寒假作业08 对数与对数函数（巩固培优）高一数学人教A版

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 限时练习：40min 完成时间： 月日 天气： 作业08对数与对数函数 积累运用 1.对数的概念 如果a=N(a>0,且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x=logN,其中a叫做对数的底数，N叫 做真数， 2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①aeN=N:②loga=b(a>0,且a≠1). (2)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0,N>0,那么 1oga (MN)=10gaM+10gaN; M ②1og.N=1og.M-1og.N: ③10g M"=nlog.M(n∈R); n ④log mM"=m1ogaM(m,n∈R,且m≠0). log,N (3)换底公式：1ogN=log,b(a,b均大于零且不等于1). 3.对数函数及其性质 (1)概念：函数y=logx(a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，十∞). (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 =0g 图象 (1.0) o/,0) 11y=10gx 定义域：(0，十∞) 值域：R 当x=1时，y=0,即过定点(1,0) 性质 当x>1时，y>0: 当x>1时，y<0: 当0<x<1时，y<0 当0<x<1时，y>0 在(0，十∞)上是增函数 在(0，十∞)上是减函数 4.反函数 指数函数y=a*(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y=x 对称. 5.常用结论 1/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①.换底公式的两个重要结论 1 n (1)log.b=g (2)1og mb"=m l1og.b. 其中a>0,且a≠1，b>0,且b≠1，m,n∈R. ②.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大 ③.对数函数y=1ogx(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1), a', 函数图象只在第一、 四象限. 培优训练 三层必制：巩固提升+能力培优+创新题型 1 巩固提升练 题型一对数 一、填空题 1.50=2=100’ 且0则后分一 2.若15s2.1=6×10s3,则1=一 3.log18+ 81)4 +20240+4g23- 16 16 二、解答题 4.求下列各式的值： (1)1g2)+Hg2lg50+lg25: (2)已知 ,求a2+a3+y5的值： ta-3 a2+a2-2 (3)若lg2=a,3-10,用a,b表示log1245 题型二对数函数的概念 一、单选题 1.下列各组函数中，表示同一个函数的() A.y=x-1与y=x1 B.y=1gx与y=2g C.y=VR-1与y=x-1 D.y=x与y=log a'(a>0且a≠1) 2.定义在R上的偶函数f满足fx+4=fx,且x-2,0时，f=2 5,则f20+l1og225)= 2/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 A.25 c. D.9 二、填空题 3.已知数=4-0小得-令， 则f)的定义域是— 三、解答题 4.已知函数f(x)为对数函数，并且它的图象经过点(3,1)，函数g(x)=[f(x)]-2f(x)+3. (1)求f()的解析式： (2)求g(x)在区间[V3,27]上的值域. 题型三对数函数的图象及应用 一、单选题 2x 1.已知函数f(x= x-px<l 的值域为，则实数的取值范围是() 2-log2a2-3a+3,x≥1 R a A.（-0,1 B.[1,2] C.[2,+oj D.（-0,1小U2,+o 2.若通数y=0n=的图象过点（合》 则函数y=1og,d的大致图象是(） 二、填空题 3.若曲线f)=log(x+2+1(a>0且a≠1)经过定点A(m,n川，曲线8y=b2+3(b>0,且b≠1 )经过定点B(p,q,则m+n+p+g=一 三、解答题 3/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4知=g2小a>0a。 ()判断∫(x)奇偶性. (2)解不等式∫(x)>0」 题型四对数（型）函数的最值 一、单选题 x-3,x≤0 1.若函数fx)= lg(x+1)+a,x>0存在最小值，则实数a的取值范围为() A.-3,0) B.[-3,0] C.(-4,0 D.[-4,0] 二、填空题 2.若函数f(x=logx2-ax+l(a>0且a≠1)有最小值，则实数a的取值范围是 3.设函数fx) 若 ,则 的最大值为一· x>0 ft)≥1log1(+1 三、解答题 4.已知函数7=lo8等1o8 (1)若a=2,x∈[1,9，求f(x的值域： (2)若a∈R,x∈1,9，函数f(x的最小值为-1，求a的值. 题型五对数（型）函数求不等式 一、单选题 1.若a=0.32,b=log,0.2,c=log23,则a,b,c的大小关系为(） A.b>azc B.c>a>b C.a>b>c D.a>c>b 2.定义在[-2,2]上的函数f)=2+g(x+),则满足fm)<f2x-)的x的取值范围是() [》 B. e. D.（U 3.已知函数f(x)=log。x(a>0且a≠1)，若f(2)>f(3),则不等式f(2x-3)≤f(5)的解集为() A.[4,+0) B.(-o,-1)U(4,+o)C.[-1,4] D.（-1,4) 4/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、解答题 4.已知函数fx)=log2a-x)-log2(1+x是奇函数. (1)求a的值并判断f(x的单调性（单调性只需判断无需证明）： 23 (2)任意x∈ 5’5 f(x)≥m2-3m,求实数的范围. m 能力培优练 一、单选题 1.定义在R上的偶函数f(x在0，+∞)上单调递增，定义在(-，0U(0,+∞)上的奇函数gx)满足当x>0 时，gx)=nx.若f(5)=0,则不等式gx)f(x)<0的解集是() A.（-5,-1)U(1,5) B.(-0,-5U(5,+o∞ C.(-5,-1)U(0,)U(5,+o) D.(-0,-5)U(-1,0U1,5) 2,x≤0 2.已知x,0时，x1g,r则关于函数)-6g,x>0下列说法正确的是() A.方程f(x)=x的解只有一个 B.方程f(f(x)》=1的解有五个 C.方程ff(=t,(0<1<)的解有五个D.方程ffx》=x的解有三个 3.已知函数/=n（e+e+er+x,则不等式f2+2+l+fx-3列<2的解集为() A.（》2+网 B.(,2u+ c.2) .（2 4.设函数fx)=g(x+a 其中a>1'b>0若/x>0恒成立，则人】 2 x-2b a++6的最小值为() A.2 B.5 c D.9 二、多选题 5.已知0<a<b<c<1,则() A.a<a B.a<be C.log,b>0 D.log,c<1 6.下列说法正确的是() 5/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.函数y=log(2x-3)+2(a>0且a≠1)的图象所过定点的坐标为(2,0) B.函数y=(月的单调递增区间是4，o) C.若直线y=m与函数y2-1的图象有两个公共点，则m的取值范围是m>0 (a+1)x+a2,x<2 D.已知函数f(x)= 2+1og,之2在R上单调递指，则。的取值范围是(-山 三、填空题 7.若函数y=lgx2+ax+2在区间(0,1上单调递减，则实数a的取值范围是一· 8.已知函数f(x)=l1og2 2-1, 1+x 则不等式f(a+1)+f-2a2)<0的解集为一 四、解答题 g.已知函数f(=(血+r+兰，f=17. (I)求a的值： (2)用函数单调性的定义证明f(x)在[2，+o∞)上单调递增： (3)设函数h(x=4-b-2*+a,若对于任意m∈1,2]，存在n∈2,4，使得不等式h(m)≥f(n成立，求b 的取值范围 10.已知函数f(x)=Iog4+-r是偶函数，x∈R: ()求fx的解析式： (2)若函数g=4片+m-2-1,x∈0,1og,3到，是否存在m,使gx)最小值为0.若存在，求出m的值： 若不存在，说明理由： (③)若函数f(x)的图象与直线y= x+a没有公共点，求的取值范围。 11.已知函数f()=lna4+2-2 (I)当a=3时，求函数(x)的定义域： (2)当a≤0时，函数f(x)的值域为R,求a的值： (3)在(2)的条件下，设函数g(x)=e/+2,解关于x的不等式gx2+x-2m≥g(2x)」 3 创新题型练 一、单选题 6/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度v(单位：m/s)、燃料的质量m(单位：kg)与该飞行器 (除燃料外)的质量M(单位：kg)满足关系式v+3600lnM=3600(M+m.已知飞行马赫数是飞行器的最大速 度与所处环境下音速的比值，当燃料的质量为α时，最大速度所对应的飞行马赫数为6，当燃料的质量为 Ve·(M+@-M时，最大速度所对应的飞行马赫数为l0,则该飞行器所处环境的音速为() A.450m/s B.420m/s C.900m/s D.480m/s 2.17世纪初，约翰纳皮尔发明了对数，大大简化了运算.根据科学记数法，任何一个正实数N都可以表 示成N=a×I0(1≤a<10,n∈Z)的形式，若两边取常用对数，则有lgN=n+lga.给出部分常用对数值 (如下表)，则可以估计50的最高位的数值为() 真数x 5 6 1 8 lgx 0.69897 0.77815 0.84510 0.90309 0.95424 A.6 B.7 C.8 D.9 3。在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式其中e=1+x+二+亡+父 十…， 2!3!4！ mx4=x-号+号若 通过这些公式可以计算一些无理数的近似值将该公式运用到计算工具中，当计算的项足够多时，可以确保 显示值的精确性，已知a=0.1e,b=-ln0.9,c=0.111.根据以上公式，则这三个数的大小关系为() A.a>c>b B.a>b>c C.c>a>b D.c>b>a 4.我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家 万事休”在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特 2+x 征，函数/(=1og:2的大致图象是(） 7/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -2 2 5.设x∈R,用y表示不超过x的最大整数，则y=[称为高斯函数，例如-0.3=-1,1.7=1.已知 函数fd=log,x+2,若x=[,t∈(1,3)，则函数y=f(x的值域为() A.(2,5) B.{2,5 C.{3,5到 D.{5,8+log23 二、多选题 6。对于任意两个正数私，Wu<,记曲线y=与直线x=,x=,x轴围成的曲边梯形的面积为L(u,,并 约定L(u,4)=0和L(4,)=-L(,4),德国数学家莱布尼茨(Leibniz)最早发现L1,x)=lnx.关于L(“,v), 下列说法正确的是() A.-4网 B.L210,30)=100L(2,3 C.L(u",v">v-u D.2L(4,y<'-u u v 7.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家 哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，b,c∈R，则下 列命题正确的是() B.若a>b'0<c<1?则< C.若a>b>'c>1则1og,c<1log,c D.若-1'c>0则名) 8.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图 案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆O的圆心在原点，若函数的 图像将圆O的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O的一个“太极函数”，则() 8/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.对于圆O,其“太极函数”有1个 x2-xx≥0 B.函数f(x)= -x2-xx<0是圆0的一个“太极函数” C.函数f(x)=x-3x不是圆O的“太极函数” D.函数f(x)=nVr2+1+x是圆O的一个“太极函数” 三、填空题 9.已知函数2=x-)+20y+2} 产+2y+1,则下列四组关于x,y的函数关系： ①y=x-1-x+1: ②y=-2x; ③y=-+1: x ④y=xlog3-x), 其中能使得函数z取相同最大值的函数关系为一 四、解答题 10.若函数f(x)满足：对任意正数s,t,都有fs+f)<fs+,则称函数f(x)为“N函数”. (I)试判断函数y=nx是否为“N函数”，并说明理由： (2)若函数y=2+ax-a是“N函数”，求实数a的取值范围： (3)若函数f(x为“N函数”，f(=1,对任意正数s,1,都有f(s)>0,f(>0,证明：对任意 xe,2“keN,部有i子得)品 9/9 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业08 对数与对数函数 1.对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1). (2)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0). (3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1). 3.对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 4.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称. 5.常用结论 ①.换底公式的两个重要结论 (1)logab＝；(2)logambn＝logab. 其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R. ②.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大. ③.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 对数 一、填空题 1．，且，则 ． 【答案】/0.5 【分析】设（且），将指数式转化为对数式，再利用对数运算性质求解的值. 【详解】设（且）， 由，得，根据换底公式； 由，同理得； 由，同理得； 则. 故答案为：. 2．若，则 . 【答案】 【分析】利用指数，对数的运算进行化简求值即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 3．= . 【答案】 【分析】根据指数和对数的运算法则化简即可. 【详解】 . 故答案为： 二、解答题 4．求下列各式的值： (1)； (2)已知，求的值； (3)若，，用表示． 【答案】(1)2 (2) (3)． 【分析】（1）根据对数的运算性质计算即可求解； （2）由，结合完全平方公式计算即可求解； （3）根据对数的运算性质计算即可求解； 【详解】（1）原式； （2）因为，所以两边同时平方得：，所以． 又因为，所以， 又因为，所以． 所以． （3）由题意得，，即， 所以． 题型二 对数函数的概念 一、单选题 1．下列各组函数中，表示同一个函数的（   ） A．与 B．与 C．与 D．与（且） 【答案】D 【分析】根据两函数定义域和对应法则一一判断即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一个函数； 对于B，函数的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一个函数； 对于C，函数的定义域为，的定义域为， 而，对应法则不同，所以不是同一函数； 对于D，函数的定义域为，的定义域为， 而，故两函数为同一函数. 故选：D 2．定义在上的偶函数满足，且时，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的周期性、奇偶性将未知区间的自变量转化到已知解析式的区间内，再结合指数对数运算求解即可. 【详解】根据题意，定义在上的函数满足，所以函数的周期为4， 因为是定义在上的偶函数， 则， 又由，则, 所以， 故. 故选：A. 二、填空题 3．已知函数，则的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据对数的真数大于零和二次根式有意义的条件列出不等式组，结合指数函数单调性求解即可. 【详解】要使函数有意义，应满足，解得，即. 故答案为：. 三、解答题 4．已知函数为对数函数，并且它的图象经过点，函数． (1)求的解析式； (2)求在区间上的值域． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由对数函数的定义，运用待定系数法可求解析式； （2）注意结构特点，设，再根据二次函数性质即可求出值域. 【详解】（1）设（，且）， ∵的图象过点，则，所以，∴. （2）∵，∴，即. 设，则，，因为离对称轴更远， 所以，即. 所以在区间上的值域为. 题型三 对数函数的图象及应用 一、单选题 1．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分离常数法求出时，函数的值域为，要使函数的值域为，则时，函数的值域要包含，再结合对数函数和指数函数的性质求解即可. 【详解】当时，， 因为，则，，所以，， 因为函数的值域为， 所以当时，的值域要包含， 在上单调递增，则， 那么要能取到内的值，就需， 因为单调递增，， 所以，即，解得或， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 2．若函数的图象过点，则函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出，再利用奇偶性及在的单调性判断即得. 【详解】由函数的图象过点，得，解得， 函数，即的定义域为， ，即函数是偶函数， 当时，在上单调递减，ABD错误，C正确. 故选：C 二、填空题 3．若曲线（且）经过定点，曲线（，且）经过定点，则 ． 【答案】 【分析】利用指数函数、对数函数图象恒过定点问题求出定点坐标即可. 【详解】依题意，当，即时，恒有，因此点， 当，即时，恒有，因此点，所以. 故答案为： 三、解答题 4．已知． (1)判断奇偶性． (2)解不等式． 【答案】(1)奇函数 (2)答案见解析 【分析】（1）先求得的定义域，根据奇函数的定义，即可得答案. （2）根据对数的运算性质结合对数函数的单调性，分别讨论和两种情况，计算求解，即可得答案. 【详解】（1）， 定义域为，关于原点对称， 由， 得， 为奇函数. （2）由题意， ①时， 在上单调递增， 所以，解得； ②时，在上单调递减， 所以，解得； 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 题型四 对数（型）函数的最值 一、单选题 1．若函数存在最小值，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数的单调性，结合参数讨论，即可判断最小值，从而可求参数范围. 【详解】当时，单调递增，所以， 当时，， 显然当时，在上单调递增， 因此有， 此时函数没有最小值，不合题意； 当时，函数，存在最小值，符合题意； 当时，在上单调递减，最小值， 在上值域为，要满足函数存在最小值， 则只需要. 综上可得：实数a的取值范围为， 故选：B 二、填空题 2．若函数（且）有最小值，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】分和两种情况讨论，结合对数函数的单调性可求得实数a的取值范围. 【详解】当时，函数在上单调递增， 要使（且）有最小值， 需使的最小值大于0，则， 解得，又，所以； 当时，在上单调递减， 又没有最大值， 所以（且）没有最小值，不合题意； 综上，实数a的取值范围是. 故答案为：. 3．设函数，若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】先分段讨论得出的范围，再结合的单调性求最大值即可. 【详解】若，则，即，得； 若，则，得； 所以或，则， 由于单调递减，所以当时， 的最大值为. 故答案为：. 三、解答题 4．已知函数 (1)若，求的值域； (2)若，函数的最小值为，求的值． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）将整理成，代入，利用换元法设，，利用对数函数和二次函数的图像求值域； （2）将整理成，设，利用对数函数和二次函数的图像求值域，分别讨论二次函数的对称轴在区间的左中右这三种情况求解. 【详解】（1）， 时，设， 当时，取最小值； 当时，取最大值2； 因此函数的值域为． （2）， 设，，， ①当，即，函数的最小值为，满足题意； ②当，即， 函数的最小值为，由已知， 解得（舍去）或（舍去）； ③当，即，函数的最小值为， 由已知，故， 综上所述：的值为或. 题型五 对数（型）函数求不等式 一、单选题 1．若，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，判断与0和1的大小关系，得出结论. 【详解】因为指数函数在定义域内为减函数， 所以，所以， 因为对数函数在定义域内为增函数， 所以，所以， 因为对数函数在定义域内为增函数， 所以，所以， 所以. 故选：B 2．定义在上的函数，则满足的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的性质和函数在[0,2]上的单调性，将要解不等式等价转化为不等式求解即得. 【详解】为上的偶函数，且在上为单调递增， ∴等价于即， 由（1）得,即,解得或, 由（2）得，解得, ∴或, 即不等式的解集为：, 故选：C. 3．已知函数（且），若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性，再根据函数的单调性解不等式. 【详解】因为，所以函数在上单调递减. 由. 即所求不等式的解集为. 故选：A 二、解答题 4．已知函数是奇函数． (1)求的值并判断的单调性（单调性只需判断无需证明）； (2)任意，，求实数的范围． 【答案】(1)，在上单调递减 (2) 【分析】（1）由对数函数的性质令，结合函数为奇函数，则定义域关于原点对称，即可确定的值，从而得到函数的定义域与解析式，再根据单调性的定义判断即可； （2）结合（1）中函数的单调性求出，依题意，解得即可. 【详解】（1）对于函数， 由，解得，又为奇函数，则的定义域关于原点对称，所以， 此时函数的定义域为且， 则，满足是奇函数， 所以； 在上单调递减， 任取满足， 则 ＝， 因为，，且单调递增， 所以，， 依据同向不等式的可加性， 所以， 即，所以在上单调递减． （2）由（1）可知在上单调递减， 所以， 因为任意，， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 一、单选题 1．定义在上的偶函数在上单调递增，定义在上的奇函数满足当时，.若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇偶性画出与的大致图象，由图找出与的函数值异号的区间即可. 【详解】根据题意可得在上单调递减，且. 因为为奇函数，所以的图象关于原点对称. 画出的大致图象，如图所示，不妨设的图象如图所示，    易得与的函数值异号的区间为，，， 所以不等式的解集是. 故选：D. 2．已知时，，则关于函数下列说法正确的是（    ） A．方程的解只有一个 B．方程的解有五个 C．方程的解有五个 D．方程的解有三个 【答案】AC 【分析】通过画图分析分段函数的性质，利用换元法将嵌套方程转化为两个步骤求解，首先从解出中间变量，再解，结合图像判断每一层方程根的个数逐一分析判断选项. 【详解】时，，且作出函数的图象如图1： 由图可知，直线与曲线只有一个交点， 即方程的解只有一个，故A正确； 令，由，得或或，如图2， 由，可得，由，由图3可知此方程有三个根， 由，由图3可知，此方程有两个根， 综上可得，方程的解有六个，故B错误； 由图4可知，满足方程的有三个值， 分别设为，，， 由，得此方程无实数根，如图5， 由，得此方程有三个实数根， 由，得此方程有两个实数根， 综上可得，方程的解有五个，故C正确； 对于D，这是一个稳定点的问题，令， 需满足，即与的交点， 我们用稳定点作图，如图6，作关于直线对称的图像， 如粗线表示的部分，两曲线有5个交点，故有5个稳定点，D错误； 故选：AC 3．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的单调性结合，去求解即可. 【详解】，定义域为R， 令，则， 则， 即关于中心对称， 当时，由解析式可知单调递增， 对称性得：当时，单调递增， 所以在上是增函数， 又在上是增函数， 所以在上是增函数， ， 所以 则， 即， 由单调性可得：， 即 解得：， 所以不等式的解集为， 故选：D 4．设函数，其中，，若恒成立，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．9 【答案】A 【分析】若恒成立，则与有相同的单调性及相同的零点，即，，.利用基本不等式常数代换即可求解. 【详解】因为，若恒成立， 则与有相同的单调性及相同的零点， 即，，. 则， 因为，，所以， 所以， 当且仅当时，即时取等号. 所以 . 则的最小值为. 故选：A 二、多选题 5．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据已知条件以及指数函数的单调性判断选项A即可；选项B利用幂函数的性质判断即可；利用对数函数的单调性判断C、D选项即可. 【详解】因为，所以函数在上单调递减， 又，所以，故A选项不正确， 因为幂函数在上单调递增， 且，所以，故B选项正确； 因为，所以函数在上单调递减， 且，所以，故C选项正确； 因为，所以函数在上单调递减， 且，所以，即，故D选项正确； 故选：BCD. 6．下列说法正确的是（ ） A．函数（且）的图象所过定点的坐标为 B．函数的单调递增区间是 C．若直线与函数的图象有两个公共点，则m的取值范围是 D．已知函数在上单调递增，则的取值范围是 【答案】BD 【分析】求出定点坐标判断A；求出单调递增区间判断B；举例说明判断C；由单调性列式求出范围判断D. 【详解】对于A，对，当时，恒有，因此 所求定点坐标为，A错误； 对于B，函数的定义域为R，函数在上单调递增 ， 在上单调递减，而函数在R上单调递减，因此所求递增区间为，B正确； 对于C，当时，，而，解得， 即直线与函数的图象只有1个交点，C错误； 对于D，由函数在上单调递增， 得，解得，D正确. 故选：BD 三、填空题 7．若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据对数复合函数的区间单调性，结合二次函数、对数函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】令，其图象开口向上且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 而在区间上单调递减，且在定义域上单调递增， 所以是的一个子区间，且，即， 所以. 故答案为： 8．已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性脱“”即可求解. 【详解】函数， 令，解得，故函数的定义域为， ， 故函数是奇函数. 而函数在上单调递减， 函数在上单调递增， 因此函数在上单调递减. 不等式 ， 所以所求不等式的解集为． 故答案为:. 四、解答题 9．已知函数，. (1)求的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)设函数，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由求解 即可； （2）由（1）得，利用单调性定义证明； （3）由恒成立与能成立将问题转化为两个函数最值的不等关系，讨论取值情况求解. 【详解】（1）根据题意可得， 所以. （2）由（1）得. 任取，则 ， 因为，所以，，，， 所以，，， 所以，即， 故在上单调递增. （3）记在上的最小值为，在上的最小值为， 所以对于任意，存在，使得不等式成立， 即在区间上的最小值不小于在区间上的最小值， 即. 由（2）知在上单调递增，所以. 令，则，，得. 当时，在上单调递增，所以， 所以，解得， 因为，所以. 当时，在上单调递减，所以， 所以，解得， 因为，所以不符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，解得， 而，所以不符合题意. 综上，的取值范围为. 10．已知函数是偶函数，. (1)求的解析式； (2)若函数，，是否存在，使最小值为0.若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (3)若函数的图象与直线没有公共点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）通过求得，验证即可； （2）将的表达式化简为，，利用换元法得，，最后分类讨论求函数最值即可； （3）由题知方程无解，利用指数函数和对数函数的性质求得函数的值域即可. 【详解】（1）因为函数是偶函数，. 所以， 解得，经验证符合题意， 所以； （2）由题意，. 令，则. 则，. ①当时，，，解得； ②当时，，，解得（舍去）； ③当时，，，解得（舍去）. 综上所述，存在，使得最小值为； （3）由题意，方程无解， 即方程无解. 令， ， 因为，所以，则， 因此，即，所以函数的值域是. 故a的取值范围是. 11．已知函数 (1)当时，求函数的定义域； (2)当时，函数的值域为，求的值； (3)在（2）的条件下，设函数，解关于的不等式． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）代入，再结合对数函数的定义域即可得解； （2）分与讨论判断，即可得解； （3）先确定的定义域与单调性，根据函数值的大小确定自变量大小，再对进行分类讨论，即可得解. 【详解】（1）若，， ，，即， 即，解得， 即函数的定义域为. （2）若，设，令， 则可转化为关于的函数. 为开口向下的二次函数， 在对称轴处取到最大值， 若（即时），恒成立，则的定义域为空集，不符题意； 若（即时），存在最大值且最大值大于， 则存在最大值，与值域为矛盾，故舍去； 若，则， 当时，，，符合题意. 综上所述，. （3）若，则，，解得， 故，定义域为. 易知为单调递增函数，且定义域为， 故由， 可得， 其中若与成立，则成立， 因此解即可， 而可整理为， 因此即解. ①若，即时，可解得，即； ②若，即时，可解得或， 即； ③若，即时，可解得或， 即. 综上所述，当时，； 当时，； 当时，. 一、单选题 1．在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度(单位:)､燃料的质量(单位:)与该飞行器(除燃料外)的质量(单位:)满足关系式.已知飞行马赫数是飞行器的最大速度与所处环境下音速的比值，当燃料的质量为时，最大速度所对应的飞行马赫数为6，当燃料的质量为时，最大速度所对应的飞行马赫数为10，则该飞行器所处环境的音速为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设音速，并整理公式为 ，燃料质量为 a、马赫数为 6，代入公式得到含和 的方程(2);燃料质量为、马赫数为10，再利用对数运算法则拆分 ，得到含和的方程(3)，最后联立方程(2)(3)求解，计算音速. 【详解】我们已知飞行器最大速度 v、燃料质量 m、飞行器自身质量 M 满足关系式： ， 化简为，          (1) 设环境音速为 c(单位:)， 当燃料质量为 a 时，马赫数为 6， 所以 又因为 ， 所以, 化简得， ,         (2) 当燃料质量为 时，马赫数为 10， 令并代入(1)式子中， 化简，           (3) 将式子(2)代入公式(3)中 故选：A 2．17世纪初，约翰·纳皮尔发明了对数，大大简化了运算．根据科学记数法，任何一个正实数都可以表示成的形式，若两边取常用对数，则有．给出部分常用对数值（如下表），则可以估计的最高位的数值为（　　） 真数 5 6 7 8 9 0.69897 0.77815 0.84510 0.90309 0.95424 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】通过对数的运算性质和查表得到的近似值，由数的小数部分通过查表得知最高位a的范围，从而得解． 【详解】依题意，设，则， 因为， 所以， 由表格可知，，，而，故， 所以的最高位的数值为9． 故选：D. 3．在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.其中，. 通过这些公式可以计算一些无理数的近似值.将该公式运用到计算工具中，当计算的项足够多时，可以确保显示值的精确性，已知，，.根据以上公式，则这三个数的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简，再利用泰勒公式近似求出的值，再比大小即可. 【详解】由题意可得，， ， 又，则. 故选：C 4．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数的定义域，判断是奇函数，故排除CD；再根据的值，排除A，从而B正确. 【详解】由，得，解得， ∴函数的定义域为， ∵， ∴函数是奇函数，图象关于原点对称，故排除CD； ∵，故排除A，从而B正确. 故选：B. 5．设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如:，．已知函数，若，，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据高斯函数的定义，分段讨论的取值，计算的值域. 【详解】当时,， ∴， 当时,， ∴， ∴函数的值域为. 故选:B. 二、多选题 6．对于任意两个正数，记曲线与直线轴围成的曲边梯形的面积为，并约定和，德国数学家莱布尼茨（Leibniz）最早发现．关于，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据所给新定义运算即可判断AB，取特殊值判断C，根据曲边梯形与梯形面积大小判断D. 【详解】由题意，所以， 当时，， 当时，， 当时，， 当或时，也成立， 综上，， 对A，，，即，故A正确； 对B，，而，所以，故B正确； 对C，取，则，故C错误； 对D，如图， 因为，所以， 即，故D正确. 故选：ABD 7．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，，则下列命题正确的是（    ） A．若且，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BCD 【分析】利用不等式性质结合可判断A，根据指数函数的性质可判断B，根据不等式性质结合对数函数的性质可判断C，根据幂函数的性质可判断D. 【详解】A中，时，则，错误； B中，因为，，所以成立，正确； C中，因为，，所以，， 所以，即，正确； D中，由，可得，又，所以，正确. 故选：BCD. 8．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆O的圆心在原点，若函数的图像将圆O的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O的一个“太极函数”，则（    ） A．对于圆O，其“太极函数”有1个 B．函数是圆O的一个“太极函数” C．函数不是圆O的“太极函数” D．函数是圆O的一个“太极函数” 【答案】BD 【分析】根据题意，只需判断所给函数的奇偶性即可得答案. 【详解】解：对于A选项，圆O，其“太极函数”不止1个，故错误； 对于B选项，由于函数，当时，，当时，，故为奇函数，故根据对称性可知函数为圆O的一个“太极函数”，故正确； 对于C选项，函数定义域为，，也是奇函数，故为圆O的一个“太极函数”，故错误； 对于D选项， 函数定义域为，，故为奇函数，故函数是圆O的一个“太极函数”，故正确. 故选：BD 三、填空题 9．已知函数，则下列四组关于的函数关系： ①； ②； ③； ④， 其中能使得函数取相同最大值的函数关系为 . 【答案】①②④ 【分析】先求得取得最大值时的值，再将点的值代入题目所给四个函数关系，由此判断出正确的结论. 【详解】依题意， 令，当取得最小值时，取得最大值. （1）当时，. （2）当时：由（1）去分母并化简得， 此方程有解，故， 整理得，此一元二次不等式有解， 所以，整理得， 即，解得. 综上所述，所以的最小值为. 由，化简得， 即，所以. 即当时，取得最小值，取得最大值. 将点代入①②③④进行验证： ①，符合； ②，符合； ③，不符合； ④，符合. 所以点满足①②④，不满足③. 故答案为：①②④ 【点睛】方法点睛：利用判别式法来求函数的值域，由于有两个变量，所以用了两次判别式来求解，最后分析取最值条件，从而来检验函数是否满足这个条件即可. 四、解答题 10．若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“函数”． (1)试判断函数是否为“函数”，并说明理由； (2)若函数是“函数”，求实数a的取值范围； (3)若函数为“函数”，，对任意正数，都有，，证明：对任意，都有． 【答案】(1)函数不是“函数”，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据“函数”的定义并结合举反例的方法进行判断即可； （2）根据函数是“函数”列出不等式，转化为求最值问题即可； （3）由题意令，得到，进而得到和即可得证. 【详解】（1）对于，取， 则，． 因为，不满足， 故不是“函数”； （2）因为函数是“函数”， 所以对于任意的， 有恒成立， 即恒成立， 所以恒成立， 又，故， 则， 则，即，即实数的取值范围为 （3）由函数为“函数”，可知对于任意正数， 都有，，且， 令，可知，即， 故对于自然数与正数， 都有， 对任意，可得，又， 所以， 同理， 故， 即. 【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $