第05讲 三角形的中位线、梯形（寒假预习讲义）八年级数学新教材苏科版

第05讲 三角形的中位线、梯形 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：三角形的中位线 1.三角形中位线的定义 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。一个三角形有三条中位线，它们构成一个新的三角形。 2. 三角形中位线定理 定理内容：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 几何语言：如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则DE∥BC，且。 推导过程：延长DE至点F，使EF=DE，连接CF。可证△ADE≌△CFE（SAS），得AD=CF且∠ADE=∠F，故BD∥CF。又因AD=BD，所以BD=CF，四边形BCFD是平行四边形，从而DF∥BC且DF=BC，因此DE∥BC且。 3. 中位线定理的应用 · 证明线段平行：通过中位线证明两条线段平行（如DE∥BC）。 · 计算线段长度：已知第三边长度求中位线长度，或已知中位线长度求第三边长度（如BC=2DE）。 · 构造中位线解决综合问题：在复杂图形中，通过连接中点构造中位线，转化为三角形中位线模型求解（如四边形中连接对角线中点形成中位线）。 4. 中位线与中线的区别 · 中位线：连接两边中点的线段，共3条，平行于第三边且等于第三边一半。 · 中线：连接一个顶点与对边中点的线段，共3条，将三角形面积平分，长度无固定比例关系（除非等腰/等边三角形）。 知识点2 ：梯形 1. 梯形的定义与基本概念 · 定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 · 相关概念： · 平行的两边：上底（较短边）和下底（较长边）； · 不平行的两边：腰； · 两底之间的距离：梯形的高（从上底任一点向下底作垂线，垂线段的长度）。 2.梯形的分类 · 一般梯形：两腰不相等的梯形。 · 特殊梯形： · 等腰梯形：两腰相等的梯形，性质：①同一底上的两个角相等；②对角线相等；③是轴对称图形（对称轴为两底中点连线所在直线）。 · 直角梯形：有一个角是直角的梯形，性质：①一腰与两底垂直（该腰即为高）；②直角腰的对边与两底不垂直。 3. 等腰梯形的判定 · 定义法：两腰相等的梯形是等腰梯形。 · 判定定理： · 同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形； · 对角线相等的梯形是等腰梯形。 4. 梯形的中位线（梯形中位线定理） · 定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。 · 定理内容：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 · 几何语言：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、CD的中点，则EF∥AD∥BC，且（AD+BC）。 · 推导过程：连接AF并延长交BC的延长线于点G，可证△ADF≌△GCF（AAS），得AD=CG，AF=FG。则EF是△ABG的中位线，故EF∥BG且EF =（BC+CG）（AD+BC）。 5. 等腰梯形的性质与判定应用 · 性质应用： · 计算角度：等腰梯形同一底上的两个角相等（如∠A=∠D，∠B=∠C）； · 计算线段长度：对角线相等（AC=BD），结合勾股定理求高或腰长（如已知上底、下底和腰长，作高构造直角三角形求解）。 · 判定应用： · 已知两腰相等→直接判定为等腰梯形； · 已知同一底上两角相等→通过作腰的平行线转化为等腰三角形判定； · 已知对角线相等→通过全等三角形（如△ABC≌△DCB）证明两腰相等。 6. 梯形中常用辅助线 · 作高：过上底两端点向下底作高，将梯形转化为两个直角三角形和一个矩形（适用于直角梯形或计算高、腰长）。 · 平移一腰：将梯形一腰平移至另一腰顶点，转化为三角形和平行四边形（适用于已知两底差或腰与底夹角问题）。 · 平移对角线：连接梯形一顶点与另一腰端点并平移对角线，转化为三角形（适用于已知对角线长度或夹角问题）。 · 连接两腰中点：构造中位线，利用中位线定理求上下底和或中位线长度。 7. 梯形的面积公式 · 一般公式：面积×（上底+下底）×高，即（a、b为上下底，h为高）。 · 中位线公式：面积 = 中位线×高（因中位线，故 ）。 8. 等腰梯形的对称性 · 轴对称性：等腰梯形是轴对称图形，对称轴为上下底中点连线所在的直线，沿对称轴折叠后两部分完全重合。 · 中心对称性：一般梯形和等腰梯形均不是中心对称图形（除非是特殊的矩形，但矩形为平行四边形，不属于梯形）。 【题型1 三角形的中位线求边长】 例1．在矩形中，，，点E为中点，将沿折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接，则的长为（   ） A．10 B．12 C． D． 变式．在中，点D是的中点，，，则 ． 【题型2 三角形的中位线求角度】 例1．如图，在中，，分别是边，上的中点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例2．如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 变式1．如图，在矩形中，对角线相交于点是的中点，的度数为 ，的度数为 ． 变式2．如图，在四边形中，，点是对角线的中点，点和点分别是与的中点．若，则的度数是 ． 变式3．如图1，在中，为边上一点，于，连接为中点． (1)连接，判断与的数量关系，并直接写出的度数； (2)如图2，将绕点顺时针旋转度． ①请你依据题意补全图形； ②在旋转过程中，的度数是否发生改变？若不变，写出它的度数，并证明；若变化，请说明理由． 【题型3 三角形的中位线求周长】 例1．如图，D，E，F分别是三边的中点，若的周长为20，则的周长为（   ） A．5 B．10 C．20 D．40 例2．如图，平行四边形的对角线相交于点O，点E是的中点，的周长为，则的周长为（   ）． A．10 B．8 C．6 D．5 变式1．如图，平行四边形的对角线，相交于点O，点E是边的中点，若的周长为，则的周长为 ．    变式2．如图，是边长为1的等边三角形，取边中点E，作，得到四边形，它的周长记作；取中点，作，得到四边形，它的周长记作．照此规律作下去，则 ． 变式3．【填空】如图，在中，，，． （1）点是的中点，过点作于点，则的周长是 ； （2）点是的中点，过点作于点，则的周长是________； （3）点是的中点，过点作于点，则的周长是________； …… 【找规律】按上述操作进行下去，则的周长是________； 【猜想】在中，，若的周长为，按上述操作进行下去，则的周长是________（用含和的式子表示，不用说理）． 【题型4 三角形的中位线求面积】 例1．如图，在中，是边上的中线，E是的中点，若的面积是48，则图中阴影部分的面积是（    ）    A．8 B．10 C．12 D．16 例2．如图，在中，D，E分别是边的中点．若的面积等于8，则的面积等于（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式1．如图，正方形的面积是平方厘米，是的中点，是的中点，四边形的面积是 平方厘米． 根据正方形面积公式，， ∵是中点， ∴， ， 同理可得：， ∵由正方形的性质得：， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵是中点， ∴点是的中点， 同理可得：点是的中点，点是的中点， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 设， ∴， ， ， ∵与是等高三角形， ∴， 同理可得：， ， 即， 解得：，即， ∴； 故答案为：． 变式2．如图，F是的重心，连接并延长交于点D，连接并延长交于点E．若的面积是，则四边形的面积是 ． 变式3．【阅读理解】中国古代数学家刘徽在《九章算术》中，给出了证明三角形面积公式的“出入相补法”，原理如下：如图，在中，点D，E分别是，的中点，连接，过点A作于点F，延长至点M，使，连接，延长至点N，使，连接，则易证四边形的面积等于的面积，进一步可证三角形面积公式． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【题型5 三角形的中位线证明】 例1．如图，中，，是边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点M，N；②过点M，N作直线，分别交于点D，O；③连接．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 例2．如图，在菱形中,相交于点O，点 E 在 的延长线上，且，连接交 于点 F，交 于点G，连接．有以下结论：①；② ；③图中有6个三角形与全等；④以点A，C，E，D为顶点的四边形是菱形．其中结论正确的是（   ） A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 变式1．如图，已知中，，分别是，的中点，连接并延长至．使，连接．若，则的度数为 ． 变式2．如图，对“三角形中位线定理” 进行拓展思考，可以提出以下三个命题： ①若，则． ②若，则是的中位线． ③若，则． 以上命题是假命题有 (填序号) 变式3．新乡某初中数学小组在学完“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”后分组进行了交流，请你根据各小组的内容解答问题． (1)经典小组的同学们对该性质进行了证明：①下面是该小组的小亮截取的教材中的证明过程： 已知：如图1，在中，，CD是斜边AB上的中线． 求证：． 证明：延长至点E，使，连接． ∵是斜边上的中线，∴．又∵， ∴四边形是平行四边形      I 又∵，∴四边形是矩形，    Ⅱ ∴，∴． 该证明过程中：I处的判定定理是_______；Ⅱ处的判定定理是________； ②该小组的小红提供了另一种证明方法，请你根据下面的思路，完成证明． 如图2，取的中点D，连接，根据中位线定理和其他知识进行证明． (2)创新小组在定理应用上进行了拓展：如图3，在四边形中，，，E，F分别为的中点，连接．若，平分，，过点E作于G，求的长． 【题型6 三角形的中位线的实际应用】 例1．如图是一块三角形实验基地，在这块基地中分出一块（阴影部分）进行新实验，尺寸如图所示，则的长是（   ） A． B． C． D． 例2．如图，、两点分别位于一个池塘的两端，李明想用绳子测量、间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达，的点，找到，的中点，并且测出的长为16米，则、间的距离为（   ） A．8米 B．20米 C．25米 D．32米 变式1．如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接，，分别取，的中点D，E，测得米，则的长是 米． 变式2．如图，要测定池塘两侧两点之间的距离，可以在直线外选一点，连接，并分别找出它们的中点，连接．现测得，则两点之间的距离为 ． 变式3．情境：图1是由一个边长为4的等边三角形纸片沿一条中位线去掉一个等边三角形后得到的“完美梯形”纸片．将该纸片通过裁剪，可拼接为新的等边三角形（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）． 操作：嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪拼成了图2的等边三角形．嘉嘉沿虚线、、裁剪三刀，将纸片剪成①-④四块，再将①、③、④移动到新的位置进行拼接．根据嘉嘉的拼接过程解答下列问题： （1）的度数为 ， ； （2）直接写出图2中三条裁剪线、、的数量关系，并计算等边三角形的边长； 探究： （3）淇淇说：“将图1所示纸片沿过四边形顶点的直线裁剪，只剪两刀，分成三块，就可以拼成新的等边三角形”，请你按照淇淇的说法设计一种方案，在图3所示的纸片中画出两条裁剪线的位置（可以借助刻度尺、三角尺或圆规），并直接写出较长的裁剪线的长（若两条裁剪线长度相等，写出其长度即可）． 【题型7 等腰梯形的定义】 例1．如图，在等腰梯形中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例2．计算图中梯形的面积等于（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，梯形中，，，，，则 ． 变式2．如图，在等腰梯形中，，，．等腰直角三角形的斜边长，A点与N点重合，和在一条直线上．如果等腰梯形不动，等腰直角三角形沿所在直线以1厘米/秒的速度向右平移，直到点N与点B重合为止． (1)等腰直角三角形在整个移动过程中与等腰梯形重叠部分的形状由________形变为________形． (2)当等腰直角三角形运动________秒时，等腰直角三角形与等腰梯形重叠的面积最大，此时面积是________平方厘米． (3)当等腰直角三角形运动4秒时，等腰直角三角形与等腰梯形的重叠面积是多少平方厘米？ 【题型8 直角梯形的定义】 例1．一块长方形菜地分成甲、乙、丙三个部分（乙是平行四边形），如图（单位：）．下面结论不正确的是（　　） A．甲的面积是 B．乙的面积是 C．丙的面积是 D．长方形菜地的面积是 例2．如图，两个完全相同的直角梯形重叠在一起，将其中一个直角梯形沿的方向平移，点A，的对应点分别为，，根据图中所标数据，求得阴影部分的面积为（   ） A．75 B．100 C．105 D．120 变式1．如图是一个用长的篱笆围成的直角梯形的菜地，其中梯形的高为，靠墙的一边不用篱笆，那么菜地的面积是( )． 变式2．如图，在直角梯形中，（），，E是上一点，且，则直角梯形的面积为 ． 变式3．如图，直角梯形中，，，，，，动点P从点D出发，沿射线的方向以每秒2个单位长度的速度运动；动点Q从C点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P，Q分别从D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）. (1)设的面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式为________________ (2)求当t为何值时，四边形为矩形？ (3)求当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？ 【题型9 等腰梯形的性质定理】 例1．已知等腰梯形的底角为，上底长为2，上、下底长之比为，那么梯形的面积为（ 　 ） A．8 B．4 C．8 D．4 变式1．如图，等腰梯形中， ，，则 ． 变式2．如图，在等腰梯形中，，是中位线，且，，平分，的长为 cm． 变式3．如图，在等腰梯形中，，，，．点、分别在边、上运动，并保持，，，垂足分别为、． (1)求梯形的面积； (2)若、分别是、的中点，连接、，求的面积． 【题型10 等腰梯形的判定定理】 例1．四边形中，，则四边形的形状是（   ） A．菱形 B．矩形 C．等腰梯形 D．平行四边形 例2．下列说法正确的个数有（    ） ①在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形 ②对角线相等的梯形是等腰梯形 ③等腰梯形既是轴对称图形，又是中心对称图形 ④一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形 A．个 B．个 C．个 D．个 变式1．如图，在等腰梯形中，，，，与交于点O，，．则此梯形的面积为 ． 变式2．如图，在梯形中，，若再加上一个条件 ，则可得梯形是等腰梯形． 变式3．已知：如图，在梯形中，，平分，过点作平行交线段延长线于点，． (1)求证：梯形为等腰梯形； (2)当，，求四边形的面积． 【题型11 梯形的中位线定理】 例1．如图，梯形的中位线与对角线、分别交于点、，若，则为（   ） A． B． C． D． 变式1．如图所示，是的中位线，为梯形的中位线，若，则等于 ． 变式2．如图，在梯形中，，点、分别是腰、的中点，若，，那么 ． 变式3．如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪明用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D，E，并且测出的长为，则A，B间的距离为 ． 【题型12 中点四边形】 例1．如图，是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为矩形，应添加的条件是（    ）． A． B． C． D． 例2．下列说法不正确的是（    ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D．顺次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形 变式1．顺次连接四边形的各边中点得到中点四边形，若且，则中点四边形的形状是 （填“矩形”或“菱形”或“正方形”）． 变式2．如图，在菱形中，边长为1，顺次连接菱形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形边中点，可得四边形；按此规律继续下去，则四边形的面积是 ． 变式3．如果梯形的中位线长为4，一条底边长为2，那么另外一条底边长为 ． 1．如图，在中，D，E分别是边的中点．若，则（   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 2．下列图形中，对称轴条数最多的是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰梯形 C．正方形 D．正三角形 3．如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．5 D．6 4．如图，在等腰梯形中，，对角线相交于点，那么以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，在四边形中，、是对角线，点、、、分别是、、、边的中点，连接、、、，要使四边形为菱形，则应添加一个条件是（   ） A． B． C．与互相平分 D． 6．如图，在矩形中，，分别是的中点，，则的长为 ． 7．如图：中，，，将沿方向平移个单位得到，如图所示，，则阴影部分面积为 ． 8．如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，则下列命题中：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中是真命题的序号是 ． 9．【教材回顾】苏科版八年级上册数学教材第86页“探索三角形中位线定理”，提出如下问题：怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使这两部分能拼成一个平行四边形？ 【操作】把三角形纸片沿其一条中位线剪成两部分，将绕点顺时针旋转，就可以把剪开的两部分拼接成一个平行四边形． 【类比操作】过平行四边形纸片的一个顶点，将平行四边形纸片剪成两部分，使这两部分能拼成一个菱形．要求使用无刻度的直尺和圆规在图中作出分割线和拼接线（注：裁剪和拼图过程均无缝隙且不重叠） 【拓展思考】 能否将一张梯形纸片剪成两部分，使这两部分拼成一个菱形吗？ 经过深度思考，给出的回答如下： 1．梯形是一组对边平行，另一组对边不平行的四边形；2．并非所有的梯形都可以通过这种方式剪拼成菱形，只有满足一定关系的梯形才可以． 请你通过画图的方式继续探索，画出满足条件的梯形（画必要的分割线和拼接线，画图工具不限，并在图形下方直接写出所画梯形满足的条件） 10．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形        B．矩形        C．菱形        D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出关于四边形的对角线的关系： 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接．求证：四边形是“中方四边形”； 拓展应用： 如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点， （4）试探索与的数量关系，并说明理由． 11．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中A，B，C，D都是格点，E是上一点，连接，．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)如图1，先在上画一点F，使得；再画点E关于的对称点G； (2)如图2，若E是中点，先在上画点H，使得；再在，上分别画点M，N，使得四边形是平行四边形． 12．如图，已知四边形中，点E、F、G、H分别是、、、的中点．求证：和互相平分． 13．如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH为________形． （1）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是菱形． （2）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是矩形． （3）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是正方形． 在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． 14．如图，在梯形中，，动点P从点A出发沿方向向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿着方向向点B以的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)若，则 ， ． (2)经过多长时间，四边形是平行四边形？ (3)经过多长时间，四边形是矩形？ 15．如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1) ； ； ； ； (2)当t为多少秒时，四边形成为矩形？请求出t值 (3)当t为多少时，？（直接写出答案即可） (4)是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，说明理由． 2 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 三角形的中位线、梯形 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：三角形的中位线 1.三角形中位线的定义 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。一个三角形有三条中位线，它们构成一个新的三角形。 2. 三角形中位线定理 定理内容：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 几何语言：如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则DE∥BC，且。 推导过程：延长DE至点F，使EF=DE，连接CF。可证△ADE≌△CFE（SAS），得AD=CF且∠ADE=∠F，故BD∥CF。又因AD=BD，所以BD=CF，四边形BCFD是平行四边形，从而DF∥BC且DF=BC，因此DE∥BC且。 3. 中位线定理的应用 · 证明线段平行：通过中位线证明两条线段平行（如DE∥BC）。 · 计算线段长度：已知第三边长度求中位线长度，或已知中位线长度求第三边长度（如BC=2DE）。 · 构造中位线解决综合问题：在复杂图形中，通过连接中点构造中位线，转化为三角形中位线模型求解（如四边形中连接对角线中点形成中位线）。 4. 中位线与中线的区别 · 中位线：连接两边中点的线段，共3条，平行于第三边且等于第三边一半。 · 中线：连接一个顶点与对边中点的线段，共3条，将三角形面积平分，长度无固定比例关系（除非等腰/等边三角形）。 知识点2 ：梯形 1. 梯形的定义与基本概念 · 定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 · 相关概念： · 平行的两边：上底（较短边）和下底（较长边）； · 不平行的两边：腰； · 两底之间的距离：梯形的高（从上底任一点向下底作垂线，垂线段的长度）。 2.梯形的分类 · 一般梯形：两腰不相等的梯形。 · 特殊梯形： · 等腰梯形：两腰相等的梯形，性质：①同一底上的两个角相等；②对角线相等；③是轴对称图形（对称轴为两底中点连线所在直线）。 · 直角梯形：有一个角是直角的梯形，性质：①一腰与两底垂直（该腰即为高）；②直角腰的对边与两底不垂直。 3. 等腰梯形的判定 · 定义法：两腰相等的梯形是等腰梯形。 · 判定定理： · 同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形； · 对角线相等的梯形是等腰梯形。 4. 梯形的中位线（梯形中位线定理） · 定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。 · 定理内容：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 · 几何语言：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、CD的中点，则EF∥AD∥BC，且（AD+BC）。 · 推导过程：连接AF并延长交BC的延长线于点G，可证△ADF≌△GCF（AAS），得AD=CG，AF=FG。则EF是△ABG的中位线，故EF∥BG且EF =（BC+CG）（AD+BC）。 5. 等腰梯形的性质与判定应用 · 性质应用： · 计算角度：等腰梯形同一底上的两个角相等（如∠A=∠D，∠B=∠C）； · 计算线段长度：对角线相等（AC=BD），结合勾股定理求高或腰长（如已知上底、下底和腰长，作高构造直角三角形求解）。 · 判定应用： · 已知两腰相等→直接判定为等腰梯形； · 已知同一底上两角相等→通过作腰的平行线转化为等腰三角形判定； · 已知对角线相等→通过全等三角形（如△ABC≌△DCB）证明两腰相等。 6. 梯形中常用辅助线 · 作高：过上底两端点向下底作高，将梯形转化为两个直角三角形和一个矩形（适用于直角梯形或计算高、腰长）。 · 平移一腰：将梯形一腰平移至另一腰顶点，转化为三角形和平行四边形（适用于已知两底差或腰与底夹角问题）。 · 平移对角线：连接梯形一顶点与另一腰端点并平移对角线，转化为三角形（适用于已知对角线长度或夹角问题）。 · 连接两腰中点：构造中位线，利用中位线定理求上下底和或中位线长度。 7. 梯形的面积公式 · 一般公式：面积×（上底+下底）×高，即（a、b为上下底，h为高）。 · 中位线公式：面积 = 中位线×高（因中位线，故 ）。 8. 等腰梯形的对称性 · 轴对称性：等腰梯形是轴对称图形，对称轴为上下底中点连线所在的直线，沿对称轴折叠后两部分完全重合。 · 中心对称性：一般梯形和等腰梯形均不是中心对称图形（除非是特殊的矩形，但矩形为平行四边形，不属于梯形）。 【题型1 三角形的中位线求边长】 例1．在矩形中，，，点E为中点，将沿折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接，则的长为（   ） A．10 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形中位线定理．取的中点M，连接，根据矩形的性质和折叠的性质可得：，，，应用勾股定理可求出，用等面积法求出，利用三角形中位线定理可得，再用勾股定理求，进一步即可求出． 【详解】解：取的中点M，连接， ∵矩形中，，，点为中点，将沿折叠，使点落在矩形内的点处， ∴，，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 变式．在中，点D是的中点，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质．过点D作，交于F，利用平行线分线段成比例求得，证明是的中位线，利用等角对等边求得，据此列式计算即可求解． 【详解】解：过点D作，交于F， ∴，， ∵点D是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【题型2 三角形的中位线求角度】 例1．如图，在中，，分别是边，上的中点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形中位线定理，根据，分别是边，上的中点，可得是的中位线，继而得到，再根据平行线的性质可得答案．解题的关键是掌握中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 【详解】解：∵在中，，分别是边，上的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∴， 即的度数为． 故选：B． 例2．如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等边对等角，平行线的性质，三角形内角和等知识，由点，分别是，的中点，根据“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”得，由点，分别是，的中点，得，而，所以，则，于是得到问题的答案，熟练掌握相关内容是解题的关键． 【详解】解：∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 变式1．如图，在矩形中，对角线相交于点是的中点，的度数为 ，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、三角形中位线的性质等知识点，掌握矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键． 由矩形的性质可得，可得，然后根据三角形外角的性质即可求得；再根据三角形中位线的性质可得,根据平行线的性质即可求得,最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴ 故答案为：，． 变式2．如图，在四边形中，，点是对角线的中点，点和点分别是与的中点．若，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，根据三角形中位线定理求出是解题的关键．根据三角形中位线定理得到，，进而证明，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】解：点和点分别是与的中点， ， 同理可得：， ， ， ， ， 故答案为：． 变式3．如图1，在中，为边上一点，于，连接为中点． (1)连接，判断与的数量关系，并直接写出的度数； (2)如图2，将绕点顺时针旋转度． ①请你依据题意补全图形； ②在旋转过程中，的度数是否发生改变？若不变，写出它的度数，并证明；若变化，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①补全图形见详解，②度数不变，为 【分析】（1）∵，，点P为中点，则故，而，代入即可求解； （2）①依据题意画出图形即可；②取中点为，连接，利用三角形的中位线定理和直角三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质即可求证． 【详解】（1）解：如图： ∵，，点P为中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①补全图形如图： ②取中点为，连接， ∵， ∴， 由旋转得，，， ∴， 同上可得，， ∴是等边三角形， ∴， 同理是等边三角形， ∴， ∵为中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， 同理可得：为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， 同上可得，， ∴， 同上可得，，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解决本题的关键． 【题型3 三角形的中位线求周长】 例1．如图，D，E，F分别是三边的中点，若的周长为20，则的周长为（   ） A．5 B．10 C．20 D．40 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线定理，先根据三角形中位线定理求出的周长，再利用同样的定理求出三边中点围成的三角形的周长即可． 【详解】解：∵D，E，F分别是，，的中点， ∴，，， ∴， 又∵， ∴． 故选：B． 例2．如图，平行四边形的对角线相交于点O，点E是的中点，的周长为，则的周长为（   ）． A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质得，根据点E是的中点，得，根据三角形中位线定理，得，结合三角形周长的定义即可求解． 本题主要考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线，相交于点O， ∴，， ∵点E是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的周长为， 故选：D． 变式1．如图，平行四边形的对角线，相交于点O，点E是边的中点，若的周长为，则的周长为 ．    【答案】8 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及三角形中位线定理，正确得出是的中位线是解题关键． 直接利用平行四边形的性质得出，再结合已知得出是的中位线，进而得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴是的中点， ， 又 ∵点是的中点， ∴是的中位线， ， ∵的周长， ∴的周长． 故答案是：8． 变式2．如图，是边长为1的等边三角形，取边中点E，作，得到四边形，它的周长记作；取中点，作，得到四边形，它的周长记作．照此规律作下去，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中位线，平行线的性质，找规律，找出计算周长的规律是解题的关键；根据三角形的中位线求解，找规律可得，据此规律可求解. 【详解】解：∵是边长为1的等边三角形， ∴， ∵E是边中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 同理：以此方法得到的四边形都为菱形，且边长为前一个菱形边长的， 即，，……，， ∴. 故答案为：. 变式3．【填空】如图，在中，，，． （1）点是的中点，过点作于点，则的周长是 ； （2）点是的中点，过点作于点，则的周长是________； （3）点是的中点，过点作于点，则的周长是________； …… 【找规律】按上述操作进行下去，则的周长是________； 【猜想】在中，，若的周长为，按上述操作进行下去，则的周长是________（用含和的式子表示，不用说理）． 【答案】（1）6；（2）3；（3）；[找规律]；[猜想] 【分析】本题考查了数字类规律的探索，勾股定理逆定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理，解题的关键是找出规律． [填空]（1）先由勾股定理逆定理确定，然后根据等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，以及三角形中位线定理分别求出即可； （2）同（1）的步骤求解； （3）同（2）的步骤求解； [找规律]根据，，的周长找出规律即可； [猜想] 根据，，的周长找出规律即可． 【详解】解：[填空]（1）∵，，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴的周长是； （2）同理可得：的周长； （3）同理可得：的周长； [找规律]∵的周长是：； 的周长是：； 的周长是：； 则的周长是：； [猜想]由上可得：的周长是：． 【题型4 三角形的中位线求面积】 例1．如图，在中，是边上的中线，E是的中点，若的面积是48，则图中阴影部分的面积是（    ）    A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线，解题的关键是掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，利用是边上的中线，是的中点依次求解即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ， ， 是的中点， ， ， ∴阴影部分的面积为12， 故选：C． 例2．如图，在中，D，E分别是边的中点．若的面积等于8，则的面积等于（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的面积计算，正确的识别图形是解题的关键. 根据三角形的面积公式即可得到结论. 【详解】解：由题意可得： 是的中点， 故选： A． 变式1．如图，正方形的面积是平方厘米，是的中点，是的中点，四边形的面积是 平方厘米． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形面积的计算与比例关系.通过作交于交，于，于，连接，结合正方形面积公式及中点性质，利用平行线分线段成比例定理，逐步推导得出相关线段的比例关系，进而推出，通过设，最终联立方程，解得,由图可知即可解答． 【详解】解：过作交于交，于，于，连接， 根据正方形面积公式，， ∵是中点， ∴， ， 同理可得：， ∵由正方形的性质得：， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵是中点， ∴点是的中点， 同理可得：点是的中点，点是的中点， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 设， ∴， ， ， ∵与是等高三角形， ∴， 同理可得：， ， 即， 解得：，即， ∴； 故答案为：． 变式2．如图，F是的重心，连接并延长交于点D，连接并延长交于点E．若的面积是，则四边形的面积是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形的重心，三角形的面积，理解三角形的重心的定义，等底或同底同高或等高的两个三角形的面积相等，同高或等高的两个三角形的面积之比等于对应底边的比是解决问题的关键，熟练掌握平行四边形的判定和性质，三角形中位线定义是解决问题的关键．延长到H，使，连接，，延长交于点E，则，证明四边形是平行四边形得，，进而得是的中位线，则，，根据三角形的面积公式得，由此得，进而得，则，再根据得，据此即可得出四边形CDFE的面积． 【详解】解：如图，延长到H，使，连接，，延长交于点E， ∴， ∵F是的重心， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴的边上的高与的边上的高相同， ∴， ∵的面积是， ∴， ∴， ∵，的边上的高与的边上的高相同， ∴， ∴， 又∵的边上的高与的边上的高相同， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 故答案为：8． 变式3．【阅读理解】中国古代数学家刘徽在《九章算术》中，给出了证明三角形面积公式的“出入相补法”，原理如下：如图，在中，点D，E分别是，的中点，连接，过点A作于点F，延长至点M，使，连接，延长至点N，使，连接，则易证四边形的面积等于的面积，进一步可证三角形面积公式． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)24． 【分析】（1）证明出，得到，，推出，，即可得到四边形为矩形； （2）证明出是的中位线，得到，然后利用矩形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵点D是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴，． 同理可得，． ∴，． ∴四边形为平行四边形． 又∵， ∴四边形为矩形． （2）解：∵点D，E分别是，的中点， ∴是的中位线． ∴． ∴． 【点睛】此题考查了矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形中位线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【题型5 三角形的中位线证明】 例1．如图，中，，是边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点M，N；②过点M，N作直线，分别交于点D，O；③连接．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，尺规作线段垂直平分线，三角形中位线定理，三角形中线平分三角形面积等知识，掌握这些知识是关键；由作图知是线段的垂直平分线，则，从而可判断选项A正确；由三角形中位线定理可判断选项B正确；由三角形中线的性质可得，从而判断选项D正确；当时得，否则不成立，从而可判断选项C错误． 【详解】解：由作图知，是线段的垂直平分线，则，， 故选项A正确； ∵是边上的中线， ∴点E是的中点， ∵点D是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选项B正确； ∵是边上的中线，点D是的中点， ∴，， ∴， 故选项D正确； 当时，，否则不成立， 故选项C错误． 故选：C． 例2．如图，在菱形中,相交于点O，点 E 在 的延长线上，且，连接交 于点 F，交 于点G，连接．有以下结论：①；② ；③图中有6个三角形与全等；④以点A，C，E，D为顶点的四边形是菱形．其中结论正确的是（   ） A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、三角形全等的判定（、）、三角形中位线定理及三角形面积计算（面积等分与和差），解题的关键是利用菱形性质及中点条件推导面积关系，避免复杂计算，准确判断全等三角形数量． 由菱形中，得，，，，为等边三角形；因，故且，证得为中点，结合为中点，知是中位线，得，①正确；由O、G是中点，与均为面积的一半，减去公共部分的面积，得，②错误；全等三角形有，共个，③正确；由，得平行四边形，结合，证其为菱形，④正确． 【详解】解：四边形是菱形，， ，，，，，， 又， ，且． 判断①是否正确： ， ，， 又， ， （为中点） 为中点， 是中位线， ， 又， ，①正确，符合题意； 判断②是否正确： 为 中点， ， 为 中点， ， ， 又 ， ，②错误，不符合题意； 判断③图中有个三角形与是否全等： 为直角三角形（），设直角边、，斜边． 菱形对角线分菱形为个全等直角三角形：（，，，直角相等）． 由，且、、（勾股定理逆定理得直角）， 故（）．共个全等三角形，③正确，符合题意； 判断④以A，C，E，D为顶点的四边形是否为菱形： 且， 四边形是平行四边形． 又为等边三角形， ，且（），故， ， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形是菱形，④正确，符合题意； 综上，①③④正确，②错误． 故选：． 变式1．如图，已知中，，分别是，的中点，连接并延长至．使，连接．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质是解题的关键． 由条件可证得四边形为平行四边形，即可求解． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴，且． ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴． 故答案为：． 变式2．如图，对“三角形中位线定理” 进行拓展思考，可以提出以下三个命题： ①若，则． ②若，则是的中位线． ③若，则． 以上命题是假命题有 (填序号) 【答案】③ 【分析】本题考查了命题与定理以及三角形中位线定理，掌握平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． ①是真命题，过点作交边于点，连接，证明四边形是平行四边形得，，再证明四边形是平行四边形得，，然后证明四边形是平行四边形可证结论成立； ②是真命题，作交的延长线于点，证明四边形是平行四边形得，．再证明得，，进而可证结论成立； ③是假命题，画出图形说明即可． 【详解】解：命题①是真命题，理由： 证明：过点作交边于点，连接， 又， 四边形是平行四边形， ，， ∵， ， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ，， ， 四边形是平行四边形， ∴， ∴， 命题②是真命题，理由： 证明：如图，作交的延长线于点， ∵， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， ，． ∵， ∴， ， ∵， ∴， ， ，， ∴ 是的中位线． ③是假命题，如图，满足，但．故③是假命题． 故答案为：③． 变式3．新乡某初中数学小组在学完“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”后分组进行了交流，请你根据各小组的内容解答问题． (1)经典小组的同学们对该性质进行了证明：①下面是该小组的小亮截取的教材中的证明过程： 已知：如图1，在中，，CD是斜边AB上的中线． 求证：． 证明：延长至点E，使，连接． ∵是斜边上的中线，∴．又∵， ∴四边形是平行四边形      I 又∵，∴四边形是矩形，    Ⅱ ∴，∴． 该证明过程中：I处的判定定理是_______；Ⅱ处的判定定理是________； ②该小组的小红提供了另一种证明方法，请你根据下面的思路，完成证明． 如图2，取的中点D，连接，根据中位线定理和其他知识进行证明． (2)创新小组在定理应用上进行了拓展：如图3，在四边形中，，，E，F分别为的中点，连接．若，平分，，过点E作于G，求的长． 【答案】(1)①对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；②见解析； (2) 【分析】题目主要考查矩形的判定，中位线及垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）①根据证明过程直接写出依据即可；②根据中位线的性质及垂直平分线的性质证明即可； （2）根据题意得出，确定，再由含30度角的直角三角形的性质得出，利用勾股定理及直接三角形斜边中线的性质即可求解． 【详解】（1）解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②证明：∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴，即， ∴是的垂直平分线， ∴； （2）在中， 由中点可知，， 在中， ∵E是中点， ∴， ∵， ∴， 由条件可知， ∵点E是中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴点G是的中点， ∴． 【题型6 三角形的中位线的实际应用】 例1．如图是一块三角形实验基地，在这块基地中分出一块（阴影部分）进行新实验，尺寸如图所示，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ∴是的中位线， ， 故选：C． 例2．如图，、两点分别位于一个池塘的两端，李明想用绳子测量、间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达，的点，找到，的中点，并且测出的长为16米，则、间的距离为（   ） A．8米 B．20米 C．25米 D．32米 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用． 根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：D，E是，的中点， ， A，B间的距离为． 故选：D． 变式1．如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接，，分别取，的中点D，E，测得米，则的长是 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据题意可知是的中位线，再根据三角形中位线的性质得出，进而得出答案即可． 【详解】解：点，分别是，的中点， 是的中位线， 米． 故答案为：． 变式2．如图，要测定池塘两侧两点之间的距离，可以在直线外选一点，连接，并分别找出它们的中点，连接．现测得，则两点之间的距离为 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形中位线的性质．根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：∵、分别是、的中点， ∴是三角形的中位线， ∴． 故答案为：． 变式3．情境：图1是由一个边长为4的等边三角形纸片沿一条中位线去掉一个等边三角形后得到的“完美梯形”纸片．将该纸片通过裁剪，可拼接为新的等边三角形（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）． 操作：嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪拼成了图2的等边三角形．嘉嘉沿虚线、、裁剪三刀，将纸片剪成①-④四块，再将①、③、④移动到新的位置进行拼接．根据嘉嘉的拼接过程解答下列问题： （1）的度数为 ， ； （2）直接写出图2中三条裁剪线、、的数量关系，并计算等边三角形的边长； 探究： （3）淇淇说：“将图1所示纸片沿过四边形顶点的直线裁剪，只剪两刀，分成三块，就可以拼成新的等边三角形”，请你按照淇淇的说法设计一种方案，在图3所示的纸片中画出两条裁剪线的位置（可以借助刻度尺、三角尺或圆规），并直接写出较长的裁剪线的长（若两条裁剪线长度相等，写出其长度即可）． 【答案】（1）；；（2），；（3）见解析， 【分析】（1）利用拼接的特征得到，再利用直角三角形的性质解答即可； （2）利用（1）的方法求得，再利用全等三角形的判定与性质得到；利用对称的性质得到等边三角形的边长； （3）连接，过点A作于点E，则，为所画出两条裁剪线；利用直角三角形的性质解答即可得出结论； 【详解】解：（1）由题意得：， ∵， ∴． ∴ ∵， ∴ ∴． 故答案为：；． （2）三条裁剪线、、的数量关系为． 由题意得：，，，， ∵， ∴． ∵， ∴ ∴． 连接，如图， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴等边三角形的边长为； （3）1．连接， 2．过点A作于点E， 则，将纸片沿过四边形顶点A的直线裁剪，分成三块，将绕着点C旋转得到，将绕着点E旋转得到，可以拼成新的等边三角形，如图， 则，为所画出两条裁剪线． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴较长的裁剪线的长为． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，等腰梯形的性质，尺规作图，图形的拼接，熟练掌握等边三角形的性质和直角三角形性质是解题的关键． 【题型7 等腰梯形的定义】 例1．如图，在等腰梯形中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰梯形的定义，平行线的性质． 根据等腰梯形的定义得到，根据平行线的性质可得答案． 【详解】∵等腰梯形， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 例2．计算图中梯形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式．根据梯形的面积公式以及单项式乘以多项式法则计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：梯形的面积等于 ． 故选：A 变式1．如图，梯形中，，，，，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形性质，解题的关键在于作辅助线构造平行四边形． 作交于点E，证明四边形是平行四边形，结合平行四边形性质推出，，进而得到，再根据求解，即可解题． 【详解】解：作交于点E，则， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：11． 变式3．如图，在等腰梯形中，，，．等腰直角三角形的斜边长，A点与N点重合，和在一条直线上．如果等腰梯形不动，等腰直角三角形沿所在直线以1厘米/秒的速度向右平移，直到点N与点B重合为止． (1)等腰直角三角形在整个移动过程中与等腰梯形重叠部分的形状由________形变为________形． (2)当等腰直角三角形运动________秒时，等腰直角三角形与等腰梯形重叠的面积最大，此时面积是________平方厘米． (3)当等腰直角三角形运动4秒时，等腰直角三角形与等腰梯形的重叠面积是多少平方厘米？ 【答案】(1)等腰直角三角；等腰梯 (2)10；21 (3)4平方厘米 【分析】本题主要考查三角形、梯形的有关知识，考查学生应用运动观念，通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想的能力和分类讨论、数形结合的思想方法． （1）等腰直角三角形在整个移动过程中与等腰梯形重叠部分的形状有两种情况，画出图形即可； （2）根据（1）中分析知，当点N与点B重合时，重叠部分面积最大，最大为梯形的面积，利用梯形面积公式即可求解； （3）易得此时重叠部分为等腰直角三角形，计算出此等腰直角三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，等腰直角三角形在整个移动过程中与等腰梯形重叠部分的形状如下： 开始是等腰直角三角形，当经过点D后，重叠部分变为等腰梯形； 故答案为：等腰直角三角；等腰梯； （2）解：如图，当点N与点B重合时，重叠部分面积最大，最大为梯形的面积， 此时运动时间为：（秒）； 过点D作于点E， ∵， ∴ ∴， 故答案为：10；21； （3）解：等腰直角三角形运动4秒时，此时重叠部分为等腰直角三角形，如图，过点E作于点H， 则； ∵， ∴， ∴ 【题型8 直角梯形的定义】 例1．一块长方形菜地分成甲、乙、丙三个部分（乙是平行四边形），如图（单位：）．下面结论不正确的是（　　） A．甲的面积是 B．乙的面积是 C．丙的面积是 D．长方形菜地的面积是 【答案】C 【分析】本题考查了三角形，平行四边形，直角梯形以及长方形的面积求解，熟练掌握面积公式是解决本题的关键． 根据图示可知甲乙丙三个部分的各个边长，再由对应面积公式分别求解面积判断选项即可． 【详解】解：由图示可知， 长方形的长为，宽为， ∴长方形菜地的面积是，D正确； 甲的部分为直角三角形，两条直角边分别为2和4， ∴甲的面积是，A正确； 乙的部分为平行四边形，底边和高都为4， ∴乙的面积是，B正确； 丙的部分为直角梯形，上底为，高为， ∵长方形的长为，乙是平行四边形， ∴直角梯形的下底为， ∴丙的面积是，C错误 ． 故选：C ． 例2．如图，两个完全相同的直角梯形重叠在一起，将其中一个直角梯形沿的方向平移，点A，的对应点分别为，，根据图中所标数据，求得阴影部分的面积为（   ） A．75 B．100 C．105 D．120 【答案】C 【分析】本题考查了平移性质，根据平移性质得，计算出即可，熟练掌握平移性质，梯形面积公式，是解题的关键． 【详解】由平移，得， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 变式1．如图是一个用长的篱笆围成的直角梯形的菜地，其中梯形的高为，靠墙的一边不用篱笆，那么菜地的面积是( )． 【答案】 【分析】本题考查了梯形面积，由题意可得直角梯形的上底下底，然后通过梯形面积公式即可求解，掌握梯形面积公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，直角梯形的上底下底， ∴菜地的面积是， 故答案为：． 变式2．如图，在直角梯形中，（），，E是上一点，且，则直角梯形的面积为 ． 【答案】27 【分析】过C作，交延长线于G，延长至F，使，连接，证得四边形为正方形，证明，得到，从而证明，则有，由勾股定理可求得，即可求得直角梯形的面积． 【详解】解：过C作，交延长线于G，延长至F，使，连接． 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在直角梯形中， ∵， ∴， ∴四边形为正方形． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 又， ∴， ∴， 设， 则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：27． 【点睛】此题考查了正方形与三角形综合．熟练掌握直角梯形的性质，正方形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握辅助线的作法，是解此题的关键． 变式3．如图，直角梯形中，，，，，，动点P从点D出发，沿射线的方向以每秒2个单位长度的速度运动；动点Q从C点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P，Q分别从D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）. (1)设的面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式为________________ (2)求当t为何值时，四边形为矩形？ (3)求当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）过点P作于点M，则四边形为矩形，得出，由，可知：； （2）当四边形为矩形时，，即，可将t求出； （3）本题应分三种情况进行讨论：①若，在中，由，，将各数据代入，可将时间t求出；②若，在中，由，，将各数据代入，可将时间t求出；③若，，，将数据代入，可将时间t求出． 【详解】（1）解：过点P作于点M，则四边形为矩形， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． （2）解：当四边形为矩形时， ， 即，解得， ∴当时，四边形为矩形． （3）解：由图可知，，，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况： ①若，在中，， 由得，解得； ②若，在中，， 由得，即， 此时， ∴此方程无解，即； ③若，由得， 解得，（不符题意，舍去）， 综上所述，当或时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查梯形的性质、矩形的性质及勾股定理，在解题（3）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象． 【题型9 等腰梯形的性质定理】 例1．已知等腰梯形的底角为，上底长为2，上、下底长之比为，那么梯形的面积为（ 　 ） A．8 B．4 C．8 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查等腰梯形的性质和梯形的面积公式，解决梯形的高是解题的关键． 根据等腰梯形的性质可得，根据含角的直角三角形的性质及勾股定理得到高，再利用梯形的面积公式求解即可． 【详解】如图，在等腰梯形中，，，，， ∵上、下底长之比为， ∴， ， 四边形为矩形， ， ∴，， ， ， ∴梯形的面积． 故选：A． 变式1．如图，等腰梯形中， ，，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 过点作，交于点，证明四边形是平行四边形，得出对边相等，证明为等边三角形，得出三条边相等，然后利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，交于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：3． 变式2．如图，在等腰梯形中，，是中位线，且，，平分，的长为 cm． 【答案】10 【分析】本题考查了梯形中位线的性质，解题关键是明确梯形中位线的性质，再根据角平分线得出，再根据30度角所对直角边等于斜边一半得出，然后利用即可求解． 【详解】解：在等腰梯形中，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是中位线，且， ∴， 即， ， 故答案为：10． 变式3．如图，在等腰梯形中，，，，．点、分别在边、上运动，并保持，，，垂足分别为、． (1)求梯形的面积； (2)若、分别是、的中点，连接、，求的面积． 【答案】(1)16 (2)8 【分析】本题考查梯形的性质，勾股定理，梯形的中位线； （1）分别过D，C两点作于点G，于点H．得到四边形为矩形，，再证明，得到，利用勾股定理求出，最后根据梯形面积公式计算即可； （2）由、分别是、的中点得到，是梯形中位线，则，，根据直角三角形斜边中线得到，再根据等腰三角形三线合一得到，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：分别过D，C两点作于点G，于点H． ∵， ∴，， ∴四边形为矩形，， ∵，，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴梯形的面积为：； （2）解：如图，连接、，过点D作于点Q，连接， ∵、分别是、的中点， ∴是梯形中位线， ∴，, ∵， ∴，, ∴， ∴ ． 【题型10 等腰梯形的判定定理】 例1．四边形中，，则四边形的形状是（   ） A．菱形 B．矩形 C．等腰梯形 D．平行四边形 【答案】C 【分析】此题考查了等腰梯形的判定方法，需注意的是判定梯形必须满足两个条件：①一组对边平行，②另一组对边不平行，缺一不可． 由已知条件可知，，而由四边形内角和为，可推得，即同旁内角互补，根据等腰梯形的判定可知四边形的形状是等腰梯形． 【详解】 解：∵， ∴，，且，， ∴， ∴，即同旁内角互补； ∴四边形的形状是等腰梯形． 故选：C． 例2．下列说法正确的个数有（    ） ①在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形 ②对角线相等的梯形是等腰梯形 ③等腰梯形既是轴对称图形，又是中心对称图形 ④一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题重点考查等腰梯形的判定定理（同一底边上内角相等或对角线相等）和性质（轴对称性），准确理解等腰梯形的定义和判定条件，并辨析与平行四边形的区别是解题的关键． 根据等腰梯形的定义和性质逐选项判断即可． 【详解】解：①同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形，正确； ②对角线相等的梯形是等腰梯形，正确； ③等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误； ④一组对边平行，另一组对边相等的四边形可以是等腰梯形，也可以是平行四边形等图形，因此错误． 故选：C． 变式1．如图，在等腰梯形中，，，，与交于点O，，．则此梯形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是等腰梯形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．过点C作，交的延长线于点E，证明四边形是平行四边形，可得，证明，，，结合勾股定理得，即，再进一步解答即可． 【详解】解：过点C作，交的延长线于点E， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由勾股定理得，，即， ∴此梯形的面积为； 故答案为：． 变式2．如图，在梯形中，，若再加上一个条件 ，则可得梯形是等腰梯形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据等腰梯形的定义：有两腰相等的梯形是等腰梯形，推出即可． 【详解】解：添加条件是，理由如下： ∵梯形，，， ∴梯形是等腰梯形， 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题考查了对等腰梯形的定义，题目比较好，是一个开放性的题目，熟练掌握等腰梯形的定义是解本题的关键． 变式3．已知：如图，在梯形中，，平分，过点作平行交线段延长线于点，． (1)求证：梯形为等腰梯形； (2)当，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了等腰梯形的判定，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，得到，根据等腰梯形的概念证明； （）过点作于，根据平行四边形的性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据梯形面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴梯形为等腰梯形； （2）解：如图，过点作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 则． 【题型11 梯形的中位线定理】 例1．如图，梯形的中位线与对角线、分别交于点、，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了梯形的中位线和三角形的中位线定理．设，则，，中梯形中位线和三角形的中位线定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴设，则，， ∵是梯形的中位线， ∴是的中位线，是的中位线， ∴， ∴， ∵是梯形的中位线， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 变式1．如图所示，是的中位线，为梯形的中位线，若，则等于 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了三角形的中位线和梯形的中位线，熟练掌握三角形中位线的性质和梯形中位线的性质，是解题的关键． 先根据中位线的性质得出，再根据梯形中位线的性质，得出答案即可． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴， ∵为梯形的中位线， ∴． 故答案为：6． 变式2．如图，在梯形中，，点、分别是腰、的中点，若，，那么 ． 【答案】4 【分析】本题考查了梯形的中位线定理，解题关键是掌握梯形的中位线定理． 根据梯形的中位线定理，先得出，再将已知线段代入求值． 【详解】解：∵在梯形中，，点、分别是腰、的中点， ∴， ∵，， ∴，解得：， 故答案为：4． 变式3．如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪明用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D，E，并且测出的长为，则A，B间的距离为 ． 【答案】/28米 【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用，正确理解题意是解题的关键．根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：D，E是，的中点， ， A，B间的距离为． 故答案为：． 【题型12 中点四边形】 例1．如图，是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为矩形，应添加的条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查中点四边形，涉及三角形中位线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟记三角形中位线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识是解决问题的关键． 先由中点四边形相关条件，由三角形中位线的判定与性质得到，且；，且；，且；，且，进而判定四边形为平行四边形，再由矩形的判定定理即可确定答案． 【详解】解：是四边形的两条对角线，是四边形各边的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， 则，且；，且；，且；，且， ，且， 四边形为平行四边形， 当时，， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形， 综上所述，要使四边形为矩形，应添加的条件是， 故选：B． 例2．下列说法不正确的是（    ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D．顺次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形 【答案】B 【分析】本题考查特殊四边形的判定和性质．掌握特殊四边形的判定条件是解题关键，注意对角线相等的四边形不一定是矩形． 根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵ A：对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确； ∵ B：对角线相等的四边形不一定是矩形（如等腰梯形），故错误； ∵ C：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确； ∵ D：顺次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形，正确； ∴ 不正确的是B． 故选：B． 变式1．顺次连接四边形的各边中点得到中点四边形，若且，则中点四边形的形状是 （填“矩形”或“菱形”或“正方形”）． 【答案】矩形 【分析】本题考查了中点四边形，首先利用三角形的中位线定理证得四边形为平行四边形，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可． 【详解】解：中点四边形的形状是矩形，理由如下： 如图， ∵点E、F、G、H分别是边的中点， ∴，， ∴， 同理可得， ∴四边形是平行四边形； 又∵对角线互相垂直， ∴与垂直． ∴四边形是矩形． 故答案为：矩形． 变式2．如图，在菱形中，边长为1，顺次连接菱形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形边中点，可得四边形；按此规律继续下去，则四边形的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的性质、矩形的判定是解题的关键．连接、交于点，根据菱形的性质得到，，根据等边三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理、矩形的判定得到四边形为矩形，求出四边形的面积，总结规律，关键规律解答即可． 【详解】解：解：如图，连接、交于点， 四边形为菱形， ，， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 顺次连接菱形各边中点，可得四边形， ，，，，， 四边形为矩形， 四边形的面积为， 则四边形的面积是， 故答案为：． 变式3．如果梯形的中位线长为4，一条底边长为2，那么另外一条底边长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查梯形中位线定理，掌握“梯形的中位线等于两底和的一半”是解题的关键． 根据“梯形的中位线等于两底和的一半”即可求解． 【详解】解：∵梯形的中位线长为4，一条底边长为2， ∴另外一条底边长为， 故答案为：6． 1．如图，在中，D，E分别是边的中点．若，则（   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判断与性质，说明是的中位线是解题的关键． 先证明是的中位线，再根据三角形中位线的性质即可解答． 【详解】解：∵在中，D，E分别是边的中点． ∴是的中位线， ∴． 故选C． 2．下列图形中，对称轴条数最多的是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰梯形 C．正方形 D．正三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．先根据轴对称图形的定义确定各选项图形的对称轴条数，然后比较即可选出对称轴条数最多的图形． 【详解】A：等腰直角三角形有1条对称轴； B：等腰梯形有1条对称轴； C：正方形有4条对称轴； D：正三角形有3条对称轴； 综上所述正方形对称轴条数最多， 故选：C． 3．如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查平行四边形，三角形中位线的知识，根据四边形是平行四边形，得到；再根据点E是的中点，得出是的中位线，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴根据三角形的中位线定理可得：， 则． 故选：A． 4．如图，在等腰梯形中，，对角线相交于点，那么以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了等腰梯形的性质，全等三角形的性质和判定，等角对等边，根据等腰梯形的性质得到，，，证明出，得到，，进而求解即可． 【详解】解析：∵等腰梯形中，，对角线相交于点 ∴，①正确； ∵， ∴ ∴， ∴， ∴，即，②正确； 和不一定相等，故③错误； ∵ ∴ ∴ ∴，④正确； 故选：C． 5．如图，在四边形中，、是对角线，点、、、分别是、、、边的中点，连接、、、，要使四边形为菱形，则应添加一个条件是（   ） A． B． C．与互相平分 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中点四边形的性质以及三角形中位线定理和菱形的判定，利用三角形中位线定理以及菱形的判定得出即可． 【详解】解：∵E、F分别是的中点， ∴，， 同理， ∴四边形是平行四边形． A、添加，则， ∴出四边形是矩形，无法得出四边形是菱形，故A不符合题意； B、添加，则， ∴四边形是菱形．故选项B符合题意； C、添加与互相平分，无法得出四边形是菱形，故C不符合题意； D、添加，无法得出四边形是菱形，故D不符合题意； 故选：B． 6．如图，在矩形中，，分别是的中点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质和勾股定理，熟知这些性质定理是解题的关键．根据矩形的性质求得的长，再根据勾股定理求得的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，分别是的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 7．如图：中，，，将沿方向平移个单位得到，如图所示，，则阴影部分面积为 ． 【答案】 【分析】根据平移的性质可得，再根据梯形面积的计算方法进行计算即可． 本题考查平移的性质，掌握平移的性质是正确解答的关键． 【详解】解：由平移的性质得，，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 8．如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，则下列命题中：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中是真命题的序号是 ． 【答案】④ 【分析】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识， 先证明一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线时，中点四边形是菱形，当对角线时，中点四边形是矩形，当对角线，且时，中点四边形是正方形，再逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵点 E、F、G、H分别是四边形边边、、、的中点， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ①当时，则， 则四边形为菱形，①说法错误； ②当时，则， 则四边形为矩形，②说法错误； ③四边形一定是平行四边形，与不一定互相平分，③说法错误； ④当四边形是正方形时，与互相垂直且相等，④说法正确； 故答案为：④． 9．【教材回顾】苏科版八年级上册数学教材第86页“探索三角形中位线定理”，提出如下问题：怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使这两部分能拼成一个平行四边形？ 【操作】把三角形纸片沿其一条中位线剪成两部分，将绕点顺时针旋转，就可以把剪开的两部分拼接成一个平行四边形． 【类比操作】过平行四边形纸片的一个顶点，将平行四边形纸片剪成两部分，使这两部分能拼成一个菱形．要求使用无刻度的直尺和圆规在图中作出分割线和拼接线（注：裁剪和拼图过程均无缝隙且不重叠） 【拓展思考】 能否将一张梯形纸片剪成两部分，使这两部分拼成一个菱形吗？ 经过深度思考，给出的回答如下： 1．梯形是一组对边平行，另一组对边不平行的四边形；2．并非所有的梯形都可以通过这种方式剪拼成菱形，只有满足一定关系的梯形才可以． 请你通过画图的方式继续探索，画出满足条件的梯形（画必要的分割线和拼接线，画图工具不限，并在图形下方直接写出所画梯形满足的条件） 【答案】（1）图见解析；（2）图见解析，需满足的条件为： 【分析】本题考查了菱形的判定，梯形的性质，尺规作图． （1）以点B为圆心，以为半径画弧，交于点E，连接，将沿方向向右平移使与重合； （2）分别取的中点E，F，连接， 将梯形绕点F顺时针即可． 【详解】解：（1）如图，四边形即为所求作的菱形 （2）如图，，四边形即为所求作的菱形． 需满足的条件为：． 10．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形        B．矩形        C．菱形        D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出关于四边形的对角线的关系： 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接．求证：四边形是“中方四边形”； 拓展应用： 如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点， （4）试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）D；（2），；（3）见解析；（4），理由见解析 【分析】（1）由正方形对角线相等且互相垂直可得答案； （2）由中位线的性质可得：，，，，结合正方形的性质可得结论； （3）如图，取四边形各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； （4）如图，记、的中点分别为E、F，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论． 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，那么有中位线的性质可得四边相等，且一个内角为直角，所以其中点四边形是正方形； （2），．理由如下： ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴，． （3）如图，设四边形的边的中点分别为M、N、R、L，连接交于P，连接交于K，    ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴、，，分别是、、、的中位线， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”． （4）如图，记、的中点分别为E、F， 连接    ∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵M，F分别是，的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 11．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中A，B，C，D都是格点，E是上一点，连接，．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)如图1，先在上画一点F，使得；再画点E关于的对称点G； (2)如图2，若E是中点，先在上画点H，使得；再在，上分别画点M，N，使得四边形是平行四边形． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题主要考查了用无刻度的直尺在网格中画出符合要求的点和坐标，掌握三等分点的概念，中位线的概念，平行四边形的性质，关于某条线段成轴对称的性质，是解本题的关键． （1）连接交于点，，故则点是符合条件的点；连接交于点，连接并延长交于点，利用三角形全等即可得到点与点关于对称． （2）连接交于点，交于点N， 因为是的中位线，故，连接交于点，连接则四边形是所作四边形． 【详解】（1）连接交于点，则点是符合条件的点，连接交于点，连接并延长交于点，则点与点关于对称． （2）连接交于点，交于N，连接则，连接交于点，连接则四边形是所作四边形． 12．如图，已知四边形中，点E、F、G、H分别是、、、的中点．求证：和互相平分． 【答案】见详解 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定定理，熟练掌握平行四边形的性质定理和判定定理是解题的关键． 连接、、、，根据中位线定理和平行四边形的性质和判定定理，可证四边形为平行四边形，再根据平行四边形的性质即可求证． 【详解】证明：连接、、、， 点E、F、G、H分别是、、、的中点， 、分别是与的中位线， ，， ， 同理， 四边形为平行四边形， 和互相平分． 13．如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH为________形． （1）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是菱形． （2）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是矩形． （3）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是正方形． 在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． 【答案】平行四边形；（1）AC＝BD，理由见解析；（2）AC⊥BD，理由见解析；（3）AC＝BD且AC⊥BD，理由见解析； 【分析】连接AC，BD，可以根据E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，得到线段EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ACD、△ABD的中位线，由中位线定理可以证明四边形EFGH为平行四边形；再根据菱形，矩形和正方形的判定条件，添加对应的条件即可得到答案. 【详解】解：四边形EFGH为平行四边形； 连接AC，BD ∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点 ∴线段EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ACD、△ABD的中位线 ∴，，，， ∴， ∴四边形EFGH为平行四边形； （1）AC＝BD， 理由：如图①四边形ABCD的对角线AC＝BD， ∵四边形EFGH为平行四边形，且，， ∴EH＝GH， ∴平行四边形EFGH为菱形． （2）AC⊥BD， 理由：如图②四边形ABCD的对角线互相垂直， ∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点 ∴线段EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ACD、△ABD的中位线 ∴，， ∵AC⊥BD， ∴EF⊥HE， ∵四边形EFGH为平行四边形． ∴四边形EFGH为矩形． （3）AC＝BD且AC⊥BD， 理由：如图③四边形ABCD的对角线相等且互相垂直， 综合（1）（2）可得四边形EFGH为正方形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，中位线定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 14．如图，在梯形中，，动点P从点A出发沿方向向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿着方向向点B以的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)若，则 ， ． (2)经过多长时间，四边形是平行四边形？ (3)经过多长时间，四边形是矩形？ 【答案】(1)， (2)经过，四边形是平行四边形 (3)经过，四边形是矩形 【分析】此题主要考查平行四边形和矩形的性质： （1）根据题意可得，， （2）设经过，四边形为平行四边形，根据，，列出方程进行求解； （3）设经过，四边形为矩形，根据，列出方程进行求解； 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∴； 故答案为：， （2）解：设经过，四边形为平行四边形，此时， 所以， 解得：； 即经过，四边形是平行四边形 （3）解：设经过，四边形为矩形，此时， 所以， 解得：， 即经过，四边形是矩形． 15．如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1) ； ； ； ； (2)当t为多少秒时，四边形成为矩形？请求出t值 (3)当t为多少时，？（直接写出答案即可） (4)是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)；3t；18；； (2) (3)或 (4)存在，，4或 【分析】（1）由题意可得，，，则，过点作于点，则四边形是矩形，得到，，，从而得出，进而表示出和； （2）当时，四边形成为矩形，列方程求解即可； （3）分两种情况讨论：当时，四边形是平行四边形，此时；当四边形是等腰梯形时，，过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形，分别列方程求解即可； （4）是等腰三角形时，分三种情况讨论，利用边相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，， ， ， 如图，过点作于点，则四边形是矩形， ，，， ， ， ， 故答案为：；；18；； （2）解：，， 当时，四边形成为矩形， ， 解得， 即当t为秒时，四边形成为矩形； （3）解：当时，四边形是平行四边形，此时， ， 解得； 当四边形是等腰梯形时，， 过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形， ，， ， ， ， 解得， 综上可知，当t为或秒时，； （4）解：存在，，4或， 是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时，如图，过点作于点， 由（1）可知，，， ，， ， ， 解得； ②当时，， 解得； ③当时，如图， 则，， 在中，, 解得， 综上可知，存在使得是等腰三角形，t的值为，4或． 【点睛】本题考查了动点问题，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的定义，一元一次方程的应用，勾股定理等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 2 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $