第03讲 两条直线的位置关系（知识梳理+6大题型精讲+过关测）（寒假预习讲义）高二数学沪教版

第03讲 两条直线的位置关系 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：两直线平行 1．特殊情况下的两条直线平行的判定 两条直线中有一条直线没有斜率，当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，故它们互相平行． 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定 两条直线都有斜率而且不重合时，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即． 证明如下： 设两条直线的斜率分别为． 如果（如图），那么它们的倾斜角相等，即． ∴，∴． 反过来，如果两条直线的斜率相等，即，那么． 由于，∴．又两条直线不重合，∴． 在平面直角坐标系中，已知两条直线方程为： 与平行的充要条件：存在，使得，，且 知识点2：两直线垂直 1．特殊情况下的两条直线垂直的判定 当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°时，两条直线互相垂直． 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果两条直线的斜率之积等于−1，那么它们互相垂直，即． 证明如下： 设两条直线与的倾斜角分别为与． 如果，这时．否则，则，与相矛盾． 设（如下图）， 图（1）的特征是与的交点在x轴上方； 图（2）的特征是与的交点在x轴下方； 图（3）的特征是与的交点在x轴上，无论哪种情况下都有． ∵，的斜率分别是，且，∴． ∴． ∴，即． 反过来，若，即． 不失一般性，设，则，即， ∴． 在平面直角坐标系中，已知两条直线方程为： 与垂直的充要条件： ； 【注意】斜率法： 和垂直； 知识点3：两直线重合 在平面直角坐标系中，已知两条直线方程为： 与重合的充要条件：存在λ∈R，使得，，且 知识点4：两直线相交 在平面直角坐标系中，已知两条直线方程为： 与相交的充要条件：； 在平面直角坐标系中，已知两条直线方程为： 则与的法向量为： ，；若夹角为； 所以，； 【注意】还有其他一些量可以简单地刻画两条直线相交与否？ 两直线的位置关系的判断方法：直线. （1）向量法： 和相交； 和平行； 和重合. （2）斜率法： 和相交； 和平行； 和重合. 注；应用此法的前提是两直线斜率均存在； 知识点5：两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长． 2．两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线（其中A与B不同时为0，且）间的距离． 3．两条平行直线间的距离公式的推导 对于两条平行直线（其中A与B不同时为0，且）． 在直线上任取一点，则点到的距离即为与之间的距离，则． ∵点在直线上，∴，即． ∴两条平行直线， （其中A与B不同时为0，且）之间的距离为． 知识点6：直线关于直线对称 （1）直线与关于直线l对称，它们具有以下几种几何性质： ①若与相交，则直线l是、夹角的平分线； ②若与平行，则直线l在、之间且到、的距离相等； ③若点A在上，则点A关于直线l的对称点B一定在上，此时AB⊥l，且线段AB的中点M在l上（即l是线段AB的垂直平分线）．充分利用这些性质，可以找出多种求直线的方程的方法． （2）常见的对称结论有：设直线l为Ax+By+C=0， ①l关于x轴对称的直线是Ax+B（−y）+C=0； ②l关于y轴对称的直线是A（−x）+By+C=0； ③l关于直线y=x对称的直线是Bx+Ay+C=0； ④l关于直线y=−x对称的直线是A（−y）+B（−x）+C=0． 【题型1 两条直线的平行关系】 例1（20-21高二上·上海浦东新·月考）对于直线，下列说法不正确的是　　 A．无论如何变化，直线的倾斜角的大小不变 B．无论如何变化，直线一定不经过第三象限 C．无论如何变化，直线必经过第一、二、三象限 D．当取不同数值时，可得到一组平行直线 【答案】C 【解析】直线，化为：，根据直线斜率与在轴上的截距的意义即可判断出正误． 【详解】直线，化为：， 可得斜率，倾斜角为轴上的截距为， 因此无论如何变化，直线必经过第一、二、四象限，C错； 直线一定不经过第三象限，B对； 直线的倾斜角的大小不变，A对； 当取不同数值时，可得到一组平行直线，D对； 故选：． 例2（23-24高二上·上海虹口·月考）“”是“与直线平行”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【分析】根据直线平行得到方程，经检验后得到，从而得到答案. 【详解】由题意得，解得， 当时，两直线为与，此时两直线重合，舍去； 当时，两直线为和，此时两直线不重合，满足要求， 故“”是“与直线平行”的充要条件. 故选：C 变式1（24-25高二下·上海·开学考试）若直线与直线平行，则 . 【答案】 【分析】由平行的两条直线，对应方程的特性列式求解即得. 【详解】由直线与直线平行，得， 所以. 故答案为： 变式2（22-23高二下·上海黄浦·期中）直线与直线平行，则 . 【答案】2 【分析】根据两直线平行的充要条件即可求解. 【详解】法一：两直线平行，则； 法二：两直线平行，，则, 故答案为：. 变式3（24-25高二上·上海·课堂例题）已知：，：，求当m为何值时，与相交、平行或重合． 【答案】答案见解析 【分析】利用一般式方程判断两直线平行的等价条件来进行研究求解. 【详解】若直线与相交，则，即，解得且且； 若直线与平行或重合，则，解得或或． 当时，：，：，满足与平行； 当时，：，：，满足与平行； 当时，：，：，满足与重合； 综上，当且且时，与相交；当或时，与平行；当时，与重合． 【题型2 两条直线的垂直关系】 例3（20-21高二上·上海浦东新·期中）“两条直线的斜率乘积为”是“两条直线互相垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】根据两直线垂直与斜率的关系判断即可得到结果. 【详解】当两条直线斜率乘积为时，两条直线互相垂直，充分性成立； 当两条直线互相垂直时，其中一条直线可能斜率不存在，必要性不成立； “两条直线的斜率乘积为”是“两条直线互相垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 例4（20-21高二上·上海杨浦·期中）“”是“直线和直线垂直”的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由和垂直可得：，即，解得，即可得解. 【详解】由直线和直线垂直， 可得：，即， 解的， 所以是直线和直线垂直的充分不必要条件. 故选：A. 变式1（24-25高二上·上海松江·月考）若直线：与直线：垂直，则实数的值等于 . 【答案】 【分析】写出两直线斜率，由直线垂直得到斜率乘积为，建立方程后解出参数的值. 【详解】由题意知两直线斜率存在， ，， ， 解得. 故答案为： 变式2（24-25高二下·上海崇明·期末）已知点、，则线段的垂直平分线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】由线段的斜率可计算出线段的垂直平分线的斜率，又有的中点是线段的垂直平分线经过的一个点，使用点斜式即可得到线段的垂直平分线方程. 【详解】线段的斜率为，故线段的垂直平分线的斜率为， 线段的中点为，故线段的垂直平分线经过， 由点斜式知，线段的垂直平分线方程为：，即. 故答案为：. 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线与垂直，求实数的值. 【答案】 【分析】根据两直线垂直的公式求解即可. 【详解】因为直线与垂直， 故， 即， 解得. 【题型3 两条直线的相交关系】 例3（23-24高二上·上海·月考）若点既是的中点，又是直线与的交点，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将两直线方程相减可得过两直线交点的直线方程，再将代入化简可求出直线的斜率，从而可求出线段的垂直平分线的方程. 【详解】直线与直线的方程相减可得，， 把点代入可得， 所以， 所以线段的垂直平分线的方程是，即， 故选：C 例4（24-25高二·上海·课堂例题）直线与的夹角为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线方程可得各直线斜率，进而可得倾斜角之间的关系，从而得夹角. 【详解】因为直线的斜率为， 所以直线的倾斜角满足， 又因为直线的斜率为， 所以直线的倾斜角满足， 所以， 设两直线夹角为，则， 又因为两直线夹角的范围为， 所以两直线夹角为. 故选：B. 变式1（2025高二上·上海·专题练习）直线l经过原点，且经过两条直线的交点，则直线l的方程为 【答案】 【分析】思路一：求出交点坐标得直线斜率即可求解；思路二：设所求直线l的方程为，将原点坐标代入求得的值即可. 【详解】方法1：联立，解得，所以两直线的交点为， 所以直线l的斜率为，则直线l的方程为； 方法2：设所求直线l的方程为， 因为直线l经过原点，所以，解得； 所以直线l的方程为. 故答案为：. 变式2（20-21高二上·上海·课后作业）已知关于的方程组有唯一解，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】把方程组中的两个方程对应两条直线，结合两直线的位置关系，即可求解. 【详解】由方程组中的两个方程对应两条直线， 则方程组的解就是两直线的交点， 要使得两直线只有一个交点，则满足， 即，解得. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解法，以及两直线位置关系的应用，其中解答中把方程组的解转化为两直线的位置关系是解答的关键，注重考查转化思想，以及计算能力. 变式3（25-26高二上·上海·月考）已知平面直角坐标系中，，，， (1)若直线与直线平行，求的值； (2)若线段与线段有公共点，求的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据可求出结果； （2）作出示意图，求得直线与的方程，又在直线上，求得直线与的交点的坐标，直线与的交点的坐标，可求得的取值范围. 【详解】（1）因为直线与直线平行，所以， 所以，解得，经检验两直线不重合，所以. （2）由题意可得，， 直线的方程为，即， 所以直线的方程为， 又是直线上的动点， 记直线与直线的交点为，直线与直线的交点为， 因为直线的方程为，令，可得，即， 因为直线的方程为，令，可得，即， 当在上移动时，线段与线段有公共点，故的取值范围为.    【题型4两条平行直线间的距离】 例3（25-26高二上·上海·期中）直线与直线之间的距离为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两平行直线间距离公式进行求解. 【详解】直线，即直线， 直线与直线之间的距离为. 故选：C 例4（25-26高二上·上海·期中）两平行直线和的距离为 ． 【答案】/0.9 【分析】直线与直线为平行线，根据两平行线间的距离公式即可求得答案． 【详解】将直线，化简为， 与是平行线， 根据两平行线间的距离公式得， 两平行线间的距离为． 故答案为：． 变式1（24-25高二下·上海·随堂练习）已知直线：与直线：且，则实数 ，，之间的距离为 ． 【答案】 6 【分析】根据两直线平行的充要条件可列式求得参数的值，再由平行线间的距离公式即可求解. 【详解】因为，∴，解得：， ∴：，即，∴与之间的距离． 故答案为：6，. 变式2（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线经过点且与和分别交于两点，若，求直线的方程． 【答案】或 【分析】先利用平行直线间的距离公式求得和的距离，从而得到直线与斜率的直线的夹角，从而利用直线夹角公式得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】依题意，易知直线和直线互相平行， 故两直线间的距离，且与两直线垂直的直线斜率， 因为，故设经过点的直线斜率为，    故所求的直线与斜率的直线的夹角为， 则，解得或； 故直线的方程为或. 整理得：或. 变式3（23-24高二上·上海·月考）已知常数，设直线，直线. (1)若，求的值； (2)若与平行，求与的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知结合直线垂直的条件求解即可； （2）结合直线平行的条件先求出，然后结合平行线间的距离公式求解即可. 【详解】（1）由题意知的法向量为，的法向量为， 若，则； （2）若与平行，则或， 当时，直线，直线，两直线重合，舍去， 当时，则直线，直线， 则与的距离为. 【题型5 直线关于直线对称】 例3（20-21高二上·上海浦东新·期末）过原点的直线l的倾斜角为θ，则直线l关于直线对称的直线的倾斜角不可能为（    ） A．θ B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线与直线对称，得到倾斜角之间的关系，然后对选项进行逐个分析判断即可. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 因为直线和直线关于直线对称， 所以直线和直线也关于直线对称 ， 所以或， 对于A，当时，，所以A正确， 对于B，当时，，所以B正确， 对于C，若，则不成立，且也不成立，所以C错误， 对于D，当时，，所以D正确. 故选：C 例4（高二上·上海浦东新·期末）直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】所求直线的斜率与直线的斜率互为相反数，且在处有公共点，求解即可． 【详解】直线与直线的交点为，则所求直线过点, 因为直线的斜率为，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即. 故答案为A. 【点睛】本题考查了直线的斜率，直线的方程，直线关于直线的对称问题，属于基础题． 变式1（24-25高二上·上海·月考）以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为1的正方形的四条边的方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设分析知，方程所得图形关于原点、轴对称且点在图形上，即可得. 【详解】由题设，方程所得图形关于原点、轴对称， 若在图形上，则、、均在图形上， 显然、满足，、不满足， 又图形是对角线在坐标轴上，边长为1的正方形， 所以，点在图形上，故方程为. 故选：D 变式2（24-25高二上·上海·随堂练习）若直线l与直线的夹角平分线为，则直线l的方程为 . 【答案】 【分析】由题意知，直线和关于直线对称，故把l的方程中的x 和y交换位置即得直线l的方程． 【详解】由题意可得直线l与直线关于直线对称， 由于直线上的任意一点关于直线的对称点为， 因为已知直线，则的方程是，即， 故答案为：. 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线．求此直线分别关于坐标轴、坐标原点及直线、对称的直线的方程． 【答案】答案见解析 【分析】根据直线关于直线对称的变换规则计算可得. 【详解】直线， 在原方程中用代即得到直线关于轴对称的直线方程， 故直线关于轴对称得到； 在原方程中用代即得到直线关于轴对称的直线方程， 故直线关于轴对称得到； 在原方程中用代、用代即得到直线关于原点对称的直线方程， 故直线关于原点对称得到； 在原方程中以代，以代即得到直线关于直线对称的直线方程， 故直线关于直线对称的直线方程为； 在原方程中以代，以代即得到直线关于直线对称， 故直线关于直线对称的直线方程为，即 【题型6两直线位置关系的综合应用】 例3（24-25高二下·上海·月考）已知集合}，若，则 k的值为 . 【答案】或 【分析】集合中的元素都是直线上的点，可将“交集为空集”转化成“两条直线没有交点”，根据两直线间的位置关系可求得结果. 【详解】由题意，集合中，可整理成， 所以，集合表示直线上的点集，集合表示直线上的点集. 因为，所以直线与直线平行或有一个交点， 当两直线平行时，；当两直线交点为时，. 故答案为：或. 例4（25-26高二上·上海·月考）设，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点，中点为，则的值为 . 【答案】 【分析】求解直线经过的定点，根据两直线垂直，即可根据直角三角形的性质求解. 【详解】由于经过的定点为，所以， 直线变形为， 所以经过定点，故， 因为，所以两直线垂直，如图， 因此为直角三角形，所以. 故答案为： 变式1（23-24高二上·上海·课后作业）已知四边形的四个顶点的坐标分别为、、、.求证：四边形是梯形. 【答案】证明见解析 【分析】利用向量共线定理证明，再证明其长度不等即可. 【详解】， ，且不在一条直线上， 则直线与直线平行，且， 则四边形是梯形. 变式2（24-25高二上·上海·课后作业）在中，已知是BC边上一点，边AB、AC所在直线的方程分别为，．若，求直线BC的方程． 【答案】 【分析】首先求点的坐标，利用垂直关系求直线的斜率，再代入点斜式方程，即可求解. 【详解】因为边、所在直线的方程分别为，， 两条直线的交点为． 若，则， 所以直线的方程为，即． 变式3（20-21高二上·上海嘉定·期中）设直线与直线，为实数 （1）若，求，之间的距离: （2）当时，若光线沿直线照射到直线上后反射，求反射光线所在的直线的方程. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由两条直线平行可构造方程组求得，从而得到方程，利用平行直线间距离公式可求得结果； （2）联立与方程，得到交点坐标，利用到角公式可求得斜率，由直线点斜式方程可整理得到结果. 【详解】（1），，解得：， ，即， 与之间的距离； （2）当时，， 设与交于点，由得：，； 与关于直线对称， 设斜率为，则，解得：， 方程为：，即. 一、单选题 1．（22-23高二上·上海浦东新·月考）直线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线垂直，得到斜率的积为，即可求解. 【详解】由题意可知，直线斜率都存在.因为，则有，解得. 故选：A 2．（21-22高二上·上海宝山·期末）已知、是平面直角坐标系上的直线，“与的斜率相等”是“与平行”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分条件也非必要条件 【答案】D 【分析】根据直线平行与直线斜率的关系，即可求解. 【详解】解：与的斜率相等”，“与可能重合，故前者不可以推出后者， 若与平行，与的斜率可能都不存在，故后者不可以推出前者， 故前者是后者的既非充分条件也非必要条件， 故选：D. 3．（24-25高二下·上海青浦·期中）若、为实数，则“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【分析】利用两直线平行求出实数的值，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若直线与直线平行，则且， 因为“”“且”， 但“”“且”， 因此，“”是“直线与直线平行”的必要不充分条件. 故选：B. 4．（23-24高二上·上海·期末）“”是“直线与直线平行”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】C 【分析】根据两直线平行满足的系数关系可得，即可结合充要条件的判定求解. 【详解】若直线与直线平行， 则，解得， 故 “”是“直线与直线平行”的充要条件， 故选：C 二、填空题 5．（24-25高二上·上海·期末）平行直线与间的距离为 . 【答案】/ 【分析】利用平行线之间的距离即可得到结果. 【详解】易知，即有， 与间的距离. 故答案为： 6．（24-25高二上·上海·随堂练习）若直线不过第二象限，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据直线方程得出定点，画出图形，数形结合分析即可. 【详解】，变形即得，则直线恒经过定点. 如图所示， 由于直线不过第二象限，则直线在如图位置的之间，围绕转动. 直线的斜率为非负数即可，即，即. 故答案为：. 7．（22-23高二下·上海静安·期中）直线与直线间的距离为 【答案】/ 【分析】 利用两条直线平行的条件及两条平行直线间的距离公式即可求解. 【详解】由直线，得， 所以， 由直线，得， 所以， 所以. 所以直线与直线平行， 所以直线与直线间的距离为 . 故答案为：. 8．（23-24高二上·上海·期末）已知直线：与：平行，则 . 【答案】1 【分析】由题意两直线平行得斜率相等且截距不等，求解即可. 【详解】由已知：方程可化为，则直线斜率为， 由两直线平行，则的斜率也存在，且为， 则：方程可化为：， 所以有，且，解得. 故答案为：. 9．（高二下·上海·课后作业）已知直线与直线关于直线对称，则直线的方程是 . 【答案】 【分析】设点在直线上，由题意结合对称性可得点在直线上，求得即可得解. 【详解】设点在直线上，则点在直线上， ，， 直线的方程是. 故答案为：. 【点睛】本题考查了由对称性求直线方程，考查了运算求解能力，关键是转化对称的条件，属于基础题. 10．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线和互相垂直，则实数 . 【答案】2 【分析】由直线垂直的充要条件列方程即可求解. 【详解】已知直线和互相垂直， 则，解得. 故答案为：2. 11．（24-25高二下·上海·月考）在中，已知点边上的中线所在直线的方程为，的角平分线所在直线方程为，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】设的坐标为，即可得到的中点坐标，再根据中点在中线上，点在角平分线上得到方程组，解得即可. 【详解】设的坐标为，则的中点坐标为， 则，解得，则点的坐标为. 故答案为： 12．（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线：与直线：互相垂直，实数k的值为 ． 【答案】1或4 【分析】根据两直线互相垂直的公式，即可求解. 【详解】由，可知，， 解得：或. 故答案为：或 13．（22-23高二下·上海杨浦·期中）若直线被两平行线与所截得的线段的长为2，则直线的倾斜角为 ． 【答案】或 【分析】根据两平行线间的距离与2的比较可得直线和两平行线的夹角为60°，再根据倾斜角的关系求解即可． 【详解】设直线与两平行线的交点分别为，过点作的垂线，垂足为，如图， 两平行线间的距离，则，又， 所以直线与两平行线的夹角满足，则， 因为两平行线斜率为，所以倾斜角为， 所以直线的倾斜角为或． 故答案为：或． 14．（24-25高二下·上海静安·期中）直线过点与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为 ． 【答案】/ 【分析】先直线的斜率，再利用点斜式求直线的方程，再利用两直线平行求出的值，最后利用平行直线间距离公式计算. 【详解】直线的斜率为，则直线的方程为，即， 因直线与直线平行，则，得， 则直线与之间的距离为. 故答案为： 15．（25-26高二上·上海徐汇·月考）小马虎同学求直线2▇和直线▇之间的距离，其中▇中的数相同，但被墨迹污染，小马虎同学将转化为：▇，由，求得和之间的距离为1，若小马虎同学求解的结果是正确的，则▇中的数字为 . 【答案】0 【分析】设的系数为，利用平行线间的距离公式求出可得答案. 【详解】直线的方程为▇，直线▇， 设的系数为，此时直线与直线之间的距离为 ，解得. 此时，直线的方程为，直线， 它们之间的距离为1，符合题意， 故▇中的数字为0. 故答案为：0. 16．（23-24高二上·上海·期末）已知直线：与：，若，则实数的值为 ． 【答案】或 【分析】根据两直线平行的条件列式求解即可. 【详解】若，则，即，解得或， 当时，直线：与：，符合题意； 当时，直线：与：，符合题意， 综上，或. 故答案为：或. 三、解答题 17．（23-24高二上·上海·课后作业）分别求过直线和的交点，且与直线垂直或平行的直线方程. 【答案】答案见解析 【分析】求出直线、的交点坐标，求出直线的斜率，结合所求直线与直线平行、垂直，结合点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】解：联立，解得，即直线、的交点为， 因为直线的斜率为， 所以，过点且与直线垂直的直线的方程为，即， 过点且与直线平行的直线的方程为，即. 18．（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知直线过点，且被两平行直线和截得的线段长度为5，求直线的方程． 【答案】或 【分析】设出直线与直线的交点坐标，根据给定条件列式探求两个交点坐标间的关系，求出直线方程作答. 【详解】设直线与直线分别交于点， 则，两式相减得：，而， 即，解得或， 由，即，轴，得直线方程为，经验证符合题意， 由，即，轴，得直线方程为，经验证符合题意， 所以直线l的方程为或. 19．（24-25高二下·上海·月考）已知直线，直线， (1)若与相交，求实数的值； (2)若与平行.求实数的值并求出此时两直线间的距离. 【答案】(1)且. (2) 【分析】（1）根据给定的直线方程，利用两直线相交的充要条件列式求解. （2）由两直线平行列式求出，再利用平行线间距离公式求解. 【详解】（1）由直线与直线相交， 得，即，解得且， 所以实数的取值为且. （2）由直线与平行，得，即，解得， 此时，即，直线， 所以直线与间距离. 20．（25-26高二上·上海浦东新·期中）已知直线，直线. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值，并求平行直线和之间的距离. 【答案】(1)或 (2)，距离为 【分析】（1）由垂直得到，解出的值； （2）由平行得到，解出或，分别检验是否重合，再由平行线间距离公式求距离. 【详解】（1）因为，所以，即，解得或， 所以实数的值为或. （2）因为，所以，即，解得或， 当时，，即，此时与重合，不合题意； 当时，即，即，，符合题意， 此时平行直线和之间的距离. 21．（24-25高二上·上海·期中）已知三角形的顶点，边上的高所在的直线方程为，点是边的中点． (1)求边所在直线的方程； (2)求点的坐标； (3)求的角平分线所在直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由边上的高所在直线方程得到边所在直线的斜率，利用点斜式写出方程即可； （2）设点B的坐标为，由点是边的中点，可得点的坐标，点B在直线上，点A在直线上，联立方程组即可求得的值，从而得解． （3）求得直线的方程，设的角平分线上任意一点的坐标为，利用点到直线的距离公式可得，求解即可. 【详解】（1）因为边上的高所在直线方程为， 所以边所在直线的斜率为，且经过点， 所以边所在直线的方程为， 即所在直线的方程为； （2）设点B的坐标为，因为边上的高所在直线方程为， 又因为点是边的中点，所以点A的坐标为， 由边所在直线的方程为， 所以，即， 由，得，所以点B的坐标为. （3）由（2）可得点A的坐标为，所以， 所以直线的方程为，即， 设的角平分线上任意一点的坐标为， 又直线所在直线的方程为， 则，所以， 所以或， 即或，又因为，， 所以的角平分线所在直线的方程为． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 两条直线的位置关系 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：两直线平行 1．特殊情况下的两条直线平行的判定 两条直线中有一条直线没有斜率，当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，故它们互相平行． 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定 两条直线都有斜率而且不重合时，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即． 证明如下： 设两条直线的斜率分别为． 如果（如图），那么它们的倾斜角相等，即． ∴，∴． 反过来，如果两条直线的斜率相等，即，那么． 由于，∴．又两条直线不重合，∴． 在平面直角坐标系中，已知两条直线方程为： 与平行的充要条件：存在，使得，，且 知识点2：两直线垂直 1．特殊情况下的两条直线垂直的判定 当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°时，两条直线互相垂直． 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果两条直线的斜率之积等于−1，那么它们互相垂直，即． 证明如下： 设两条直线与的倾斜角分别为与． 如果，这时．否则，则，与相矛盾． 设（如下图）， 图（1）的特征是与的交点在x轴上方； 图（2）的特征是与的交点在x轴下方； 图（3）的特征是与的交点在x轴上，无论哪种情况下都有． ∵，的斜率分别是，且，∴． ∴． ∴，即． 反过来，若，即． 不失一般性，设，则，即， ∴． 在平面直角坐标系中，已知两条直线方程为： 与垂直的充要条件： ； 【注意】斜率法： 和垂直； 知识点3：两直线重合 在平面直角坐标系中，已知两条直线方程为： 与重合的充要条件：存在λ∈R，使得，，且 知识点4：两直线相交 在平面直角坐标系中，已知两条直线方程为： 与相交的充要条件：； 在平面直角坐标系中，已知两条直线方程为： 则与的法向量为： ，；若夹角为； 所以，； 【注意】还有其他一些量可以简单地刻画两条直线相交与否？ 两直线的位置关系的判断方法：直线. （1）向量法： 和相交； 和平行； 和重合. （2）斜率法： 和相交； 和平行； 和重合. 注；应用此法的前提是两直线斜率均存在； 知识点5：两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长． 2．两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线（其中A与B不同时为0，且）间的距离． 3．两条平行直线间的距离公式的推导 对于两条平行直线（其中A与B不同时为0，且）． 在直线上任取一点，则点到的距离即为与之间的距离，则． ∵点在直线上，∴，即． ∴两条平行直线， （其中A与B不同时为0，且）之间的距离为． 知识点6：直线关于直线对称 （1）直线与关于直线l对称，它们具有以下几种几何性质： ①若与相交，则直线l是、夹角的平分线； ②若与平行，则直线l在、之间且到、的距离相等； ③若点A在上，则点A关于直线l的对称点B一定在上，此时AB⊥l，且线段AB的中点M在l上（即l是线段AB的垂直平分线）．充分利用这些性质，可以找出多种求直线的方程的方法． （2）常见的对称结论有：设直线l为Ax+By+C=0， ①l关于x轴对称的直线是Ax+B（−y）+C=0； ②l关于y轴对称的直线是A（−x）+By+C=0； ③l关于直线y=x对称的直线是Bx+Ay+C=0； ④l关于直线y=−x对称的直线是A（−y）+B（−x）+C=0． 【题型1 两条直线的平行关系】 例1（20-21高二上·上海浦东新·月考）对于直线，下列说法不正确的是　　 A．无论如何变化，直线的倾斜角的大小不变 B．无论如何变化，直线一定不经过第三象限 C．无论如何变化，直线必经过第一、二、三象限 D．当取不同数值时，可得到一组平行直线 例2（23-24高二上·上海虹口·月考）“”是“与直线平行”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 变式1（24-25高二下·上海·开学考试）若直线与直线平行，则 . 变式2（22-23高二下·上海黄浦·期中）直线与直线平行，则 . 变式3（24-25高二上·上海·课堂例题）已知：，：，求当m为何值时，与相交、平行或重合． 【题型2 两条直线的垂直关系】 例3（20-21高二上·上海浦东新·期中）“两条直线的斜率乘积为”是“两条直线互相垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 例4（20-21高二上·上海杨浦·期中）“”是“直线和直线垂直”的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式1（24-25高二上·上海松江·月考）若直线：与直线：垂直，则实数的值等于 . 变式2（24-25高二下·上海崇明·期末）已知点、，则线段的垂直平分线的一般式方程为 . 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线与垂直，求实数的值. 【题型3 两条直线的相交关系】 例3（23-24高二上·上海·月考）若点既是的中点，又是直线与的交点，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 例4（24-25高二·上海·课堂例题）直线与的夹角为（    ）． A． B． C． D． 变式1（2025高二上·上海·专题练习）直线l经过原点，且经过两条直线的交点，则直线l的方程为 变式2（20-21高二上·上海·课后作业）已知关于的方程组有唯一解，则实数a的取值范围是 . 变式3（25-26高二上·上海·月考）已知平面直角坐标系中，，，， (1)若直线与直线平行，求的值； (2)若线段与线段有公共点，求的取值范围 【题型4两条平行直线间的距离】 例3（25-26高二上·上海·期中）直线与直线之间的距离为（   ） A．1 B． C． D． 例4（25-26高二上·上海·期中）两平行直线和的距离为 ． 变式1（24-25高二下·上海·随堂练习）已知直线：与直线：且，则实数 ，，之间的距离为 ． 变式2（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线经过点且与和分别交于两点，若，求直线的方程． 变式3（23-24高二上·上海·月考）已知常数，设直线，直线. (1)若，求的值； (2)若与平行，求与的距离. 【题型5 直线关于直线对称】 例3（20-21高二上·上海浦东新·期末）过原点的直线l的倾斜角为θ，则直线l关于直线对称的直线的倾斜角不可能为（    ） A．θ B． C． D． 例4（高二上·上海浦东新·期末）直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 变式1（24-25高二上·上海·月考）以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为1的正方形的四条边的方程为（    ）． A． B． C． D． 变式2（24-25高二上·上海·随堂练习）若直线l与直线的夹角平分线为，则直线l的方程为 . 变式3（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线．求此直线分别关于坐标轴、坐标原点及直线、对称的直线的方程． 【题型6两直线位置关系的综合应用】 例3（24-25高二下·上海·月考）已知集合}，若，则 k的值为 . 例4（25-26高二上·上海·月考）设，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点，中点为，则的值为 . 变式1（23-24高二上·上海·课后作业）已知四边形的四个顶点的坐标分别为、、、.求证：四边形是梯形. 变式2（24-25高二上·上海·课后作业）在中，已知是BC边上一点，边AB、AC所在直线的方程分别为，．若，求直线BC的方程． 变式3（20-21高二上·上海嘉定·期中）设直线与直线，为实数 （1）若，求，之间的距离: （2）当时，若光线沿直线照射到直线上后反射，求反射光线所在的直线的方程 一、单选题 1．（22-23高二上·上海浦东新·月考）直线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高二上·上海宝山·期末）已知、是平面直角坐标系上的直线，“与的斜率相等”是“与平行”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分条件也非必要条件 3．（24-25高二下·上海青浦·期中）若、为实数，则“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 4．（23-24高二上·上海·期末）“”是“直线与直线平行”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 二、填空题 5．（24-25高二上·上海·期末）平行直线与间的距离为 . 6．（24-25高二上·上海·随堂练习）若直线不过第二象限，则实数a的取值范围是 ． 7．（22-23高二下·上海静安·期中）直线与直线间的距离为 8．（23-24高二上·上海·期末）已知直线：与：平行，则 . 9．（高二下·上海·课后作业）已知直线与直线关于直线对称，则直线的方程是 . 10．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线和互相垂直，则实数 11．（24-25高二下·上海·月考）在中，已知点边上的中线所在直线的方程为，的角平分线所在直线方程为，则点的坐标为 . 12．（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线：与直线：互相垂直，实数k的值为 ． 13．（22-23高二下·上海杨浦·期中）若直线被两平行线与所截得的线段的长为2，则直线的倾斜角为 ． 14．（24-25高二下·上海静安·期中）直线过点与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为 ． 15．（25-26高二上·上海徐汇·月考）小马虎同学求直线2▇和直线▇之间的距离，其中▇中的数相同，但被墨迹污染，小马虎同学将转化为：▇，由，求得和之间的距离为1，若小马虎同学求解的结果是正确的，则▇中的数字为 . 16．（23-24高二上·上海·期末）已知直线：与：，若，则实数的值为 ． 三、解答题 17．（23-24高二上·上海·课后作业）分别求过直线和的交点，且与直线垂直或平行的直线方程. 18．（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知直线过点，且被两平行直线和截得的线段长度为5，求直线的方程． 19．（24-25高二下·上海·月考）已知直线，直线， (1)若与相交，求实数的值； (2)若与平行.求实数的值并求出此时两直线间的距离. 20．（25-26高二上·上海浦东新·期中）已知直线，直线. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值，并求平行直线和之间的距离. 21．（24-25高二上·上海·期中）已知三角形的顶点，边上的高所在的直线方程为，点是边的中点． (1)求边所在直线的方程； (2)求点的坐标； (3)求的角平分线所在直线的方程． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $