第02讲 认识概率（寒假预习讲义）八年级数学新教材苏科版

第02讲 认识概率 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ： 随机事件 1. 必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件。例如，太阳从东方升起；一个标准大气压下，水加热到100℃会沸腾。其发生的可能性是100%。 2. 不可能事件：在一定条件下，必然不会发生的事件。例如，掷一枚骰子，朝上的点数是7；在常温下，铁会融化。其发生的可能性是0%。 3. 随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。例如，掷一枚硬币，正面朝上；明天会下雨。随机事件发生的可能性在0到1之间（不包括0和1）。 4. 事件的表示：通常用大写字母A、B、C等来表示事件。例如，事件A：掷一枚骰子，朝上的点数是偶数。 知识点2 ： 概率 1. 概率的定义：表示一个随机事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率。一般用P（事件）表示，例如P（A）表示事件A发生的概率。 2. 概率的取值范围：必然事件的概率为1，即P（必然事件）=1；不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）=0；随机事件的概率P满足0<P<1。 3. 古典概型（等可能事件概率）：如果一个试验有n种等可能的结果，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=m/n。这里的“等可能”是指每种结果出现的机会均等。例如，掷一枚质地均匀的骰子，共有6种等可能的结果（点数1-6），事件“点数为偶数”包含3种结果（2、4、6），所以该事件的概率为3/6=1/2。 4. 概率的意义：概率是对随机事件发生可能性大小的度量，它反映的是事件在大量重复试验中发生的频率的稳定性，但概率本身不是一个确定的结果，而是一个理论上的预期值。例如，掷一枚硬币正面朝上的概率是1/2，并不意味着掷两次一定有一次正面朝上，而是在大量重复掷硬币时，正面朝上的频率会稳定在1/2左右。 · 知识点3 ：频率与概率 1. 频率的定义：在n次重复试验中，事件A发生了m次，那么事件A发生的频率为m/n。频率是通过实际试验得到的，是一个具体的数值，会随着试验次数的变化而变化。 2. 频率与概率的关系：在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在一个常数附近，这个常数就是该事件的概率。频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值。例如，通过多次掷硬币试验，正面朝上的频率会逐渐稳定在0.5左右，这个0.5就是正面朝上的概率。 3. 用频率估计概率：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，我们可以通过大量重复试验，用事件发生的频率来估计其概率。例如，估计某射击运动员射击一次命中靶心的概率，可以通过多次射击，计算命中靶心的频率来估计。 4. 注意事项：用频率估计概率时，试验次数越多，频率就越接近概率，估计的结果就越精确。但即使试验次数很多，频率也只是概率的近似值，不一定完全等于概率。 【题型1 确定事件】 例1．下列事件是必然事件的是（   ） A．把五个人分成四组，每组至少一人，这四组中有一组有两人 B．在学校读书演讲比赛中，七年级3班获得一等奖 C．从分别标有数字1，2，3，4，5的五张卡片中随机抽取一张，上面的数字是6 D．打开手机有未接电话 【答案】A 【分析】本题考查必然事件的概念，必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件．根据选项内容，判断每个事件是否必然发生． 【详解】解：A、五个人分成四组，每组至少一人，但组数为四，人数为五，必有一组有两人，是必然事件； B、在学校读书演讲比赛中，七年级3班获得一等奖是随机事件； C、卡片无数字6，是不可能事件； D、打开手机有未接电话是随机事件； 故选：A． 例2．下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．任意选择某一电视频道，它正播放动画片 B．在只装有黑球的袋子里摸出一个黑球 C．射击运动员射击一次，命中环 D．任意掷一枚硬币，正面朝上 【答案】B 【分析】本题考查了事件的分类，掌握必然事件的定义是解题的关键，在一定条件下一定会发生的事件是必然事件．根据必然事件的定义，分析各选项是否一定发生即可． 【详解】解：A、任意选择电视频道可能不播放动画片，是随机事件； B、只装有黑球的袋子一定摸出黑球，是必然事件； C、射击运动员射击一次可能不命中环，是随机事件； D、任意掷一枚硬币可能正面朝上，也可能反面朝上，是随机事件． 故选：B． 变式1．“水中捞月”这一事件是 （填“随机”“必然”或“不可能”）事件． 【答案】不可能 【分析】本题考查事件的分类，必然事件是一定会发生的事件，不可能事件是一定不会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件．“水中捞月”比喻无法实现的行为，因此是不可能事件． 【详解】解：“水中捞月”指从水中捞取月亮，这在实际中一定不会发生，符合不可能事件的定义． 故答案为：不可能． 变式2．事件：“太阳从东方升起”是 事件（填“必然”或“随机”）． 【答案】必然 【分析】本题考查事件的分类，掌握好每类事件的定义是关键． 事件分为必然事件、随机事件和不可能事件．根据每类事件的定义去判断即可． 【详解】解：根据事件分类，必然事件是指在每次试验中必然会发生的事件．太阳从东方升起是确定的自然现象，属于必然事件． 故答案为：必然． 变式3．在一个不透明的袋里有个红球，从中随机摸出一个球，请你设计摸球游戏． (1)使摸球事件是个不可能事件； (2)使摸球事件是个必然事件． 【答案】(1)在个红球中随机摸出一个球是白球，是不可能事件 (2)在个红球中随机摸出一个球是红球，是必然事件 【分析】本题考查了不可能事件和必然事件： （1）设计一个客观上无法实现的结果即可； （2）设计一个所有可能的结果都满足的条件． 【详解】（1）解：袋子中只有红球，没有白球， 在个红球中随机摸出一个球是白球，是不可能事件． （2）解：袋子中只有红球， 在个红球中随机摸出一个球是红球，是必然事件． 【题型2 随机事件】 例1．成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（   ） A．水中捞月 B．旭日东升 C．秋去冬来 D．一箭双雕 【答案】D 【分析】本题考查了事件的分类，根据不可能事件的定义进行逐一判断即可，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A．水中捞月是不可能事件，故该选项不符合题意； B．旭日东升是必然事件，故该选项不符合题意； C．秋去冬来是必然事件，故该选项不符合题意； D．一箭双雕是随机事件，故该选项符合题意； 故选：D． 例2．下列事件中，是随机事件的是（    ） A．通常温度降到以下，纯净的水结冰 B．明天太阳从东方升起 C．任意画一个三角形，其内角和是 D．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数 【答案】D 【分析】本题考查事件的分类，根据随机事件是指可能发生也可能不发生的事件，进行判断即可．掌握随机事件、必然事件和不可能事件的区别是解题关键． 【详解】解：A、是必然事件，不符合题意； B、是必然事件，不符合题意； C、是不可能事件，不符合题意； D、是随机事件，符合题意； 故选D． 变式1．诗句“清明时节雨纷纷”中描述的事件是 （填“必然”“随机”或“不可能”）事件． 【答案】随机 【分析】本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断事件类型． 【详解】解：“清明时节雨纷纷”中描述的事件可能发生，也可能不发生，因此是随机事件． 故答案为：随机． 变式2．“某人骑车经过十字路口，刚好遇到黄灯”属于 事件．（填“必然”“随机”或“不可能”） 【答案】随机 【分析】本题考查事件的分类，根据一定条件下，一定会发生的事件是必然事件，可能发生也可能不发生的事件是随机事件，一定不会发生的事件是不可能事件，进行判断即可． 【详解】解：“某人骑车经过十字路口，刚好遇到黄灯”可能发生也可能不发生，是随机事件， 故答案为：随机． 变式3．指出下列事件分别属于什么事件（必然事件、不可能事件、随机事件）： (1)打开电视机，正在播放动画片． (2)在一个装有红球和黑球的袋中摸出一个白球． (3)三角形三个内角的和等于． 【答案】(1)随机事件 (2)不可能事件 (3)必然事件 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． （1）根据事件发生的可能性大小即可． （2）根据事件发生的可能性大小即可． （3）根据事件发生的可能性大小即可． 【详解】（1）解：打开电视机时，屏幕上播放的节目是不确定的，可能是动画片，也可能是其他节目，所以是随机事件． （2）解：袋中只有红球和黑球，没有白球，因此不可能摸出白球，属于不可能事件． （3）解：根据三角形内角和定理，任意三角形三个内角的和一定等于，这是必然事件． 【题型3 可能性大小】 例1．掷一枚质地均匀的硬币10次，则下列说法正确的是（    ） A．每2次必有1次正面向上 B．可能有5次正面向上 C．必有5次正面向上 D．不可能有10次正面向上 【答案】B 【分析】本题考查了随机事件的可能性，掌握随机事件的结果具有不确定性，可能出现多种情况是解题的关键． 掷一枚质地均匀的硬币，每次结果是随机的，正面向上的次数可在0到10之间任意取值，据此判断每个选项中说法的确定性或可能性是否正确． 【详解】解：A、每2次必有1次正面向上，掷硬币结果随机，可能连续反面，故错误，不符合题意； B、可能有5次正面向上，正面向上次数可在0到10之间任意取值，5次是其中一种可能，故正确，符合题意； C、必有5次正面向上，正面次数是随机的，不一定恰好为5次，故错误，不符合题意； D、不可能有10次正面向上，虽然概率低，但掷硬币结果是随机的，10次正面向上有发生的可能，故错误，不符合题意． 故选：B． 例2．一个布袋里装有4个红球，3个黑球，2个白球，1个绿球，它们除颜色外其余均相同．从中任意摸出1个球，可能性最大的是（ ） A．摸出红球 B．摸出黑球 C．摸出白球 D．摸出绿球 【答案】A 【分析】本题考查概率的定义，熟练掌握概率的定义是解题的关键． 可能性大小取决于球的数量，数量越多，可能性越大． 【详解】解：总球数为个，红球4个，黑球3个，白球2个，绿球1个， 则红球数量最多，摸出红球的可能性最大， 故选：A． 变式1．如图，小悦已经有两根木棍，长度分别为和，从右侧的三个抽屉中随机选取一个，则从抽屉中选取的木棍与小悦手中的木棍能够组成三角形的可能性 不能组成三角形的可能性．（填“大于”“等于”或“小于”） 【答案】小于 【分析】本题主要考查三角形三边数量关系，事件的可能性大小，掌握事件可能性的计算是关键． 根据题意得到第三边的取值方法，结合题意得到能组成三角形的有1种，不能组成三角形的有2种，由此即可求解． 【详解】解：设三角形第三边长为， ∵，即， ∵从抽屉中选取的木棍有3种结果，其中能组成三角形的有1种，即， ∴不能组成三角形的有2种， ∴组成三角形的可能性小于不能组成三角形的可能性， 故答案为：小于． 变式2．盒子里有红球6个、白球5个、蓝球4个、黄球3个、绿球2个、黑球1个，每个球的大小、质量都相同．现在从盒子里任意摸出1个球，摸出的是黑球的可能性 ，摸出的是红球的可能性 ．（填“大”或“小”） 【答案】 小 大 【分析】本题考查事件发生的可能性，掌握相关知识是解决问题的关键．因为红球数量最多，黑球数量最少，所以摸出的是红球的可能性大，摸出的是黑球的可能性小． 【详解】解：∵ ∴摸出的是黑球的可能性小，摸出的是红球的可能性大． 故答案为：小，大． 变式3．一个不透明的袋子中装有个红球、个黑球，这些球除颜色外都相同． (1)若从中任意摸出一个球，则摸到____球的可能性大； (2)能否通过改变某种颜色球的数量使摸到红球和摸到黑球的可能性相同？ 【答案】(1)黑 (2)可以，取出个黑球或放入个红球就可以使摸到红球和摸到黑球的可能性相同 【分析】（）根据两种球的数量即可判断求解； （）使两种球的数量相同即可使摸到红球和摸到黑球的可能性相同； 本题考查了可能性大小，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵黑球的数量大于红球的数量， ∴从中任意摸出一个球，摸到黑球的可能性大， 故答案为：黑； （2）解：取出个黑球或放入个红球，使得两种球的数量相同，就可以使摸到红球和摸到黑球的可能性相同． 【题型4 频率与概率的关系】 例1．关于用频率估计概率，下列说法正确的是（   ） A．实验次数越少，频率越接近概率 B．频率一定等于概率 C．多次重复实验后，频率会逐渐稳定在概率附近 D．抛一枚均匀骰子，实验10次有2次点数为6，则点数为6的概率估计为 【答案】C 【分析】本题考查频率与概率的关系． 概率是理论值，频率是实验值，当实验次数较多时，频率会稳定在概率附近． 根据频率与概率的关系逐一判断即可． 【详解】解：概率是事件发生的理论值，频率是实验值，通过大量重复实验，频率逐渐稳定于概率； 选项A错误，实验次数越多频率越接近概率； 选项B错误，频率不一定等于概率； 选项C正确，符合频率的稳定性； 选项D错误，对于均匀骰子，点数为6的概率为，实验10次次数较少，频率可能偏离概率，估计不准确． 故选：C． 例2．下列关于随机事件发生的频率和概率，说法正确的是（   ） A．频率就是概率 B．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率值附近 C．试验得到的频率一定会等于概率 D．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得频率的值也会相同 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率． 根据大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率解答． 【详解】解：选项A：频率是实际试验中事件发生的次数与总次数的比值，而概率是理论上的预期值，两者概念不同，故A错误。 选项B：在大量重复试验中，随着试验次数的增加，频率会逐渐接近并稳定在概率附近，这是大数定律的体现，故B正确。 选项C：频率是试验结果，可能接近但不一定等于概率，故C错误。 选项D：即使试验次数相同，不同小组的试验结果可能存在随机性差异，导致频率不同，故D错误。 综上，正确答案为B。 故选：B． 变式1．下列语句中，关于频率与概率的关系表示正确的有 ． ①频率就是概率 ②频率是客观存在的，与试验次数无关 ③随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 ④概率是随机的，在实验前不能确定 【答案】③ 【分析】由概率和频率的有关概念逐个分析． 【详解】解：①：频率不是概率，频率会随着重复试验的次数变化而变化，而概率是固定的，故①错误； ②：频率是客观存在的，与试验次数有关，试验次数越多，频率越稳定，故②错误 ③：由频率的性质知：随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率，故③正确； ④：概率是客观的，在试验前能确定，故④错误． 故答案为：③． 【点睛】本题考查概率与频率的概念，以及它们之间的关系，难度不大，属于基础题，解题关键是要记住相关概念． 变式2．下列说法：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的概率一定等于；③频率是不能脱离具体的n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的是 (填序号)． 【答案】①③④ 【分析】利用频率与概率的意义即可得出． 【详解】解：①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小，正确； ②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率为不是事件的概率，因为频率是可以改变的，而概率是一定的，故不正确； ③频率是不能脱离n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值，正确； ④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，正确； 故答案为①③④ 【点睛】本题考查概率的意义，考查概率和频率之间的关系，正确理解概率和频率的关系，做一个实验事件发生频率是变化的，而概率是不变的，是一个确定的数值． 变式3．王强和李刚在学习概率时，做掷骰子（质地均匀的正方体形状）试验，他们共掷了60次，出现朝上点数的次数如下表： 朝上点数 1 2 3 4 5 6 出现次数 8 11 6 9 16 10 (1)计算出现朝上点数为3的频率及出现朝上点数为5的频率． (2)根据以上试验，王强说：“根据试验结果，一次试验中出现朝上点数为5的概率最大．”李刚说：“如果掷600次，那么出现朝上点数为6的次数正好是100次．”这两名学生的说法是否正确？为什么？ 【答案】(1)出现向上点数为3的频率是，出现向上点数为5的频率 (2)都不正确，理由见解析 【分析】本题考查了频率（频数）和概率． （1）求一个点数朝上的频率，就是用出现的次数除以抛的总次数即可； （2）根据概率的概念和概率公式，可知各类数出现的概率一样大，都为．由于频数的随机性，试验次数扩大10倍时，频数不一定正好扩大为原来频数的10倍，可得结论． 【详解】（1）解：出现向上点数为3的频率：， 出现向上点数为5的频率：， 即出现向上点数为3的频率是，出现向上点数为5的频率； （2）解：王强和李刚的说法都不正确，理由如下： 他们混淆了频率与概率的概念．概率是确定的常数，频率（频数）是不确定的、随机的．只有当试验次数足够大时，频率才稳定于概率这一数值．在该试验中，各类数出现的概率一样大，都为．由于频数的随机性，试验次数扩大10倍时，频数不一定正好扩大为原来频数的10倍 【题型5 由频率估计概率】 例1．某科学研究院为研究一类新品种苹果树的成活率，在同一条件下进行移植试验，部分结果如下表所示： 移植总数n 400 750 1500 3500 7000 10000 成活总数m 369 682 1359 3192 6398 9130 成活率 0.923 0.909 0.906 0.912 0.914 0.913 估计这一类新品种苹果树成活的概率约为（    ） A．0.89 B．0.85 C．0.91 D．0.95 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据频率估计概率的原理，当试验次数很大时，事件发生的频率会稳定在概率附近，由表格数据可知，随着移植总数增加，成活率稳定在0.91左右，据此求解即可． 【详解】解：由表格数据可知，随着移植总数增加，成活率稳定在0.91左右． ∴估计这一类新品种苹果树成活的概率约为0.91． 故选：C． 例2．结果期，研究人员对该试验田中圣女果每株的结果个数统计如下表，则该品种圣女果每株的结果个数在60以上的概率为（    ） 测试的圣女果总株数m 200 400 600 800 1000 结果个数在60以上的株数n 169 339 511 681 850 结果个数在60以上的频率 0.845 0.848 0.852 0.851 0.850 A．0.80 B．0.84 C．0.85 D．0.90 【答案】C 【分析】根据频率稳定性原理，当试验次数足够大时，频率趋于概率. 由表可知，随着测试株数增加，频率稳定在0.85附近． 【详解】解：∵ 测试总株数m增大时，频率在0.85附近波动， 且当时，， ∴ 概率估计值为0.85． 【点睛】本题考查的知识点为“频率随试验次数增加而稳定于概率”，熟练掌握该原理是解题的关键． 变式1．从某油菜籽种子在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000 发芽的频数 85 298 652 793 1604 3204 发芽的频率 根据以上数据可以估计，该油菜籽种子发芽的概率为 ．（精确到） 【答案】 【分析】根据频率估计概率的原理，通过分析发芽频率数据的稳定趋势，估计概率值． 本题考查了频率估计概率，熟练掌握计算方法是解题的关键． 【详解】解：从试验数据可知，随着每批粒数的增加，发芽频率逐渐稳定在附近，当每批粒数为4000时，频率为，精确到即为， 因此该油菜籽种子发芽的概率估计为． 故答案为：． 变式2．任意抛掷一只纸杯进行重复试验，获得如下数据： 抛掷总次数 杯口朝上的频率 杯口朝下的频率 横卧的频率 100 0.21 0.38 0.41 200 0.22 0.38 0.40 500 0.22 0.38 0.40 根据频率的稳定性，估计任意抛掷一只纸杯时杯口朝上的概率是 ． 【答案】0.22 【分析】本题考查了用频率估计概率，掌握当试验次数大量增加时，频率会逐渐稳定在概率附近是解题的关键． 根据频率的稳定性，当试验次数大量增加时，频率趋近于概率，因此取稳定值． 【详解】解：从表格数据可知，抛掷次数为和时，杯口朝上的频率均为，且抛掷次数越多，频率越稳定， 因此估计任意抛掷一只纸杯时杯口朝上的概率是． 故答案为：． 变式3．靖边苹果以“甜、香、脆、艳”著称．李叔叔承包了一片空地，他准备将其改造成一个苹果园，现在有一种丹霞富士苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数 50 100 200 400 700 1000 2000 成活数 47 90 183 362 632 902 成活率 0.940 0.900 0.915 0.903 0.902 0.901 根据以上信息，解答下列问题： (1)上表中，_____，_____； (2)估计该种苹果树苗成活的概率是_____；（精确到0.1） (3)李叔叔已经成功移植成活这种苹果树苗4500棵，如果他要移植成活该种苹果树苗8100棵，估计还要移植多少棵这种苹果树苗？ 【答案】(1)，1802 (2) (3)估计还要移植4000棵这种苹果树苗 【分析】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率. （1）根据成活率成活数移植棵树，可算出a，根据成活数移植棵数成活率，可算出b； （2）利用频率估计概率即可； （3）利用概率公式计算即可. 【详解】（1）解：∵成活率成活数移植棵数，成活数移植棵数成活率， ∴，， （2）解：∵随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近，显示出一定的稳定性， ∴可以估计该种苹果树苗成活的概率是0.9. 故答案为：0.9. （3）解：（棵） 答：估计还要移植4000棵这种苹果树苗. 【题型6 摸球问题】 例1．在一个不透明的盒子里装有9个小球，上面标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，这些小球除所标数字外其余都相同．小明进行重复摸球试验，从不透明的盒子里随机摸出一个小球，记下小球的数字后放回盒子里，如图是小明的试验结果，小明进行的摸球试验可能是（　　） A．摸出的球标记的数字为奇数 B．摸出的球标记的数字为偶数 C．摸出的球标记的数字是2的倍数 D．摸出的球标记的数字是3的倍数 【答案】D 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 随着试验次数的增加，频率逐渐稳定于附近，所以估计此事件发生的概率为，再分别求出四个选项的概率即可得出答案； 【详解】解：盒中标号为1～9，若事件是“摸出的球的数字是3的倍数”，则该数字只能是3、6、9，共3个，概率为，图中所示频率在反复多次试验后稳定在附近，与 符合； 故选：D； 例2．一只不透明的袋子中装有2个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件发生的可能性最大的是（    ） A．摸出的3个球颜色相同 B．摸出的3个球中有1个白球 C．摸出的3个球中至少有1个白球 D．摸出的3个球颜色不同 【答案】C 【分析】本题主要考查了事件的判断，根据随机事件和确定事件直接判断即可． 【详解】解：A．摸出的3个球颜色相同是不可能事件，可能性最小，所以A不符合题意； B．摸出的3个球中有1个白球是随机事件，所以B不符合题意； C．摸出的3个球中至少有1个白球是必然事件，可能性最大，所以C符合题意； D．摸出的3个球中摸出的3个球颜色不同是不可能事件，可能性最小，所以D不符合题意． 故选：C． 变式1．在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共10只，这些球除颜色外都相同．某数学小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：则从袋子中随机摸出一球，这只球是白球的概率是 ．（精确到0.1） 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球次数m 58 96 116 295 484 598 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.598 【答案】0.6 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．根据利用频率估计概率，由于摸到白球的频率稳定在0.6左右，由此可估计摸到白球的概率为0.6． 【详解】解：根据摸到白球的频率稳定在0.6左右， 所以摸一次，摸到白球的概率为0.6． 故答案为：0.6． 变式2．李老师将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放入一个不透明的口袋并搅拌均匀，让学生进行摸球试验，学生每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回．重复该试验，得到如下表所示的一组统计数据： 摸球的次数n 100 300 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 81 130 204 250 摸到黑球的频率 0.23 0.27 0.26 0.255 0.25 根据表中数据估计袋中白球有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了利用频率估计概率、概率公式、分式方程的应用，熟练掌握利用频率估计概率的方法是解题关键．先根据利用频率估计概率可得从口袋中随机摸出一个球是黑球的概率约为，再利用概率公式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设袋中白球有个， 由表中数据估计从口袋中随机摸出一个球是黑球的概率约为， 则， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 所以根据表中数据估计袋中白球有3个， 故答案为：3． 变式3．在一个不透明的盒子里装有若干个白球和黑球（除颜色外都相同），小颖与同学们做摸球试验，摸球方法是：将盒子里面的球摇匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，统计同学们的摸球结果，记录的数据如表所示： 试验次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 摸到白球的次数 70 105 198 235 288 375 408 490 ②____ 599 摸到白球的频率 ①____ 0.525 0.66 0.588 0.576 0.625 0.583 0.613 0.6 0.599 (1)请将表中数据补充完整； (2)根据表格补全折线统计图； (3)根据试验数据估计从这个口袋中摸出白球的概率是______（保留一位小数）； (4)如果按此方法再摸1000次，并将这1000次试验获得的数据也绘制成折线统计图，那么这两幅折线统计图一般会一样吗？为什么？ 【答案】(1)0.7；540 (2)图见解析 (3)0.6 (4)一般不会一样，摸球试验是随机的 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，画折线统计图，解题的关键是理解频率定义． （1）根据频率，频数和总数之间的关系求解即可； （2）根据表格中的数据描点画出折线统计图即可； （3）根据折线统计图进行解答即可； （4）根据随机试验的特点求解即可． 【详解】（1）解：①摸到白球的频率为； ②摸到白球的次数为； 填表如下： 试验次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 摸到白球的次数 70 105 198 235 288 375 408 490 540 599 摸到白球的频率 0.7 0.525 0.66 0.588 0.576 0.625 0.583 0.613 0.6 0.599 （2）如图所示， （3）根据试验数据估计从这个口袋中摸出白球的概率是0.6； （4）∵摸球试验是随机的 ∴这两幅折线统计图一般不会一样，但随着摸球数量的增加，摸出白球的频率都会稳定在0.6左右． 【题型7 骰子问题】 例1．投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有到的点数，则下列事件为不可能事件的是（    ） A．两枚骰子向上一面的点数之和等于 B．两枚骰子向上一面的点数之和大于 C．两枚骰子向上一面的点数之和等于 D．两枚骰子向上一面的点数之和大于 【答案】D 【分析】本题主要考查了不可能事件，关键是掌握不可能事件的定义. 根据两枚骰子的点数范围（1到6），确定点数之和的最小值为2，最大值为12，逐一分析各选项是否可能发生． 【详解】解：1. 选项A：点数之和等于2．当两枚骰子均为1点时，和为2，可能发生，属于随机事件，不符合题意； 2. 选项B：点数之和大于2．当两枚骰子中至少有一个点数大于1时，和会大于2（如），但若两枚均为1点，和为2，不满足条件．因此该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件； 3. 选项C：点数之和等于12．当两枚骰子均为6点时，和为12，可能发生，属于随机事件，不符合题意； 4. 选项D：点数之和大于12．由于两枚骰子的最大和为12，因此和不可能超过12，属于不可能事件，符合题意． 故选：D． 例2．投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为必然事件的是（　　） A．两枚骰子向上一面的点数和大于1 B．两枚骰子向上一面的点数和等于3 C．两枚骰子向上一面的点数和等于7 D．两枚骰子向上一面的点数和大于12 【答案】A 【分析】本题考查了事件的分类，根据必然事件，不可能事件，随机事件的概念判断即可． 【详解】解：A选项是必然事件，符合题意； B选项是随机事件，不符合题意； C选项是随机事件，不符合题意； D选项是不可能事件，不符合题意； 故选：A． 变式1．一枚质地均匀的骰子的6个面上分别刻有1~6的点数，抛掷这枚骰子向上一面点数是2的倍数的可能性 向上一面点数是3的倍数的可能性（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】＞ 【分析】共有6种等可能的结果数，其中点数是2的倍数有2、4、6，点数是3的倍数有3、6，从而利用概率公式可求出向上的一面出现的点数是2的倍数和3的倍数的概率．比较即可． 【详解】解：掷一次骰子，向上的一面出现的点数是2的倍数的有2、4、6，点数是3的倍数有3、6， 故骰子向上的一面出现的点数是2的倍数的概率是， 骰子向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是， 所以抛掷这枚骰子向上一面点数是2的倍数的可能性大于向上一面点数是3的倍数的可能性． 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=． 变式2．同时抛掷两枚质地均匀的骰子（骰子的6个面上分别刻有1～6的数字），向上一面的点数之和为1是 （填“随机事件”或“确定事件”）． 【答案】确定事件 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：两枚骰子向上的一面的点数之和等于1，是不可能事件，是确定事件． 故答案为：确定事件． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 变式3．小伟掷一枚质地均匀的骰（tóu）子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数．请思考以下问题：掷一次骰子，在骰子向上的一面上， （1）可能出现哪些点数？ （2）出现的点数大于0吗？ （3）出现的点数会是7吗？ （4）出现的点数会是4吗？ 【答案】（1）出现的点数可能有：1，2，3，4，5，6；（2）出现的点数肯定大于0；（3）出现的点数绝对不会是7；（4）出现的点数可能是4，也可能不是4，事先无法确定． 【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件． 【详解】通过简单的推理或试验，可以发现： （1）从1到6的每一个点数都有可能出现，所有可能的点数共有6种，但是事先无法预料掷一次骰子会出现哪一种结果； （2）出现的点数肯定大于0； （3）出现的点数绝对不会是7； （4）出现的点数可能是4，也可能不是4，事先无法确定． 【点睛】本题考查了随机事件，必然事件和不可能事件的相关概念，理解概念是解题的关键． 【题型8 转盘问题】 例1．小明同学利用被等分成10份的转盘（如图①），做“用频率估计概率”的试验时，统计某一结果出现的频率，并绘制了如图②所示的统计图，下列选项中最有可能符合这一结果的试验是（   ） A．转动转盘后，出现比5小的数 B．转动转盘后，出现奇数 C．转动转盘后，出现能被5整除的数 D．转动转盘后，出现3的倍数 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用频率估算概率，求概率，根据统计图可知，出现这种结果的概率约为0.3，逐一求出各选项中的概率，进行判断即可． 【详解】解：由统计图可知，出现这种结果的概率约为0.3； A、转盘共有10种等可能的结果，其中出现比5小的数的结果有4种，故概率为0.4，不符合题意； B、转盘共有10种等可能的结果，其中出现奇数的结果有5种，故概率为0.5，不符合题意； C、转盘共有10种等可能的结果，其中出现能被5整除的数的结果有2种，故概率为0.2，不符合题意； D、转盘共有10种等可能的结果，其中出现3的倍数的结果有3种，故概率为0.3，符合题意． 例2．五一期间某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000 落在“洗洁精”区域的次数 88 100 136 345 546 701 落在“洗洁精”区域的频率 假如你去转动该转盘一次，你估计获得洗洁精的概率约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性原理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．理解用频率估计概率是解题的关键，根据利用频率估计概率即可求解． 【详解】解：由表格可知：获得洗洁精的概率约是； 故选：B． 变式1．如图，转动三个可以自由转动的转盘（转盘均被等分），当转盘停止转动后，根据“指针落在灰色区域内”的可能性的大小，将转盘的序号按事件发生的可能性从大到小排列为 ． 【答案】②①③ 【分析】指针落在灰色区域内的可能性是：灰色面积÷总面积，据此求出各图的可能性比较即可． 【详解】①指针落在灰色区域内的可能性是； ②指针落在灰色区域内的可能性是； ③指针落在灰色区域内的可能性是． ∵， ∴按事件发生的可能性从大到小排列为②①③． 故答案为：②①③． 【点睛】此题主要考查了可能性大小的比较：只要总情况数目（面积）相同，谁包含的情况数目（面积）多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况（面积）相当，那么它们的可能性就相等． 变式2．转动如图所示的这些可以自由转动的转盘（转盘均被等分），当转盘停止转动后，根据“指针落在白色区域内”的可能性的大小，将转盘的序号按事件发生的可能性从小到大排列为 ． 【答案】①③② 【分析】指针落在白色区域内的可能性是：白色÷总面积，比较白色部分的面积即可． 【详解】解：指针落在白色区域内的可能性分别为：，， ∴从小到大的顺序为：①③②． 【点睛】此题主要考查了可能性大小的比较：只要总情况数目（面积）相同，谁包含的情况数目（面积）多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况（面积）相当，那么它们的可能性就相等． 变式3．如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下： 转动转盘的次数 200 300 400 1000 1600 2000 转到黄色区域的次数 72 93 130 334 532 667 转到黄色区域的频率 0.36 0.325 0.3325 0.3335 (1)下列说法错误的是_____（填写序号）． ①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针一定指向绿色区域； ②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数； ③转动60次，指针指向蓝色区域的次数一定为10． (2)求表中，的值； (3)估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率为_____（精确到0.01）； (4)修改转盘的颜色分布情况，使指针指向每种颜色的可能性相同，写出一种方案即可． 【答案】(1)①③ (2), (3)0.33 (4)将1个绿色区域改为蓝色区域，能使指针指向每种颜色区域的可能性相同 【分析】本题主要考查频数的相关计算，掌握频数的计算是关键． （1）根据表格表格信息判定即可； （2）根据频率的计算公式计算即可； （3）结合表格信息，由频率的取值变化判定即可； （4）根据频率大小进行判定即可． 【详解】（1）解：∵转盘被分成了6个面积相等的扇形区域，其中绿色有3块，黄色有2块，蓝色有1块， ∴转动转盘8次，指针都指向绿色区域，第9次转动时指针不一定指向绿色区域，故①错误； 转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数，故②正确； 转动60次，指针指向蓝色区域的次数不一定为10，故③错误； 故答案为：①③； （2）解：，； （3）解：根据表格信息可知，随着转动次数的增加，转到黄色区域的频率稳定在， 故答案为：； （4）解：转盘被分成了6个面积相等的扇形区域，其中绿色有3块，黄色有2块，蓝色有1块， ∴要使指针指向每种颜色的可能性相同，必须保证每个颜色的块数相同， ∴将1个绿色区域改为蓝色区域，能使指针指向每种颜色区域的可能性相同． 1．匹克球作为一项新兴运动，吸引了大量参与者．2025年5月24日丹东市举办了首届匹克球公开赛，标志着我市在新型体育赛事上迈出了重要一步．小明同学来到运动场练习发球，在统计后，他发现发球1000次，有效951次，请估计他有效发球的概率大约为（   ） A．0.95 B．0.85 C．0.75 D．0.05 【答案】A 【分析】本题考查用频率估计概率，频率稳定值可估计为概率． 利用频率估计概率求解即可． 【详解】解：∵发球1000次，有效951次， ∴频率为， ∴估计概率为0.95． 故选：A． 2．小华练习射击，共射击1000次，其中600次击中靶子，由此估计，小华射击一次击中靶子的概率是（    ） A．约 B．约 C．约 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查频率估计概率，当试验次数足够多时，频率可近似作为概率的估计值． 根据击中频率等于击中次数除以总次数，再将结果转化为百分数，即可求解． 【详解】解：∵射击总次数为1000次，击中次数为600次， ∴频率， 故估计概率为约． 故选：． 3．事件“在平面内任意画一个三角形，其内角和等于”是（   ） A．不可能事件 B．随机事件 C．必然事件 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了事件的分类，三角形内角和定理，根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：∵ 三角形的内角和为， ∴事件“在平面内任意画一个三角形，其内角和等于”是必然事件． 故选：C． 4．下列事件属于必然事件的是（    ） A．队员在罚球线上投篮一次未投中 B．掷一次骰子，向上一面的点数是6 C．经过某十字路口遇到红灯 D．抛一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上的概率为 【答案】D 【分析】本题考查了事件的分类．必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件，即概率为1的事件．选项A、B、C描述的都是随机事件，其概率均小于1，不一定发生；选项D描述的是概率为的事实，对于质地均匀的硬币，这一概率值是必然成立的，因此属于必然事件，即可作答． 【详解】解：A、队员罚球投篮一次未投中，可能投中也可能未投中，概率小于1，不是必然事件； B、掷一次骰子向上一面的点数是6，有6种可能结果，概率为，不是必然事件； C、经过某十字路口遇到红灯，交通灯的状态是随机的，概率小于1，不是必然事件； D、抛一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上的概率为，这一概率值是客观必然的，始终成立，因此属于必然事件； 故选：D． 5．一个不透明的口袋中装有个红球，为了估计红球的个数，向口袋中加入2个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则的值为（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】A 【分析】本题考查用频率估计概率，掌握概率计算公式是解题关键． 根据频率稳定在附近，可知摸到红球的概率为，利用概率公式建立方程求解． 【详解】∵总球数为，红球数为，摸到红球的概率为， ∴， 解得， 即， ∴， 即， ∴， 经检验，符合题意， 故选：A． 6．对于任意抛一只纸杯，“杯口朝上”的概率问题，有人曾做过实验，其中部分结果如图所示，通过实验，你发现任意抛一只纸杯，“杯口朝上”的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由频率估计概率，解题关键是掌握由频率估计概率． 根据频率估计概率求解． 【详解】解：观察可知，随着试验次数的增加，任意抛一只纸杯，“杯口朝上”的频率稳定在左右， ∴任意抛一只纸杯，“杯口朝上”的概率是， 故答案为：． 7．“一个实数的平方是负数”，这一事件是 （填“随机”“必然”或“不可能”）事件． 【答案】 不可能 【分析】本题考查了实数的性质及随机、必然、不可能事件的概念，根据实数的性质，任何实数的平方都是非负数，因此不可能为负数． 【详解】设a为任意实数，则恒成立，故不可能发生，所以这一事件是不可能事件． 故答案为：不可能． 8．某篮球运动员进行投篮训练，其成绩如下表，则这名运动员投篮一次，投中的概率约是 （精确到0.1）． 投篮次数 10 100 10000 投中次数 9 89 9012 【答案】0.9 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率． 根据大量重复试验下投中篮球的频率可以估计投中篮球的概率求解即可． 【详解】解：投篮10次时频率为； 投篮100次时频率为； 投篮10000次时频率为， ∴频率稳定在0.9附近， ∴投中的概率约是0.9． 故答案为：0.9． 9．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击的次数 20 40 100 200 400 1000 2000 “射中9环以上”的次数 15 33 78 158 322 801 1596 “射中9环以上”的频率 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率为 （结果保留一位小数）． 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，理解题意是解决本题的关键． 根据表格进行求解即可． 【详解】解：从表格数据可以看出，随着射击次数的增加，“射中9环以上”的频率逐渐稳定在附近， ∴估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率为． 故答案为：． 10．盒子里有5个白球，7个黄球和2个红球，若从中任意摸一个球，摸到 球的可能性最小．如果要使拿到这种颜色的球可能性最大，至少需要增加 个这种颜色的球． 【答案】 红 6 【分析】本题主要考查了可能性大小的实际应用，掌握可能性大小的比较方法是解题的关键． 比较盒子里白球、黄球、红球的数量多少，数量最多的，摸到的可能性最大；反之，数量最少的，摸到的可能性就最小．要使拿到这种颜色的球可能性最大，则其个数至少要比7多1，据此即可确定需要增加的个数． 【详解】解：∵， ∴红球的数量最少，所以从中任意摸一个球，摸到红球的可能性最小． ∵（个）， ∴要使拿到这种颜色的球可能性最大，至少需要增加6个这种颜色的球． 故答案为：红，6． 11．如图，该菜商场有一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 600 落在“铅笔”的次数 68 144 207 414 落在“铅笔”的频率 (1)计算并完成表格； (2)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是___________．（结果保留小数点后一位） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了频数、频率统计表、用频率估计概率，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据频数与频率之间的关系即可完成表格； （2）利用频率的稳定值估计概率即可． 【详解】（1）解：当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 完成表格如下： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 600 落在“铅笔”的次数 68 144 207 284 350 414 落在“铅笔”的频率 （2）解：由表格得，落在“铅笔”的频率稳定在附近， 转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是． 12．一个不透明的盒子中装有只有颜色不同的10张卡片，其中有5张白色卡片、3张黑色卡片、2张红色卡片，以下事件中哪些是随机事件？哪些是必然事件？哪些是不可能事件？ (1)从口袋中任意抽取1张卡片，该卡片是黑色卡片； (2)从口袋中任意抽取6张卡片，没有白色卡片； (3)从口袋中任意抽取9张卡片，白色、黑色、红色三种颜色的卡片都有． 【答案】(1)随机事件 (2)不可能事件 (3)必然事件 【分析】本题主要考查了事件的分类，解题的关键在于熟知在一定条件下，一定会发生的事件是必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件，不一定发生的事件是随机事件． （1）任意抽取1张卡片，该卡片可能是黑色卡片，也可能不是黑色卡片，据此可得答案； （2）由于黑色卡片和红色卡片共有5张，那么抽取6张卡片一定会有白色卡片，据此可得答案； （3）由于白色卡片和黑色卡片共有8张，那么抽取9张卡片一定会有红色卡片，即三种颜色的卡片都有，据此可得答案． 【详解】（1）解：从口袋中任意抽取1张卡片，该卡片是黑色卡片，这是随机事件； （2）解：∵， ∴从口袋中任意抽取6张卡片，一定会有白色卡片， ∴原事件为不可能事件； （3）解：∵， ∴从口袋中任意抽取9张卡片，白色、黑色、红色三种颜色的卡片都有是必然事件． 13．周末，某商场进行促销活动，有一个可以自由转动的转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 600 落在“矿泉水”的次数 68 144 207 414 落在“矿泉水”的频率 (1)补全表格； (2)估计转动该转盘一次，获得矿泉水的概率．（结果保留一位小数） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了频数、频率统计表、用频率估计概率，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据频数与频率之间的关系即可完成表格； （2）利用频率的稳定值估计概率即可． 【详解】（1）解：当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 完成表格如下： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 600 落在“矿泉水”的次数 68 144 207 284 350 414 落在“矿泉水”的频率 （2）解：由表格得，落在“矿泉水”的频率稳定在附近， 转动该转盘一次，获得矿泉水的概率约是． 14．某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示： 射击次数 20 50 100 200 500 1000 击中靶心频数m 19 44 91 179 454 905 击中靶心频率 (1)计算并填写表中击中靶心的频率；（结果保留三位小数） (2)这个射手射击一次，击中靶心的概率估计值是多少？（结果保留两位小数） 【答案】(1)见解析 (2)0.90 【分析】本题考查了频率分布表与用频率估计概率的应用问题，是基础题． （1）计算频率即可填表； （2）根据频率的定义，可得当n很大时，频率将会接近其概率． 【详解】（1）解：填表如下， 射击次数 20 50 100 200 500 1000 击中靶心频数m 19 44 91 179 454 905 击中靶心频率 0.950 0.880 0.910 0.895 0.908 0.905 （2）解：由于击中靶心的频率都在0.90左右摆动，故这位射手击中靶心的概率约是0.90． 15．在“世界读书日”来临之际，某学校开展了“我因阅读而成长”的赠书活动，如图，设置了一个可以自由转动的转盘，并规定每位学生可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得一本相应的书籍，下表是活动中的一组统计数据． 转动转盘的次数 落在《红星照耀中国》区域的次数 落在《红星照耀中国》区域的频率 (1)上述表格中 ， ． (2)画出获得《红星照耀中国》频率的折线统计图． (3)假如你去转动该转盘一次，你获得《红星照耀中国》的概率约是 （结果保留到小数点后两位）． (4)在转盘中，表示《海底两万里》区域的扇形圆心角是，则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是多少度？ 【答案】(1)0.44；450 (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，还考查了求圆心角的度数． （1）根据表中数据，结合频率、频数的关系求解即可； （2）根据表格数据画折线统计图即可； （3）从表中频率的变化，可得到估计当n很大时，频率将会接近，然后根据利用频率估计概率可得答案； （4）先求得表示《红星照耀中国》区域的扇形圆心角的度数，进而可求解． 【详解】（1）解：由题意，，， 故答案为：0.44；450； （2）解：如图： （3）解：从表中频率的变化，可估计当n很大时，频率将会接近， 故获得《红星照耀中国》的概率约为， 故答案为：； （4）解：表示《红星照耀中国》区域的扇形圆心角的度数约为， 则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是． 2 / 31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 认识概率 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ： 随机事件 1. 必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件。例如，太阳从东方升起；一个标准大气压下，水加热到100℃会沸腾。其发生的可能性是100%。 2. 不可能事件：在一定条件下，必然不会发生的事件。例如，掷一枚骰子，朝上的点数是7；在常温下，铁会融化。其发生的可能性是0%。 3. 随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。例如，掷一枚硬币，正面朝上；明天会下雨。随机事件发生的可能性在0到1之间（不包括0和1）。 4. 事件的表示：通常用大写字母A、B、C等来表示事件。例如，事件A：掷一枚骰子，朝上的点数是偶数。 知识点2 ： 概率 1. 概率的定义：表示一个随机事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率。一般用P（事件）表示，例如P（A）表示事件A发生的概率。 2. 概率的取值范围：必然事件的概率为1，即P（必然事件）=1；不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）=0；随机事件的概率P满足0<P<1。 3. 古典概型（等可能事件概率）：如果一个试验有n种等可能的结果，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=m/n。这里的“等可能”是指每种结果出现的机会均等。例如，掷一枚质地均匀的骰子，共有6种等可能的结果（点数1-6），事件“点数为偶数”包含3种结果（2、4、6），所以该事件的概率为3/6=1/2。 4. 概率的意义：概率是对随机事件发生可能性大小的度量，它反映的是事件在大量重复试验中发生的频率的稳定性，但概率本身不是一个确定的结果，而是一个理论上的预期值。例如，掷一枚硬币正面朝上的概率是1/2，并不意味着掷两次一定有一次正面朝上，而是在大量重复掷硬币时，正面朝上的频率会稳定在1/2左右。 知识点3 ：频率与概率 1. 频率的定义：在n次重复试验中，事件A发生了m次，那么事件A发生的频率为m/n。频率是通过实际试验得到的，是一个具体的数值，会随着试验次数的变化而变化。 2. 频率与概率的关系：在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在一个常数附近，这个常数就是该事件的概率。频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值。例如，通过多次掷硬币试验，正面朝上的频率会逐渐稳定在0.5左右，这个0.5就是正面朝上的概率。 3. 用频率估计概率：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，我们可以通过大量重复试验，用事件发生的频率来估计其概率。例如，估计某射击运动员射击一次命中靶心的概率，可以通过多次射击，计算命中靶心的频率来估计。 4. 注意事项：用频率估计概率时，试验次数越多，频率就越接近概率，估计的结果就越精确。但即使试验次数很多，频率也只是概率的近似值，不一定完全等于概率。 【题型1 确定事件】 例1．下列事件是必然事件的是（   ） A．把五个人分成四组，每组至少一人，这四组中有一组有两人 B．在学校读书演讲比赛中，七年级3班获得一等奖 C．从分别标有数字1，2，3，4，5的五张卡片中随机抽取一张，上面的数字是6 D．打开手机有未接电话 例2．下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．任意选择某一电视频道，它正播放动画片 B．在只装有黑球的袋子里摸出一个黑球 C．射击运动员射击一次，命中环 D．任意掷一枚硬币，正面朝上 变式1．“水中捞月”这一事件是 （填“随机”“必然”或“不可能”）事件． 变式2．事件：“太阳从东方升起”是 事件（填“必然”或“随机”）． 变式3．在一个不透明的袋里有个红球，从中随机摸出一个球，请你设计摸球游戏． (1)使摸球事件是个不可能事件； (2)使摸球事件是个必然事件． 【题型2 随机事件】 例1．成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（   ） A．水中捞月 B．旭日东升 C．秋去冬来 D．一箭双雕 例2．下列事件中，是随机事件的是（    ） A．通常温度降到以下，纯净的水结冰 B．明天太阳从东方升起 C．任意画一个三角形，其内角和是 D．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数 变式1．诗句“清明时节雨纷纷”中描述的事件是 （填“必然”“随机”或“不可能”）事件． 变式2．“某人骑车经过十字路口，刚好遇到黄灯”属于 事件．（填“必然”“随机”或“不可能”） 变式3．指出下列事件分别属于什么事件（必然事件、不可能事件、随机事件）： (1)打开电视机，正在播放动画片． (2)在一个装有红球和黑球的袋中摸出一个白球． (3)三角形三个内角的和等于． 【题型3 可能性大小】 例1．掷一枚质地均匀的硬币10次，则下列说法正确的是（    ） A．每2次必有1次正面向上 B．可能有5次正面向上 C．必有5次正面向上 D．不可能有10次正面向上 例2．一个布袋里装有4个红球，3个黑球，2个白球，1个绿球，它们除颜色外其余均相同．从中任意摸出1个球，可能性最大的是（ ） A．摸出红球 B．摸出黑球 C．摸出白球 D．摸出绿球 变式1．如图，小悦已经有两根木棍，长度分别为和，从右侧的三个抽屉中随机选取一个，则从抽屉中选取的木棍与小悦手中的木棍能够组成三角形的可能性 不能组成三角形的可能性．（填“大于”“等于”或“小于”） 变式2．盒子里有红球6个、白球5个、蓝球4个、黄球3个、绿球2个、黑球1个，每个球的大小、质量都相同．现在从盒子里任意摸出1个球，摸出的是黑球的可能性 ，摸出的是红球的可能性 ．（填“大”或“小”） 变式3．一个不透明的袋子中装有个红球、个黑球，这些球除颜色外都相同． (1)若从中任意摸出一个球，则摸到____球的可能性大； (2)能否通过改变某种颜色球的数量使摸到红球和摸到黑球的可能性相同？ 【题型4 频率与概率的关系】 例1．关于用频率估计概率，下列说法正确的是（   ） A．实验次数越少，频率越接近概率 B．频率一定等于概率 C．多次重复实验后，频率会逐渐稳定在概率附近 D．抛一枚均匀骰子，实验10次有2次点数为6，则点数为6的概率估计为 例2．下列关于随机事件发生的频率和概率，说法正确的是（   ） A．频率就是概率 B．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率值附近 C．试验得到的频率一定会等于概率 D．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得频率的值也会相同 变式1．下列语句中，关于频率与概率的关系表示正确的有 ． ①频率就是概率 ②频率是客观存在的，与试验次数无关 ③随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 ④概率是随机的，在实验前不能确定 变式2．下列说法：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的概率一定等于；③频率是不能脱离具体的n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的是 (填序号)． 变式3．王强和李刚在学习概率时，做掷骰子（质地均匀的正方体形状）试验，他们共掷了60次，出现朝上点数的次数如下表： 朝上点数 1 2 3 4 5 6 出现次数 8 11 6 9 16 10 (1)计算出现朝上点数为3的频率及出现朝上点数为5的频率． (2)根据以上试验，王强说：“根据试验结果，一次试验中出现朝上点数为5的概率最大．”李刚说：“如果掷600次，那么出现朝上点数为6的次数正好是100次．”这两名学生的说法是否正确？为什么？ 【题型5 由频率估计概率】 例1．某科学研究院为研究一类新品种苹果树的成活率，在同一条件下进行移植试验，部分结果如下表所示： 移植总数n 400 750 1500 3500 7000 10000 成活总数m 369 682 1359 3192 6398 9130 成活率 0.923 0.909 0.906 0.912 0.914 0.913 估计这一类新品种苹果树成活的概率约为（    ） A．0.89 B．0.85 C．0.91 D．0.95 例2．结果期，研究人员对该试验田中圣女果每株的结果个数统计如下表，则该品种圣女果每株的结果个数在60以上的概率为（    ） 测试的圣女果总株数m 200 400 600 800 1000 结果个数在60以上的株数n 169 339 511 681 850 结果个数在60以上的频率 0.845 0.848 0.852 0.851 0.850 A．0.80 B．0.84 C．0.85 D．0.90 变式1．从某油菜籽种子在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000 发芽的频数 85 298 652 793 1604 3204 发芽的频率 根据以上数据可以估计，该油菜籽种子发芽的概率为 ．（精确到） 变式2．任意抛掷一只纸杯进行重复试验，获得如下数据： 抛掷总次数 杯口朝上的频率 杯口朝下的频率 横卧的频率 100 0.21 0.38 0.41 200 0.22 0.38 0.40 500 0.22 0.38 0.40 根据频率的稳定性，估计任意抛掷一只纸杯时杯口朝上的概率是 ． 变式3．靖边苹果以“甜、香、脆、艳”著称．李叔叔承包了一片空地，他准备将其改造成一个苹果园，现在有一种丹霞富士苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数 50 100 200 400 700 1000 2000 成活数 47 90 183 362 632 902 成活率 0.940 0.900 0.915 0.903 0.902 0.901 根据以上信息，解答下列问题： (1)上表中，_____，_____； (2)估计该种苹果树苗成活的概率是_____；（精确到0.1） (3)李叔叔已经成功移植成活这种苹果树苗4500棵，如果他要移植成活该种苹果树苗8100棵，估计还要移植多少棵这种苹果树苗？ 【题型6 摸球问题】 例1．在一个不透明的盒子里装有9个小球，上面标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，这些小球除所标数字外其余都相同．小明进行重复摸球试验，从不透明的盒子里随机摸出一个小球，记下小球的数字后放回盒子里，如图是小明的试验结果，小明进行的摸球试验可能是（　　） A．摸出的球标记的数字为奇数 B．摸出的球标记的数字为偶数 C．摸出的球标记的数字是2的倍数 D．摸出的球标记的数字是3的倍数 例2．一只不透明的袋子中装有2个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件发生的可能性最大的是（    ） A．摸出的3个球颜色相同 B．摸出的3个球中有1个白球 C．摸出的3个球中至少有1个白球 D．摸出的3个球颜色不同 变式1．在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共10只，这些球除颜色外都相同．某数学小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：则从袋子中随机摸出一球，这只球是白球的概率是 ．（精确到0.1） 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球次数m 58 96 116 295 484 598 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.598 变式2．李老师将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放入一个不透明的口袋并搅拌均匀，让学生进行摸球试验，学生每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回．重复该试验，得到如下表所示的一组统计数据： 摸球的次数n 100 300 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 81 130 204 250 摸到黑球的频率 0.23 0.27 0.26 0.255 0.25 根据表中数据估计袋中白球有 个． 变式3．在一个不透明的盒子里装有若干个白球和黑球（除颜色外都相同），小颖与同学们做摸球试验，摸球方法是：将盒子里面的球摇匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，统计同学们的摸球结果，记录的数据如表所示： 试验次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 摸到白球的次数 70 105 198 235 288 375 408 490 ②____ 599 摸到白球的频率 ①____ 0.525 0.66 0.588 0.576 0.625 0.583 0.613 0.6 0.599 (1)请将表中数据补充完整； (2)根据表格补全折线统计图； (3)根据试验数据估计从这个口袋中摸出白球的概率是______（保留一位小数）； (4)如果按此方法再摸1000次，并将这1000次试验获得的数据也绘制成折线统计图，那么这两幅折线统计图一般会一样吗？为什么？ 【题型7 骰子问题】 例1．投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有到的点数，则下列事件为不可能事件的是（    ） A．两枚骰子向上一面的点数之和等于 B．两枚骰子向上一面的点数之和大于 C．两枚骰子向上一面的点数之和等于 D．两枚骰子向上一面的点数之和大于 例2．投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为必然事件的是（　　） A．两枚骰子向上一面的点数和大于1 B．两枚骰子向上一面的点数和等于3 C．两枚骰子向上一面的点数和等于7 D．两枚骰子向上一面的点数和大于12 变式1．一枚质地均匀的骰子的6个面上分别刻有1~6的点数，抛掷这枚骰子向上一面点数是2的倍数的可能性 向上一面点数是3的倍数的可能性（填“＞”、“＜”或“＝”） 变式2．同时抛掷两枚质地均匀的骰子（骰子的6个面上分别刻有1～6的数字），向上一面的点数之和为1是 （填“随机事件”或“确定事件”）． 变式3．小伟掷一枚质地均匀的骰（tóu）子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数．请思考以下问题：掷一次骰子，在骰子向上的一面上， （1）可能出现哪些点数？ （2）出现的点数大于0吗？ （3）出现的点数会是7吗？ （4）出现的点数会是4吗？ 【题型8 转盘问题】 例1．小明同学利用被等分成10份的转盘（如图①），做“用频率估计概率”的试验时，统计某一结果出现的频率，并绘制了如图②所示的统计图，下列选项中最有可能符合这一结果的试验是（   ） A．转动转盘后，出现比5小的数 B．转动转盘后，出现奇数 C．转动转盘后，出现能被5整除的数 D．转动转盘后，出现3的倍数 例2．五一期间某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000 落在“洗洁精”区域的次数 88 100 136 345 546 701 落在“洗洁精”区域的频率 假如你去转动该转盘一次，你估计获得洗洁精的概率约是（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，转动三个可以自由转动的转盘（转盘均被等分），当转盘停止转动后，根据“指针落在灰色区域内”的可能性的大小，将转盘的序号按事件发生的可能性从大到小排列为 ． 变式2．转动如图所示的这些可以自由转动的转盘（转盘均被等分），当转盘停止转动后，根据“指针落在白色区域内”的可能性的大小，将转盘的序号按事件发生的可能性从小到大排列为 ． 变式3．如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下： 转动转盘的次数 200 300 400 1000 1600 2000 转到黄色区域的次数 72 93 130 334 532 667 转到黄色区域的频率 0.36 0.325 0.3325 0.3335 (1)下列说法错误的是_____（填写序号）． ①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针一定指向绿色区域； ②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数； ③转动60次，指针指向蓝色区域的次数一定为10． (2)求表中，的值； (3)估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率为_____（精确到0.01）； (4)修改转盘的颜色分布情况，使指针指向每种颜色的可能性相同，写出一种方案即可． 1．匹克球作为一项新兴运动，吸引了大量参与者．2025年5月24日丹东市举办了首届匹克球公开赛，标志着我市在新型体育赛事上迈出了重要一步．小明同学来到运动场练习发球，在统计后，他发现发球1000次，有效951次，请估计他有效发球的概率大约为（   ） A．0.95 B．0.85 C．0.75 D．0.05 2．小华练习射击，共射击1000次，其中600次击中靶子，由此估计，小华射击一次击中靶子的概率是（    ） A．约 B．约 C．约 D．无法确定 3．事件“在平面内任意画一个三角形，其内角和等于”是（   ） A．不可能事件 B．随机事件 C．必然事件 D．无法确定 4．下列事件属于必然事件的是（    ） A．队员在罚球线上投篮一次未投中 B．掷一次骰子，向上一面的点数是6 C．经过某十字路口遇到红灯 D．抛一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上的概率为 5．一个不透明的口袋中装有个红球，为了估计红球的个数，向口袋中加入2个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则的值为（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 6．对于任意抛一只纸杯，“杯口朝上”的概率问题，有人曾做过实验，其中部分结果如图所示，通过实验，你发现任意抛一只纸杯，“杯口朝上”的概率是 ． 7．“一个实数的平方是负数”，这一事件是 （填“随机”“必然”或“不可能”）事件． 8．某篮球运动员进行投篮训练，其成绩如下表，则这名运动员投篮一次，投中的概率约是 （精确到0.1）． 投篮次数 10 100 10000 投中次数 9 89 9012 9．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击的次数 20 40 100 200 400 1000 2000 “射中9环以上”的次数 15 33 78 158 322 801 1596 “射中9环以上”的频率 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率为 （结果保留一位小数）． 10．盒子里有5个白球，7个黄球和2个红球，若从中任意摸一个球，摸到 球的可能性最小．如果要使拿到这种颜色的球可能性最大，至少需要增加 个这种颜色的球． 11．如图，该菜商场有一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 600 落在“铅笔”的次数 68 144 207 414 落在“铅笔”的频率 (1)计算并完成表格； (2)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是___________．（结果保留小数点后一位） 12．一个不透明的盒子中装有只有颜色不同的10张卡片，其中有5张白色卡片、3张黑色卡片、2张红色卡片，以下事件中哪些是随机事件？哪些是必然事件？哪些是不可能事件？ (1)从口袋中任意抽取1张卡片，该卡片是黑色卡片； (2)从口袋中任意抽取6张卡片，没有白色卡片； (3)从口袋中任意抽取9张卡片，白色、黑色、红色三种颜色的卡片都有． 13．周末，某商场进行促销活动，有一个可以自由转动的转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 600 落在“矿泉水”的次数 68 144 207 414 落在“矿泉水”的频率 (1)补全表格； (2)估计转动该转盘一次，获得矿泉水的概率．（结果保留一位小数） 14．某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示： 射击次数 20 50 100 200 500 1000 击中靶心频数m 19 44 91 179 454 905 击中靶心频率 (1)计算并填写表中击中靶心的频率；（结果保留三位小数） (2)这个射手射击一次，击中靶心的概率估计值是多少？（结果保留两位小数） 15．在“世界读书日”来临之际，某学校开展了“我因阅读而成长”的赠书活动，如图，设置了一个可以自由转动的转盘，并规定每位学生可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得一本相应的书籍，下表是活动中的一组统计数据． 转动转盘的次数 落在《红星照耀中国》区域的次数 落在《红星照耀中国》区域的频率 (1)上述表格中 ， ． (2)画出获得《红星照耀中国》频率的折线统计图． (3)假如你去转动该转盘一次，你获得《红星照耀中国》的概率约是 （结果保留到小数点后两位）． (4)在转盘中，表示《海底两万里》区域的扇形圆心角是，则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是多少度？ 6 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $