第11讲 圆锥曲线单元复习（知识梳理+25大题型精讲+过关测）（寒假预习讲义）高二数学沪教版

第11讲 圆锥曲线单元复习 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：圆的标准方程 1.基本要素：当圆心的位置与半径的大小确定后，圆就唯一确定了，因此，确定一个圆的基本要素是圆心和半径. 2.标准方程：圆心为，半径为r的圆的标准方程是. 3.图例： 若点在圆上，则点的坐标适合方程；反之，若点的坐标适合方程，则点M在圆上. 知识点2：求圆的标准方程 求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法． （1）几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心． （2）圆的标准方程中含有三个参数a，b，r，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程．这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件． 知识点3：点与圆的位置关系 圆C：，其圆心为，半径为，点， 设. 位置关系 与的大小 图示 点P的坐标的特点 点在圆外 点在圆上 点在圆内 知识点4：圆的一般方程 当时，方程表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程，其中圆心为，半径. 知识点5：待定系数法求圆的一般方程 求圆的方程常用“待定系数法”，用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： ①根据题意，选择标准方程或一般方程； ②根据条件列出关于或的方程组； ③解出或，代入标准方程或一般方程． 知识点6：直线与圆的位置关系及判断 位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 判定方法：（1）几何判定法： 设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离： 1 d>r⇔圆与直线相离； 2 d＝r⇔圆与直线相切； ③d<r⇔圆与直线相交． （2）代数判定法： 由消元，得到一元二次方程的判别式，则 ①⇔直线与圆相交； ②⇔直线与圆相切； 3 ⇔直线与圆相离. 知识点7： 弦长 设直线的方程为，圆的方程为，弦长的求法有几何法和代数法： （1）几何法:如图,直线与圆交于两点,设弦心距为,圆的半径为,弦长为,则有,即 . （2）代数法:如图,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是,则 (直线的斜率存在). 知识点8： 直线与圆相切的相关知识点 1.性质：（1）直线与圆有且只有一个公共点 (2)直线所在的方程与圆所在的方程组成的方程组有且只有一组解. （3）从圆外一点引圆的切线，切线长相等. (4)过切点过圆心的直线与切线垂直. 2.求切线方程的常用方法： （1）求过圆上一点的圆的切线方程的方法 先求切点与圆心的连线所在直线的斜率，再由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可得切线方程．若或不存在，则可直接得切线方程为或． （2）求过圆外一点的圆的切线方程的方法： ①几何法．设切线方程为，即，由圆心到直线的距离等于半径长，可求得，切线方程即可求出． ②代数法．设切线方程为，即，代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出． 注意过圆外一点的切线必有两条. 知识点9： 利用直线与圆的位置关系求范围 （1）判断或处理直线和圆的位置的问题，一般有两种方法，一是几何法，利用圆的几何性质解题，二是代数法，联立圆与直线的方程，利用判别式，根与系数关系来处理，在做题时要用心作图，很多题目要用到数形结合的思想． （2）若是定圆上的一动点，则和这两种形式的最值，一般都有两种求法，分别是几何法和代数法． ①几何法．的最值：设，圆心到直线的距离为，由即可解得两个值，一个为最大值，一个为最小值． 的最值：即点与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值． ②代数法．的最值：设，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值． 的最值：设，则，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值． 知识点10： 圆与圆位置关系及判断 （1）几何法 位置关系 公共点个数 圆心距与半径的关系 图示 两圆相离 0 两圆内含 两圆相交 2 两圆内切 1 两圆外切 其中和分别是圆和圆的半径, . （2）代数法 联立两圆的方程组成方程组,则方程组解的个数与两圆的位置关系如下: 方程组解的个数 2 1 0 两圆的公共点个数 2 1 0 两圆的位置关系 相交. 外切或内切 相离或内含 知识点11： 两圆的公共弦 （1）若两圆相交，则有一条公共弦，将两圆的方程相减求两圆公共弦所在的直线方程时，必须注意只有当两圆方程中二次项的系数相同时，才能如此求解，若二次项的系数不同，需先调整方程中各项的系数． （2）求两圆公共弦长有两种方法：一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形求解． 知识点12： 椭圆的定义 1．椭圆的第一定义 平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆，其中，这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距． 2．椭圆的第二定义 平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e＝（0＜e＜1，其中a是半长轴，c是半焦距）的点的轨迹叫做椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e叫椭圆的离心率． 3．注意要点椭圆第一定义中，椭圆动点P满足{P||PF1|+|PF2|＝2a （a＞0）}． （1）当2a＞|F1F2|时，动点P的轨迹是椭圆； （2）当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2； （3）当2a＜|F1F2|时，动点P没有运动轨迹． 【注意】椭圆定义中的限制条件：只有当平面内动点P与两个定点F1、F2的距离的和2a＞|F1F2|时，其轨迹才为椭圆． 知识点13： 椭圆的标准方程 椭圆标准方程的两种形式： （1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c； （2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c． 两种形式相同点：a＞b＞0；a2＝b2+c2 两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同． 标准方程 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上 图形 顶点 A（a，0），A′（﹣a，0） B（0，b），B′（0，﹣b） A（b，0），A′（﹣b，0） B（0，a），B′（0，﹣a） 对称轴 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c） 焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 离心率 e＝（0＜e＜1） e＝（0＜e＜1） 准线 x＝± y＝± 知识点14： 双曲线的定义 平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 对于双曲线的定义，有以下理解: 在双曲线的定义中，“距离的差”要加绝对值，否则只表示双曲线的一支，如若，为双曲线的左、右焦点，则有如下两种情形: (1)若点满足(>0)，则点在双曲线的左支上． (2)若点满足(>0)，则点在双曲线的右支上． 知识点15： 双曲线的标准方程 1． 焦点在轴上的双曲线的标准方程为(>0，>0)，焦点分别是，． 2. 焦点在轴上的双曲线的标准方程为(>0，>0)，焦点分别是，． 3.，，三者的关系为．且 其中a与b的大小关系:可以为 在双曲线的标准方程中，长度分别为，，的三条线段恰好构成一个直角三角形，且长度为的线段是斜边，如图所示． 补充讲解：(1)标准方程中的两个参数和确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件． (2)焦点，的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型，焦点跟着正项走，即若的系数为正，则焦点在轴上；若的系数为正，则焦点在轴上． (3)当且仅当双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形式． (4)双曲线的标准方程的特征是(数Ⅰ与数Ⅱ异号)，因此方程又可写为()，这种形式是当焦点所在的坐标轴不易判断时的统一设法． 椭圆与双曲线的比较如下表： 椭圆 双曲线 定义 与的关系 的关系 标准方程 或 或 图象 焦点在轴上 焦点在轴上 知识点16： 双曲线的相关性质 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 图　形 性　质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 补充讲解：1．等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率 等轴双曲线可以设为：，当时交点在x轴，当时焦点在y轴上 2．共渐近线的双曲线系 如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：或写成 3．双曲线的草图 具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线 4．离心率 双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率 范围： 双曲线形状与e的关系：，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔 5．共轭双曲线 以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同 共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上 确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1 共用同一对渐近线的双曲线的方程具有什么样的特征：可设为，当时交点在x轴，当时焦点在y轴上 6.准线方程： 对于来说，相对于左焦点对应着左准线，相对于右焦点对应着右准线； 位置关系： 焦点到准线的距离（也叫焦参数） 对于来说，相对于上焦点对应着上准线；相对于下焦点对应着下准线 7．焦点弦： 定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦 焦点弦公式：可以通过两次焦半径公式得到： 设两交点 当双曲线焦点在x轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关： 过左焦点与左支交于两点时： 过右焦点与右支交于两点时： 当双曲线焦点在y轴上时， 过左焦点与左支交于两点时： 过右焦点与右支交于两点时： 8．通径： 定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 直接应用焦点弦公式，得到 知识点17： 抛物线的定义 1、定义：我们把平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线． 2、焦点：定点F叫做抛物线的焦点. 3、准线：直线l叫做抛物线的准线. 4、集合表示：. 5、注意事项： （1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线． （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 知识点18： 抛物线的标准方程 根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 知识点诠释： ①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程； ②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下） ③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线的一次项的系数为，故其焦点坐标是． ④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数．用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论． ⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况． 知识点19： 抛物线的几何性质 标准方程 图象 x y O F M P x y O F M P x y O F M P x y O F M P 焦点 准线方程 范围 顶点 原点 对称轴 轴 轴 通径 通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径． 刻画了抛物线开口的大小，值越大，开口越宽；值越小，开口越窄． 设为抛物线上一点 焦半径 设过焦点的直线与抛物线交于两点 焦点弦 离心率 知识点20： 方法技巧 由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法 1、已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意； 2、焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴。 直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况： 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）. 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数. ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点. ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点. 知识点21： 二级结论 1、点与抛物线的关系 （1）在抛物线内（含焦点）．x y O F A B M N α （2）在抛物线上． （3）在抛物线外． 2、的几何意义 为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． 3、焦点弦 若为抛物线的焦点弦，，，则有 以下结论： （1）．（2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为． 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）． （4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． （5）； （6）以弦为直径的圆与准线相切，以或者为直径的圆与轴相切； （7）过焦点弦端点的两条切线互相垂直且交点在准线上； （8）三点共线，三点共线． 4、抛物线中的点差法 已知直线与交于两点，中点 将两点代入抛物线方程，， ，即． 结论①：在抛物线中，弦中点与斜率的关系式为：； 结论②：抛物线上一点处的切线方程为：，斜率（存在时）； 结论③：过抛物线外一点引抛物线的两条切线，切点弦的方程为：． 结论④弦长公式： 结论⑤直线AB的方程为 结论⑥线段AB的垂直平分线方程为 【题型1 圆的标准方程】 例1某圆经过两点，圆心在直线上，则该圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 例2（25-26高二上·上海·期中）设圆方程为，则圆的面积为 ． 变式1（25-26高二上·上海·期中）若圆的半径是3，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为 ． 变式2（2025高二上·上海·专题练习）已知圆方程，则该圆心坐标是 变式3（24-25高二下·上海·月考）圆心是且过点的圆的方程为 . 【题型2点与圆的位置关系】 例3（25-26高二上·上海·月考）已知直线l：与圆C：，点，则下列说法错误的是（    ） A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 例4若方程的曲线经过点，则m的值为 ． 变式1若过点总有两条直线与圆相切，则实数的取值范围是 ． 变式2关于的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是 . 变式3（23-24高二下·上海·月考）若对任意实数，直线与圆至少有一个交点，则实数的取值范围是 ． 【题型3圆的一般方程】 例5（25-26高二上·上海浦东新·期中）已知圆的面积为，则实数 . 例6（24-25高二下·上海·月考）圆的半径为 . 变式1（24-25高二上·上海·课前预习）如果二元二次方程（A、B、C不同时为零）所表示的曲线是圆，那么方程的系数A、B、C、D、E、F应满足什么条件？ 变式2（23-24高二上·上海·课后作业）讨论方程（为任意实数）所表示的曲线． 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）求经过、、三点的圆的方程． 【题型4圆的切线方程】 例7（24-25高二下·上海闵行·期末）已知点在圆上，则过点M的圆C的切线方程为 ． 例8（24-25高二上·上海·期中）经过点且与圆相切的直线方程为 . 变式1（22-23高二上·上海浦东新·期中）已知圆，则过点的圆的切线方程为 . 变式2（23-24高二上·上海·课后作业）求经过点且与圆相切的直线的方程． 变式3解答下列问题． (1)求经过点且与相切的直线的方程； (2)求经过点且与圆相切的直线的方程． 【题型5弦长问题】 例9（24-25高二下·上海·期末）过圆外一点任意引一条割线交圆于、两点，求弦的中点的轨迹是 ． 例10（25-26高二上·上海·月考）若直线截圆所得的弦长是8，则 ． 变式1（23-24高二下·上海松江·月考）已知直线与圆相交于两点，且，则实数 . 变式2（24-25高二下·上海·月考）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若过定点的直线被圆所截得的弦长为6，求直线的方程. 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线与直线垂直，且它被圆所截得的线段的长为，求直线的方程． 【题型6过交点方程】 例11求过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程（    ） A． B． C． D． 例12过曲线与曲线的交点的圆的方程为 . 变式1已知圆，. (1)求过两圆交点的直线方程； (2)求过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程． 变式2求过两圆与的交点的直线方程和圆心在直线上的圆的方程. 变式3已知圆，与圆和直线：． （1）求过两圆的交点的直线方程； （2）求圆心在直线上且过两圆交点的圆的方程． 【题型7位置关系问题及求解参数】 例13直线与圆 相切，则实数m的值是（     ） A．±1 B．±2 C．±4 D．±8 例14（25-26高二上·上海·期中）若直线与圆相切，则实数 . 变式1（25-26高二上·上海·月考）在平面直角坐标系中，“直线，与曲线相切”的充要条件是 . 变式2（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是 ． 变式3已知圆的方程是．当为何值时，直线与圆分别有两个不同的交点？一个交点？没有交点？ 【题型8利用位置关系求最值】 例15若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D．10 例16已知直线与轴､轴相交于两点，点在圆上移动，则面积的最大值与最小值之和为 ． 变式1过直线：上点作圆的切线，､为两切点，若直线上不存在满足的点，则的取值范围为 . 变式2直线分别与x轴､y轴相交于A､B两点，点P在圆上运动，则面积的最小值为 . 变式3已知圆C的圆心为，且与直线相切， （1）求该圆的方程； （2）若点P在圆C上运动，求的最大值和最小值. 【题型9椭圆的标准方程】 例17（24-25高二下·上海松江·月考）“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 例18（24-25高二·上海·随堂练习）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 变式1（24-25高二下·上海·月考）已知椭圆C的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为6，焦距为4，则椭圆C的标准方程可能为 ． 变式2（24-25高二上·上海·期中）已知椭圆的一个焦点是，且经过点．则这个椭圆的标准方程为 ． 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）已知椭圆的一个焦点是，且椭圆经过点，求这个椭圆的标准方程． 【题型10椭圆几何性质的简单应用】 例19（25-26高二上·上海·期中）椭圆的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 例20（25-26高二上·上海·期中）椭圆的焦距为 . 变式1（25-26高二上·上海·期中）椭圆的长轴长为 . 变式2（22-23高二下·上海浦东新·期中）设P是椭圆上任意一点，F为C的右焦点，的最小值为，则椭圆C的长轴长为 ． 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）求椭圆的长轴和短轴的长，焦点和顶点的坐标． 【题型11求椭圆的离心率（或范围）】 例21（22-23高二上·上海浦东新·期末）设、椭圆的左、右焦点，椭圆上存在点M，，，使得离心率，则e取值范围为（    ） A．（0，1） B． C． D． 例22（25-26高二上·上海·期中）已知，，椭圆的焦距为，若，则该椭圆的离心率 ． 变式1（25-26高二上·上海·开学考试）在中，，以为焦点，且经过点的椭圆的离心率 ． 变式2（24-25高二上·上海·期中）三角形三边长分别为4、5、6，则以边长为5的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的椭圆的离心率为 ． 变式3已知焦点在轴上的椭圆C：的离心率为，则实数 ． 【题型12直线与椭圆】 例23直线与椭圆恒有两个不同的交点，则a的取值范围是 ． 例24若关于x的方程有解，则实数b的取值范围是 ． 变式1已知直线交椭圆于点、，点在此椭圆上运动．求点到直线的距离的最大值？ 变式2已知直线与椭圆相交于不同两点，求实数的取值范围． 变式3求椭圆的斜率为1的平行弦的中点的轨迹． 【题型13椭圆的中点弦问题】 例25（24-25高二下·上海·期中）若椭圆的一条弦的中点为，则直线的斜截式方程为 ． 例26已知焦点在轴上的椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，则正数 . 变式1双曲线的弦被点平分，则直线的方程为 ． 变式2（24-25高二下·上海·月考）已知直线与曲线. (1)若与有公共点，求实数的取值范围； (2)若与有两个不同的公共点，且线段中点的横坐标为，求实数的值. 变式3已知椭圆E的焦点在x轴上，焦距为且过点， （1）求该椭圆方程； （2）求椭圆E中斜率为1的平行弦的中点的轨迹方程. 【题型14椭圆有关的最值，定值问题】 例27（24-25高二上·上海·期中）若点、是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一动点，点的坐标为，则周长的最小值为 . 例28设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为 . 变式1已知定点到椭圆上的点的距离的最小值为1，则a的值为 ． 变式2（22-23高二上·上海宝山·月考）已知是椭圆上的动点，且与的四个顶点不重合，分别是椭圆的左､右焦点，若点在的平分线上，且，则的取值范围是 . 变式3（24-25高二上·上海·课堂例题）在直角坐标系xOy中，椭圆C：的焦距为，长轴长是短轴长的2倍，斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于A、B． (1)求椭圆的标准方程； (2)若P为线段AB的中点，设OP的斜率为，求证：为定值． 【题型15双曲线的定义】 例29（22-23高二下·上海普陀·月考）半径不等的两定圆、无公共点，动圆O与、都内切，则圆心O的轨迹是（    ） A．双曲线的一支 B．椭圆 C．双曲线的一支或椭圆 D．抛物线或椭圆 例30（25-26高二上·上海·期中）方程可化简为 . 变式1（24-25高二上·上海浦东新·月考）设集合，是双曲线，则 ． 变式2（24-25高二·上海·随堂练习）已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点M在双曲线的右支上，且，则 ． 变式3已知P是双曲线右支上任意一点，,分别为左、右焦点，设，，则= . 【题型16双曲线的标准方程】 例31（25-26高二上·上海松江·月考）若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是 ． 例32（24-25高二上·上海·月考）与椭圆有公共焦点，且过点的双曲线方程为 . 变式1（24-25高二上·上海·课堂例题）双曲线C：的两个焦点为、，点在双曲线C上，且满足，则双曲线C的标准方程为 ． 变式2已知双曲线过和两点，求双曲线的标准方程． 变式3求以椭圆的焦点为顶点，以椭圆长轴的顶点为焦点的双曲线方程. 【题型17双曲线几何性质的简单应用】 例33（24-25高二上·上海松江·期中）设P是双曲线上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，若，则 . 例34（22-23高二下·上海·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与左支交于两点，若，且双曲线的实轴长为，则的周长为 . 变式1（23-24高二上·上海·期中）点到点的距离之差为，到轴、轴距离之比为，则的取值范围是 . 变式2若椭圆和双曲线有相同的焦点､，点P是两曲线的一个公共点，求的值. 变式3求双曲线的焦点坐标与准线方程． 【题型18直线与双曲线】 例35（25-26高二上·上海·期中）双曲线与直线l： (m∈R)的公共点的个数为 . 例36（24-25高二下·上海·期中）已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围是 ． 变式1（22-23高二下·上海徐汇·期中）已知直线和双曲线，若l与C的右支交于不同的两点，则t的取值范围是 ． 变式2（22-23高二上·上海闵行·期中）直线与曲线的公共点的个数是 . 变式3已知双曲线，直线l经过点，且与双曲线交于两点，线段的垂直平分线过点，求直线的方程． 【题型19求双曲线的离心率（或范围）】 例37设、分别为双曲线的左右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点，与双曲线右支交于点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 例38（24-25高二下·上海·期末）已知双曲线：，则的离心率为 . 变式1（24-25高二上·上海·课堂例题）已知双曲线，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为P，Q在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为 ． 变式2设，则双曲线的离心率的取值范围是 . 变式3（24-25高二下·上海·月考）已知双曲线的左右焦点为. (1)若双曲线的离心率为，且是正三角形，求的方程； (2)若，点在双曲线的右支上，且直线的斜率为，若，求. 【题型20双曲线有关的最值，定值问题】 例39已知双曲线：，点P为曲线在第三象限一个动点，以下两个命题，则（    ） ①点P到双曲线两条渐近线的距离为，，则为定值. ②已知A、B是双曲线上关于原点对称不同于P的两个点，若PA、PB的斜率存在且分别为，，则为定值. A．①真②真 B．①假②真 C．①真②假 D．①假②假 例40过椭圆右焦点F的圆与圆外切，该圆直径的端点Q的轨迹记为曲线C，若P为曲线C上的一动点，则长度最小值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 变式1从双曲线上任意一点引实轴的平行线，与它的渐近线相交于两点，则的值为 ． 变式2（24-25高二下·上海·月考）已知双曲线的左､右焦点分别为，过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于两点，是的中点，为坐标原点，若直线的斜率为，则的值是 . 变式3已知方程所表示的曲线为E，点，直线． (1)当直线与曲线只有一个公共点时，求的值； (2)若，求曲线上的动点到点的距离的最小值． 【题型21抛物线的定义】 例41（22-23高二·全国·单元测试）若点满足方程，则点的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 例42（22-23高二下·上海普陀·期中）设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点,若为的重心，则 变式1（22-23高二下·上海闵行·开学考试）已知抛物线上一点到此抛物线焦点的距离为，那么点的纵坐标为 . 变式2抛物线上到焦点的距离等于6的点的坐标是 ． 变式3若M是抛物线上一动点，点，设是点M到准线的距离，要使最小，求点M的坐标． 【题型22抛物线的标准方程】 例43（24-25高二下·上海·月考）已知点在以为焦点的抛物线上，若，则 . 例44（24-25高二下·上海嘉定·月考）已知点在抛物线上，则点到抛物线焦点的距离是 . 变式1（23-24高二上·上海·月考）假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽AB为2m，渠深OC为1.5m，水面EF距AB为0.5m，则截面图中水面宽EF的长度约为 m．（精确到0.01） 变式2（23-24高二上·上海·课后作业）求以坐标原点为顶点，以轴为对称轴，并经过点的抛物线的标准方程． 变式3 （23-24高二上·上海·课后作业）已知一隧道的顶部是抛物拱形，拱高是1米，跨度为2米，建立适当的平面直角坐标系，求相应坐标系下此拱形的抛物线方程． 【题型23抛物线几何性质的简单应用】 例45（23-24高二下·上海松江·月考）已知抛物线的焦点为，若是该抛物线上一点，点，则的最小值 . 例46已知曲线由抛物线及抛物线组成，若，，，是曲线上关于轴对称的两点，，，，四点不共线，其中点在第一象限，则四边形周长的最小值为 ． 变式1已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为 . 变式2已知点A的坐标为，点P是抛物线上的点，则使得是等腰三角形的点P的个数是 ． 变式3（24-25高二上·上海·课前预习）如何通过方程说明抛物线的范围？ 【题型24直线与抛物线】 例47已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 例48过点与抛物线有且只有一个交点的直线有（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 变式1已知直线与曲线只有一个公共点，则实数的值为 ． 变式2已知过点的直线与抛物线相交于不同的两点，为直线斜率，则k的取值范围为 . 变式3已知抛物线的方程为，求过点且与抛物线只有一个公共点的直线方程. 【题型25抛物线有关的最值，定值问题及综合应用】 例49直线与抛物线相交于两点，则 ． 例50已知点在抛物线上，过点的直线交抛物线于，两点，若直线，的斜率分别为，，则等于 . 变式1已知点P在抛物线上，P到的距离是，P到的距离是，则的最小值为 . 变式2已知直线：，抛物线：图像上的一动点到直线与到轴距离之和的最小值为 . 变式3给定抛物线，设，，是抛物线上的一点，且，试求的最小值. 一、填空题 1．（24-25高二下·上海徐汇·月考）抛物线上一点到点的距离最小值为 2．（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知圆的方程是，则这个圆的半径是 . 3．（24-25高二下·上海·月考）双曲线两渐近线夹角的正切值为 . 4．（24-25高二下·上海·开学考试）已知抛物线的焦点到准线距离为2，过焦点的直线交抛物线于，两点，且，点关于原点的对称点为，则 ． 5．（25-26高二上·上海·月考）已知双曲线：的左、右焦点为 ，点 在双曲线 的右支上，点 关于原点的对称点为 ，则 6．（24-25高二上·上海·单元测试）已知、是椭圆C：的两个焦点，点在C上，则的最大值为 ． 7．（24-25高二下·上海·月考）已知圆上一点，则的最大值为 . 8．（24-25高二上·上海·月考）已知双曲线，若双曲线的一条弦的中点为，则这条弦所在直线的斜率为 ． 9．（24-25高二下·上海·月考）已知点是抛物线上的动点，点是圆上的动点，则两点间的最短距离为 ． 10．（24-25高二上·上海·月考）已知双曲线C：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点.则曲线C的方程为 . 11．（24-25高二上·上海·单元测试）已知椭圆E：的焦距为4，平行四边形ABCD内接于椭圆E，且直线AB与AD的斜率之积为，则椭圆E的方程为 ． 12．（24-25高二下·上海·单元测试）已知椭圆C：的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则椭圆C的离心率为 ． 二、单选题 13．（24-25高二下·上海闵行·期末）抛物线的焦点为，点P是抛物线上任意一点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 14．（24-25高二上·上海·期末）已知圆，圆则两个圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 15．（23-24高二上·上海青浦·期末）设椭圆的左右焦点为，，点P在该椭圆上，则使得为等腰三角形的点P的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 16．（23-24高二上·上海·月考）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的横坐标之和等于3，则这样的直线（    ） A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在 三、解答题 17．（23-24高二上·上海·课后作业）分别写出满足下列条件的动点的轨迹方程： (1)点到点、的距离之和为10； (2)点到点、的距离之和为12； (3)点到点、的距离之和为8． 18．（24-25高二下·上海·月考）判断圆与圆的位置关系并说明理由.若有公共点，则求出公共点坐标. 19．（25-26高二上·上海浦东新·期中）已知双曲线，其右顶点为，右焦点为. (1)求以为圆心，且与双曲线的两条渐近线都相切的圆的标准方程； (2)设直线经过且与的两条渐近线中的一条平行，与另一条相交且交点在第一象限.求直线被（1）中圆截得的弦长. 20．（25-26高二上·上海浦东新·月考）某市为庆祝建党104周年，举办城市发展巡展活动，巡展的车队要经过一个单行隧道，隧道横断面由一段抛物线及一个矩形的三边组成，尺寸如图（单位：m）． (1)以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求该段抛物线所在抛物线的方程； (2)为保证安全，要求车辆顶部与隧道顶部在竖直方向上高度差至少要有0.5米，若现有一宽3m的载运集装箱车辆需通过该隧道，请计算车辆的限制高度为多少米？（精确至0.1米） 21．（24-25高二上·上海·期中）已知焦点为的抛物线上存在不同的两点，（异于原点）． (1)若且，求直线的方程； (2)若，求线段的最小值； (3)若点，，三点共线，求的取值范围． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 圆锥曲线单元复习 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：圆的标准方程 1.基本要素：当圆心的位置与半径的大小确定后，圆就唯一确定了，因此，确定一个圆的基本要素是圆心和半径. 2.标准方程：圆心为，半径为r的圆的标准方程是. 3.图例： 若点在圆上，则点的坐标适合方程；反之，若点的坐标适合方程，则点M在圆上. 知识点2：求圆的标准方程 求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法． （1）几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心． （2）圆的标准方程中含有三个参数a，b，r，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程．这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件． 知识点3：点与圆的位置关系 圆C：，其圆心为，半径为，点， 设. 位置关系 与的大小 图示 点P的坐标的特点 点在圆外 点在圆上 点在圆内 知识点4：圆的一般方程 当时，方程表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程，其中圆心为，半径. 知识点5：待定系数法求圆的一般方程 求圆的方程常用“待定系数法”，用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： ①根据题意，选择标准方程或一般方程； ②根据条件列出关于或的方程组； ③解出或，代入标准方程或一般方程． 知识点6：直线与圆的位置关系及判断 位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 判定方法：（1）几何判定法： 设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离： 1 d>r⇔圆与直线相离； 2 d＝r⇔圆与直线相切； ③d<r⇔圆与直线相交． （2）代数判定法： 由消元，得到一元二次方程的判别式，则 ①⇔直线与圆相交； ②⇔直线与圆相切； 3 ⇔直线与圆相离. 知识点7： 弦长 设直线的方程为，圆的方程为，弦长的求法有几何法和代数法： （1）几何法:如图,直线与圆交于两点,设弦心距为,圆的半径为,弦长为,则有,即 . （2）代数法:如图,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是,则 (直线的斜率存在). 知识点8： 直线与圆相切的相关知识点 1.性质：（1）直线与圆有且只有一个公共点 (2)直线所在的方程与圆所在的方程组成的方程组有且只有一组解. （3）从圆外一点引圆的切线，切线长相等. (4)过切点过圆心的直线与切线垂直. 2.求切线方程的常用方法： （1）求过圆上一点的圆的切线方程的方法 先求切点与圆心的连线所在直线的斜率，再由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可得切线方程．若或不存在，则可直接得切线方程为或． （2）求过圆外一点的圆的切线方程的方法： ①几何法．设切线方程为，即，由圆心到直线的距离等于半径长，可求得，切线方程即可求出． ②代数法．设切线方程为，即，代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出． 注意过圆外一点的切线必有两条. 知识点9： 利用直线与圆的位置关系求范围 （1）判断或处理直线和圆的位置的问题，一般有两种方法，一是几何法，利用圆的几何性质解题，二是代数法，联立圆与直线的方程，利用判别式，根与系数关系来处理，在做题时要用心作图，很多题目要用到数形结合的思想． （2）若是定圆上的一动点，则和这两种形式的最值，一般都有两种求法，分别是几何法和代数法． ①几何法．的最值：设，圆心到直线的距离为，由即可解得两个值，一个为最大值，一个为最小值． 的最值：即点与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值． ②代数法．的最值：设，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值． 的最值：设，则，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值． 知识点10： 圆与圆位置关系及判断 （1）几何法 位置关系 公共点个数 圆心距与半径的关系 图示 两圆相离 0 两圆内含 两圆相交 2 两圆内切 1 两圆外切 其中和分别是圆和圆的半径, . （2）代数法 联立两圆的方程组成方程组,则方程组解的个数与两圆的位置关系如下: 方程组解的个数 2 1 0 两圆的公共点个数 2 1 0 两圆的位置关系 相交. 外切或内切 相离或内含 知识点11： 两圆的公共弦 （1）若两圆相交，则有一条公共弦，将两圆的方程相减求两圆公共弦所在的直线方程时，必须注意只有当两圆方程中二次项的系数相同时，才能如此求解，若二次项的系数不同，需先调整方程中各项的系数． （2）求两圆公共弦长有两种方法：一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形求解． 知识点12： 椭圆的定义 1．椭圆的第一定义 平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆，其中，这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距． 2．椭圆的第二定义 平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e＝（0＜e＜1，其中a是半长轴，c是半焦距）的点的轨迹叫做椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e叫椭圆的离心率． 3．注意要点椭圆第一定义中，椭圆动点P满足{P||PF1|+|PF2|＝2a （a＞0）}． （1）当2a＞|F1F2|时，动点P的轨迹是椭圆； （2）当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2； （3）当2a＜|F1F2|时，动点P没有运动轨迹． 【注意】椭圆定义中的限制条件：只有当平面内动点P与两个定点F1、F2的距离的和2a＞|F1F2|时，其轨迹才为椭圆． 知识点13： 椭圆的标准方程 椭圆标准方程的两种形式： （1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c； （2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c． 两种形式相同点：a＞b＞0；a2＝b2+c2 两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同． 标准方程 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上 图形 顶点 A（a，0），A′（﹣a，0） B（0，b），B′（0，﹣b） A（b，0），A′（﹣b，0） B（0，a），B′（0，﹣a） 对称轴 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c） 焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 离心率 e＝（0＜e＜1） e＝（0＜e＜1） 准线 x＝± y＝± 知识点14： 双曲线的定义 平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 对于双曲线的定义，有以下理解: 在双曲线的定义中，“距离的差”要加绝对值，否则只表示双曲线的一支，如若，为双曲线的左、右焦点，则有如下两种情形: (1)若点满足(>0)，则点在双曲线的左支上． (2)若点满足(>0)，则点在双曲线的右支上． 知识点15： 双曲线的标准方程 1． 焦点在轴上的双曲线的标准方程为(>0，>0)，焦点分别是，． 2. 焦点在轴上的双曲线的标准方程为(>0，>0)，焦点分别是，． 3.，，三者的关系为．且 其中a与b的大小关系:可以为 在双曲线的标准方程中，长度分别为，，的三条线段恰好构成一个直角三角形，且长度为的线段是斜边，如图所示． 补充讲解：(1)标准方程中的两个参数和确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件． (2)焦点，的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型，焦点跟着正项走，即若的系数为正，则焦点在轴上；若的系数为正，则焦点在轴上． (3)当且仅当双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形式． (4)双曲线的标准方程的特征是(数Ⅰ与数Ⅱ异号)，因此方程又可写为()，这种形式是当焦点所在的坐标轴不易判断时的统一设法． 椭圆与双曲线的比较如下表： 椭圆 双曲线 定义 与的关系 的关系 标准方程 或 或 图象 焦点在轴上 焦点在轴上 知识点16： 双曲线的相关性质 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 图　形 性　质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 补充讲解：1．等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率 等轴双曲线可以设为：，当时交点在x轴，当时焦点在y轴上 2．共渐近线的双曲线系 如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：或写成 3．双曲线的草图 具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线 4．离心率 双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率 范围： 双曲线形状与e的关系：，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔 5．共轭双曲线 以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同 共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上 确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1 共用同一对渐近线的双曲线的方程具有什么样的特征：可设为，当时交点在x轴，当时焦点在y轴上 6.准线方程： 对于来说，相对于左焦点对应着左准线，相对于右焦点对应着右准线； 位置关系： 焦点到准线的距离（也叫焦参数） 对于来说，相对于上焦点对应着上准线；相对于下焦点对应着下准线 7．焦点弦： 定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦 焦点弦公式：可以通过两次焦半径公式得到： 设两交点 当双曲线焦点在x轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关： 过左焦点与左支交于两点时： 过右焦点与右支交于两点时： 当双曲线焦点在y轴上时， 过左焦点与左支交于两点时： 过右焦点与右支交于两点时： 8．通径： 定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 直接应用焦点弦公式，得到 知识点17： 抛物线的定义 1、定义：我们把平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线． 2、焦点：定点F叫做抛物线的焦点. 3、准线：直线l叫做抛物线的准线. 4、集合表示：. 5、注意事项： （1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线． （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 知识点18： 抛物线的标准方程 根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 知识点诠释： ①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程； ②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下） ③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线的一次项的系数为，故其焦点坐标是． ④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数．用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论． ⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况． 知识点19： 抛物线的几何性质 标准方程 图象 x y O F M P x y O F M P x y O F M P x y O F M P 焦点 准线方程 范围 顶点 原点 对称轴 轴 轴 通径 通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径． 刻画了抛物线开口的大小，值越大，开口越宽；值越小，开口越窄． 设为抛物线上一点 焦半径 设过焦点的直线与抛物线交于两点 焦点弦 离心率 知识点20： 方法技巧 由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法 1、已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意； 2、焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴。 直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况： 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）. 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数. ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点. ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点. 知识点21： 二级结论 1、点与抛物线的关系 （1）在抛物线内（含焦点）．x y O F A B M N α （2）在抛物线上． （3）在抛物线外． 2、的几何意义 为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． 3、焦点弦 若为抛物线的焦点弦，，，则有 以下结论： （1）．（2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为． 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）． （4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． （5）； （6）以弦为直径的圆与准线相切，以或者为直径的圆与轴相切； （7）过焦点弦端点的两条切线互相垂直且交点在准线上； （8）三点共线，三点共线． 4、抛物线中的点差法 已知直线与交于两点，中点 将两点代入抛物线方程，， ，即． 结论①：在抛物线中，弦中点与斜率的关系式为：； 结论②：抛物线上一点处的切线方程为：，斜率（存在时）； 结论③：过抛物线外一点引抛物线的两条切线，切点弦的方程为：． 结论④弦长公式： 结论⑤直线AB的方程为 结论⑥线段AB的垂直平分线方程为 【题型1 圆的标准方程】 例1某圆经过两点，圆心在直线上，则该圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的平面几何性质可知圆心在的中垂线上，联立方程可得圆心坐标，再求出半径即可得解. 【详解】因为圆经过两点， 所以圆心在中垂线上， 联立解得圆心，所以圆的半径， 故所求圆的方程为， 故选：D 例2（25-26高二上·上海·期中）设圆方程为，则圆的面积为 ． 【答案】 【分析】将方程化为标准式，进而可得半径和面积. 【详解】因为圆方程为，即， 可知圆的半径，所以圆的面积为. 故答案为；. 变式1（25-26高二上·上海·期中）若圆的半径是3，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】先求出点关于直线的对称点，即可写出标准方程. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，，解得，则圆心坐标为， 则圆的标准方程为. 故答案为： 变式2（2025高二上·上海·专题练习）已知圆方程，则该圆心坐标是 【答案】 【分析】将圆的方程化为标准方程即可看出. 【详解】依题意，圆转化为标准方程得，所以圆心坐标为. 故答案为：. 变式3（24-25高二下·上海·月考）圆心是且过点的圆的方程为 . 【答案】 【分析】求出圆的半径，即可得出所求圆的方程. 【详解】解析：由题可得圆的半径为， 又圆心为所以圆的方程为. 故答案为：. 【题型2点与圆的位置关系】 例3（25-26高二上·上海·月考）已知直线l：与圆C：，点，则下列说法错误的是（    ） A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 【答案】C 【分析】利用点线距离公式求圆心与直线距离，结合点与圆的位置关系判断与圆的半径大小，即可判断各项直线与圆的位置关系. 【详解】圆心到直线l的距离， 若点在圆C上，则，所以，则直线l与圆C相切，故A正确； 若点在圆C内，则，所以，则直线l与圆C相离，故B正确； 若点在圆C外，则，所以，则直线l与圆C相交，故C错误； 若点在直线l上，则，即，所以，直线l与圆C相切，故D正确． 故选：C 例4若方程的曲线经过点，则m的值为 ． 【答案】或/1或-3 【分析】根据点在曲线上即可求解. 【详解】因为方程的曲线经过点， 所以，即，解得或， 所以m的值为或. 故答案为：或. 变式1若过点总有两条直线与圆相切，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意得到点在圆外，代入计算得到答案. 【详解】过点总有两条直线与圆相切，故点在圆外， 故，解得或. 故答案为：. 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，意在考查学生计算能力和转化能力. 变式2关于的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】解出方程，可得其对应的点，对于方程，讨论其，进一步分析计算即可. 【详解】因为的解为 ， 设所对应的两点分别为， 则，， 设的解所对应的两点分别为，， 记为,,， 当，即时，因为关于轴对称， 且，，关于轴对称，显然四点共圆； 当，即或时， 此时,,，且， 故此圆的圆心为，半径， 又圆心到的距离， 解得， 综上：, 故答案为：. 变式3（23-24高二下·上海·月考）若对任意实数，直线与圆至少有一个交点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将原问题转换为直线所过的定点在圆内或者圆上，由此列出不等式即可求解. 【详解】由题意可知直线经过的定点为 则定点在圆内或者圆上的时候满足题意， 所以， 又表示圆， 所以，解得或； 综上，. 故答案为：. 【题型3圆的一般方程】 例5（25-26高二上·上海浦东新·期中）已知圆的面积为，则实数 . 【答案】 【分析】由圆的面积得到圆的半径，由圆的一般方程得到圆的标准方程，从而解出的值. 【详解】因为圆的面积为，所以 由得，即， 所以，解得. 故答案为：. 例6（24-25高二下·上海·月考）圆的半径为 . 【答案】1 【分析】整理圆的方程为标准方程，可得答案. 【详解】由，则，可得半径为1. 故答案为：. 变式1（24-25高二上·上海·课前预习）如果二元二次方程（A、B、C不同时为零）所表示的曲线是圆，那么方程的系数A、B、C、D、E、F应满足什么条件？ 【答案】，，且 【分析】将二元二次方程进行化简，再根据圆的一般方程可推出A、B、C、D、E、F所需满足的条件. 【详解】因为圆的一般方程是， 所以二元二次方程要表示圆， 首先必须使其中的系数，， 此时方程为， 通过变形及配方，得， 此时又必须． 因此，A、B、C、D、E、F所需满足的条件是，，且． 变式2（23-24高二上·上海·课后作业）讨论方程（为任意实数）所表示的曲线． 【答案】详见解析. 【分析】将方程转化为，分和求解. 【详解】方程可化为： ， 当，即 时， ，此时为直线； 当 ，即 时，  ， 表示以 为圆心，以 为半径的圆. 综上所述，当时，表示为方程为的直线； 当时，表示为以 为圆心，以 为半径的圆. 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）求经过、、三点的圆的方程． 【答案】 【分析】利用待定系数法即可得解. 【详解】设所求圆的方程为，其中、、是待定常数． 因为点、、在所求圆上， 所以，解得， 此时，满足题意， 因此所求圆的一般方程为． 【题型4圆的切线方程】 例7（24-25高二下·上海闵行·期末）已知点在圆上，则过点M的圆C的切线方程为 ． 【答案】 【分析】先求得半径，然后根据点斜式求得切线方程. 【详解】由于点在圆上， 所以，所以圆， 所以圆心，， 所以过点M的圆C的切线的斜率为， 所以过点M的圆C的切线方程为， 化简得. 故答案为： 例8（24-25高二上·上海·期中）经过点且与圆相切的直线方程为 . 【答案】或 【分析】分斜率存在和不存在两种情况讨论，切线斜率存在时，利用圆心到直线的距离等于半径计算可求得直线斜率，即可求得切线方程. 【详解】由题意知，圆心坐标为，半径为5， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，符合题意； 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 即， 依题意有，解得， 此时直线方程为，即， 所以所求切线的方程为或. 故答案为：或. 变式1（22-23高二上·上海浦东新·期中）已知圆，则过点的圆的切线方程为 . 【答案】 【分析】根据切线与过切点的半径垂直即可求解. 【详解】点在圆上,圆心为， ，所以切线的斜率， 则过点的圆的切线方程为, 即. 故答案为：. 变式2（23-24高二上·上海·课后作业）求经过点且与圆相切的直线的方程． 【答案】或 【分析】分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，再结合点到直线的距离公式即可得解. 【详解】圆的圆心为，半径， 当切线斜率不存在时，方程为， 圆心到直线的距离等于半径，符合题意， 当切线斜率存在时，设方程为，即， 则，解得， 所以切线方程为， 综上所述，切线方程为或. 变式3解答下列问题． (1)求经过点且与相切的直线的方程； (2)求经过点且与圆相切的直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）分析可知点在圆上，根据切线性质运算求解； （2）分析可知点在圆外，分类讨论斜率是否存在，结合切线性质运算求解. 【详解】（1）由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为，即点在圆上， 且，可知切线的斜率， 所以切线的方程为，即.    （2）由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为，即点在圆外， 当直线斜率不存在时，则直线方程为， 此时圆心到直线的距离， 即直线与圆相切，符合题意； 当直线斜率存在时，设为， 则直线方程为，即， 可得，解答， 所以直线方程为； 综上所述：切线方程为或.    【题型5弦长问题】 例9（24-25高二下·上海·期末）过圆外一点任意引一条割线交圆于、两点，求弦的中点的轨迹是 ． 【答案】以为圆心、为半径，且位于圆内的一段圆弧. 【分析】根据题意，由条件可得，然后代入计算化简，即可得到结果. 【详解】 如图所示，设弦的中点的坐标为，连接，由， ，可得，即，得．又，， 于是，即． 因此，点的轨迹是以为圆心、为半径，且位于圆内的一段圆弧. 故答案为：以为圆心、为半径，且位于圆内的一段圆弧. 例10（25-26高二上·上海·月考）若直线截圆所得的弦长是8，则 ． 【答案】或 【分析】根据弦长和半径先求出圆心到直线的距离，然后根据点到直线的距离公式求出结果. 【详解】因为直线截圆所得的弦长是8， 而圆的半径为5，那么根据勾股定理，圆心到直线的距离为. 圆心到直线的距离为，化简得， 解得或. 故答案为：10或-68 变式1（23-24高二下·上海松江·月考）已知直线与圆相交于两点，且，则实数 . 【答案】 【分析】利用垂径定理列方程求解即可. 【详解】根据题意，圆， 即，其圆心为，半径， 若，则圆心到直线即的距离， 又由圆心到直线的距离， 则有， 解可得：； 故答案为：. 变式2（24-25高二下·上海·月考）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若过定点的直线被圆所截得的弦长为6，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）先求出线段的垂直平分线方程，然后与直线联立方程组可求出圆心的坐标，从而可求出圆的半径，进而可求出圆的方程； （2）先求出圆心到直线的距离，然后判断出直线的斜率存在，设直线为，再利用点到直线的距离公式列方程求出，从而可求出直线的方程. 【详解】（1）由题意得线段的中点坐标为，直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线方程为，即， 由，得，即， 所以圆的半径为， 所以圆的方程为； （2）因为直线被圆所截得的弦长为6， 所以圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线为，则圆心到直线的距离为3，不合题意， 所以直线的斜率存在，设直线为，即， 则，化简整理得，解得或， 所以直线为或. 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线与直线垂直，且它被圆所截得的线段的长为，求直线的方程． 【答案】或 【分析】利用垂直关系求出直线的斜率，再由弦长公式计算出圆心到直线的距离为3，即可求出直线的方程. 【详解】设直线的斜率为，易知直线的斜率为， 依题意可得，解得； 设直线的方程为， 将圆化为标准方程为， 所以圆心坐标为，半径为， 根据弦长公式可得圆心到直线的距离， 又，解得或； 故直线的方程为或 【题型6过交点方程】 例11求过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算出两圆的交点所在直线，进而求出线段的垂直平分线，与联立求出圆心坐标，再求出半径，写出圆的标准方程，从而求出圆的一般方程. 【详解】与相减得：， 将代入得：， 即， 设两圆和的交点为， 则，，则， 不妨设， 所以线段的中点坐标为， 因为直线的斜率为1，所以线段的垂直平分线的斜率为-1， 所以线段的垂直平分线为， 与联立得：， 故圆心坐标为，半径， 所以圆的方程为， 整理得： 故选：D 例12过曲线与曲线的交点的圆的方程为 . 【答案】 【分析】 设所求圆的方程为，即，再根据曲线表示圆求出，即可得解. 【详解】 由，得， 由，得， 设，即， 因为方程表示圆， 则， 即为所求，即. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：设所求圆的方程为，是解决本题的关键. 变式1已知圆，. (1)求过两圆交点的直线方程； (2)求过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两圆方程直接作差即可整理得到所求直线方程； （2）将过两圆交点的直线方程与圆的方程联立可得交点坐标；采用待定系数法，代入交点坐标和圆心所满足的直线方程可构造方程组求得圆心和半径，由此可得圆的方程. 【详解】（1）将两圆方程作差得：，即， 过两圆交点的直线方程为. （2）由得：或， 即两圆交点的坐标为和； 设过两圆交点的圆的方程为， 则，解得：， 过两圆交点的圆的方程为. 变式2求过两圆与的交点的直线方程和圆心在直线上的圆的方程. 【答案】直线方程为：；圆的方程为：. 【分析】首先写出过两圆交点的圆系方程，当时，求出直线方程；通过对圆系方程化简整理，求出圆心，再结合已知条件即可求得圆的方程. 【详解】由题意，过两圆交点的圆系方程为：， 令，得， 故所求直线方程为：； 对圆系方程化简整理得：， ∴圆心的坐标为， 而圆心在直线上， 从而，解得， 代入圆系方程得，. 故所求圆的方程为：. 变式3已知圆，与圆和直线：． （1）求过两圆的交点的直线方程； （2）求圆心在直线上且过两圆交点的圆的方程． 【答案】（1）；（2）（或）． 【分析】(1)两圆的方程作差即为答案. (2)方法一：两圆联立方程求得两圆交点的所在弦的中垂线方程，在于已知直线联立即可得所求圆圆心坐标，进而得答案； 方法二：采用圆系方程，再根据圆心在直线：上求解即可. 【详解】（1）圆与圆方程作差得：， 即：，故过两圆的交点的直线方程为： （2）方法一： 设两圆交点为，，由方程组 ，求得或， 故点、，因此的中垂线方程为． 再由，求得， 故圆心为，， ∴所求的圆的方程为， 方法二：设经过圆和圆的交点的圆的方程为 ， 即，则圆心坐标为． 由圆心在直线上，得， 解得，故所求圆的方程为． 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，圆的方程的求解，考查运算求解能力，是中档题. 圆系方程：过圆和圆的交点的圆的方程为：. 【题型7位置关系问题及求解参数】 例13直线与圆 相切，则实数m的值是（     ） A．±1 B．±2 C．±4 D．±8 【答案】B 【分析】直线方程代入圆方程后，由判别式为0求得的值，同时注意方程表示圆时的范围． 【详解】由，得，∴，， 又方程表示圆时，，或，满足题意． 故选：B． 例14（25-26高二上·上海·期中）若直线与圆相切，则实数 . 【答案】 【分析】由圆心到直线距离等于半径即可求解. 【详解】由题意可得：， 解得：. 故答案为：. 变式1（25-26高二上·上海·月考）在平面直角坐标系中，“直线，与曲线相切”的充要条件是 . 【答案】 【分析】由题意，作图，根据直线与圆的位置关系，可得答案. 【详解】由曲线，可得， 表示以原点为圆心，半径为的右半圆， 是倾斜角为的直线与曲线相切， 则圆心到直线的距离等于半径，即， 所以，结合图象可得. 故答案为：. 变式2（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】画出图象，数形结合，求出直线与半圆恰好相切时的值，再求出临界值，即可得解. 【详解】由，则，且， 所以表示以为圆心，为半径的圆在及直线右侧部分， 直线是与平行的直线， 如图所示： 当直线与曲线相切时，则（正值舍去）， 当直线过点时，，结合图形分析得的取值范围是. 故答案为：. 变式3已知圆的方程是．当为何值时，直线与圆分别有两个不同的交点？一个交点？没有交点？ 【答案】答案见解析 【分析】将直线方程与圆的方程联立，利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可. 【详解】， 该一元二次方程根的判别式是． 当时，，方程有两个不相等的实数根，从而原方程组有两组不同的实数解，所以直线与圆有两个不同的交点． 当或时，，方程有两个相等的实数根，从而原方程组有两组相同的实数解，所以直线与圆只有一个交点， 当或时，，方程没有实数根，从而原方程组没有实数解，所以直线与圆没有交点． 【题型8利用位置关系求最值】 例15若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D．10 【答案】B 【分析】由题意已知可表示直线上的点到点的距离最小值，代入点到直线的距离即可求得答案. 【详解】解：由题意知，圆的一般方程为 圆的标准方程为： 因为恰好过圆心，且圆心为，代入得： 的最小值可表示点到直线的距离平方的最小值 又由到直线距离为 所以得最小值为5. 故选：B 例16已知直线与轴､轴相交于两点，点在圆上移动，则面积的最大值与最小值之和为 ． 【答案】27 【分析】根据题意转化为先求圆上的点到直线的距离的最大值和最小值，即可求面积的最大值和最小值. 【详解】由题意可知，，，， 圆心到直线的距离， 点到直线距离的最大值，最小值为， 所以面积的最大值和最小值的和为. 故答案为： 变式1过直线：上点作圆的切线，､为两切点，若直线上不存在满足的点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，作出图形，由数量积的性质可得，结合图形可得，进而可得圆心到直线的距离，可得的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，圆的圆心为，半径， 若直线上不存在满足的点，则， 当，四边形为正方形，，此时， 因为， 当最小时，所以最大，所以， 所以圆心到直线的距离，即， 解可得：或， 故的取值范围为. 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将直线上不存在满足的点，则，再根据，由此可知当最小时，所以最大，可得，这是解决本题的关键和突破点. 变式2直线分别与x轴､y轴相交于A､B两点，点P在圆上运动，则面积的最小值为 . 【答案】2 【分析】先求得的长，再求得圆心到直线距离，再求得点到直线的距离的范围，故可得面积的取值范围，结合选项可得答案． 【详解】直线分别与轴，轴交于，两点， ，，则， 点在圆上， 圆心为，则圆心到直线距离， 故点到直线的距离的范围为， 则． 的最小值为. 故答案为：． 变式3已知圆C的圆心为，且与直线相切， （1）求该圆的方程； （2）若点P在圆C上运动，求的最大值和最小值. 【答案】（1）；（2），. 【分析】（1）利用直线与圆相切求出半径，写出标准方程； （2）设，利用几何法求圆的最大值和最小值. 【详解】（1）设圆的半径为r，由直线与圆相切，d=r， 即，所以圆的半径为1. 故圆的标准方程为：. （2）设，即， 因为点P在圆C上运动， 只需与有公共点， 即圆心到直线的距离即可. ∴，解得： 故的最大值为，最小值为. 【点睛】判断直线与圆的位置关系的方法： ①几何法：比较d（圆心到直线的距离）与r（半径）的关系；②代数法：把直线方程与圆的方程联立，利用判别式判断； 【题型9椭圆的标准方程】 例17（24-25高二下·上海松江·月考）“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】由方程表示焦点在y轴上的椭圆得解出即可求解. 【详解】由题意有， 所以“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的必要非充分条件， 故选：B. 例18（24-25高二·上海·随堂练习）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设椭圆的标准方程为，由椭圆的面积公式，离心率得到与的关系，解出、即可. 【详解】设椭圆的标准方程为，则椭圆的面积为，又， 联立解得．所以椭圆的标准方程为． 故选：D. 变式1（24-25高二下·上海·月考）已知椭圆C的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为6，焦距为4，则椭圆C的标准方程可能为 ． 【答案】或 【分析】求出的值，再分焦点位置直接写出方程. 【详解】由题意，有， ∴椭圆C的标准方程可能为或. 故答案为：或 变式2（24-25高二上·上海·期中）已知椭圆的一个焦点是，且经过点．则这个椭圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据焦点坐标得，根据椭圆的定义求出，再根据求出，从而可得椭圆的标准方程. 【详解】由已知，设椭圆的标准方程为， 因为椭圆的一个焦点是，且经过点， 所以椭圆的另一个焦点为，， ， 则，所以， 所以这个椭圆的标准方程为. 故答案为：. 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）已知椭圆的一个焦点是，且椭圆经过点，求这个椭圆的标准方程． 【答案】 【分析】根据焦点坐标得，根据椭圆的定义求出，再根据求出，从而可得椭圆的标准方程. 【详解】依题意得椭圆的另一个焦点为，， ，， 所以， 所以这个椭圆的标准方程为. 【题型10椭圆几何性质的简单应用】 例19（25-26高二上·上海·期中）椭圆的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定焦点在轴上，，从而得到答案. 【详解】椭圆的焦点在轴上，， 故焦点坐标为. 故选：B 例20（25-26高二上·上海·期中）椭圆的焦距为 . 【答案】4 【分析】根据椭圆的方程判断焦点其位置，求出，代入公式计算的值即得焦距. 【详解】由可知椭圆的焦点在轴上，则长半轴长为，短半轴长为， 则半焦距为，故焦距为4. 故答案为：4. 变式1（25-26高二上·上海·期中）椭圆的长轴长为 . 【答案】 【分析】直接根据椭圆方程可得长轴长. 【详解】由椭圆，得，即，所以长轴长. 故答案为：. 变式2（22-23高二下·上海浦东新·期中）设P是椭圆上任意一点，F为C的右焦点，的最小值为，则椭圆C的长轴长为 ． 【答案】 【分析】的最小值为，即，解得答案. 【详解】的最小值为，即，解得，长轴长为. 故答案为： 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）求椭圆的长轴和短轴的长，焦点和顶点的坐标． 【答案】椭圆的长轴和短轴的长分别是10和6，两个焦点分别是和，四个顶点分别是、、、 【分析】将椭圆方程化为标准形式，得到，再根据长轴、短轴、焦点、顶点的定义可得结果. 【详解】把给定方程化成标准方程．这里，，． 所以椭圆的长轴和短轴的长分别是10和6，两个焦点在轴上，它们分别是和，四个顶点分别是、、、． 【题型11求椭圆的离心率（或范围）】 例21（22-23高二上·上海浦东新·期末）设、椭圆的左、右焦点，椭圆上存在点M，，，使得离心率，则e取值范围为（    ） A．（0，1） B． C． D． 【答案】C 【分析】在△ 中，由正弦定理结合条件有：，再由的范围可求出离心率. 【详解】由，，设，，在 中，由正弦定理有：， 离心率，则  ；解得：， 由于，得， 显然成立， 由有，即，得， 所以椭圆离心率取值范围为. 故选：C 例22（25-26高二上·上海·期中）已知，，椭圆的焦距为，若，则该椭圆的离心率 ． 【答案】 【分析】根据椭圆的关系结合已知等式求解椭圆的离心率即可. 【详解】由可得， 所以，两边除以可得，即， 解得或（舍）， 故该椭圆的离心率. 故答案为：. 变式1（25-26高二上·上海·开学考试）在中，，以为焦点，且经过点的椭圆的离心率 ． 【答案】/0.5 【分析】根据题意，可以得到，从而得到，利用公式求解. 【详解】，又椭圆是以为焦点，且经过点的椭圆， ，，. 故答案为：. 变式2（24-25高二上·上海·期中）三角形三边长分别为4、5、6，则以边长为5的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意可得，即可得离心率. 【详解】对于，设， 可知， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 变式3已知焦点在轴上的椭圆C：的离心率为，则实数 ． 【答案】 【分析】由，解方程即可得出答案. 【详解】因为椭圆C：焦点在轴上， 所以，则， 解得：. 故答案为：. 【题型12直线与椭圆】 例23直线与椭圆恒有两个不同的交点，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据，则得到的范围. 【详解】椭圆长半轴长为，由题意得，则若恒有两个不同的交点，则， 故答案为：. 例24若关于x的方程有解，则实数b的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将问题转化为曲线与直线的图象有交点，作出曲线与直线的图象，结合图象即可得解. 【详解】令，则， 所以的图象是椭圆在轴上方的部分（含轴）， 因为有解，所以与的图象有交点， 作出与的图象如图， 当与相切于点时， 将代入，得， 由，得，解得或（舍去）； 当过点时，，解得； 结合图象可得，，即实数的取值范围是. 故答案为：. 变式1已知直线交椭圆于点、，点在此椭圆上运动．求点到直线的距离的最大值？ 【答案】 【分析】首先求出与直线且与椭圆相切的直线方程，则点到直线的距离的最大值即为其中一个切点到直线的距离，再利用两平行线间的距离公式计算可得. 【详解】设与直线平行的直线为， 由，消去整理得， 令，即，解得， 所以直线、均与椭圆相切且与直线平行， 因为点在此椭圆上运动，要求点到直线的距离的最大值， 则当点在直线与椭圆的切点是点到直线的距离的最大， 此时点到直线的距离的最大值为两平行线与直线的距离， 即点到直线的距离的最大值为.    变式2已知直线与椭圆相交于不同两点，求实数的取值范围． 【答案】或 【分析】联立直线与椭圆方程，利用判别式大于，解不等式可得结果. 【详解】联立，消去并整理得， 依题意得，即， 解得或. 变式3求椭圆的斜率为1的平行弦的中点的轨迹． 【答案】这些平行弦的中点的轨迹是直线在该椭圆内的部分 【分析】设出直线方程，与椭圆的方程联立，根据中点坐标公式、一元二次方程根与系数关系、根的判别式进行求解即可. 【详解】设平行弦所在直线的方程为． 于是点分别为方程组的两组实数解． 将②代入①，并整理得．③ 由，解得． 所以当时，方程③有两个不同的实数解，即弦存在． 设的中点的坐标为，得，． 由方程③，得．所以，， 因此，，即． 由，及，可得． 即点的轨迹方程为，． 所以这些平行弦的中点的轨迹是直线在该椭圆内的部分． 【题型13椭圆的中点弦问题】 例25（24-25高二下·上海·期中）若椭圆的一条弦的中点为，则直线的斜截式方程为 ． 【答案】 【分析】设出中点弦的端点，的坐标，代入椭圆方程，再利用中点的坐标即可求出直线的斜率，从而得解. 【详解】设，，依题意，点，在椭圆上， 所以，两式相减得，， 即，变形得， 因为的中点为，所以，， 设直线的斜率为， 所以， 所以直线的方程为，化为斜截式方程为. 故答案为：. 例26已知焦点在轴上的椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，则正数 . 【答案】 【分析】将直线的方程与椭圆的方程组成方程组，消去得到关于的方程，再根据根与系数的关系求得的中点的横坐标的表达式，最后根据联立的方程求出即可． 【详解】由题意焦点在轴上的椭圆， 把直线方程代入椭圆方程整理得． 设弦的两个端点为,，,，则由根与系数的关系可得，， 椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为， 由中点坐标公式可得，，，可得，． 故答案为：． 变式1双曲线的弦被点平分，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意易得直线斜率存在时，设方程为，，进而联立方程，结合韦达定理，中点公式求解即可. 【详解】解：当直线斜率不存在时，方程为，根据双曲线的对称性，不能平分弦，故不满足题意； 当直线斜率存在时，设方程为，， 所以，联立方程得， 所以，，， 因为弦被点平分，所以， 所以，解得， 此时联立后的方程为，满足， 所以，直线的方程为，即 故答案为： 变式2（24-25高二下·上海·月考）已知直线与曲线. (1)若与有公共点，求实数的取值范围； (2)若与有两个不同的公共点，且线段中点的横坐标为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立直线与椭圆，利用方程组与两个交点，求出的范围. （2）设交点，利用韦达定理求解即可. 【详解】（1）联立 的取值范围 （2）设 由得. 线段中点的横坐标为 变式3已知椭圆E的焦点在x轴上，焦距为且过点， （1）求该椭圆方程； （2）求椭圆E中斜率为1的平行弦的中点的轨迹方程. 【答案】（1）；（2）（在椭圆内的部分）. 【分析】（1），设，将点代入，结合即可求解. （2）设直线与椭圆的交点为，中点为，利用点差法即可求解. 【详解】（1）由题意可知，解得， 设椭圆方程，点代入可得， 又，解得，， 所以椭圆方程为. （2）设直线与椭圆的交点为，中点为， 则，且， 将点代入椭圆方程 ， 两式作差可得， 解得，即， 整理可得（在椭圆内的部分） 所以平行弦的中点的轨迹方程为（在椭圆内的部分）. 【题型14椭圆有关的最值，定值问题】 例27（24-25高二上·上海·期中）若点、是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一动点，点的坐标为，则周长的最小值为 . 【答案】 【分析】利用椭圆的几何性质与三角形三边关系定理可求解. 【详解】由，可得，所以， 所以焦点、的坐标分别为， 因为为椭圆上一动点，所以， ，， 所以， 当且仅当三点共线，且在之间时取等号，    所以周长的最小值为. 故答案为：. 例28设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为 . 【答案】 【分析】求得点，设，利用两点间距离公式，结合三角函数的有界性，转化为求解距离的最大值. 【详解】由题意，椭圆，可得， 因为点在上，设， 所以 ， 当时，取得最大值，最大值为. 故答案为：. 变式1已知定点到椭圆上的点的距离的最小值为1，则a的值为 ． 【答案】2或4 【分析】设椭圆上任一点为P(x，y)(－3≤x≤3)，求出|PA|的解析式，再利用二次函数的性质分析解答得解. 【详解】解：设椭圆上任一点为P(x，y)(－3≤x≤3)， 则， 当时，有.∴当时，， 得 (舍)， 当时，有， 当且仅当x＝3时， ， 故a＝2或a＝4， 综上得a＝2或4. 故答案为：2或4. 变式2（22-23高二上·上海宝山·月考）已知是椭圆上的动点，且与的四个顶点不重合，分别是椭圆的左､右焦点，若点在的平分线上，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】画出图形，根据中位线性质及椭圆定义，结合点位置，即可求得的取值范围． 【详解】根据题意，画出椭圆及各部分图形如下图所示： 因为是的平分线上一点，且， 所以，即为的中点， 又因为为的中点， 由中位线性质可得 ， 在椭圆方程为， 则 ， 所以 因为 所以 当为短轴的顶点时， 又因为与椭圆的四个顶点不重合 综上所述，. 故答案为： 变式3（24-25高二上·上海·课堂例题）在直角坐标系xOy中，椭圆C：的焦距为，长轴长是短轴长的2倍，斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于A、B． (1)求椭圆的标准方程； (2)若P为线段AB的中点，设OP的斜率为，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意，利用焦距，长轴，短轴间关系可得答案； （2）设，，，将A，B两点代入椭圆方程可得及表达式，即可得答案. 【详解】（1）设半焦距为c，长半轴为a，短半轴为b，依题意可知 ，    解得. 故椭圆的标准方程为； （2）证明：设，，，则，． 把，代入椭圆方程得：. 两式相减可得，即．又， 则，故为定值． 【题型15双曲线的定义】 例29（22-23高二下·上海普陀·月考）半径不等的两定圆、无公共点，动圆O与、都内切，则圆心O的轨迹是（    ） A．双曲线的一支 B．椭圆 C．双曲线的一支或椭圆 D．抛物线或椭圆 【答案】C 【分析】由两定圆、无公共点，得两圆外离或内含，再分类讨论，根据双曲线和椭圆的定义即可得出结论. 【详解】因为两定圆、无公共点，所以两圆外离或内含， 设两定圆、的半径分别为，圆O的半径为， 当两定圆外离时， 由圆O与、都内切，则两定圆、在动圆O里面， 得， 所以， 所以圆心O的轨迹是双曲线的一支； 当两定圆内含时，则动圆O在圆里面，圆动圆O里面， 得， 所以， 所以圆心O的轨迹是椭圆， 综上所述，圆心O的轨迹是双曲线的一支或椭圆. 故选：C. 例30（25-26高二上·上海·期中）方程可化简为 . 【答案】 【分析】利用方程的几何意义，结合双曲线的定义可得答案. 【详解】设，，， 表示点 到点 的距离， 表示点 到点 的距离， 因此，方程可以理解为：， 根据双曲线的定义得：， ， 故双曲线方程为：， 又， 所以点在双曲线的上支上， 所以双曲线方程为：. 故答案为： 变式1（24-25高二上·上海浦东新·月考）设集合，是双曲线，则 ． 【答案】 【分析】先求出集合，由交集的定义求解即可. 【详解】， 若表示双曲线，则，解得：， 所以，所以. 故答案为： 变式2（24-25高二·上海·随堂练习）已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点M在双曲线的右支上，且，则 ． 【答案】/ 【分析】利用双曲线的定义求出 ，，，利用余弦定理得出结果即可. 【详解】由题意可得，由双曲线的定义得， 而，解得，， 由余弦定理得 ，所以． 故答案为： 变式3已知P是双曲线右支上任意一点，,分别为左、右焦点，设，，则= . 【答案】/0.25 【分析】根据内切圆的性质，由切线长以及双曲线定义可得，即可利用锐角三角函数求解. 【详解】由可得， 如图：作出的内切圆与三边分别交于, 则， 又， 所以，所以轴， 由内切圆的性质可得，， ,所以, 故答案为： 【题型16双曲线的标准方程】 例31（25-26高二上·上海松江·月考）若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据方程表示双曲线，可知，从而求出实数的取值范围. 【详解】根据方程表示双曲线，∴，即， 解得或，∴的取值范围是. 故答案为： 例32（24-25高二上·上海·月考）与椭圆有公共焦点，且过点的双曲线方程为 . 【答案】 【分析】求出双曲线的焦点坐标，并设出双曲线方程，利用待定系数法求解即得.. 【详解】由双曲线与椭圆有公共焦点，得双曲线的焦点坐标为， 设双曲线方程为，而双曲线过点， 于是，即，又，解得， 所以所求双曲线的方程为. 故答案为： 变式1（24-25高二上·上海·课堂例题）双曲线C：的两个焦点为、，点在双曲线C上，且满足，则双曲线C的标准方程为 ． 【答案】 【分析】设，，进而根据向量垂直的坐标表示得，再根据点在双曲线上待定系数求解即可． 【详解】解：由题，设，，因为， 所以， 因为， 所以，解得， 因为，解得， 所以，双曲线的标准方程为． 故答案为：． 变式2已知双曲线过和两点，求双曲线的标准方程． 【答案】． 【分析】方法一，双曲线的焦点位置不确定，可分类讨论用待定系数法求解，方法二，设双曲线方程为，解方程得解. 【详解】  解法一  当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为. 因为，在双曲线上， 所以 解得（不合题意，舍去）. 当双曲线的焦点在y轴上时， 设双曲线的方程为. 因为，在双曲线上， 所以 解得即，. 所以所求双曲线方程为． 解法二  因为双曲线的焦点位置不确定， 所以设双曲线方程为. 因为，在双曲线上， 所以解得 所以所求双曲线的标准方程为． 变式3求以椭圆的焦点为顶点，以椭圆长轴的顶点为焦点的双曲线方程. 【答案】 【详解】椭圆 ∴ a2＝25，b2＝16，c2＝25－16＝9 且 椭圆焦点在y轴上 ∴ 双曲线的焦距是2×5＝10，实轴长为2×3＝6，虚轴长为8 即 a＝3，b＝4，c＝5 ∵ 焦点在y轴上 ∴ 双曲线方程为： 【题型17双曲线几何性质的简单应用】 例33（24-25高二上·上海松江·期中）设P是双曲线上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，若，则 . 【答案】 【分析】利用双曲线的定义与性质计算即可. 【详解】由双曲线方程可知，双曲线的右顶点， 显然，所以P在双曲线左支上， 故. 故答案为： 例34（22-23高二下·上海·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与左支交于两点，若，且双曲线的实轴长为，则的周长为 . 【答案】 【分析】根据双曲线的定义计算可得. 【详解】由双曲线的定义知，， 两式相加得，又，， 则， 故的周长为. 故答案为： 变式1（23-24高二上·上海·期中）点到点的距离之差为，到轴、轴距离之比为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】通过题意，可判断点的轨迹为双曲线，求出双曲线的方程，再通过比值关系求出范围. 【详解】设点，由题意，即①， 三点不共线，， 因为， ，所以点P在以M、N为焦点，实轴长为的双曲线上， ②， ①代入②，解得：， ，，， 解得：，即的取值范围是. 故答案为：. 变式2若椭圆和双曲线有相同的焦点､，点P是两曲线的一个公共点，求的值. 【答案】 【分析】根据椭圆的几何性质和双曲线的几何性质即可求解. 【详解】由题意，椭圆的长轴长为2m，双曲线的实轴长为2a，两曲线焦点相同 ， 则有 ， ， ； 故答案为： . 变式3求双曲线的焦点坐标与准线方程． 【答案】焦点坐标为；准线方程为 【分析】以原点为中心进行坐标系旋转变换,将直角坐标系逆时针旋转换成直角坐标系.则，代入变换得，得直角坐标系上的标准方程，从而确定焦点坐标和准线方程，再转化为直角坐标系上的焦点坐标和准线方程即可. 【详解】已知双曲线的实轴为直线，虚轴为直线. 以原点为中心进行坐标系旋转变换,将直角坐标系逆时针旋转换成直角坐标系.    如图，，，而，则 所以， 则，代入变换得， 即得直角坐标系上的标准方程. ，， 所以在直角坐标系上焦点坐标为,准线方程为， 故变换到直角坐标系上， 根据，可得焦点坐标为， 而，所以准线方程为，即.    【题型18直线与双曲线】 例35（25-26高二上·上海·期中）双曲线与直线l： (m∈R)的公共点的个数为 . 【答案】0或1 【分析】根据双曲线的图像性质，以及渐近线来分析即可. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为，    所以当时，直线l：与渐近线重合，此时直线与双曲线无交点； 当时，直线l与渐近线平行，此时直线l与双曲线有一个交点． 故答案为：0或1. 例36（24-25高二下·上海·期中）已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】联立方程，消得，再由题设条件即可求出结果. 【详解】联立可得，由题意可知，关于x的方程无实数解， 则，解得， 故答案为：． 变式1（22-23高二下·上海徐汇·期中）已知直线和双曲线，若l与C的右支交于不同的两点，则t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】联立直线与双曲线的方程，利用判别式及韦达定理求解作答. 【详解】由消去y得：，由于l与C的右支交于不同的两点， 则直线与双曲线的两个交点横坐标均为正，且不等， 于是，解得， 所以t的取值范围是. 故答案为：    变式2（22-23高二上·上海闵行·期中）直线与曲线的公共点的个数是 . 【答案】 【分析】 本题主要考查直线与曲线的位置关系，根据曲线方程，分情况进行讨论即可求解. 【详解】当时，曲线可化为，表示椭圆的右半部分， 因为直线过点，所以此时直线与曲线曲线有两个交点， 当时，曲线可化为表示双曲线的上支和下支的左半部分，此时直线与曲线没有交点， 综上可知：直线与曲线的公共点的个数是. 故答案为：. 变式3已知双曲线，直线l经过点，且与双曲线交于两点，线段的垂直平分线过点，求直线的方程． 【答案】或 【分析】分斜率为和不为两种情况，当时，显然成立，当时，设直线的方程为，联立双曲线方程得到，由题可得且，利用韦达定理及直线方程得到的中点为，进而求出线段的垂直平分线方程，再利用条件，可求出值，即可解决问题. 【详解】易知直线的斜率存在，当时，为双曲线的顶点，线段的垂直平分线为，满足题意， 当时，设直线的方程为，， 由，消得到， 则，得到且， 由韦达定理得，所以，得到的中点为， 所以的垂直平分线， 由题得到，整理得到，解得（舍）或， 所以直线的方程，即, 综上所述，直线的方程为或. 【题型19求双曲线的离心率（或范围）】 例37设、分别为双曲线的左右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点，与双曲线右支交于点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为直线与圆切于点，则， 又，所以，    所以为的中点，而为中点，于是，有， 且，则，令双曲线焦距为，由， 得，即，所以， 所以双曲线的离心率. 故选：A 例38（24-25高二下·上海·期末）已知双曲线：，则的离心率为 . 【答案】 【分析】根据离心率公式直接求解即可. 【详解】已知双曲线：，则的离心率为. 故答案为：. 变式1（24-25高二上·上海·课堂例题）已知双曲线，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为P，Q在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】设点渐近线上，直线的方程为，联立求得,由，求得，代入双曲线方程化简即可得出结果. 【详解】 设左焦点，假设点渐近线上，则直线的方程为， 联立，即， 又因为，所以为的中点，所以， 因为Q在双曲线上，所以，化简得， 则双曲线的离心率为， 故答案为：. 变式2设，则双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】由双曲线方程得到，即可表示出离心率，再由的取值范围计算可得. 【详解】双曲线，则， 所以离心率， 因为，所以，所以，则， 所以， 即. 故答案为： 变式3（24-25高二下·上海·月考）已知双曲线的左右焦点为. (1)若双曲线的离心率为，且是正三角形，求的方程； (2)若，点在双曲线的右支上，且直线的斜率为，若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率和正三角形的性质，列出方程，可求解 （2）根据斜率求出相应的正弦函数，再利用正弦定理和余弦定理，列方程可求解 【详解】（1）根据题意，，又是正三角形，， 解得，，，， 的方程为：. （2）直线的斜率为，，， ，又， 设，则， 在中，由正弦定理可得：，解得， 在中，由余弦定理可得， 解得，，，即. 【题型20双曲线有关的最值，定值问题】 例39已知双曲线：，点P为曲线在第三象限一个动点，以下两个命题，则（    ） ①点P到双曲线两条渐近线的距离为，，则为定值. ②已知A、B是双曲线上关于原点对称不同于P的两个点，若PA、PB的斜率存在且分别为，，则为定值. A．①真②真 B．①假②真 C．①真②假 D．①假②假 【答案】A 【分析】 根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程，借助点到直线距离计算判断①，利用斜率坐标公式计算判断②作答. 【详解】依题意，设，且有，双曲线的渐近线为， 因此为定值，①真； 设，则，且，显然， 否则，之一垂直于y轴，由双曲线对称性知另一条必垂直于x轴，其斜率不存在，不符合题意， 则为定值，②真， 所以①真②真. 故选：A 例40过椭圆右焦点F的圆与圆外切，该圆直径的端点Q的轨迹记为曲线C，若P为曲线C上的一动点，则长度最小值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】首先根据题意得到的轨迹为：以为焦点，的双曲线的右支，从而得到曲线.再根据双曲线的性质求长度最小值即可. 【点睛】椭圆，，所以. 设以为直径的圆圆心为，如图所示： 因为圆与圆外切，所以， 因为，， 所以， 所以的轨迹为：以为焦点，的双曲线的右支. 即，曲线. 所以为曲线上的一动点，则长度最小值为. 故选：C 变式1从双曲线上任意一点引实轴的平行线，与它的渐近线相交于两点，则的值为 ． 【答案】1 【分析】利用点的任意性，设为双曲线实轴的顶点，则点重合于原点，易得． 【详解】双曲线的渐近线为， 设为双曲线实轴的顶点， 所以点重合于原点， 所以， 故答案为1. 【点睛】本题考查双曲线的性质，求解过程中利用点的任意性，将其取在特殊位置，可使问题的计算量大大减少. 变式2（24-25高二下·上海·月考）已知双曲线的左､右焦点分别为，过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于两点，是的中点，为坐标原点，若直线的斜率为，则的值是 . 【答案】 【分析】利用点差法设，，代入椭圆方程可得可得，计算可得． 【详解】设，，则，， 两式相减得， 是的中点，，， ，又，，， 解得，． 故答案为：. 变式3已知方程所表示的曲线为E，点，直线． (1)当直线与曲线只有一个公共点时，求的值； (2)若，求曲线上的动点到点的距离的最小值． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）直线与曲线联立后的方程只有一个解； （2）设，把根据二次函数求最值. 【详解】（1）由得， 由题意得此方程只有一个实数解， 所以或， 所以或； （2）若，则曲线，设， 则   ，所以当时， 【题型21抛物线的定义】 例41（22-23高二·全国·单元测试）若点满足方程，则点的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】根据轨迹方程所代表的意义和抛物线的定义可得答案. 【详解】等式左侧表示点与点间的距离， 等式右侧表示到直线的距离， 整个等式表示点到点的距离和到直线的距离相等， 且点不在直线上， 所以点轨迹为抛物线. 故选：D. 例42（22-23高二下·上海普陀·期中）设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点,若为的重心，则 【答案】12 【分析】根据三角形重心坐标公式以及抛物线的定义求解. 【详解】设三角形的三个顶点， 由条件可知，, 根据三角形的重心坐标公式，可得，所以， 根据抛物线的定义，可得 所以， 故答案为：12. 变式1（22-23高二下·上海闵行·开学考试）已知抛物线上一点到此抛物线焦点的距离为，那么点的纵坐标为 . 【答案】/0.25 【分析】利用抛物线的定义求解. 【详解】解：抛物线的标准方程为， 则焦点为 ，准线方程为 ， 设， 因为抛物线上点到此抛物线焦点的距离为， 所以， 解得 ， 故答案为： 变式2抛物线上到焦点的距离等于6的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】由抛物线的定义求解 【详解】由题意抛物线的焦点为，准线为， 该点到焦点距离为6时，可得，即时，解得． 故答案为： 变式3若M是抛物线上一动点，点，设是点M到准线的距离，要使最小，求点M的坐标． 【答案】 【分析】由抛物线的定义可求解. 【详解】由题意，可知抛物线的焦点， 由抛物线的定义有, 所以最小值为，此时点为直线与抛物线的交点， 而直线的方程求得为：， 所以有，解得 所以 【题型22抛物线的标准方程】 例43（24-25高二下·上海·月考）已知点在以为焦点的抛物线上，若，则 . 【答案】 【分析】由抛物线的定义求解即可. 【详解】由抛物线，则， 由抛物线的定义可得，，即. 故答案为：3. 例44（24-25高二下·上海嘉定·月考）已知点在抛物线上，则点到抛物线焦点的距离是 . 【答案】 【分析】根据条件，求出抛物线的方程，再利用抛物线的定义，即可求解. 【详解】因为点在抛物线上， 所以，解得， 所以抛物线，其准线方程为， 所以点到抛物线焦点的距离是， 故答案为：. 变式1（23-24高二上·上海·月考）假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽AB为2m，渠深OC为1.5m，水面EF距AB为0.5m，则截面图中水面宽EF的长度约为 m．（精确到0.01） 【答案】 【分析】以为原点，所在直线为轴，建立平面直角直角坐标系，利用点的坐标求出抛物线方程，再根据抛物线方程可求出结果. 【详解】以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角直角坐标系． 设抛物线的标准方程为， 由题意可得，代入得，得， 故抛物线的标准方程为， 设，则， 则，， 所以截面图中水面宽的长度约为. 故答案为：. 变式2（23-24高二上·上海·课后作业）求以坐标原点为顶点，以轴为对称轴，并经过点的抛物线的标准方程． 【答案】 【分析】由待定系数法求解即可. 【详解】因为抛物线以坐标原点为顶点，以轴为对称轴，所以设其标准方程为， 又因为点在所求抛物线上，所以将其坐标代入抛物线方程可得，解得， 因此所求抛物线的标准方程为. 变式3 （23-24高二上·上海·课后作业）已知一隧道的顶部是抛物拱形，拱高是1米，跨度为2米，建立适当的平面直角坐标系，求相应坐标系下此拱形的抛物线方程． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设出抛物线方程，由拱高是1米，跨度为2米，得到点的坐标，代入抛物线方程求解. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系：    设抛物线方程为， 由题意得，抛物线过点， 代入抛物线方程解得， 所以抛物线方程为：. 【题型23抛物线几何性质的简单应用】 例45（23-24高二下·上海松江·月考）已知抛物线的焦点为，若是该抛物线上一点，点，则的最小值 . 【答案】5 【分析】利用抛物线的定义转化为点到线的距离问题求解. 【详解】抛物线的准线方程为， 则的最小值为到准线的距离，即为. 故答案为：.    例46已知曲线由抛物线及抛物线组成，若，，，是曲线上关于轴对称的两点，，，，四点不共线，其中点在第一象限，则四边形周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】设抛物线的焦点为，则利用抛物线的定义得到，从而求出其最小值. 【详解】设抛物线的焦点为，则，所以，根据对称可知四边形为等腰梯形， 四边形周长 ， 当且仅当，，三点共线时，等号成立，又， 四边形周长的最小值为.    故答案为： 变式1已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为 . 【答案】6 【分析】设等边三角形边长为a，根据抛物线的对称性以及等边三角形的对称性，表示出顶点A的坐标，代入抛物线方程，即可求得答案. 【详解】由题意可知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上， 则另两个顶点关于x轴对称，不妨设如图示： 设等边三角形边长为a，则A点横坐标为， 则，代入得， 解得（舍）， 故等边三角形的边长为6， 故答案为：6 变式2已知点A的坐标为，点P是抛物线上的点，则使得是等腰三角形的点P的个数是 ． 【答案】6 【分析】根据等腰三角形的腰长不明确，所以分①；②；③；分三种情况进行讨论求解． 【详解】①，则P为OA垂直平分线与抛物线的交点，下图中的、； ②，则P为以O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的交点，下图中的、； ③，则P为以A为圆心，AO为半径的圆与抛物线的交点，下图中的、． 故答案为6 【点睛】本题考查抛物线的对称性运用，考查学生分析问题的能力，注意分情况讨论． 变式3（24-25高二上·上海·课前预习）如何通过方程说明抛物线的范围？ 【答案】答案见解析 【分析】根据抛物线的方程，结合抛物线的几何性质，即可求解. 【详解】因为，由方程可知，且抛物线开口向右， 除原点外，这条抛物线上的点都在y轴的右侧，且当x增大时，也增大， 即抛物线向右上方和右下方无限延伸，所以． 【题型24直线与抛物线】 例47已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】C 【分析】考虑直线斜率存在，和不存在三种情况，设直线方程为，联立方程，根据得到答案. 【详解】点在抛物线上，易知当直线斜率不存在时不满足； 当直线斜率时，易知满足条件； 当直线斜率存在且时，设直线方程为，即， ，整理得到，， ，解得，直线方程为. 综上所述：满足条件的直线有2条. 故选：C 例48过点与抛物线有且只有一个交点的直线有（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】B 【分析】过点的直线与抛物线只有一个交点，则方程组只有一组解，分两种情况讨论即可： ①当该直线存在斜率时；②该直线不存在斜率时. 【详解】解：①当过点的直线存在斜率时，设其方程为：， 由方程组，消得， 若，方程为，解得，此时直线与抛物线只有一个交点； 若，令，解得，此时直线与抛物线相切，只有一个交点； ②当过点的直线不存在斜率时， 该直线方程为，与抛物线相切只有一个交点； 综上，过点与抛物线有且只有一个交点的直线有条． 故选：B． 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系与分类讨论思想，解决基本方法是： ①代数法，转化为方程组解的个数问题；②几何法，数形结合； 变式1已知直线与曲线只有一个公共点，则实数的值为 ． 【答案】0或 【分析】联立直线与曲线方程，根据方程根的个数，即可结合分类讨论求解. 【详解】联立与可得， 当时，此时方程为，解得，符合题意， 当，由可得，即， 综上可知：直线与曲线只有一个公共点，或， 故答案为：0或 变式2已知过点的直线与抛物线相交于不同的两点，为直线斜率，则k的取值范围为 . 【答案】 【分析】直线的方程为，与抛物线的方程联立可化为，由题意可得，解出即可． 【详解】直线的方程为：， 联立，化为， 直线与抛物线相交于不同的两点， ，即，解得，且． 斜率的取值范围是． 故答案为：． 变式3已知抛物线的方程为，求过点且与抛物线只有一个公共点的直线方程. 【答案】，，. 【分析】考虑直线与对称轴平行、斜率不存在和斜率存在三种情况，当斜率存在时，设出直线方程，联立抛物线，由根的判别式为0，求出斜率，得到直线方程. 【详解】因为，所以点在抛物线外， 当直线斜率不存在时，直线方程为，为抛物线的切线，满足题意； 当直线斜率为0时，直线方程为，与抛物线对称轴平行，满足题意； 当直线斜率存在且不为0时，设直线方程为， 联立，消去整理可得， 因为只有一个公共点， 所以，解得，所以直线为， 综上，直线方程为，，. 【题型25抛物线有关的最值，定值问题及综合应用】 例49直线与抛物线相交于两点，则 ． 【答案】0 【分析】联立直线方程和抛物线方程利用设出，的坐标，利用根与系数之间的关系，利用数量积的坐标公式计算的大小． 【详解】解：设，，则， 由，解得或， 所以，， 所以． 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，将直线和抛物线方程联立，利用消元法将方程转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系进行整体代换． 例50已知点在抛物线上，过点的直线交抛物线于，两点，若直线，的斜率分别为，，则等于 . 【答案】 【解析】由题意将的坐标代入抛物线的方程可得的值，进而求出抛物线的方程，设出直线的方程并与抛物线方程联立求出两根之和及两根之积，求出直线，的斜率之积，化简可得定值. 【详解】由题意将的坐标代入抛物线的方程可得，解得， 所以抛物线的方程为； 由题意可得直线 的斜率不为0， 所以设直线的方程为：，设，，，， 联立直线与抛物线的方程：， 整理可得：，则，， 由题意可得 ， 所以． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 变式1已知点P在抛物线上，P到的距离是，P到的距离是，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，利用点到直线的距离公式求出和，得到关于的函数解析式，利用二次函数知识可求出结果. 【详解】设，因为，所以， ，， ， 对称轴为， 所以当时，取得最小值. 故答案为：. 变式2已知直线：，抛物线：图像上的一动点到直线与到轴距离之和的最小值为 . 【答案】1 【分析】首先根据抛物线的性质，可将抛物线上的点到直线和轴的距离和转化为抛物线上的点到直线的距离和到焦点的距离和减1，再根据数形结合求距离和的最小值. 【详解】设抛物线上的点到直线的距离为，到准线的距离为，到轴的距离为， 抛物线上的点到准线的距离和到焦点的距离相等，， , 如图所示：的最小值就是焦点到直线的距离， 焦点到直线的距离， 所以有：的最小值是1， 故答案为1 【点睛】本题考查抛物线的定义和抛物线的几何性质，意在考查转化与化归，关键是抛物线定义域的转化，属于中档题型. 变式3给定抛物线，设，，是抛物线上的一点，且，试求的最小值. 【答案】时,;时 【分析】设出P点坐标,根据两点间距离公式表示出.对分类讨论即可求得最小值. 【详解】是抛物线上的一点,设 则 所以 则  () 所以当时, 在内单调递增,所以最小值为 当时, 在时取得最小值.则 综上可知,时,;时 故答案为: 时,;时 【点睛】本题考查了两点间距离公式的用法,分类讨论求最值,属于基础题. 一、填空题 1．（24-25高二下·上海徐汇·月考）抛物线上一点到点的距离最小值为 【答案】2 【分析】在抛物线上任取一点，计算它到定点的距离，求其最小值即得. 【详解】设抛物线上一点， 则点到点的距离为， 因则， 故当时，抛物线上任一点到点的距离最小值为2. 故答案为：. 2．（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知圆的方程是，则这个圆的半径是 . 【答案】3 【分析】化圆的方程为标准形式，进而求出圆半径. 【详解】圆的方程化为：， 所以圆的半径为3. 故答案为：3 3．（24-25高二下·上海·月考）双曲线两渐近线夹角的正切值为 . 【答案】 【分析】求得双曲线的一条渐近线的倾斜角范围，结合二倍角公式即可求解. 【详解】双曲线两渐近线为， 设的倾斜角为，所以，所以， 故所求为. 故答案为：. 4．（24-25高二下·上海·开学考试）已知抛物线的焦点到准线距离为2，过焦点的直线交抛物线于，两点，且，点关于原点的对称点为，则 ． 【答案】 【分析】先求出抛物线方程，设，则由两点间斜率公式和焦点弦长公式结合，，即可求解. 【详解】由题意知，故抛物线的方程为， 设，则，且，， 所以， 又，所以， 所以. 故答案为：. 5．（25-26高二上·上海·月考）已知双曲线：的左、右焦点为 ，点 在双曲线 的右支上，点 关于原点的对称点为 ，则 【答案】6 【分析】根据双曲线的定义和对称性，可列式求值. 【详解】如图： 对双曲线：，可得. 因为点、关于原点对称，根据双曲线的对称性可得. 所以， 根据双曲线的定义，. 故答案为：6 6．（24-25高二上·上海·单元测试）已知、是椭圆C：的两个焦点，点在C上，则的最大值为 ． 【答案】25 【分析】根据椭圆的定义结合基本不等式可求得结果. 【详解】由，得， 因为点在C上，所以， 所以， 所以，得，当且仅当时取等号， 所以的最大值为25. 故答案为：25    7．（24-25高二下·上海·月考）已知圆上一点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】记原点为，易知原点在圆上，结合距离的几何意义与圆的几何性质可求得的最大值. 【详解】记原点为，易知原点在圆上，则， 故的最大值为圆的直径，故的最大值为. 故答案为：. 8．（24-25高二上·上海·月考）已知双曲线，若双曲线的一条弦的中点为，则这条弦所在直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】运用点差法，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解判断即可. 【详解】设该弦为， 设， 则有，两式相减，得， 因为双曲线C的一条弦的中点为， 所以， 因此由， 即这条弦所在直线的斜率为，方程为， 代入双曲线方程中，得， 因为， 所以该弦存在， 故答案为：. 9．（24-25高二下·上海·月考）已知点是抛物线上的动点，点是圆上的动点，则两点间的最短距离为 ． 【答案】/ 【分析】由题意转化为抛物线上动点到圆心的距离的最小值即可得解. 【详解】由圆，知圆心为，半径为， 设为抛物线上动点，则两点间的距离为， 所以当时，， 所以． 故答案为： 10．（24-25高二上·上海·月考）已知双曲线C：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点.则曲线C的方程为 . 【答案】 【分析】根据双曲线的一条渐近线可得，根据双曲线的焦点与椭圆的焦点重合可得，解方程即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为, 由一条渐近线方程为，可得① 椭圆的焦点为，可得② 由①②可得, 即双曲线的方程为, 故答案为：. 11．（24-25高二上·上海·单元测试）已知椭圆E：的焦距为4，平行四边形ABCD内接于椭圆E，且直线AB与AD的斜率之积为，则椭圆E的方程为 ． 【答案】 【分析】由条件列关于的方程，解方程可得，由此可得椭圆方程. 【详解】设，由对称性可得， 则， 所以两式相减可得， 因为直线AB与AD的斜率之积为， 所以，即，所以， 设椭圆的半焦距为， 因为椭圆的焦距为4，所以，所以， 又，所以， 所以椭圆的标准方程为， 故答案为：. 12．（24-25高二下·上海·单元测试）已知椭圆C：的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则椭圆C的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】由题意得圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式列方程化简可求出离心率. 【详解】以线段为直径的圆的圆心为原点，半径，该圆与直线相切， 则圆心到直线的距离， 整理可得， 所以． 故答案为： 二、单选题 13．（24-25高二下·上海闵行·期末）抛物线的焦点为，点P是抛物线上任意一点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义求得正确答案. 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 所以的最小值也即是到准线的距离的最小值， 当与原点重合时，到准线的距离最小为， 也即是的最小值为. 故选：A 14．（24-25高二上·上海·期末）已知圆，圆则两个圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 【答案】D 【分析】根据圆心距确定两圆位置关系. 【详解】由已知圆心，半径， 圆心，半径， 则， 所以两圆相内切， 故选：D. 15．（23-24高二上·上海青浦·期末）设椭圆的左右焦点为，，点P在该椭圆上，则使得为等腰三角形的点P的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】分别讨论为腰或者底的情况. 【详解】①当等腰的底时，可知P点为椭圆上下顶点时，2个点，满足题意； ②当等腰的腰时，分别以为圆心，以长为半径画弧，交椭圆于4个点； 综上所述，共6个点满足题意. 故答案选：C.    16．（23-24高二上·上海·月考）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的横坐标之和等于3，则这样的直线（    ） A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在 【答案】B 【分析】过一点的直线需先考虑直线斜率是否存在，当斜率不存在时不符合题意，当斜率存在时，由题意求得的符合题意的直线有两条. 【详解】过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点， 若直线的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不符合题意； 故设直线的斜率为，则直线的方程为， 代入到抛物线得， 因为两点的横坐标之和为3， 所以，解得：，所以， 则这样的直线有且仅有两条. 故选：B 三、解答题 17．（23-24高二上·上海·课后作业）分别写出满足下列条件的动点的轨迹方程： (1)点到点、的距离之和为10； (2)点到点、的距离之和为12； (3)点到点、的距离之和为8． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据椭圆的定义可求出结果； （2）根据椭圆的定义可求出结果； （2）可知动点的轨迹是线段. 【详解】（1）因为， 所以动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆， 这里，，即，， 所以， 所以动点的轨迹方程为. （2）因为， 所以动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆， 这里，，即，， 所以， 所以动点的轨迹方程为. （3）因为， 所以动点的轨迹是线段，其方程为. 18．（24-25高二下·上海·月考）判断圆与圆的位置关系并说明理由.若有公共点，则求出公共点坐标. 【答案】两圆内含，理由见解析，无公共点 【分析】求出两圆圆心和半径，得到，从而得到两圆内含，故两圆无公共点. 【详解】， 圆心为，半径为， ， 圆心为，半径为， 所以， 所以两圆内含，故两圆无公共点. 19．（25-26高二上·上海浦东新·期中）已知双曲线，其右顶点为，右焦点为. (1)求以为圆心，且与双曲线的两条渐近线都相切的圆的标准方程； (2)设直线经过且与的两条渐近线中的一条平行，与另一条相交且交点在第一象限.求直线被（1）中圆截得的弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用圆心到渐近线的距离公式求得半径，结合圆心坐标求解； （2）得到直线方程，利用弦长公式计算. 【详解】（1）因为双曲线， 故右顶点的坐标为， 其渐近线方程为， 则点到渐近线的距离为， 即所求圆的半径为， 则所求圆的标准方程为 （2）依题可知直线的斜率为， 又的坐标为， 所以直线的方程为， 即， 则圆心到直线的距离为， 所以弦长为 20．（25-26高二上·上海浦东新·月考）某市为庆祝建党104周年，举办城市发展巡展活动，巡展的车队要经过一个单行隧道，隧道横断面由一段抛物线及一个矩形的三边组成，尺寸如图（单位：m）． (1)以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求该段抛物线所在抛物线的方程； (2)为保证安全，要求车辆顶部与隧道顶部在竖直方向上高度差至少要有0.5米，若现有一宽3m的载运集装箱车辆需通过该隧道，请计算车辆的限制高度为多少米？（精确至0.1米） 【答案】(1) (2)3.8米． 【分析】（1）设出抛物线的方程，确定其上的一个点坐标，代入求得p，即可得答案； （2）由题意在抛物线上取点，代入，解得，设出车辆的高，列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】（1）设抛物线方程为，由图知抛物线经过点， 代入方程可得，解得， 故抛物线所在抛物线的方程为． （2）依题意，在抛物线上取点，代入，解得， 设车辆限高为，要使装载集装箱的车能安全通过隧道，需使， 即 所以车辆的限制高度为3.8米． 21．（24-25高二上·上海·期中）已知焦点为的抛物线上存在不同的两点，（异于原点）． (1)若且，求直线的方程； (2)若，求线段的最小值； (3)若点，，三点共线，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，结合题意求出、，即可得解； （2）由（1）可得，则，根据得到，即可求出，再由弦长公式计算可得； （3）联立直线AB与抛物线的方程，利用求出的值域，进而得到的取值范围. 【详解】（1）设直线的方程为，由，整理可得， 则， 所以，则， 依题意可得，解得，满足， 所以直线的方程为，即； （2）由（1）可得，则， 因为，所以，解得或（舍去）， 所以，， 所以， 当且仅当时取等号， 所以线段的最小值； （3）因为、、三点共线，而抛物线的焦点， 所以直线AB的方程为，，， 联立有， 故，，，， 所以， ，， 所以 所以，即 故的取值范围为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $