精品解析：湖南省常德市临澧县第一中学2025-2026学年高三上学期第五次阶段性考试数学试题

临澧一中2026届高三第五次阶段性考试试卷 数学 时量：120分钟 总分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 设向量.若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 已知圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则下列命题正确的有（ ）个 ① ②在上单调递增 ③为的一个对称中心 ④最小正周期为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 已知函数.若对于任意的等差数列，总有是等差数列，则称函数具有“保等差性”.函数可能是（ ） A. B. C. D. 7. 直线被圆截得的弦长为4，则的最小值是 A. 3 B. C. 2 D. 8. 已知指数函数，若有且只有两个不等根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在的展开式中，（ ） A. 常数项为20 B. 含的项的系数为80 C. 各项系数的和为32 D. 各项系数中的最大值为80 10. 设为两个相互独立的随机事件，且，下列命题中，正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知随机变量服从正态分布.若，则=__________. 13. 函数在上的最小值为__________. 14. 有个编号分别为1，2，…，的盒子，第1个盒子中有3个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，从第个盒子中取到黑球的概率是_________________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知等差数列满足. （1）求的通项公式； （2）设等比数列的前项和为，且.令，求数列的前项和. 16. 如图所示，已知的内角、，所对的边分别为、、，且． （1）求角的值； （2）若点是的外接圆上一点（不与、、重合），且满足，求四边形的面积． 17. 如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． （1）证明：； （2）点F满足，求二面角的正弦值． 18. 如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 19. 已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）若=0，求的值； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临澧一中2026届高三第五次阶段性考试试卷 数学 时量：120分钟 总分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合与集合的交集，然后根据元素与集合之间的关系和子集的定义逐项判断即可. 【详解】由题意得，则，，，. 故选：D. 2. 复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出复数z，根据复数模的计算公式，即得答案. 【详解】由，得， 故， 故选：B 3. 设向量.若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的坐标表示出，然后解方程即可. 【详解】， ∴， 解得. 故选：A. 4. 已知圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】代入圆锥的侧面公式，计算即可得出答案. 【详解】由已知可得，圆锥的侧面积为. 故选：A. 5. 已知函数，则下列命题正确的有（ ）个 ① ②在上单调递增 ③为的一个对称中心 ④最小正周期为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】直接求函数值判断命题①；由正切函数的单调区间、对称轴公式、周期公式进行求解分别判断命题②③④. 【详解】命题①，已知函数，，故①错误； 命题②，，，解得，， 当时，，所以在上单调递增，故②正确； 命题③，把带代入，， 则为的一个对称中心，故③正确； 命题④，函数最小正周期为，故④错误. 正确命题有2个. 故选：C. 6. 已知函数.若对于任意的等差数列，总有是等差数列，则称函数具有“保等差性”.函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的定义依次验证选项即可. 【详解】是等差数列，则需要满足， 对于A，取等差数列，则,，,则，故A不正确； 对于B，取等差数列，则,,，则，故B不正确； 对于C，取等差数列，则,,,则，故C不正确； 对于D, ,, 所以，， 由于为等差数列，则，所以，故D正确； 故选：D 7. 直线被圆截得的弦长为4，则的最小值是 A. 3 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【详解】圆心为，半径为，由于所截弦长为，故直线过圆心，将圆心坐标代入直线方程得，即，的几何意义是原点到直线的距离的最小值的平方，故最小值为.所以选. 8. 已知指数函数，若有且只有两个不等根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可得，由互为反函数函数图象关系可得有两解， 即有两个根，最后由函数图象与直线有两个交点可得答案. 【详解】由题意得，即方程有两个不等根， 函数与图象有两个不同交点， 与互为反函数，则两函数图象关于对称， 则与图象的交点都分布在直线上，问题等价于与有两个不同交点，即有两根， 即函数图象与直线有两个交点. 设，则，令， 则在上单调递增，在上单调递减，. 又， 可得大致图象如下，则要使图象与直线有两个交点， 需满足. 故选：C 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在的展开式中，（ ） A. 常数项为20 B. 含的项的系数为80 C. 各项系数的和为32 D. 各项系数中的最大值为80 【答案】BD 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解AB，根据二项式系数的定义可求解C，求出展开式的通项公式为：，利用求解即可判断D。 【详解】2x和只有分得的次数相同才能得到常数项，5次方无法均分，因此没有常数项，故A不正确； 含x的项为，故x的系数是80，所以B正确； 各项系数的和是令时得到，即，故C错误． 的展开式的通项公式为：， 设第项的系数最大，系数为，则， 解得：或，此时系数为，故D正确； 故选：BD． 10. 设为两个相互独立的随机事件，且，下列命题中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由为两个相互独立的随机事件，则和，和也是相互独立，得，再依次判断选项即可． 【详解】由为两个相互独立的随机事件，则和，和也是相互独立，得， 对于A项，，故A项错误； 对于B项，，故B项正确； 对于C项，，故C项正确； 对于D项，，故D项正确． 故选：BCD 11. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先构造，再根据求导证明，再放缩即可判断A；先构造，再根据求导证明，由，再放缩即可判断B；取特殊值，得到，代入即可判断C；先根据题意得到，令，从而得到，，再构造，，利用导数判断单调性求函数最小值即可判断D． 【详解】由，得， 又，则，解得， 对于A，构造，则， 所以函数在上单调递增， 所以，即， 所以，即，故A正确； 对于B，构造，则， 所以函数在上单调递增，所以， 又，所以， 所以，即，故B正确； 对于C，当时，，则， 又，则，所以，故C错误； 对于D，由，则，所以， 令，则，，所以， 设，，则， 令，，则， 则函数在上单调递增，则，则， 所以在上单调递增，则，所以，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：比较式子的大小，要善于对已知条件变形，恰当变形可结合，，放缩后判断AB选项，变形，再令，变形，是判断D选项的关键，变形到此处，求导得最小值即可． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知随机变量服从正态分布.若，则=__________. 【答案】0.28 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求解即可 【详解】由题可得：; 故答案为： 13. 函数在上的最小值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】由，求出，结合导数研究函数在上的单调性即可求出其最小值. 【详解】由题可得：，解得：， 所以，则，令,解得：， 令，解得：，令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以 故答案为： 14. 有个编号分别为1，2，…，的盒子，第1个盒子中有3个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，从第个盒子中取到黑球的概率是_________________． 【答案】 【解析】 【分析】记事件表示从第，2，，个盒子里取出白球，即可得到，然后构造等比数列，求通项公式，然后根据对立事件的概率关系求解． 【详解】解：记事件表示从第，2，，个盒子里取出白球，则，， 所以， ， 进而可得，， 所以， 又，，， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，即， 故从第个盒子中取到黑球的概率是为：． 故答案为：． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知等差数列满足. （1）求的通项公式； （2）设等比数列的前项和为，且.令，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由等差数列通项公式建立方程组，解得首项和公差，即可写出数列通项公式； （2）结合题中条件和等比数列通项公式建立方程组，解得首项和公比，即可求得通项公式，从而求得数列通项公式，利用等比数列和等差数列前项和公式即可求得数列的前项和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则解得， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 设等比数列的公比是， 由，得，解得， 所以的通项公式为，此时，， 满足，故. 结合（1）知， 所以数列的前项和. 16. 如图所示，已知的内角、，所对的边分别为、、，且． （1）求角的值； （2）若点是的外接圆上一点（不与、、重合），且满足，求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角求解. （2）由（1）的结论，利用余弦定理求出并确定点位置，再利用三角形面积公式求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 而，则，又，所以. 【小问2详解】 在中，，，由余弦定理得， 则，又四边形内接于圆，因此点在优弧上，且， 即为等边三角形，则， 又， 所以四边形的面积. 17. 如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． （1）证明：； （2）点F满足，求二面角的正弦值． 【答案】（1） 连接，因为E为BC中点，，所以①， 因为，，所以与均为等边三角形， ，从而②，由①②，，平面， 所以，平面，而平面，所以． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意易证平面，从而证得； （2）由题可证平面，所以以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，再求出平面的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 不妨设，，． ，，又，平面平面． 以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 设， 设平面与平面的一个法向量分别为， 二面角平面角为,而， 因为，所以，即有， ，取，所以； ，取，所以， 所以，，从而． 所以二面角的正弦值为． 18. 如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 【答案】（1） （2） （3）证明：直线，均不与轴垂直，所以，，则且， 所以 ， 所以为定值． 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组求解即可； （2）设直线的方程为，与椭圆联立，由弦长公式求得的方程； （3）将韦达定理代入中计算结果为定值． 【小问1详解】 由椭圆过点，焦距为， 得，解得， 故椭圆的方程为． 【小问2详解】 设直线的方程为，，， 联立，消去得， 由，得， 则． ， 解得或， 当时，直线的方程为； 当时，直线经过点，不符合题意，舍去． 所以当时，的方程为． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 19. 已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）若=0，求的值； （3）证明：. 【答案】（1），在上单调递增；当时，函数在单调递减，在单调递增 （2）0 （3） 记，则， 因为，所以在单调递减，且由（2）可知，则. 所以若，；若，， 所以可知函数在单调递增，在单调递减，所以， 又，，， 所以，所以. 【解析】 【分析】（1）分类讨论参数，结合导数研究函数的单调性即可； （2）根据可得，然后换元，可得，最后根据（1）的条件，简单计算可得结果. （3）构造函数，然后求导，根据（2）的条件进行判断可知，简单计算即可. 【小问1详解】 由得且， 若，则恒成立，即在上单调递增； 若，令，则；令，则， 所以函数在单调递减，在单调递增； 综上，，在上单调递增；当时，函数在单调递减，在单调递增. 【小问2详解】 由，所以，即， 令，则，所以， 由（1）可知，当时，在单调递增， 所以，所以； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $