第04讲 点到直线的距离（知识梳理+4大题型精讲+过关测）（寒假预习讲义）高二数学沪教版

第04讲 点到直线的距离 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：两点间的距离 1.两点间的距离公式 平面上任意两点间的距离公式为. 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离． 2．两点间距离公式的推导 法一：已知平面上的任意两点，向量，则. 因此得到平面上的任意两点的距离公式为：. 法二：已知平面上的任意两点，如何求点间的距离? 如图，过点分别向y轴和x轴作垂线和，垂足分别为，，直线与相交于点Q． 在中，，过点向x轴作垂线，垂足为；过点向轴作垂线，垂足为，所以，同理可得． 所以． 由此得到平面上任意两点间的距离公式为． 知识点2：对称问题 对称问题包括点关于点的对称、点关于直线的对称、直线关于点的对称． 1．点关于点对称 点关于点的对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题． 设点关于点M（a，b）的对称点为P′（x，y），则有，所以，即点．特别地，点P关于坐标原点O的对称点为． 2．点关于直线对称 对于点关于直线的对称问题，若点P关于直线l的对称点为，则直线l为线段的中垂线，于是有等量关系： ①（直线l的斜率存在且不为零）； ②线段的中点在直线l上； ③直线l上任意一点M到P，的距离相等，即． 常见的点关于直线的对称点： 1 点关于x轴的对称点； 2 点关于y轴的对称点； 3 点关于直线y=x的对称点； 4 点关于直线y=−x的对称点； 5 点关于直线x=m（m≠0）的对称点； 6 点关于直线y=n（n≠0）的对称点． 知识点3：点到直线的距离 1．点到直线的距离 点到直线的距离，是指从点到直线的垂线段的长度，其中为垂足．实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外一点所连线段的长度的最小值． 2．点到直线的距离公式 平面上任意一点到直线l：Ax+By+C=0（A，B不同时为0）的距离为． 3．点到直线的距离公式的推导 如图，设，则直线l与x轴和y轴都相交，过点分别作x轴和y轴的平行线，交直线l于R和S，则直线的方程为，R的坐标为；直线的方程为，S的坐标为， 于是有，， ． 设，由三角形面积公式可得， 于是得． 因此，点到直线l：Ax+By+C=0的距离． 可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式也成立． 【点拨】用向量法推导点P到直线l的距离|PQ|公式的向量法推导，在直线上取任意一点M，与直线方向向量垂直的单位向量为n，则有 ，所以有. 知识点4：点到直线的距离问题 （1）求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可． （2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线x=a或y=b，求点（）到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d=或d=。 （3）若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． 【题型1 两点间的距离】 例1（23-24高二上·上海奉贤·期中）设复数和复数在复平面上分别对应点和点，则两点间的距离为 ． 例2（21-22高二上·上海普陀·期末）已知三角形OAB顶点，，，则过B点的中线长为 . 变式1（24-25高二下·上海松江·月考）已知点和直线，则点P到直线l的距离最大值为 ． 变式2（24-25高二上·上海·月考）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为，根据以上性质，已知，为 内一点，记，则的最小值为 . 变式3（21-22高二下·上海嘉定·月考）一条直线被两条平行直线和所截，截得的线段长为，且直线经过点，求直线的方程. 【题型2对称问题】 例3（24-25高二下·上海·月考）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 例4（24-25高二下·上海宝山·月考）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 变式1（24-25高二上·上海·期末）将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，此时点与原点重合，则的值是 . 变式2（25-26高二上·上海·月考）一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 . 变式3已知：的顶点和的角平分线所在直线方程为，求边所在直线方程． 【题型3 求点到直线的距离】 例5（20-21高二下·上海浦东新·开学考试）点P(-1，-1)到直线的距离为（    ） A．0 B．1 C． D．2 例6（24-25高二上·上海·随堂练习）若点到直线的距离为1，则实数a的值为 ． 变式1（24-25高二上·上海·月考）直线过点，且原点与距离为5，则直线的方程为 . 变式2（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线l过点，若原点到l的距离为2，求直线l的方程． 变式3（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，射线、所在直线的方向向量分别为，，点在内，于，于． (1)若，，求的值； (2)若，的面积是，求的值． 【题型4 综合应用】 例7（25-26高二上·上海·月考）下列说法正确的是（   ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C．点关于直线的对称点为 D．过，两点的直线方程为 例8（24-25高二下·上海·月考）点 到直线的距离的最大值是 变式1（24-25高二上·上海奉贤·期中）已知点，在轴和直线上各取一点、，则的周长最小值为 ． 变式2（24-25高二下·上海青浦·期中）在直角坐标平面中，已知两定点与，，到直线的距离之差的绝对值等于，则平面上不在任何一条直线上的点组成的图形面积是 . 变式3（24-25高二下·上海·月考）已知三条直线. (1)用实数表示直线的倾斜角； (2)当时，能否找到第一象限中的一点满足以下条件：点到的距离是点到的距离的2倍，且点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，说明理由. 一、填空题 1．（20-21高二上·上海浦东新·月考）点到直线的距离为 . 2．（23-24高二下·上海·月考）已知直线，点到直线的距离等于，则 3．（24-25高二上·上海·课堂例题）一条光线沿经过点且斜率为的直线射到x轴上后反射，则反射光线所在的直线方程为 ． 4．（21-22高二下·上海闵行·开学考试）点关于直线的对称点是 ． 5．（24-25高二下·上海宝山·期中）点到直线的距离为 ． 6．（23-24高二上·上海奉贤·月考）点关于直线的对称点为 . 7．（20-21高二上·上海徐汇·期中）将一张坐标纸折叠一次，使得点与点重合，且点与点重合，则 8．（21-22高二下·上海黄浦·月考）一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 9．（24-25高二下·上海·月考）已知点，点在轴上，则的最小值为 . 10．（21-22高二上·上海杨浦·月考）设点，点和分别为直线和轴上的两动点，则的周长的最小值为 ． 11．（24-25高二下·上海·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 ． 12．（24-25高二上·上海·期中）已知是边长为8的菱形，且，若平面，且，则点P到直线的距离为 . 二、单选题 13．（25-26高二上·上海浦东新·期中）若点到直线的距离都等于7，则直线的不同位置有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．无数种 14．（20-21高二上·上海宝山·开学考试）已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到P点，则光线所经过的路程为（    ） A． B．6 C． D． 15．（22-23高二上·上海青浦·月考）设，为不同的两点，直线，，以下命题中正确的序号为（    ） ①存在实数，使得点在直线上； ②若，则过、的直线与直线平行； ③若，则直线经过的中点； ④若，则点、在直线的同侧且直线与线段的反向延长线相交． A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④ 16．（22-23高二上·上海奉贤·期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 三、解答题 17．（24-25高二上·上海·课后作业）在直线上找一点P，使它到原点的距离和它到直线的距离相等． 18．（24-25高二上·上海·课堂例题）求证：直线l：与点的距离不等于3． 19．（23-24高二下·上海·月考）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 20．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，已知，，，直线：． (1)求直线经过的定点坐标； (2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 21．（24-25高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，对于及直线l，记、、分别表示A、B、C到l的距离，且．对于给定的，记的最小值为． (1)已知定点，，，直线l的方程为，求的值； (2)已知，，为给定的不共线的三点，若直线使得，求证：直线过的重心； (3)若对于，满足的不同直线l至少有两条，试判断的形状，并予以证明． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 点到直线的距离 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：两点间的距离 1.两点间的距离公式 平面上任意两点间的距离公式为. 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离． 2．两点间距离公式的推导 法一：已知平面上的任意两点，向量，则. 因此得到平面上的任意两点的距离公式为：. 法二：已知平面上的任意两点，如何求点间的距离? 如图，过点分别向y轴和x轴作垂线和，垂足分别为，，直线与相交于点Q． 在中，，过点向x轴作垂线，垂足为；过点向轴作垂线，垂足为，所以，同理可得． 所以． 由此得到平面上任意两点间的距离公式为． 知识点2：对称问题 对称问题包括点关于点的对称、点关于直线的对称、直线关于点的对称． 1．点关于点对称 点关于点的对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题． 设点关于点M（a，b）的对称点为P′（x，y），则有，所以，即点．特别地，点P关于坐标原点O的对称点为． 2．点关于直线对称 对于点关于直线的对称问题，若点P关于直线l的对称点为，则直线l为线段的中垂线，于是有等量关系： ①（直线l的斜率存在且不为零）； ②线段的中点在直线l上； ③直线l上任意一点M到P，的距离相等，即． 常见的点关于直线的对称点： 1 点关于x轴的对称点； 2 点关于y轴的对称点； 3 点关于直线y=x的对称点； 4 点关于直线y=−x的对称点； 5 点关于直线x=m（m≠0）的对称点； 6 点关于直线y=n（n≠0）的对称点． 知识点3：点到直线的距离 1．点到直线的距离 点到直线的距离，是指从点到直线的垂线段的长度，其中为垂足．实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外一点所连线段的长度的最小值． 2．点到直线的距离公式 平面上任意一点到直线l：Ax+By+C=0（A，B不同时为0）的距离为． 3．点到直线的距离公式的推导 如图，设，则直线l与x轴和y轴都相交，过点分别作x轴和y轴的平行线，交直线l于R和S，则直线的方程为，R的坐标为；直线的方程为，S的坐标为， 于是有，， ． 设，由三角形面积公式可得， 于是得． 因此，点到直线l：Ax+By+C=0的距离． 可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式也成立． 【点拨】用向量法推导点P到直线l的距离|PQ|公式的向量法推导，在直线上取任意一点M，与直线方向向量垂直的单位向量为n，则有 ，所以有. 知识点4：点到直线的距离问题 （1）求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可． （2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线x=a或y=b，求点（）到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d=或d=。 （3）若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． 【题型1 两点间的距离】 例1（23-24高二上·上海奉贤·期中）设复数和复数在复平面上分别对应点和点，则两点间的距离为 ． 【答案】 【分析】根据复数对应的点，应用两点间距离公式求解即可. 【详解】复数对应点,复数对应点， 则. 故答案为：. 例2（21-22高二上·上海普陀·期末）已知三角形OAB顶点，，，则过B点的中线长为 . 【答案】 【分析】先求出中点坐标，再由距离公式得出过B点的中线长. 【详解】由中点坐标公式可得中点，则过B点的中线长为. 故答案为： 变式1（24-25高二下·上海松江·月考）已知点和直线，则点P到直线l的距离最大值为 ． 【答案】 【分析】先求得直线的定点，分析可得时，点到直线的距离最大，进而求解即可. 【详解】由， 即， 令，解得，则直线恒过定点， 当时，点到直线的距离最大， 此时最大距离为. 故答案为：. 变式2（24-25高二上·上海·月考）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为，根据以上性质，已知，为 内一点，记，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意，得到为锐角三角形，得出费马点在线段上，设，由为顶角是的等腰三角形，求得，结合费马点的性质，即可求解. 【详解】设为坐标原点，由， 可得，且为锐角三角形， 所以费马点在线段上，如图所示，设， 则为顶角是的等腰三角形，可得， 又由， 则， 所以的最小值为. 故答案为：. 变式3（21-22高二下·上海嘉定·月考）一条直线被两条平行直线和所截，截得的线段长为，且直线经过点，求直线的方程. 【答案】或. 【分析】设所求直线为l.设直线l与直线3x+4y-7=0交于点A,与直线3 x +4y+8=0交于点B. 分两种情况：①直线的斜率不存在和②直线的斜率存在两种情况，求出A、B坐标，利用，求出斜率k，根据点斜式写出直线方程. 【详解】设所求直线为l.设直线l与直线3x+4y-7=0交于点A,与直线3 x +4y+8=0交于点B. ①当直线的斜率不存在时,依题意可得直线的方程为x=2. 由解得：，故.同理求出 所以，不合题意. ②当直线的斜率存在时,依题意可设直线的方程为,其中 由解得：，故. 同理求出 所以， 解得：或. 所以直线l：或. 即直线l：或. 【题型2对称问题】 例3（24-25高二下·上海·月考）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点关于直线的对称点为，列出方程组，即可求解. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则满足，解得，即. 故选：C. 例4（24-25高二下·上海宝山·月考）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立直角坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点的坐标， 和P关于y轴的对称点的坐标，由四点共线可得直线的方程， 由于过三角形的重心，代入可得关于a的方程，解得P的坐标， 即可求得PB的长和直线方程，进而求得面积. 【详解】    建立直角坐标系，可得,故直线BC的方程为， 则三角形的重心为，即， 设,其中，则点P关于直线BC的对称点， 满足，解得，即， 易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过三角形的重心，代入得， 化简得或（舍去），故,,,直线的方程为, 联立,解得,即点Q的坐标为, 则三角形的面积， 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据题干设出点P 的坐标，根据对称性和光的反射原理可知 四点共线，进而求出点的坐标，和直线的方程，进而求出点Q的坐标，即可求得结果. 变式1（24-25高二上·上海·期末）将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，此时点与原点重合，则的值是 . 【答案】 【分析】折痕为点与点的中垂线，得方程，再根据点与原点对称可得答案. 【详解】如图：可知折痕为点与点的中垂线， 中点坐标为， 设折痕直线的斜率为，则，得， 故折痕直线方程为，即， 由题意点与原点关于折痕对称， 故得，故. 故答案为： 变式2（25-26高二上·上海·月考）一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 . 【答案】 【分析】先根据点关于直线对称得出，求的斜率，最后结合点斜式写出直线方程即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以． 又点的坐标为，所以，直线的方程为， 由对称性可知，直线即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程为． 故答案为： 变式3已知：的顶点和的角平分线所在直线方程为，求边所在直线方程． 【答案】 【分析】根据斜率公式和中点坐标公式求出点关于直线的对称点为的坐标，根据对称性和直线的两点式方程求出边所在直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点为， 直线的斜率为， 于是有 解方程组，得，所以点的坐标为． 点也在边所在的直线上， 所以边所在直线方程为：， 化简可求得方程为. 【点睛】本题考查了应用三角形的性质求三角形一边所在的直线方程，考查了点关于直线对称的应用，考查了斜率公式和中点坐标公式，考查了数学运算能力. 【题型3 求点到直线的距离】 例5（20-21高二下·上海浦东新·开学考试）点P(-1，-1)到直线的距离为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】由点到直线距离公式求解. 【详解】由点到直线的距离公式可得， ， 故选：B 例6（24-25高二上·上海·随堂练习）若点到直线的距离为1，则实数a的值为 ． 【答案】或 【分析】利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】因为点到直线的距离为1， 所以解得：或 故答案为：或 变式1（24-25高二上·上海·月考）直线过点，且原点与距离为5，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】对直线的斜率分类讨论，利用点斜式设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为,则原点到其距离为4，不成立； 当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为，即， 根据点到直线的距离公式，直线到点的距离为： ， 依题意，，即，，， 解得，因此直线的方程为，即. 故答案为：. 变式2（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线l过点，若原点到l的距离为2，求直线l的方程． 【答案】或 【分析】讨论直线的斜率不存在和存在两种情况，因为原点到l的距离为2，当直线的斜率不存在时，满足，当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，得到直线方程，利用点到直线的距离公式求出，即可得到直线l的方程． 【详解】当直线的斜率不存在时，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，直线过点， 直线的方程为，即， 又原点到直线的距离为2， ， ，， ，， 直线的方程为，即， 所以，直线l的方程为或． 变式3（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，射线、所在直线的方向向量分别为，，点在内，于，于． (1)若，，求的值； (2)若，的面积是，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出以及直线，可求出点到直线的距离，再利用勾股定理可求得的值； （2）求出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求出的值，可得出关于的方程，结合可求得的值. 【详解】（1）因为，则， 因为，则直线的一个方向向量为，所以，直线的方程为， 所以，点到直线的距离为， 所以，. （2）因为直线的一个方向向量为， 所以，直线的方程为，即. 点到直线的距离为，， ，可得或， 即或，因为，解得或. 【题型4 综合应用】 例7（25-26高二上·上海·月考）下列说法正确的是（   ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C．点关于直线的对称点为 D．过，两点的直线方程为 【答案】C 【分析】由直线方程求直线在坐标轴上的截距，从而可求出直线与坐标轴围成的三角形的面积判断A；分别讨论直线过原点和不过原点两种情况，即可判断B；设关于直线对称的点为，得到，再解方程即可判断C；利用两点式方程使用条件判断D. 【详解】对于A，当时，，当时，， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，所以A错误； 对于B，当所求直线过原点时，设直线为， 因为点在上，所以，所求直线为. 当直线不过原点时，设所求直线为， 因为点在上，所以，所求直线为. 综上所求直线为：或，所以B错误； 对于C，设关于直线对称的点为， 则，即点关于直线的对称点为，所以C正确； 对于D，当或时，不能利用两点式求直线方程，所以D错误. 故选：C 例8（24-25高二下·上海·月考）点 到直线的距离的最大值是 【答案】3 【分析】先根据点到直线距离公式求距离，再根据三角函数性质求最大值. 【详解】因为点 到直线的距离为， 又， ，， 因此当时，取最大值，且， 故答案为：3. 变式1（24-25高二上·上海奉贤·期中）已知点，在轴和直线上各取一点、，则的周长最小值为 ． 【答案】 【分析】作出图形，数形结合，由两点间距离公式求解即可； 【详解】 作点关于轴的对称点，和关于直线的对称点， 连接交轴于点，交直线于点， 此时的周长最小值，最小值为， 故答案为：. 变式2（24-25高二下·上海青浦·期中）在直角坐标平面中，已知两定点与，，到直线的距离之差的绝对值等于，则平面上不在任何一条直线上的点组成的图形面积是 . 【答案】/ 【分析】分直线位于直线的同侧还是两侧分类讨论，确定直线的轨迹，则面积可求得 【详解】①位于直线的同侧，如左图所示，，正方形边长为， 直线是与正方形的边平行的直线， 到直线的距离之差的绝对值为， 即正方形外与正方形各边平行的直线均符合题意; ②位于直线的异侧，如右图所示，和是半径为的圆上的两段弧， 其中， 直线是或的切线，到直线的距离之差绝对值为， 即或的切线均符合题意. 不在任何一条直线上的点组成的图形如下图阴影所示， 其面积. 故答案为：. 变式3（24-25高二下·上海·月考）已知三条直线. (1)用实数表示直线的倾斜角； (2)当时，能否找到第一象限中的一点满足以下条件：点到的距离是点到的距离的2倍，且点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)能， 【分析】（1）借助倾斜角与斜率的关系分类讨论即可得； （2）借助点到直线的距离公式，可得、，分类讨论并计算即可得解. 【详解】（1）直线的斜率为， 当时，，倾斜角， 当时，，倾斜角， 当时，直线方程为，倾斜角； （2）当时，设，由，有， 化简得， 由，即，化简得， 分情况讨论： ①：，解得， 代入条件1，解得，，满足； ②：，解得，不符合， 将，代入，成立， 故点符合要求，即能找到，且坐标为. 一、填空题 1．（20-21高二上·上海浦东新·月考）点到直线的距离为 . 【答案】2 【分析】根据点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由点到直线的距离公式，可得， 即点到直线的距离为. 故答案为：. 2．（23-24高二下·上海·月考）已知直线，点到直线的距离等于，则 【答案】 【分析】利用点到直线的距离公式，列式计算即得. 【详解】依题意，，所以. 故答案为： 3．（24-25高二上·上海·课堂例题）一条光线沿经过点且斜率为的直线射到x轴上后反射，则反射光线所在的直线方程为 ． 【答案】 【分析】根据点斜式求入射光线所在直线方程，然后利用对称性可得所求. 【详解】由题知，入射光线所在直线方程为，即， 因为入射光线所在直线和反射光线所在直线关于x轴对称， 所以反射光线所在的直线方程为. 故答案为： 4．（21-22高二下·上海闵行·开学考试）点关于直线的对称点是 ． 【答案】 【分析】设出对称点，根据对称的性质列出方程即可求出. 【详解】设点关于直线的对称点是， 则有，解得， 故点关于直线的对称点是. 故答案为：. 5．（24-25高二下·上海宝山·期中）点到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】由点到线的距离公式即可求解. 【详解】点到直线的距离为， 故答案为： 6．（23-24高二上·上海奉贤·月考）点关于直线的对称点为 . 【答案】 【分析】设出对称点，利用垂直和平分的关系可得答案. 【详解】设对称点为，则， 解得，即对称点为. 故答案为：. 7．（20-21高二上·上海徐汇·期中）将一张坐标纸折叠一次，使得点与点重合，且点与点重合，则 【答案】 【解析】直接利用直线垂直的充要条件和中点坐标公式，求出结果. 【详解】解：由题意将一张坐标纸折叠一次，使得点与点重合， 则坐标纸折叠一次的折痕是点与点连线的垂直平分线， 所以两点的中点坐标为，即， 则两点所确定的直线的斜率为，所以折痕所确定的直线的斜率为， 则其垂直平分线的方程为，即， 它也是点与点连线的垂直平分线， 所以，解得. 故. 故答案为：. 【点睛】本题考查两点中点坐标公式，关键点是求得两点连线的直线的斜率，坐标纸折叠一次的折痕是两点连线的垂直平分线，考查运算求解能力，属于基础题. 8．（21-22高二下·上海黄浦·月考）一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 【答案】 【分析】根据对称的性质，设点关于直线的对称点为，利用斜率和中点坐标可得，根据点即可求解入射光线直线的方程． 【详解】解：设点关于直线的对称点为， 则， 解得 则入射光线所在直线的方程为：， 即 故答案为：． 9．（24-25高二下·上海·月考）已知点，点在轴上，则的最小值为 . 【答案】 【分析】依题意作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则，计算即得的最小值. 【详解】如图作出点关于轴的对称点，连接，交轴于点， 连接，则，此时即为最小值. 理由：在轴上任取点，连接，易得， 则， 故上述点即是使取得最小值的点. 故答案为：.    10．（21-22高二上·上海杨浦·月考）设点，点和分别为直线和轴上的两动点，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题可求点关于轴的对称点，关于的对称点，然后利用数形结合即得. 【详解】因为点，则关于轴的对称点为， 设关于的对称点为， 则，解得，即， 所以，， 所以的周长为， 则当共线时，的周长的值最小， 此时三角形周长为. 故答案为：． 11．（24-25高二下·上海·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 ． 【答案】 【分析】求出关于直线对称的点，结合图形，即可求解. 【详解】设点关于直线对称的点为， 则有，解得，所以， 则，所以“将军饮马”的最短总路程为，    故答案为：. 12．（24-25高二上·上海·期中）已知是边长为8的菱形，且，若平面，且，则点P到直线的距离为 . 【答案】 【分析】由图可得P到直线的距离为底边上的高，据此可得答案. 【详解】如图，连接. 因，则为等边三角形，则. 又因平面，平面，则. 则，. 则为等腰三角形，则P到直线的距离为底边上的高. 则点P到直线的距离为. 故答案为：    二、单选题 13．（25-26高二上·上海浦东新·期中）若点到直线的距离都等于7，则直线的不同位置有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．无数种 【答案】C 【分析】分直线l的斜率不存在、存在两种情况讨论，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】 由题意可得， 所以当直线的斜率不存在时可得； 当直线的斜率为零时可得或， 故选：C. 14．（20-21高二上·上海宝山·开学考试）已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到P点，则光线所经过的路程为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】直线AB的方程为：，点关于x轴的对称点，根据对称性特征求得点关于直线AB的对称点， 再根据反射对称性可得光线所经过的路程为，即得结果. 【详解】直线AB的方程为：，如图所示， 点关于x轴的对称点， 设点关于直线AB的对称点，如图，    则，且中点在直线上， 即联立解得，即， 所以根据反射原理的对称性，光线所经过的路程为： ． 故选：C. 【点睛】本题考查了直线的方程、点关于直线的对称点的求法、两点之间的距离公式和光线反射的性质，考查了推理能力与计算能力，属中档题． 15．（22-23高二上·上海青浦·月考）设，为不同的两点，直线，，以下命题中正确的序号为（    ） ①存在实数，使得点在直线上； ②若，则过、的直线与直线平行； ③若，则直线经过的中点； ④若，则点、在直线的同侧且直线与线段的反向延长线相交． A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】依次分析命题：①根据中的分母不为0，即可判断点不在直线上；②当时，分和两种情况考虑，当时，根据推出直线与直线平行；当时，根据，化简后得到直线与直线的斜率相等，且点不在直线上，进而得到两直线平行；③当时，化简后得到线段的中点在直线上；④根据，得到与同号且小于，进而得到点、在直线的同侧且直线与线段的反向延长线相交，综合可得答案. 【详解】①因为中，，所以点不在直线上，故①错误； ②当时，根据得到，化简得：，直线与直线的斜率不存在，都与轴平行，由①知点不在直线上，得到直线与直线平行；当时，根据，得到，化简得：，即直线的斜率为，又因为直线的斜率为，由①知点不在直线上，得到直线与直线平行；综上，当时，直线与直线平行，故②正确； ③当，得到，化简得，而线段的中点坐标为，所以直线经过直线的中点，故③正确； ④当，得到，即，所以得到点、在直线的同侧，且，得到点与点到直线的距离不等，所以直线与线段的反向延长线相交，故④正确， 故选：. 16．（22-23高二上·上海奉贤·期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】利用点关于直线的对称点结合两点间的距离公式即可求解． 【详解】如图所示，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时路程和最小， 由题知，点满足： ，解得：，，即点， 因为， 所以“将军饮马”的最短总路程为， 故选：D 三、解答题 17．（24-25高二上·上海·课后作业）在直线上找一点P，使它到原点的距离和它到直线的距离相等． 【答案】点的坐标为或． 【分析】根据题意，由两点间距离公式与点到直线的距离公式代入计算，即可求解. 【详解】设点是直线上的任一点， 点到原点的距离为． 又点到直线的距离为， ，， 点的坐标为或． 18．（24-25高二上·上海·课堂例题）求证：直线l：与点的距离不等于3． 【答案】证明见解析 【分析】根据点到直线的距离公式，运用反证法，即可推得结论. 【详解】由点到直线距离公式得 ， 假设， 即， 整理得， 因为， 所以方程无实根， 所以，即直线l与点的距离不等于3． 19．（23-24高二下·上海·月考）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【答案】【小题1】 【小题2】 【小题3】 【分析】（1）已知点和直线，求点关于直线的对称点问题，设出对称点的坐标，利用点和点中点在直线上以及直线与直线垂直列方程组，解方程组即可求解. （2）如果两条直线相交，求一条直线关于另一条直线的对称直线的方程，可以先求两条已知直线的交点，再求直线上任取的一点关于另一条直线的对称点，两点和可以确定要求直线的方程，从而求得方程. （3）求直线关于点的对称直线的方程，可以转化成求直线上两点关于已知点的对称点，通过两个对称点的坐标求出直线方程即可. 【详解】（1）设点关于直线 的对称点的坐标为， 则有题意可得，解得， 故点关于直线的对称点的坐标为． （2）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得， 即． 由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为， 化简为． （3）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为3， 则所求直线方程为， 即． 20．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，已知，，，直线：． (1)求直线经过的定点坐标； (2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分离参数，列方程可得直线过定点； （2）分别求点关于直线与的对称点与，进而可得，再根据对称性可得，即可得直线方程. 【详解】（1）由直线：，即， 令，解得， 故直线恒过定点； （2）设关于的对称点，则， 关于的对称点， 由直线的方程为，即， 所以，解得， 所以， 由题意得、、、四点共线，， 由对称性得， 所以入射光线的直线方程为， 即． 21．（24-25高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，对于及直线l，记、、分别表示A、B、C到l的距离，且．对于给定的，记的最小值为． (1)已知定点，，，直线l的方程为，求的值； (2)已知，，为给定的不共线的三点，若直线使得，求证：直线过的重心； (3)若对于，满足的不同直线l至少有两条，试判断的形状，并予以证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)等边三角形，证明见解析 【分析】（1）根据定义及点到直线距离公式即可求解； （2）设，，，直线，根据定义得出，由二次函数的性质得，，代入直线方程即可证明； （3）不妨设，，，，l的方程为，，得出，由反证法得出，即可证明． 【详解】（1），，， 故． （2）设，，，直线， 对任意固定的a、b，要使得 ，最小， 那么由二次函数的性质可得，， 此时直线方程为， 过的重心，因此过的重心． （3）由（2）知，取最小值时，l过的重心，不失一般性， 不妨设，，，其中， 此时l的方程为，这里θ表示直线l的倾斜角， 此时 ， 此时为关于θ的函数、定义域为的函数， 令，，， 则， 若或，那么函数在上有且仅有一个最小值，这与已知条件取最小值至少有两条直线满足条件矛盾． 因此必须有且，即， 由得， 不妨取， 所以，，， 所以，即， 所以为等边三角形． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $