精品解析：黑龙江省五常市雅臣中学校2025-2026学年高二上学期1月期末数学试题

高二上学期期末强化训练数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 直线过点且与直线垂直，则的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 在等比数列中，，，则等于（　　） A. B. C. D. 5. 点A是圆上的一个动点，点，当点A在圆上运动时，线段AB的中点P的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等比数列中，公比为，，且，，11成等差数列，又，数列的前项和为，则（ ） A. 1013×1012 B. C. 1012×2023 D. 1012×2024 7. 过点向圆可以作两条切线，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点是抛物线上的一个动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知双曲线：，则下列关于双曲线的结论正确的是（ ） A. 实轴长为6 B. 焦点坐标为， C. 离心率为 D. 渐近线方程为 10. 若是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，，是直线上不同的两点，则以下命题正确的是（ ） A. B. C. ，使得 D. 设与的夹角为，则 11. 在数列中，如果对任意都有（为常数），则称为等差比数列，k称为公差比下列说法正确的是（ ） A. 等差数列一定是等差比数列 B. 等差比数列的公差比一定不为0 C. 若，则数列是等差比数列 D. 若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______. 13. 已知，，三点，点在圆上运动，则的最大值与最小值之和为________. 14. 若数列满足（，d为常数），则称数列为调和数列．已知数列为调和数列，且，则的最大值为______. 四、解答题，本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知：直线：与直线：交于点P． （1）求直线和交点P的坐标． （2）若过点P的直线l与两坐标轴截距互为相反数，求l的直线方程． 16. 已知直线与的交点为，圆的圆心在轴上，且过点和点. （1）求的标准方程； （2）若过点的直线与交于两点，且，求的一般方程． 17. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF＝90°，AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，点P在棱DF上． （1）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值； （2）若二面角D﹣AP﹣C的正弦值为，求PF的长度． 18. 记数列的前项和为，满足.记数列的前项和为，满足，，. （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和. 19. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为、，过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）（i）求的最小值； （ii）记直线AM、BN的斜率分别为、，证明：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二上学期期末强化训练数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线方程和倾斜角定义求解. 【详解】直线为平行于轴的直线， 所以倾斜角为. 故选：B 2. 如图，在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的基本定理结合空间向量的线性运算可得出关于、、的表达式. 【详解】记线段的中点为，由正四面体的性质可知，为的重心， 因为为的中点，则，所以，， 所以，，所以 所以 . 故选：B. 3. 直线过点且与直线垂直，则的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两直线垂直，斜率相乘得，可求得斜率，利用点斜式求解即可. 【详解】直线的斜率为，则直线的斜率为， 因此，直线的方程为，即. 故选：. 4. 在等比数列中，，，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，设等比数列{an}的公比为q，结合等比数列的通项公式可得q＝＝3，进而可得a1与a2的值，相加即可得答案． 【详解】根据题意，设等比数列{an}的公比为q， 又由a3＝6，a4＝18，则q＝＝3， 则a1＝，a2＝， 则a1+a2＝2； 故选B． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，关键是求出q的值，属于基础题． 5. 点A是圆上的一个动点，点，当点A在圆上运动时，线段AB的中点P的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出中点坐标，转化求出P的坐标，代入圆的方程，求解即可． 【详解】线段AB的中点P设为，则， 点A在圆上运动时， 线段AB的中点M的轨迹方程是， 整理得． 故选：A 6. 已知等比数列中，公比为，，且，，11成等差数列，又，数列的前项和为，则（ ） A. 1013×1012 B. C. 1012×2023 D. 1012×2024 【答案】C 【解析】 【分析】由，，11成等差数列可得等比数列的公比，求出通项公式，由根据对数的运算性质可得，再由等差数列的求和公式，计算可得所求和． 【详解】∵，，11成等差数列， ∴，， 又，故， ，所以数列为等差数列， 所以，公差， 故. 故选：C. 7. 过点向圆可以作两条切线，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，可得点在圆外，由此列出不等式求出范围. 【详解】依题意，得点在圆外，则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 8. 已知点是抛物线上的一个动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】直线与抛物线相切时，切点到直线的距离即为最小值，由此可求解． 【详解】设直线与抛物线相切于点，显然切点位于第一象限， 在第一象限内，由，得，则， 所以，即，所以点的坐标为， 所以的最小值为点到直线的距离，即. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知双曲线：，则下列关于双曲线的结论正确的是（ ） A. 实轴长为6 B. 焦点坐标为， C. 离心率为 D. 渐近线方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据双曲线的几何性质即可逐项分析求解. 【详解】根据题意可得，，所以， 所以双曲线的实轴长为，故A正确； 双曲线的焦点在y轴上，所以焦点坐标为，，故B错误； 双曲线的离心率为，故C正确； 双曲线的渐近线方程为，即，故D错误. 故选：AC. 10. 若是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，，是直线上不同的两点，则以下命题正确的是（ ） A. B. C. ，使得 D. 设与的夹角为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，只有平面时，才能得到；BCD选项，可通过线面关系及面面关系及法向量定义进行推导. 【详解】对于A，当且平面时，才满足，故A错误； 对于B，若，则，若，则，即可得到，故B正确； 对于C，若，则，则，使得，若，使得则，所以，故C正确； 对于D，设与的夹角为，则，所以，故D正确. 故选：BCD. 11. 在数列中，如果对任意都有（为常数），则称为等差比数列，k称为公差比下列说法正确的是（ ） A. 等差数列一定是等差比数列 B. 等差比数列的公差比一定不为0 C. 若，则数列是等差比数列 D. 若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比 【答案】BCD 【解析】 【分析】 考虑常数列可以判定A错误，利用反证法判定B正确，代入等差比数列公式判定CD正确. 【详解】对于数列，考虑，无意义，所以A选项错误； 若等差比数列的公差比为0，，则与题目矛盾，所以B选项说法正确； 若，，数列是等差比数列，所以C选项正确； 若等比数列是等差比数列，则， ，所以D选项正确. 故选：BCD 【点睛】易错点睛：此题考查等差数列和等比数列相关的新定义问题.解决此类问题应该注意： （1）常数列作为特殊的等差数列公差为0； （2）非零常数列作为特殊等比数列公比为1. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据两向量夹角为锐角得向量数量积大于0且两向量不共线，列出不等式组，进而求出结果. 【详解】由题意得，则，解得； 当，则，此时，舍去. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 13. 已知，，三点，点在圆上运动，则的最大值与最小值之和为________. 【答案】 【解析】 【分析】设，则，且，结合两点间距离，代入整理可得， 结合单调性，可求得的最大值和最小值，加和即可. 【详解】设，因为点在圆上运动， 所以，且， 又点，，， 所以 ， 令，函数为减函数，又， 所以当时，取最大值， 当时，取最小值. 所以取的最大值与最小值之和为. 故答案为： 14. 若数列满足（，d为常数），则称数列为调和数列．已知数列为调和数列，且，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可判断出为等差数列．利用等差数列性质可得，再利用基本不等式即可求得答案. 【详解】因为数列为调和数列，所以，故为等差数列． 由，得，所以， 所以，故，故， 当且仅当或时取等号， 由于，当且仅当时取得最大值， 故的最大值为． 故答案为： 四、解答题，本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知：直线：与直线：交于点P． （1）求直线和交点P的坐标． （2）若过点P的直线l与两坐标轴截距互为相反数，求l的直线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【小问1详解】 解方程组 ， 解得 ， ∴点的坐标为, 【小问2详解】 直线的斜率显然存在且不为0，设： 令，得，令，得， 所以 ∴，∴或， 得为：或 16. 已知直线与的交点为，圆的圆心在轴上，且过点和点. （1）求的标准方程； （2）若过点的直线与交于两点，且，求的一般方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）联立两直线方程，可得点坐标，由题意，设圆心，则，根据两点间距离公式，求出值，可得圆心和半径，即可得答案. （2）根据弦长公式，可得圆心到直线l的距离，分别讨论垂直轴和不垂直轴两种情况，根据点到直线的距离公式，分析求解，综合即可得答案. 【小问1详解】 联立与，解得交点， 由圆心在轴上，则设圆心，则， 所以，解得， 则，半径， 所以圆的标准方程为 【小问2详解】 因为，半径，设圆心到直线的距离为， 则，解得， 当直线垂直轴时，方程为，此时圆心到直线的距离为2，符合题意； 当直线不垂直轴时，设斜率为，则直线的方程为， 即， 则圆心到直线的距离，解得， 则的方程为，即， 综上，直线的一般方程为或. 17. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF＝90°，AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，点P在棱DF上． （1）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值； （2）若二面角D﹣AP﹣C的正弦值为，求PF的长度． 【答案】（1）．（2）． 【解析】 【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，则（﹣1，0，2），（﹣2，﹣1，1），计算夹角得到答案. （2）设，0≤λ≤1，计算P（0，2λ，2﹣2λ），计算平面APC的法向量（1，﹣1，），平面ADF的法向量（1，0，0），根据夹角公式计算得到答案. 【详解】（1）∵BAF＝90°，∴AF⊥AB， 又∵平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD＝AB， ∴AF⊥平面ABCD，又四边形ABCD为矩形， ∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系， ∵AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，P是DF的中点， ∴B（2，0，0），E（1，0，2），C（2，2，0），P（0，1，1）， （﹣1，0，2），（﹣2，﹣1，1）， 设异面直线BE与CP所成角的平面角为θ， 则cosθ， ∴异面直线BE与CP所成角的余弦值为． （2）A（0，0，0），C（2，2，0），F（0，0，2），D（0，2，0）， 设P（a，b，c），，0≤λ≤1，即（a，b，c﹣2）＝λ（0，2，﹣2）， 解得a＝0，b＝2λ，c＝2﹣2λ，∴P（0，2λ，2﹣2λ）， （0，2λ，2﹣2λ），（2，2，0）， 设平面APC的法向量（x，y，z）， 则，取x＝1，得（1，﹣1，）， 平面ADP的法向量（1，0，0）， ∵二面角D﹣AP﹣C的正弦值为， ∴|cos|， 解得，∴P（0，，）， ∴PF的长度|PF|． 【点睛】本题考查了异面直线夹角，根据二面角求长度，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 18. 记数列的前项和为，满足.记数列的前项和为，满足，，. （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用，的关系可求得；，可得递推关系，进而可得，可求通项公式； （2）利用错位相减法可求得. 【小问1详解】 ，当时， 数列是首项为2，公比为2的等比数列， 由得， 整理得①，② ②-①得，即 即数列是等差数列，，，， 【小问2详解】 ， ， 两式相减， 即数列的前项和. 19. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为、，过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）（i）求的最小值； （ii）记直线AM、BN的斜率分别为、，证明：为定值. 【答案】（1）； （2）（i）； （ii）证明：依题意，直线l与x轴不重合，设l的方程为：， 联立，消去x得， 方程的判别式， 设，，则由韦达定理得， 则， 注意到，即， 所以， 所以 【解析】 【分析】（1）依题意由椭圆定义及性质求出a，b，c的值，即可求解椭圆方程； （2）（i）设点M的坐标为，表示出，由二次函数性质即可求解；（ii）设出直线l的方程及点M、N的坐标，并与椭圆方程联立，结合韦达定理及斜率公式即可证明． 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为， 因为的周长为8，由椭圆的定义可得：，即， 又椭圆离心率为，所以，则， 所以椭圆C的方程为： 【小问2详解】 （i）由椭圆方程得，，设， 因为点M在椭圆C上，所以，即， 所以， 所以， 当，即M为椭圆上下顶点时，， 所以求的最小值为； （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $