第03讲 平行四边形 （寒假预习讲义）八年级数学新教材苏科版

第03讲 平行四边形 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：平行四边形的概念与性质 1.平行四边形的概念 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用符号“▱”表示，例如平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。 2. 平行四边形的性质 性质1：边的性质 平行四边形的对边平行且相等。 · 几何语言：在▱ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC。 性质2：角的性质 平行四边形的对角相等，邻角互补。 · 几何语言：在▱ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，∠C+∠D=180°，∠D+∠A=180°。 性质3：对角线的性质 平行四边形的对角线互相平分。 · 几何语言：在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则OA=OC，OB=OD。 性质4：对称性 平行四边形是中心对称图形，其对称中心是两条对角线的交点。 性质5：面积公式 平行四边形的面积=底×高（底为平行四边形的任意一边，高为这条边与其对边之间的距离）。 知识点2 ：平行四边形的判定 1. 定义判定法 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 · 几何语言：∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形。 2. 判定定理1（边的关系） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 · 几何语言：∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形。 3. 判定定理2（边的关系） 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 · 几何语言：∵AB∥CD，AB=CD（或AD∥BC，AD=BC），∴四边形ABCD是平行四边形。 4. 判定定理4（对角线的关系） 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 · 几何语言：∵对角线AC、BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形。 5. 判定定理3（角的关系）（补充需证） 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 · 几何语言：∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴四边形ABCD是平行四边形。 【题型1 平行四边形的性质求（证）边】 例1．如图，过平行四边形对角线的交点O，交于点E，交于点F，若平行四边形的周长为18，，则四边形的周长为（   ） A．9 B．9.5 C．10 D．12 例2．如图，平行四边形中，对角线、相交于，过点作交于点，若，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 变式1．如图，中，，于点，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在边上，若，则的长为 ． 变式2．如图，在中，连接，将绕点顺时针旋转一定角度，得到，点分别旋转到了点．已知点在边上，，，则的长为 ． 变式3．如图，在平行四边形中，为边上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【题型2 平行四边形的性质求（证）角】 例1．在平行四边形中，若∠A与∠B的度数之比为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例2．已知中，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 变式1．平行四边形一组对角的和为，那么这个平行四边形中较小内角的度数为 ． 变式2．如图，中垂直平分对角线，若，，则 ． 变式3．如图，的两条对角线、相交于点，点、分别是、上的中点．连接、．求证：． 【题型3 平行四边形的判定一（两组对边分别平行）】 例1．如图，在四边形中，，添加一个条件，能使四边形成为平行四边形的是（ ） A． B． C． D． 例2．如图，在四边形中，，则添加下列条件，可使四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，已知四边形，对角线和相交于，已知，则添加一个条件 可得出四边形是平行四边形． 变式2．如图，在四边形中，，要使得四边形是平行四边形，应添加的条件是 （只填写一个条件，不使用图形以外的字母和线段）． 变式3．如图，已知，、分别是和上的点，，求证：四边形是平行四边形． 【题型4 平行四边形的判定二（两组对边分别相等）】 例1．在四边形中，，对角线，相交于点．添加下列一个条件，使四边形成为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 例2．已知四边形如图所示，能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，已知，那么添加一个条件 后，可判定四边形是平行四边形． 变式2．如图，在四边形中，已知，若要判定四边形为平行四边形，在不添加辅助线的前提下只添加一个条件，则这个条件可以为 ．    变式3．如图，在四边形中，E，F分别为边的中点，．求证：四边形是平行四边形． 【题型5 平行四边形的判定三（一组对边平行且相等）】 例1．在四边形中，对角线和相交于点O，，添加下列条件后能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 例2．如图，四边形的对角线交于点，已知，添加下列其中一个条件，能判定四边形为平行四边形的是（ ） A． B． C． D． 变式1．如图，在四边形中，，在不添加任何辅助线的前提下，若使四边形是平行四边形，则需添加的一个条件是 变式2．如图，在四边形中，已知，在不添加辅助线的情况下，请你再添加一个条件 （写出一个即可），则四边形是平行四边形． 变式3．如图，在四边形中，点、分别是对角线上的两点，且，，，求证：四边形是平行四边形． 【题型6 平行四边形的判定四（对角线互相平分）】 例1．在四边形中，与相交于点，且，再添加下面一个条件，不能判断该四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 例2．如图，四边形的对角线相交于点O，已知，添加下列一个条件后，仍不能使四边形是平行四边形的条件是（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，在四边形中，对角线、相交于点O，且，请你添加的一个条件是 ，使四边形是平行四边形． 变式2．如图，四边形的对角线、相交于点，且，请你添加一个适当的条件： ，使． 变式3．如图，点M、N在的对角线上，且，求证：四边形是平行四边形． 【题型7 找出或画出平行四边形】 例1．如图，在平行四边形中，相交于点，图中共有（　　）个平行四边形． A．7 B．8 C．9 D．10 例2．在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 变式1．在平面直角坐标系中，已知A，B，C，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标可以是 ． 变式2．如图，，，，图中共有 个平行四边形． 变式3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在小正方形的顶点上． (1)在图1中画出点（点在小正方形的顶点上），使以为顶点的四边形为平行四边形； (2)在图2中确定点（点在小正方形的顶点上），连接，使，且四边形面积为9，请在图中标出点的位置，则 ． 【题型8 平行四边形中的尺规作图】 例1．如图，已知，请阅读以下作图步骤： ①以点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交线段，于两点； ②分别以这两点为圆心，大于这两点距离的长为半径画弧，两弧交于点P； ③分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，在两侧交于两点； ④过这两点作直线分别交，于点，，连接，． 根据以上作图，一定可以推得的结论是（   ） A． B． C． D． 例2．小宇利用尺规在内作出点，又在边上作出点，作图痕迹如图所示，若，则，之间的距离为（　　） A． B． C． D． 变式1．如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，恰当长为半径画弧，分别交、于点、； ②分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点； ③作射线交边于点．用同样的作图方法得到，则的长为 ． 变式2．如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以点A、点B为圆心，以大于的长为半径作弧；②过两弧相交的两点作直线交于点E，连接，由作图的结果可得的周长为 ． 变式3．数学课上，老师提出一个问题：在平行四边形的边上取一点P，使得是以为底边的为等腰三角形．小明同学按以下步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点M，N；②以点A为圆心，长为半径作弧，交于点E：③以点E为圆心，以长为半径作弧，在内部交前弧于点F；④连接并延长，交于点P． (1)通过作图可以得到的依据是______； (2)小聪同学表示他可以借助无刻度直尺和圆规用另外一种方法作出点P，请在图2中完成作图，要求保留作图痕迹； (3)如图3，小聪同学继续用无刻度直尺和圆规作了射线，发现恰好经过点P，此时小聪同学发现，，都是等腰三角形，求的度数． 【题型9 平行四边形中的平移、折叠、旋转】 例1．如图所示，在平面直角坐标系中，平行四边形位于第一象限，顶点的坐标分别为，将平行四边形沿轴向上平移4个单位后，则平移后点的对应点的坐标是（　　） A． B． C． D． 例2．如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标依次为，，将线段向右平移12个单位，再向上平移5个单位，得到对应线段，则四边形的周长为（   ） A．34 B．35 C．36 D．37 变式1．如图，将先沿折叠，再沿折叠后，A点落在线段上的A′处，C点落在E处，连结，．若恰有，则 ． 变式2．如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，，则的长为 ． 变式3．综合与实践 数学活动课上，同学们对两个完全相同的直角三角形纸片（如图1）围绕拼接、平移、旋转开展操作研究． 【活动一】拼接 （1）将两个三角形纸片按图2方式进行拼接（点与点重合，点与点重合），求四边形的周长； 【活动二】平移 （2）在图2中，将纸片沿射线的方向平移．在平移过程中，两个纸片的重叠部分为四边形，如图3所示． ①求证：四边形是平行四边形； ②若点为的中点，则四边形的周长为_________． 【活动三】旋转 （3）在图3中，当点为的中点时，将绕点顺时针旋转一周．在旋转过程中，若两个纸片的重叠部分为等腰三角形，直接写出旋转角的度数． 【题型10 一次函数中的平行四边形】 例1．已知平面直角坐标系内有三个点，若四边形是平行四边形，则点C的坐标为（） A． B． C． D． 例2．如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为．若存在点，使得直线平分的面积，则在，，，这四个点中，可作为点的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在网格点上，在网格内存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为 ． 变式2．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，P点坐标为，在平面直角坐标系中存在一点O，使得A，B，P，Q构成平行四边形，则Q点坐标为 ． 变式3．在平面直角坐标系中（如图），直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段上． (1)求点A和点B的坐标； (2)当点C的横坐标是时，如果在y轴上存在点P，使得，求点P的坐标； (3)当点C的横坐标是m时，在平面直角坐标系中存在点Q，使得以O、C、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．（用含m的代数式表示） 【题型11 平行四边形中的动点求t】 例1．如图，在四边形中，，，，点G是的中点．点M以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动，同时点N以每秒1个单位长度的速度从点G出发，沿向点B运动．当点M停止运动时，点N也随之停止运动．设运动时间为t秒，当四边形是平行四边形时，t的值为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 例2． 如图， 在四边形中，，，，，， 动点P从点B 出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A 出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D 运动，当动点Q到达点D时，动点 P也同时停止运动．设点 P的运动时间为t（秒）． 以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B． C．或 D． 变式1．如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发在上往返运动．两点同时出发，当点Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为．当 时，四边形是平行四边形． 变式2．如图，在平行四边形中，，且，，延长至点E，使( ，连接．若动点P从A点出发，以每秒的速度沿射线运动；动点Q从E点出发以每秒的速度沿向B点运动，当点Q到达点B时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： （1）当t为 秒时，以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形； （2）使得是等腰三角形时t的值 ． 变式3．已知，在平行四边形中，，，，动点从点出发沿方向匀速运动，速度为，动点同时从点出发沿方向匀速运动，速度为，当点到达点时，点同时停止运动．连接，设运动时间为，解答下列问题： (1)当四边形为平行四边形时，求的值； (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使点关于直线的对称点在直线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)设四边形的面积为，求与的函数关系式； (4)连接，当以三点为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出的值． 【题型12 平行四边形中的最值问题】 例1．如图，在平行四边形中，，，E是边延长线上一点，连接，是等边三角形，连接，则的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 例2．如图，中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．7 变式1．如图，在平面直角坐标系中，已知等腰的底边在x轴上滑动，且，y轴上有一点M，连接，，则的最小值为 ． 变式2．如图，在锐角等腰中，，，分别是边，上的动点，连接．若，，，则的最小值是 ．    变式3．问题提出 （1）在平面内，已知线段，，则线段的最小值为______． 问题探究 （2）如图1，在平行四边形中，，，，P是边的中点，Q是边上一动点，将三角形沿所在直线翻折，得到三角形，连接，求的最小值． 问题解决 （3）如图2，平行四边形为某公园平面示意图，扇形为该公园的人口广场，已知，，，．为了提升游客体验感，工作人员准备在弧上找一点P，沿，修两条绿色通道，并在上方和右方区域种植花卉供游客观赏，其余地方修建其他设施，求其他设施区域面积的最小值．    1．平行四边形中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．平行四边形的对角线一定具有的性质是（   ） A．相等 B．互相垂直 C．互相平分 D．以上都不对 3．如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点C的坐标是（    ）． A． B． C． D． 4．如图，平行四边形中，平分交边于点，则线段的长度分别为（　　） A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和4 5．如图，点P、Q是平行四边形的边上一点，且，相交于R，连接，且恰好平分，若，则点C到的距离为（   ） A． B．2 C． D． 6．在中，，则 ． 7．如图，在平行四边形中，与相交于点，，则的周长为 ． 8．如图，的对角线，相交于点，且，若的周长为14，则的长为 ． 9．如图，在中，对角线，相交于点，，．则与的距离为 ． 10．如图，在中，，，E，H分别为边，上一点，将沿翻折，使得的对应线段经过点C．若，，则的长为 ． 11．如图，平行四边形的对角线，相交于点． (1)求证：，； (2)若对角线与的和为18，，求的周长． 12．如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点），其中点，，的坐标分别为，，．    (1)将平移，使得平移后对应点的坐标为，请画出； (2)设以，为邻边的平行四边形． (3)直接写出顶点的坐标__________； (4)标出边的中点． 13．如图，的对角线与交于点O，点M，N在上，且，求证：． 14．如图，在中，点E、F分别在边、上，且，连结，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连结，若平分，，，，求的长． 15．如图1，在中，．以为一边，在外作等边三角形是的中点，连接并延长交于E． (1)求点B的坐标； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)如图2，将图1中的四边形折叠，使点C与点A重合，折痕为，求的长． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 平行四边形 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：平行四边形的概念与性质 1.平行四边形的概念 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用符号“▱”表示，例如平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。 2. 平行四边形的性质 性质1：边的性质 平行四边形的对边平行且相等。 · 几何语言：在▱ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC。 性质2：角的性质 平行四边形的对角相等，邻角互补。 · 几何语言：在▱ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，∠C+∠D=180°，∠D+∠A=180°。 性质3：对角线的性质 平行四边形的对角线互相平分。 · 几何语言：在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则OA=OC，OB=OD。 性质4：对称性 平行四边形是中心对称图形，其对称中心是两条对角线的交点。 性质5：面积公式 平行四边形的面积=底×高（底为平行四边形的任意一边，高为这条边与其对边之间的距离）。 知识点2 ：平行四边形的判定 1. 定义判定法 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 · 几何语言：∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形。 2. 判定定理1（边的关系） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 · 几何语言：∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形。 3. 判定定理2（边的关系） 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 · 几何语言：∵AB∥CD，AB=CD（或AD∥BC，AD=BC），∴四边形ABCD是平行四边形。 4. 判定定理4（对角线的关系） 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 · 几何语言：∵对角线AC、BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形。 5. 判定定理3（角的关系）（补充需证） 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 · 几何语言：∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴四边形ABCD是平行四边形。 【题型1 平行四边形的性质求（证）边】 例1．如图，过平行四边形对角线的交点O，交于点E，交于点F，若平行四边形的周长为18，，则四边形的周长为（   ） A．9 B．9.5 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 先利用平行四边形的性质求出，可利用全等的性质得到，求出，即可求出四边形的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，周长为18， ， ， 在和中， ， ， ， 则的周长， 故选：D． 例2．如图，平行四边形中，对角线、相交于，过点作交于点，若，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，证明是直角三角形是解题的关键．连接，根据已知条件证明是直角三角形，进而可得是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，   平行四边形中，， 垂直平分， ，，， ，， ，， ， 是直角三角形，是等腰直角三角形， ． 故选B． 变式1．如图，中，，于点，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在边上，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，直角三角形性质，平行四边形性质，旋转的性质等知识点，作出适当的辅助线是解题的关键． 根据题意求出长，由旋转得长，过F点作，勾股定理得长，即可求得长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得，即， ， 由旋转得， ， 过F点作交于H，如图： ， ， ∴， ， 由勾股定理得：， ， 故答案为：． 变式2．如图，在中，连接，将绕点顺时针旋转一定角度，得到，点分别旋转到了点．已知点在边上，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质、旋转的性质、勾股定理的应用：作于点，根据平行四边形性质可得，再根据边之间的关系可得，由旋转可得，则由旋转可得，求出，再根据边之间的关系可得，再根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：作于点，则， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， 由旋转可得， ， ， ， ， 故答案为：． 变式3．如图，在平行四边形中，为边上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）证明即可求证； （）由等腰三角形的性质得，即得，进而得到，再根据全等三角形的性质即可求解； 本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ，， ， ∵， ， ． 在和中， ， ， ； （2）解：∵，， ， ， ， ， ∵， ． 【题型2 平行四边形的性质求（证）角】 例1．在平行四边形中，若∠A与∠B的度数之比为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据平行四边形的性质以及平行线的性质可得，再根据与的度数之比为，即可求出的度数，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 与的度数之比为， ， ， ∴， ， 故选：B． 例2．已知中，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形角度的关系是解题关键．利用平行四边形邻角互补和对角相等的性质，结合给定比例求解即可． 【详解】解：∵在中，与是邻角， ∴， 设，则， ∴， ∴，即， 故选：A． 变式1．平行四边形一组对角的和为，那么这个平行四边形中较小内角的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行四边形的性质．解题的关键是注意数形结合思想与平行四边形的对角相等定理的应用． 根据平行四边形对角相等的性质，结合四边形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴在这个平行四边形中较小的一个内角等于． 故答案为：． 变式2．如图，中垂直平分对角线，若，，则 ． 【答案】/37度 【分析】本题考查平行四边形的性质与垂直平分线性质，解题关键是利用垂直平分线得，结合平行四边形内角的关系求角度，易错点是垂直平分线的性质应用不当． 由平行四边形得，由垂直平分线的性质得到，，再结合平行四边形的性质和角的和差即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵垂直平分对角线， ∴，， ∴； 在中，， 又∵在中，，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式3．如图，的两条对角线、相交于点，点、分别是、上的中点．连接、．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵点、分别是、上的中点， ∴，， ∴， ∴ 即， 在和中， ， ∴， ∴． 【题型3 平行四边形的判定一（两组对边分别平行）】 例1．如图，在四边形中，，添加一个条件，能使四边形成为平行四边形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据已知条件以及各个选项中所给的条件，逐项分析即可得出答案． 【详解】A.已知，添加条件，则四边形有可能是等腰梯形，不符合题意； B. 已知可得，故添加条件，不能判定四边形为平行四边形，不符合题意； C. 已知，添加条件，不能判定四边形为平行四边形，不符合题意； D. 已知可得,添加条件，则可得，由此可证得，因此可判定四边形为平行四边形，符合题意． 故选D． 例2．如图，在四边形中，，则添加下列条件，可使四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定与性质．由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、由，，不能判定四边形为平行四边形，还有可能是等腰梯形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴， 不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； C、由，，不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； D、∵ ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故本选项符合题意； 故选：D． 变式1．如图，已知四边形，对角线和相交于，已知，则添加一个条件 可得出四边形是平行四边形． 【答案】或或或（添加一个即可） 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质即可求解，掌握平行四边形的判定的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴添加，则有四边形是平行四边形； ∵， ∴添加，则有四边形是平行四边形； ∵， ∴， ∵， ∴添加， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴， ∵， ∴添加， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 故答案为：或或或（添加一个即可）． 变式2．如图，在四边形中，，要使得四边形是平行四边形，应添加的条件是 （只填写一个条件，不使用图形以外的字母和线段）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据一组对边平行且相等或两组对边分别平行，即可求解． 【详解】解：添加条件： ∵， ∴四边形是平行四边形， 添加条件： ∵， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：（或）． 变式3．如图，已知，、分别是和上的点，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是找出两组对边平行． 根据角度关系，结合，得出，即可证得，最终证出平行四边形． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， 四边形是平行四边形． 【题型4 平行四边形的判定二（两组对边分别相等）】 例1．在四边形中，，对角线，相交于点．添加下列一个条件，使四边形成为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定．已知四边形中，需添加一个条件使其成为平行四边形．根据平行四边形的判定定理，逐一分析选项即可得出结论． 【详解】A．若，此时仅知一组对边平行（）和另一组对边相等（），但无法直接推导出四边形为平行四边形，因为无法确定与是否平行或与是否相等．因此选项A不成立． B．若，结合已知，则两组对边分别相等（且），根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可直接判定四边形为平行四边形．因此选项B成立． C．若，仅说明对角线被点平分，但平行四边形的判定要求对角线互相平分（即且）．由于未给出的条件，无法确定四边形为平行四边形．因此选项C不成立． D．若，仅说明一组对角相等，但平行四边形的判定要求两组对角分别相等．无法由此推导出另一组对角相等，因此选项D不成立． 故选：B 例2．已知四边形如图所示，能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定，熟记基本的判定方法是解题关键． 根据平行四边形的判定定理进行分析即可． 【详解】解：根据两组对边分别相等的四边形为平行四边形，则B选项正确， 故选：B． 变式1．如图，已知，那么添加一个条件 后，可判定四边形是平行四边形． 【答案】或 【分析】本题考查平行四边形的判定定理．解题关键在于熟悉各种平行四边形的判定方法，并结合已知条件，从判定定理中选择合适的方式来添加条件，使四边形满足平行四边形的判定要求．本题已知，要使四边形成为平行四边形，需依据平行四边形的判定定理添加合适条件．平行四边形有多种判定方法，如两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、两组对角分别相等、对角线互相平分等，我们要结合已知条件来选择合适的判定方式添加条件． 【详解】解：已知，又添加了，根据平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”， ∵这里和这组对边既相等（ ）又平行（ ）， ∴四边形是平行四边形， 已知，再添加，此时四边形的两组对边分别相等，依据平行四边形的判定定理“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：或 变式2．如图，在四边形中，已知，若要判定四边形为平行四边形，在不添加辅助线的前提下只添加一个条件，则这个条件可以为 ．    【答案】答案不唯一 【分析】由平行四边形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：添加条件为：，理由如下： ，， 四边形是平行四边形， 故答案为：（答案不唯一）． 添加条件为：，理由如下： ，， 四边形是平行四边形， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 变式3．如图，在四边形中，E，F分别为边的中点，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和全等三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．先由中点的定义得到，再由得到，则，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可证明． 【详解】证明：∵E，F分别为边的中点， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【题型5 平行四边形的判定三（一组对边平行且相等）】 例1．在四边形中，对角线和相交于点O，，添加下列条件后能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：如图： A、∵，， ∴不能判定四边形是平行四边形；故该选项是错误的； B、∵，， ∴不能判定四边形是平行四边形；故该选项是错误的； C、∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形；故该选项是正确的； D、∵，， ∴不能判定四边形是平行四边形；故该选项是错误的； 故选：C． 例2．如图，四边形的对角线交于点，已知，添加下列其中一个条件，能判定四边形为平行四边形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟记“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”是解题的关键．由平行四边形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：添加，能判定四边形是平行四边形的是，理由如下： ， 又， 四边形是平行四边形， 只有B选项符合题意，其他选项不能判定四边形是平行四边形， 故选：B． 变式1．如图，在四边形中，，在不添加任何辅助线的前提下，若使四边形是平行四边形，则需添加的一个条件是 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形或两组对边分别平行的四边形是平行四边形求解即可． 【详解】解：添加条件或等， 添加条件证明如下： ∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， 添加条件证明如下： ∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：（答案不唯一）． 变式2．如图，在四边形中，已知，在不添加辅助线的情况下，请你再添加一个条件 （写出一个即可），则四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，准确理解题意是解题的关键． 根据已知条件，可根据一组对边平行且相等或两组对边分别相等的四边形是平行四边形判断即可； 【详解】， 当时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断；或当时，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判断； 故答案是：（答案不唯一）． 变式3．如图，在四边形中，点、分别是对角线上的两点，且，，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．根据平行线的性质可得，，利用线段和差关系等量代换证得得到，根据全等的性质得到，从而得证． 【详解】证明：，， ，， ， ，即． 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【题型6 平行四边形的判定四（对角线互相平分）】 例1．在四边形中，与相交于点，且，再添加下面一个条件，不能判断该四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，对于B和C选项，先分别证明和，得出，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形， 故A选项不符合题意； B、∵，，， ∴， 则， ∴四边形是平行四边形，故B选项不符合题意； C、∵，，， ∴， 则， ∴四边形是平行四边形，故C选项不符合题意； D、∵，， ∴不能证明四边形是平行四边形， 故D选项不符合题意； 故选：D 例2．如图，四边形的对角线相交于点O，已知，添加下列一个条件后，仍不能使四边形是平行四边形的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．根据平行四边形的判定方法，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、添加，仍不能使四边形是平行四边形，符合题意； B、∵，， ∴四边形是平行四边形，不符合题意； C、∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，不符合题意； D、∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，不符合题意； 故选：A． 变式1．如图，在四边形中，对角线、相交于点O，且，请你添加的一个条件是 ，使四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤．两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 根据平行四边形的判定方法作答即可． 【详解】解：添加条件：， 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：（答案不唯一）． 变式2．如图，四边形的对角线、相交于点，且，请你添加一个适当的条件： ，使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，能找到合适的条件证明平行四边形或全等三角形是解题的关键． 添加可证四边形是平行四边形，可得． 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 变式3．如图，点M、N在的对角线上，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，作出辅助线，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题关键． 连接，交于点O，由平行四边形的性质可知：，再证明，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：如图，连接，交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵对角线上的两点M、N满足， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 【题型7 找出或画出平行四边形】 例1．如图，在平行四边形中，相交于点，图中共有（　　）个平行四边形． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定； 首先根据已知条件找出图中的平行线段，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，来判断图中平行四边形的个数． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ∴ ∴平行四边形有：、、、、、、、；；共个． 故选：C． 例2．在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可求解，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： 当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： ∴符合要求的点有个， 故选：． 变式1．在平面直角坐标系中，已知A，B，C，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标可以是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，平行四边形的性质等知识点，解题的关键是掌握①数形结合思想的运用，②分类讨论方法的运用．根据题意画出符合条件的三种情况，根据图形结合平行四边形的性质，A、B、C的坐标求出即可． 【详解】解：如图， 如图有三种情况：①平行四边形， ∵A，B，C， ∴， ∴， 则D的坐标是； ②平行四边形， ∵A，B，C， ∴， ∴， 则D的坐标是； ③平行四边形， ∵A，B，C， ∴的纵坐标是，横坐标是， 则D的坐标是， 故答案为或或． 变式2．如图，，，，图中共有 个平行四边形． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据题意找出两组对边分别平行的四边形，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴图中的平行四边形有，共三个， 故答案为：． 变式3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在小正方形的顶点上． (1)在图1中画出点（点在小正方形的顶点上），使以为顶点的四边形为平行四边形； (2)在图2中确定点（点在小正方形的顶点上），连接，使，且四边形面积为9，请在图中标出点的位置，则 ． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析，， 【分析】本题考查平移，平行四边形的判定，等腰三角形的判定和性质： （1）利用平移思想，将点向右移动2个单位，再向下移动一个单位，得到点即可（或将点向左移动2个单位，再向上移动一个单位，也可得到点），此时，故四边形为平行四边形； （2）构造等腰三角形，利用三线合一，结合四边形面积为9，可得面积等于2，由此即可得到点在点下方第4个格点处．再根据勾股定理求出. 【详解】（1）解：如图，四边形（或）即为所求；   或 （2）如图，点即为所求；    由图可知四边形的面积为：． ， 【题型8 平行四边形中的尺规作图】 例1．如图，已知，请阅读以下作图步骤： ①以点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交线段，于两点； ②分别以这两点为圆心，大于这两点距离的长为半径画弧，两弧交于点P； ③分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，在两侧交于两点； ④过这两点作直线分别交，于点，，连接，． 根据以上作图，一定可以推得的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据作图得出是的角平分线，是的垂直平分线，根据角平分线的定义得出，根据垂直平分线的旋转得出，，根据等边对等角得出，，推得，，根据平行线的判定得出，，根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得出． 【详解】解：连接，如图： 由①②可得是的角平分线，由③④可得是的垂直平分线， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线和垂直平分线的画法，垂直平分线的性质，角平分线的定义，等边对等角，平行线的判定，平行四边形的判定和性质．熟练掌握角平分线和垂直平分线的画法是解题的关键． 例2．小宇利用尺规在内作出点，又在边上作出点，作图痕迹如图所示，若，则，之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，尺规作图，角平分线的性质定理，解题的关键是掌握相关知识并数形结合．过点作于点，交的延长线于点，由作图可知，平分，平分，，由平行四边形得到，而，得到，推出，，则，即可求解． 【详解】解：过点作于点，交的延长线于点． 由作图可知，平分，平分，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，， ， ，之间的距离为． 故选：C． 变式1．如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，恰当长为半径画弧，分别交、于点、； ②分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点； ③作射线交边于点．用同样的作图方法得到，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是作角平分线，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的性质，先证明，，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴，，，， ∴，， 由作图可得：平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为： 变式2．如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以点A、点B为圆心，以大于的长为半径作弧；②过两弧相交的两点作直线交于点E，连接，由作图的结果可得的周长为 ． 【答案】15 【分析】本题考查平行四边形的性质，中垂线的性质，等边三角形的判定和性质，根据作图可知，垂直平分，推出为等边三角形，根据平行四边形的性质，得到，进而求出的周长即可． 【详解】解：根据作图可知，垂直平分， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴的周长为． 故答案为：15． 变式3．数学课上，老师提出一个问题：在平行四边形的边上取一点P，使得是以为底边的为等腰三角形．小明同学按以下步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点M，N；②以点A为圆心，长为半径作弧，交于点E：③以点E为圆心，以长为半径作弧，在内部交前弧于点F；④连接并延长，交于点P． (1)通过作图可以得到的依据是______； (2)小聪同学表示他可以借助无刻度直尺和圆规用另外一种方法作出点P，请在图2中完成作图，要求保留作图痕迹； (3)如图3，小聪同学继续用无刻度直尺和圆规作了射线，发现恰好经过点P，此时小聪同学发现，，都是等腰三角形，求的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据作图过程和三角形全等的判定方法可得答案； （2）作线段的垂直平分线交于点P，即可得到； （3）分①当时，②当时，③当时三种情况，利用等腰三角形的性质，结合平行线的性质和三角形的内角和定理分别求解即可． 【详解】（1）解：由作图过程可得，， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，点P，即为所求作： （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 根据作图痕迹，平分，设，则， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵是等腰三角形， ∴分三种情况： ①当时，则， 由，， 解得， ∴； ②当时，， 由得， 解得， ∴； ③当时，，则， 由得，则，不符合题意， 综上，的度数为或． 【点睛】本题考查尺规作图、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定、线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质、三角形的内角和定理、平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 【题型9 平行四边形中的平移、折叠、旋转】 例1．如图所示，在平面直角坐标系中，平行四边形位于第一象限，顶点的坐标分别为，将平行四边形沿轴向上平移4个单位后，则平移后点的对应点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形变化—平移，根据平行四边形对角线中点坐标相同可求出点B的坐标，再根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，顶点的坐标分别为， ∴， ∴， ∴， ∴将平行四边形沿轴向上平移4个单位后，平移后点的对应点的坐标是，即， 故选：B． 例2．如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标依次为，，将线段向右平移12个单位，再向上平移5个单位，得到对应线段，则四边形的周长为（   ） A．34 B．35 C．36 D．37 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，坐标平移，平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理．根据，，求出，过点D作轴于点E，根据勾股定理求出，证明四边形是平行四边形，得出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 过点D作轴于点E， ∵将线段向右平移12个单位，再向上平移5个单位，得到对应线段， ∴，， ∴， ∵线段平移后得到线段， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的周长． 故选：C． 变式1．如图，将先沿折叠，再沿折叠后，A点落在线段上的A′处，C点落在E处，连结，．若恰有，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质、折叠的性质、平行线的性质，由平行四边形的性质得，，再由由折叠的性质得，，，，根据平行线的性质得，进而得，再根据，利用等量代换求得，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠的性质得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，等角对等边，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 作，交的延长线于点H，求出得，由勾股定理求出，由折叠的性质得，，，得出，设，根据求出，进而可求出的长． 【详解】如图，作，交的延长线于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 由折叠的性质得，，， ∴，， ∴． 设， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 变式3．综合与实践 数学活动课上，同学们对两个完全相同的直角三角形纸片（如图1）围绕拼接、平移、旋转开展操作研究． 【活动一】拼接 （1）将两个三角形纸片按图2方式进行拼接（点与点重合，点与点重合），求四边形的周长； 【活动二】平移 （2）在图2中，将纸片沿射线的方向平移．在平移过程中，两个纸片的重叠部分为四边形，如图3所示． ①求证：四边形是平行四边形； ②若点为的中点，则四边形的周长为_________． 【活动三】旋转 （3）在图3中，当点为的中点时，将绕点顺时针旋转一周．在旋转过程中，若两个纸片的重叠部分为等腰三角形，直接写出旋转角的度数． 【答案】（1）；（2）①见解析；②；（3）或 【分析】本题考查含锐角直角三角形的性质，平移的性质，平行四边形的判定，中位线，勾股定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形，掌握知识点是解题的关键． （1）根据锐角直角三角形的性质可得，，即可解答； （2） ①先证明，继而证明，即可解答； ②根据题意可得和是的中位线，则， 即可解答； （3）分类讨论：①当顺时针旋转时位于；②当△DEF顺时针旋转时位于，逐一分析，即可解答． 【详解】解：(1)根据题意，由锐角直角三角形的性质可得： ， ． ∴四边形的周长为： ． (2)①证明：∵平移前，，A、F两点重合，C、D两点重合， ∴， ∴， ∵， ∴根据平移的性质，， ∴四边形为平行四边形． ②根据题意可得和是的中位线，则， 由平行线四边形的性质，四边形的周长为： ． 故答案为：9． (3)如图， 当顺时针旋转时位于；当△DEF顺时针旋转时位于． ①当顺时针旋转时，此时两个三角形重叠部分为． ∵， ． ， 为等边三角形，符合题意． ②当顺时针旋转时，此时两个三角形重叠部分为． ∵， ∴为等腰三角形，符合题意． 故旋转角为或． 【题型10 一次函数中的平行四边形】 例1．已知平面直角坐标系内有三个点，若四边形是平行四边形，则点C的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形，解题的关键是熟知平行四边形的性质． 利用平行四边形对边平行且相等，结合坐标平移规律求解． 【详解】解：如图 ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵，， ∴； ∵，沿轴方向， ∴点是点向左平移个单位（因为长度为3）． ∴向左平移个单位，横坐标，纵坐标不变，即， 故选：C． 例2．如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为．若存在点，使得直线平分的面积，则在，，，这四个点中，可作为点的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】该题考查了三角形中线平分三角形的面积，坐标与图形，平行四边形的性质和判定等知识点，根据题意表示出题中四个点，依次判断即可． 【详解】解：如图①和②，当点在，时，直线不经过中点，故不能使得直线平分的面积， 如图③，当点在时，根据图象可得， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴点是中点，即直线经过中点，能使得直线平分的面积； 如图④，当点在时，根据图象可得点是中点，即直线经过中点，能使得直线平分的面积； 故选：B． 变式1．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在网格点上，在网格内存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，根据题意得，，，然后分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时三种情况求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，，，， 当为对角线时，； 当为对角线时，； 当为对角线时，； ∴点的坐标为或或． 变式2．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，P点坐标为，在平面直角坐标系中存在一点O，使得A，B，P，Q构成平行四边形，则Q点坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 先求出，，根据平行四边形的性质以及点的平移规律求解即可． 【详解】解： 对于直线， 当，当， 解得：， ∴ 如图： 当平行四边形时， ∴， ∴点向点A的平移方式与点向点的平移方式一样， ∵，， ∴点向左平移6个单位，向下平移2个单位得到点， ∴向左平移6个单位，向下平移2个单位得到点， 同理可得：，， ∴Q点坐标为或或， 故答案为：或或． 变式3．在平面直角坐标系中（如图），直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段上． (1)求点A和点B的坐标； (2)当点C的横坐标是时，如果在y轴上存在点P，使得，求点P的坐标； (3)当点C的横坐标是m时，在平面直角坐标系中存在点Q，使得以O、C、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．（用含m的代数式表示） 【答案】(1) (2)点或 (3)或或 【分析】本题为一次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、面积的计算等，分类求解是解题的关键． （1）对于，当时，，令，则，即可求解； （2）由，即可求解； （3）当为对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当或为对角线时，同理可解． 【详解】（1）解：对于，当时，， 令，则， 即点的坐标分别为：； （2）设点， 则， 解得：或8， 即点或； （3）设点，点， 当为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得， 则点； 当或为对角线时， 同理可得：或， 解得：或， 即点或； 综上，或或． 【题型11 平行四边形中的动点求t】 例1．如图，在四边形中，，，，点G是的中点．点M以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动，同时点N以每秒1个单位长度的速度从点G出发，沿向点B运动．当点M停止运动时，点N也随之停止运动．设运动时间为t秒，当四边形是平行四边形时，t的值为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】B 【分析】此题考查动点及平行四边形的性质，解题关键是由已知明确两条线段之间的数量关系． 由已知表示出,,根据平行四边形的判定，由，所以当时为平行四边形．根据此列出关于t的方程求解． 【详解】解：在四边形中，， , ,， 时，四边形是平行四边形， ， ； 故答案为：B． 例2． 如图， 在四边形中，，，，，， 动点P从点B 出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A 出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D 运动，当动点Q到达点D时，动点 P也同时停止运动．设点 P的运动时间为t（秒）． 以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向终点运动， ∴运动时间为（秒）， ，的速度为每秒个单位，到达的时间为（秒）， 当在点以及点的左边时，即时， 则， 当在的右边时，即时， 则， 以点、、、为顶点的四边形是平行四边形， ①当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得， 综合上述，当或时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形． 故选：C． 变式1．如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发在上往返运动．两点同时出发，当点Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为．当 时，四边形是平行四边形． 【答案】4或 【分析】此题重点考查平行四边形的判定、分类讨论数学思想的运用、一元一次方程的应用等知识与方法，正确地用代数式表示线段和线段的长是解题的关键．由平行四边形的性质得，，而点P在上，点Q在上，则，所以当时，四边形是平行四边形，求得当点Q与点B重合时，；当点Q返回点C时，，再分两种情况求t的值，一是当时，则，求得；二是当时，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 点P在上，点Q在上， ， 当时，四边形是平行四边形， 当点Q与点B重合时，则， 解得：； 当点Q返回点C时，则， 解得， 当时，由得， 解得； 当时，由得， 解得， 当或时，四边形是平行四边形， 故答案为：4或 变式2．如图，在平行四边形中，，且，，延长至点E，使( ，连接．若动点P从A点出发，以每秒的速度沿射线运动；动点Q从E点出发以每秒的速度沿向B点运动，当点Q到达点B时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： （1）当t为 秒时，以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形； （2）使得是等腰三角形时t的值 ． 【答案】 或6 或或3 【分析】（1）分三种情况进行讨论：当点P在点D左侧，点Q在点C右侧时，当点P在点D左侧，点Q在点C左侧时，当点P在点D右侧，点Q在点C左侧时，分别列出关于t的方程进行求解即可； （2）分三种情况进行讨论：当时，当时，当，分别画出图形进行求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴当时，以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形， 当点P在点D左侧，点Q在点C右侧时，， 解得：， 当点P在点D右侧，点Q在点C的左侧，不符合题意舍去； 当点P在点D左侧，点Q在点C左侧时，， 解得：； 当点P在点D右侧，点Q在点C左侧时，， 解得：； 综上分析可知，当t为或6秒时，以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形； 故答案为：或6． （2）∵，， ∴， ∴； 当时，； 当时，如图所示： ， 根据勾股定理得：， 即， 解得：； 当时，如图所示： 根据勾股定理得：， ∴， ∴； 综上分析可知：当或或3时，是等腰三角形． 故答案为：或或3． 【点睛】本题主要考查勾股定理，平行四边形的性质和判定，等三角形的定义，一元一次方程的应用，解决本题的关键是要熟练掌握几何图形的性质，根据图形的性质进行数形结合进行求解． 变式3．已知，在平行四边形中，，，，动点从点出发沿方向匀速运动，速度为，动点同时从点出发沿方向匀速运动，速度为，当点到达点时，点同时停止运动．连接，设运动时间为，解答下列问题： (1)当四边形为平行四边形时，求的值； (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使点关于直线的对称点在直线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)设四边形的面积为，求与的函数关系式； (4)连接，当以三点为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)不存在，见解析 (3) (4)或或 【分析】（1）由题意得，根据平行四边形的性质列方程即可得到结论； （2）由点关于直线的对称点在直线上，得到为的角平分线，即，根据平行线的性质得到，求得，得到，于是得到结论； （3）过点作，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论； （4）根据平行四边形 到现在得到，得到，①当时，②当时，③当时，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵点关于直线的对称点在直线上， ∴为的角平分线， 即， 又 ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴不存在合题意的的值； （3）解：过点作， ， ， ， ； （4）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵以三点为顶点的三角形是等腰三角形， ①当时，即， ∴， ②当时， 过作于， 则， ， ∴； ③当时， ， ， ， ， ． 综上所述，的值为 2 或或． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质，三角形的面积，等腰三角形的性质，勾股定理，角平分线的定义，分类讨论是解题的关键． 【题型12 平行四边形中的最值问题】 例1．如图，在平行四边形中，，，E是边延长线上一点，连接，是等边三角形，连接，则的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、含的直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键。 如图：在射线上取点G，使，连接，，根据平行四边形性质证明是等边三角形，得到，，根据是等边三角形，得到，得到，可证，可得，即，由点F在直线上运动，则当时，根据含的直角三角形的性质得到的值即可． 【详解】解：如图：在射线上取点G，使，连接，， ∵平行四边形中， ，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F在直线上运动， 当时，最小， 此时，， ∴, ∴的最小值为． 故选：D． 例2．如图，中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．7 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质.作关于直线的对称点，连接交于，则，，，当重合时，最小，最小值为，再进一步结合勾股定理求解即可. 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，， ∴当重合时，最小，最小值为， ∵，，在中， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即的最小值为. 故选：C. 变式1．如图，在平面直角坐标系中，已知等腰的底边在x轴上滑动，且，y轴上有一点M，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，构建平行四边形，作关于轴的对称点，可得，，，，，求解，可得，当共线时，最小，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，构建平行四边形，作关于轴的对称点， ∴，，，，， ∵等腰的底边在x轴上滑动，且， ∴,， ∵， ∴， ∴， 当共线时，最小， ∴的最小值为； 故答案为： 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，两点之间线段最短，作出合适的辅助线是解本题的关键. 变式2．如图，在锐角等腰中，，，分别是边，上的动点，连接．若，，，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】通过构造平行四边形将转化为，利用等腰三角形三线合一、平行线判定，结合面积公式求高，再根据垂线段最短确定的最小值（即的最小值）． 【详解】解：过点作于，过点作，过点作交于，作射线，过点作于，    ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为垂直于的定直线，直线，间的距离为， ∴的最小值为， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理及垂线段最短的性质，熟练掌握“通过构造平行四边形转化线段长度，利用等腰三角形三线合一和平行线性质确定最小值”是解题的关键． 变式3．问题提出 （1）在平面内，已知线段，，则线段的最小值为______． 问题探究 （2）如图1，在平行四边形中，，，，P是边的中点，Q是边上一动点，将三角形沿所在直线翻折，得到三角形，连接，求的最小值． 问题解决 （3）如图2，平行四边形为某公园平面示意图，扇形为该公园的人口广场，已知，，，．为了提升游客体验感，工作人员准备在弧上找一点P，沿，修两条绿色通道，并在上方和右方区域种植花卉供游客观赏，其余地方修建其他设施，求其他设施区域面积的最小值．    【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】（1）当在线段上时，最短，从而可得答案； （2）如图，过点作交延长线于点，连接． 证明，求解，．可得．由，从而可得答案； （3）如图，过点作于点，过点作于点．证明当最小时，最小．可得当最小时，最小．由，设，则，建立方程求解，可得，当在线段上时，取最小值．再求解面积即可． 【详解】解：（1）当在线段上时，最短， 此时． （2）如图，过点作交延长线于点，连接．    ∵四边形是平行四边形，，，， ∴，∴，． ∵是的中点，∴， ∴，． 在中，由勾股定理，得． 由折叠得， ∴， ∴点在线段上时，取最小值，即的最小值为． （3）如图，过点作于点，过点作于点．    ∵，为定值， ∴当最小时，最小． 又∵为定值，∴当最小时，最小． 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， ∴，解得， ∴，． ∴， ∴， 当在线段上时，取最小值． ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴． ∴四边形面积的最小值为． 【点睛】本题考查的是三角形三边关系的应用，平行四边形的性质，勾股定理的应用，含的直角三角形的性质，熟练的利用两点之间线段最短求解线段或面积的最值是解本题的关键． 1．平行四边形中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，准确计算是解题的关键． 利用平行四边形的邻角互补性质，直接计算的度数． 【详解】四边形是平行四边形， ， ， ． 故选． 2．平行四边形的对角线一定具有的性质是（   ） A．相等 B．互相垂直 C．互相平分 D．以上都不对 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质．平行四边形的性质包括对角线互相平分，但对角线不一定相等或垂直，据此进行解答即可． 【详解】解：∵平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等、互相垂直， ∴选项C正确； 故选：C 3．如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点C的坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质与中心对称，理解题意，灵活运用平行四边形的性质是关键． 平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，根据中心对称的性质解题即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， 又∵对角线交点在原点， ∴点A和点C关于原点对称， ∵， ∴． 故选：C． 4．如图，平行四边形中，平分交边于点，则线段的长度分别为（　　） A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和4 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键在于能够熟练掌握相关几何性质进行求解． 先由平行四边形性质得到，结合平行线性质、角平分线定义得到，进而由等腰三角形的性质得到，再数形结合得到，代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， 故选：B． 5．如图，点P、Q是平行四边形的边上一点，且，相交于R，连接，且恰好平分，若，则点C到的距离为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，勾股定理，三线合一定理，过点C作于点E，于点F，由角平分线的性质可得；可证明，则可推出，由三线合一定理得到的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于点E，于点F， ∵平分，，， ∴； ∵四边形是平行四边形，且点P、Q是平行四边形的边上一点， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点C到的距离为， 故选：D． 6．在中，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质．解题的关键是掌握平行四边形的性质．根据平行四边形对边相等，由已知边求出未知边的长度． 【详解】解：四边形是平行四边形， ． 故答案为：30. 7．如图，在平行四边形中，与相交于点，，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对角线互相平分，结合三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】解：因为平行四边形对角线互相平分， 所以，， 则的周长为． 故答案为：12． 8．如图，的对角线，相交于点，且，若的周长为14，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质可得，，由的周长为14，可求． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 的周长为， ， 故答案为：． 9．如图，在中，对角线，相交于点，，．则与的距离为 ． 【答案】8 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理．根据平行四边形的性质和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵的对角线相交于点O，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴与的距离为8． 故答案为：8． 10．如图，在中，，，E，H分别为边，上一点，将沿翻折，使得的对应线段经过点C．若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】延长交于，由平行四边形的性质得，，由等腰三角形的判定及性质和勾股定理得，由折叠的性质，，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：延长交于， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 由折叠得：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，折叠的性质等；掌握平行四边形的性质，等腰三角形的判定及性质，折叠的性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 11．如图，平行四边形的对角线，相交于点． (1)求证：，； (2)若对角线与的和为18，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质； （1）根据平行四边形的对角线互相平分可直接得出结论； （2）根据平行四边形的性质求出，然后即可计算的周长． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，； （2）由题意得， 由（1）知，， ∴， ∴的周长为：． 12．如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点），其中点，，的坐标分别为，，．    (1)将平移，使得平移后对应点的坐标为，请画出； (2)设以，为邻边的平行四边形． (3)直接写出顶点的坐标__________； (4)标出边的中点． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3) (4)作图见解析 【分析】（1）根据平移的性质确定点，，的对应点，，，再顺次连接即可得到； （2）根据平移的性质作图即可； （3）利用（2）结论即可得到答案； （4）连接交于点，利用平行四边形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：∵将平移，使得平移后对应点的坐标为， ∴向右平移4个单位，再向上平移4个单位后得到， ∵，， ∴，， 连接、、，则即为所作． （2）∵，， 将线段向右平移1个单位，再向上平移3个单位，点与点对应， ∴点与点对应， 连接，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 则四边形即为所作． （3）∵， 由（2）可得：将线段向右平移1个单位，再向上平移3个单位，点与点对应，点与点对应， ∴， 故答案为：． （4）连接交于点， ∵四边形为平行四边形，且与为四边形的对角线， ∴点为的中点， 则点即为所作．    【点睛】本题考查作图—平移变换，平移的性质，平行四边形的性质．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 13．如图，的对角线与交于点O，点M，N在上，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定；熟练掌握平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，则有，法一：通过证明，根据全等三角形的性质可求解；法二：通过证明四边形是平行四边形，进而问题可求证． 【详解】解：法一：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 法二：连接、， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 14．如图，在中，点E、F分别在边、上，且，连结，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连结，若平分，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合四边形是平行四边形，得，，又因为，故，即可证明四边形是平行四边形； （2）由（1）得四边形是平行四边形，结合平分，得，则，把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， 设， ， ， ， ， ． 15．如图1，在中，．以为一边，在外作等边三角形是的中点，连接并延长交于E． (1)求点B的坐标； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)如图2，将图1中的四边形折叠，使点C与点A重合，折痕为，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了折叠的性质，平行四边形的判定，等边三角形的性质，以及勾股定理等知识． （1）由在中，，，，根据勾股定理即可求得与的长，即可求得点的坐标； （2）首先可得，根据是的中点，可证得，，又由是等边三角形，可得，根据内错角相等，两直线平行，可证得，继而可得四边形是平行四边形； （3）首先设的长为，由折叠的性质可得：，然后根据勾股定理可得方程，解此方程即可求得的长． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 点的坐标为； （2）证明：， 轴， 轴轴， 轴，即， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 即， 四边形是平行四边形； （3）解：设的长为， ， ， 由折叠的性质可得：， 在中，， 即， 解得：， 即． 2 / 66 学科网（北京）股份有限公司 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