作图。 2. 梳理章节定理形成“定理-方法-应用”知识体系，学会从复杂图形中提取基本图形，借助辅助线构造特殊三角形突破解题难点，能分析命题的互逆关系，结合合情与演绎推理解决问题。 单元学习目标 单元知识图谱 知识点一、互逆命题、互逆定理 互逆命题 与 互逆定理 互逆命题 互逆定理 一个定理的逆命题也是定理，这两个定理叫做互逆定理 第一个命题的条件是第二个命题的结论； 第一个命题的结论是第二个命题的条件. 概念 概念 如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题. (1) 命题有真有假，而定理都是真命题； (2) 每个命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理； (3) 原命题的真假与其逆命题的真假没有关系. 注 意 考点串讲 知识点一、互逆命题、互逆定理、反证法 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法． 反证法是一种重要的数学证明方法. 在解决某些问题时常常会有出人意料的作用. 考点串讲 知识点二、三角形的内角和、外角和 1.三角形的内角和 三角形内角和定理 三角形内角和等于180° A B C 几何语言： 在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°. 考点串讲 方法技巧 考点串讲 A B C E D A B C l A B C l A B C D E F 转化思想 添加辅助线（平行线） 利用平行线的性质，转移角 转化为平角或同旁内角 A B C D E F 题型剖析 知识点二、三角形的内角和 2.三角形的外角和 定义：如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD， A B C D ∠ACD是△ABC的一个外角 像这样，三角形内角的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. （1）三角形外角的概念 考点串讲 知识点二、三角形的内角和 2.三角形的外角和 （2）三角形外角的特征 A B C 1 2 3 6 5 4 角的顶点是三角形的顶点； 角的一边是三角形的一边； 另一边是三角形一边的延长线； 每个三角形都有6个外角. 考点串讲 知识点二、三角形的内角和 2.三角形的外角 （3）三角形内角和定理推论1 定理 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. A B C D 几何语言： 在△ABC中， ∵∠ACD是△ABC的一个外角， ∴∠ACD=∠A+∠B. 考点串讲 知识点二、三角形的内角和 2.三角形的外角 （3）三角形内角和定理推论2： 定理 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. A B C D 几何语言： 在△ABC中， ∵∠ACD是△ABC的一个外角， ∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B. 由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论.推论可以当做定理使用. 考点串讲 知识点二、三角形的内角和 3.多边形的内角和、外角和 （1）多边形内角和定理： n边形的内角和等于（n-2）·180° （2）多边形外角和定理： n边形的外角和等于360° 与边数无关 在多边形的每个顶点处取一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和. 多边形的内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作这个多边形的一个外角. （3）多边形外角的概念： 考点串讲 知识点三、全等三角形 1.全等三角形的性质 对应边相等，对应角相等。 全等三角形对应边的高、中线、角平分线分别相等。 2.全等三角形的判定 边边边（SSS） 角边角（ASA） 角角边（AAS） 边角边（SAS） “HL”是直角三角形所独有的判定全等的定理. 考点串讲 知识点三、全等三角形 直角三角形全等的判定定理： 定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 简述为：“斜边、直角边”或“HL” 符号语言： 在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中， AB=A′B′ BC=B′C′ ∴Rt△ABC ≌Rt△ A′B′C′ (HL). A B C A′ B′ C′ 考点串讲 知识点四、等腰三角形、等边三角形 1.等腰三角形的性质 （1）等边对等角 定理：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角). 几何语言： 如图,在△ABC中, ∵AB=AC(已知), ∴∠B=∠C(等边对等角). A B C 考点串讲 知识点四、等腰三角形、等边三角形 1.等腰三角形的性质 （2）三线合一 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）. ∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)， ∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. ∵AB=AC, BD=CD (已知)， ∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. ∵AB=AC, AD⊥BC(已知)， ∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）. 几何语言：如图,在△ABC中, A B C D 1 2 考点串讲 知识点四、等腰三角形、等边三角形 1.等腰三角形的性质 （3）其他 结论：等腰三角形两底角的角平分线相等， 两腰上的中线相等，两腰上的高相等. 高 中线 角平分线 考点串讲 知识点四、等腰三角形、等边三角形 2.等腰三角形的判定 等腰三角形的判定定理： 在△ABC中， ∵∠B=∠C, 符号语言： ∴AB=AC(等角对等边). A C B 有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”). 考点串讲 知识点四、等腰三角形、等边三角形 3.等边三角形的性质 符号语言： ∵　△ABC 是等边三角形， ∴　∠A =∠B =∠C =60°． 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. A B C 考点串讲 知识点四、等腰三角形、等边三角形 4.等边三角形的判定 符号语言： 在△ABC 中， ∵　∠A=∠B =∠C ， ∴　△ABC 是等边三角形． 等边三角形的判定定理1： 三个角都相等的三角形是等边三角形． A B C 考点串讲 知识点四、等腰三角形、等边三角形 4.等边三角形的判定 等边三角形的判定定理2： 有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形． 符号语言： 在△ABC 中， ∵　BC =AC，∠A =60°， ∴　△ABC 是等边三角形． A B C 考点串讲 知识点四、等腰三角形、等边三角形 5.区别等边三角形和等腰三角形 联系：等边三角形是特殊的等腰三角形； 区别：等边三角形有三条相等的边，而等腰三角形只有两条. A B C A B C 考点串讲 知识点四、等腰三角形、等边三角形 5.区别等边三角形和等腰三角形 图形 边 角 轴对称图形 等腰 三角形 两边相等 （定义） 两底角相等 （等边对等角） 是（三线合一） 一条对称轴 等边 三角形 三边相等 （定义） 是（三线合一） 三条对称轴 　　 相等 每个角都等于60° 考点串讲 知识点五、直角三角形 1.直角三角形的性质 定理1 直角三角形的两个锐角互余. 定理2 有两个角互余的三角形是直角三角形. 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．(定理3) 定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．(定理4) 考点串讲 知识点五、直角三角形 1.直角三角形的性质 符号语言： ∵　在Rt△ABC 中， 　　∠C =90°，∠A =30°，　 ∴ BC = AB． 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. A B C 考点串讲 知识点六、线段的垂直平分线 1.线段的垂直平分线的性质 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. A B C N P M 几何语言： ∵ MN⊥ AB ， AC=BC ∴ PA=PB 考点串讲 知识点六、线段的垂直平分线 2.线段的垂直平分线的判定 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理： 应用格式： ∵ PA = PB， ∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上． P A B 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 考点串讲 知识点六、线段的垂直平分线 3.过一点作已知直线的垂线 经过已知直线上一点作已知直线的垂线 作法： 第一步：作平角ACB的平分线CF； 第二步：反向延长射线CF. 直线CF就是所要求作的垂线． D C A B 考点串讲 知识点六、线段的垂直平分线 3.过一点作已知直线的垂线 经过已知直线外一点作已知直线的垂线 作法： 第一步：以点C为圆心，作能与AB相交于D、E两点的弧； 第二步：作∠DCE的平分线CF； 第三步：反向延长射线CF，则直线CF 就是所要求作的垂线． A B C D E F 考点串讲 知识点七、角平分线 1.角平分线的性质 定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等. ∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点， PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)， ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 数学符号语言 A O C B 1 2 P D E 考点串讲 知识点七、角平分线 2.角平分线的判定 判定定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上. ∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知), 且PD=PE, ∴点P在∠AOB的平分线上(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上). 图形语言： 文字语言： A O C B 1 2 P D E 数字符号语言： 考点串讲 知识点七、角平分线 3.角平分线的尺规作图 A B Ｏ Ｍ Ｎ Ｃ 作法： 1.以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ． 3.作射线OC． 则射线ＯＣ即为所求． 2.分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ． 考点串讲 方法技巧 考点串讲 比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理 三边垂直平分线 三条角平分线 三角形 锐角三角形 交于三角形内一点 交于三角形内一点 钝角三角形 交于三角形外一点 直角三角形 交于斜边的中点 交点性质 到三角形三个顶点的距离相等 到三角形三边的距离相等 题型剖析 题型一、利用三角形内角和定理及其推论求角度 ②在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是 ______三角形 . 1.计算： ①在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °，则∠ C= . ③在△ABC中， ∠A=∠B+10°，∠C=∠A + 10°，则∠A= ， ∠B= ，∠ C= . 102° 直角 60° 50° 70° 2.一个多边形的外角和是内角和的一半，则它的边数是(　　) A.7 B.6 C.4 D.5 3.如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝70°，则∠AED的度数是(　　) A.110° B.108° C.105° D.100° B D 题型剖析 题型一、利用三角形内角和定理及其推论求角度 4 .如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD， ∠ADC=80°，∠BAC=70°，求∠B 和∠C的度数. 解：∵∠ADC是△ABD的外角. 在△ABC中， ∵∠B+∠BAC+∠C=180°， ∴∠C=180º-40º-70º=70°. ∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°. 又∵∠B=∠BAD， A B C D 题型剖析 题型二、全等三角形的性质及判定的应用 1.如图，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF． 求证：Rt△ABF≌Rt△DCE． 证明：∵BE=CF， ∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE， ∵∠A=∠D=90°， ∴△ABF与△DCE都为直角三角形， ∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）． BF=CE AB=CD 在Rt△ABF和Rt△DCE中， 题型剖析 题型二、全等三角形的性质及判定的应用 2. 如图所示，在△ABC 中，∠B＝22.5°，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，DF⊥AC 于点 F， 并与 BC 边上的高 AE 交于 G. 求证：EG＝EC. F A B C E G D 证明：连接 AD. ∵点 D 在线段 AB 的垂直平分线上， ∴EG＝EC. ∴△DEG≌△AEC (ASA). ∴∠CAE＝∠CDF. ∴∠C＋∠CAE＝∠C＋∠CDF＝90°. 又∵ DF⊥AC，∴∠DFC＝∠AEC＝90°. ∴ AE＝DE. ∵ AE⊥BC，∴∠DAE＝∠ADE＝45°. ∴∠ADE＝∠DAB＋∠B＝45°. ∴ DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝22.5°. 题型剖析 题型三、有关等腰三角形的计算 1.等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为___________； 2.等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为 ____________________； 3.等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为__________. 75°, 30° 72°,72°或36°,108° 30°,30° 结论:在等腰三角形中,注意对角的分类讨论. ① 顶角+2×底角=180° ② 顶角=180°－2×底角 ③ 底角=（180°－顶角）÷2 ④0°＜顶角＜180° ⑤0°＜底角＜90° 题型剖析 题型三、有关等腰三角形的计算 4.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D. (1)若∠C=42°,求∠BAD的度数; (2)若点E在边AB上,EF∥AC交AD的延长线于点F,求证:AE=FE. 解: (1)∵AB=AC,AD⊥BC于点D，∴∠BAD=∠CAD,∠ADC=90°. ∵∠C=42°,∴∠BAD=∠CAD=90°-42°=48°. (2)证明:由(1)知∠BAD=∠CAD.∵EF∥AC,∴∠F=∠CAD,∴∠BAD=∠F,∴AE=FE. 题型剖析 题型四、有关直角三角形的计算 1 1.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是 高，∠A =30°，AB =4．则BD = . A B C D 5 2.如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AB =10，则BC 的长为 ． A B C 3.如图所示，H是△ABC的高AD，BE的交点，且DH=DC，则下列结论： ①BD=AD；②BC=AC；③BH=AC；④CE=CD中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B A B C E D H 题型剖析 题型五、线段垂直平分线的性质及判定的应用 1.如图，在 △ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若 △DBC 的周长为 35 cm，则 BC 的长为 (　　) A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．17.5 cm C 2.已知：如图，D 是 BC 延长线上的一点，BD = BC + AC. 求证：点 C 在 AD 的垂直平分线上. A B C D 证明：因为点 D 在 BC 延长线上， 所以 BD = BC + CD， 又因为 BD = BC + AC， ∴ AC = DC， 所以点 C 在 AD 的垂直平分线上. 题型剖析 题型六、角平分线的性质及判定的应用 1. 如图所示,P是∠BAC内一点,且点P到AB,AC的距离PF=PE,则能直接得到△PEA≌△PFA的理由是(　　) A.HL B.AAS C.SSS D.SAS A 2.如图，在△ABC中，点O到三边的距离相等，∠BAC=60°，则∠BOC的度数为(　　) A.120° B.125° C.130° D.140° A 题型剖析 题型六、角平分线的性质及判定的应用 3. 已知: 如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的角平分线相交于点F. 求证: 点F在∠DAE的平分线上. A B C F D E 证明： ∵ BF是∠CBD的角平分线 ∴ F到BC，AD的距离相等 ∵ CF是∠BCE的角平分线 ∴ F到BC，AE的距离相等 ∴ F到AD，AE的距离相等 从而点F在∠DAE的平分线上. 题型剖析 题型七、尺规作图 1. 已知：线段 a，h. 求作：△ABC，使 AB = AC，BC = a，高 AD = h. l D C B a h A 作法：1. 作线段 BC = a； 2. 作线段 BC 的垂直平分线 l 交 BC 于点 D； 3. 在 l 上作线段 DA，使 DA＝h . 4. 连接 AB，AC. 则△ABC 为所求的等腰三角形. 题型剖析 题型七、尺规作图 作法：(1) 作直线 l. 2. 已知：线段 a. 求作：△ABC，使∠ACB = 90°，AC = BC = a. E D l A B a C N M a a (5) 连接 AB. △ABC 就是所求作的三角形. (4) 在射线 CE 上截取 CA = a， 在射线 CM 上截取 CB = a. (3) 作线段 DE 的垂直平分线 MN 交 DE 于 C. (2) 在直线 l 上任取一条线段 DE. 题型剖析 1.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设 这个三角形中(　　) A．有一个内角大于60° B．有一个内角小于60° C．每一个内角都大于60° D．每一个内角都小于60° C 2.用反证法证明命题“一个三角形的三个外角中，至多有一个锐角”的第一步是假设 ． 三角形的三个外角中，有两个锐角 3.某轮船由西向东航行,在A处测得小岛P的方位是北偏东 70°,又继续航行7海里后,在B处测得小岛P的方位是北 偏东50°,则此时轮船与小岛P的距离BP 为 . 7海里 针对训练 4.如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是 ∠BAC的平分线，AE与CD交于点F. 求证：△CEF是等腰三角形． 证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90° ∴∠B＋∠BAC＝90° ∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90° ∴∠B＝∠ACD ∵AE是∠BAC的平分线 ∴∠BAE＝∠EAC 又∵∠B＋∠BAE＝∠AEC，∠ACD＋∠EAC＝∠CFE ∴∠CEF＝∠CFE ∴ CE＝CF ∴ △CEF是等腰三角形 针对训练 5.如图①，点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC. (1)若AD＝AE，求证：BD＝CE； (2)若BD＝CE，F为DE的中点，如图②，求证：AF⊥BC. 图① 图② A B D E C A B D E C F 解析：(1)过A作AG⊥BC于G，根据等腰三角形的性质得出BG＝CG，DG＝EG即可证明；(2)先证BF＝CF，再根据等腰三角形的性质证明． G 针对训练 证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G. ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BG＝CG，DG＝EG， ∴BG－DG＝CG－EG， ∴BD＝CE； 图① 图② A B D G E C A B D E C F (2)∵BD＝CE，F为DE的中点， ∴BD＋DF＝CE＋EF， ∴BF＝CF. ∵AB＝AC， ∴AF⊥BC. 针对训练 证明：假设△ABC中能有两个钝角 不妨设∠A＜90°，∠B＞90°，∠C＞90° 所以∠A＋∠B＋∠C＞180° 这与三角形的内角和等于180°矛盾 所以假设不成立 因此原命题正确 即△ABC中不能有两个钝角． 6.求证：△ABC中不能有两个钝角． 针对训练 ✅ 知识构建： 本章以“三角形的证明”为核心，形成“基础定理→特殊图形性质→应用工具”的层级结构： 1.以三角形内角和定理为逻辑起点，延伸出等腰、直角三角形的性质与判定，搭建特殊三角形的知识框架； 2. 借助全等三角形的判定（含HL），推导线段垂直平分线、角平分线的定理，进一步关联三角形外心、内心的概念； 3. 最终通过勾股定理、尺规作图等工具，实现从“定理证明”到“实际应用”的落地，各知识点相互推导、互为支撑。 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 ✅ 思想方法： 数形结合：将边角关系转化为数量关系； 转化思想：将复杂图形问题转化为等腰/直角三角形问题，通过构造全等三角形把未知边、角转化为已知条件； 归纳思想：从特殊三角形的性质归纳出一般规律（如从等腰到等边三角形的性质延伸）； 演绎推理思想：以基本定理为前提，通过逻辑推导完成证明，体现几何的严谨性。 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $