专题5.2 同角三角函数关系式与诱导公式 讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学讲义围绕同角三角函数关系式与诱导公式高考核心考点，以平方关系、商数关系为基础，结合诱导公式“奇变偶不变，符号看象限”规律构建知识体系。通过考点梳理、方法指导（如知一求二、切化弦）、真题训练（典例精讲与拓展提升）等环节，帮助学生突破符号判断、公式应用难点，体现复习的系统性与针对性。 资料创新采用“规律记忆+分层突破”教学策略，如诱导公式化简中通过角的象限分析符号，培养学生数学思维与推理能力。设置基础巩固、能力提升分层练习，配合真题解析，确保高效突破考点。助力学生构建解题框架，提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

【专题五 三角函数】 专题5.2 同角三角函数关系式与诱导公式 1. 同角三角函数的基本关系式 (1) 平方关系：； (2) 商数关系：； (3) 和、差、积的互化：； (4) 常用变形： ①；； ②sin α＝tan α·cos α. ③；. 【重要结论】 ⑴利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化． ⑵在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号. ⑶利用“”之间的关系，可以知一求二． 2. 诱导公式 诱导公式可概括为：的各三角函数值的化简公式． 公 式 公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六 角 正 弦 余 弦 正 切 记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限． 说明：⑴先将诱导三角函数式中的角统一写作； ⑵“变”与“不变”：当为奇数时，“变”，函数名改变，正弦变余弦，余弦变正弦； 当为偶数时，“不变”，函数名保持不变； ⑶符号：记忆公式时，将视为锐角，判断所处的象限，并判断三角函数在该象限的正负，若为负则角的三角函数值前加负号. 【重要结论】 1. 常见的互余和互补的2组角 互余的角 与;与;与;与等 互补的角 与;与;与;与等 2. 三角形中的三角函数关系式 ; 1. 【人教A版必修一 习题5.2 第12题 P185】已知，且则的值为(    ) A. B. C. D. 2. 【人教A版必修一 习题5.3第4题 P194】若角的终边与单位圆的交点为，则点位于(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 考点一 同角三角函数的基本关系式的应用 【典例精讲】 例1.(2025·贵州省·月考试卷)已知为锐角，且，则(    ) A. B. C. D. 例2.(2025·山东省青岛市·模拟题)若，，则          ． 例3.(2025·广东省江门市·期中考试)已知，且在第三象限． (1) 求和的值； (2) 求的值． 【方法储备】 1. 利用同角三角函数的基本关系化简、求值、证明 ⑴三者知一求二问题 从角的本身出发，利用三角函数关系列出方程求解，或者寻找未知角与已知角的关系，先利用已知角将未知角表示出来，再利用三角函数运算公式展开并整体代换求解. 【易错提醒】 当利用“平方关系”公式求平方根时，会出现两解，需根据角所在的象限判断角的符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论. ⑵利用同角三角函数基本关系化简、证明的常用方法 ①化切为弦，减少函数名称． ②对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号． ③对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化简． ⑶ 同角三角函数基本关系式的应用技巧 ①切弦互化：；； ②“1”的变换：； ③和积转换： 2. 正余弦齐次式的求值问题 已知 1 分式齐1次式：； ②分式齐2次式： 齐2次整式: =. 3. 与和有关变形： ⑴对于已知的求值问题，一般应用三角恒等式，利用整体代入的方法来解，涉及的三角恒等式有： ⑵同角三角函数关系式的方程思想的应用 设，则， (根据的范围选取正、负号). 【拓展提升】 练1-1(2025·陕西省西安市·期中考试)解答下列各题： (1) 已知，求的值； (2) 已知，且，求的值． 练1-2(2025·河北省保定市·期末考试)已知，则的值为(    ) A. B. C. D. 练1-3(2025·广西壮族自治区·单元测试)已知，且，则          ． 考点二 诱导公式的应用 【典例精讲】 例4.(2025·四川省雅安市·月考试卷)           ． 例5. (2025·山东省·单元测试)已知为第二象限角，化简            ． 例6. (2025·湖北省襄阳市·月考试卷)已知，则等于          ． 【方法储备】 1. 利用诱导公式求值: 任意负角的三角函数任意正角的三角函数内的角的三角函数锐角三角函数求值. 2. 利用诱导公式化简: 用诱导公式将角统一，再利用用同角三角函数关系式化简. 【拓展提升】 练2-1.(2025·湖南省·单元测试)已知，则的值为(    ) A. B. C. D. 练2-2.(2025·福建省宁德市·期末考试)已知为锐角，且，，则          ． 考点三 同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用 【典例精讲】 例7.(2025·浙江省绍兴市·期中考试)已知，则的值是          ． 例8.(2025·湖北省黄石市·月考试卷)已知 ，其中是第三象限角，且，则          ． 例9.(2025·河北省保定市·月考试卷)已知． (1) 已知角的终边过点，求的值； (2) 若，且，求的值． 【方法储备】 1. 三角函数式化简 ⑴转化：将角化成的形式，依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数. ⑵切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数. 【易错提醒】 ⑴注意分类讨论思想的应用; ⑵注意角的范围对三角函数符号的影响. 2. 解决条件求值问题的思路 ⑴明确条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系； ⑵将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化: ①与整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数． ②通过等变形把所给三角函数化成所需三角函数． ③等可利用诱导公式把的三角函数化成所需三角函数． 【拓展提升】 练3-1.(2025·黑龙江省绥化市·期末考试)已知，则(    ) A. B. C. D. 练3-2.(2025·北京市·期中考试)已知，则          ． 练1.(2025·湖南省常德市·期末考试)人们把最能引起美感的比例称为黄金分割黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为称为黄金分割比人们称底与腰之比为黄金分割比的三角形为最美三角形，它是一个顶角为的等腰三角形，由此我们可得(    ) A. B. C. D. 练2.(2025·澳门特别行政区·月考试卷)已知，则          ． 练3.(2025·青海省西宁市·期末考试)人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为 若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； 已知，，，若，，求的值 【答案解析】 1. 【人教A版必修一 习题5.2 第12题 P185】 解：因为， 所以由倍角公式可得， 即，即，即或， 因为，所以不成立，故，即， 所以，所以． 故选B． 2. 【人教A版必修一 习题5.3第4题 P194】 解：在单位圆中，已知角的终边上与单位圆的交点为，，， ，， 点位于第四象限， 故选：． 例1. 解：为锐角，， ， ． 故选：． 例2. 解：因为， 所以， ， 得， 即，解得：． 故答案为：． 例3. 解：已知，且在第三象限， 所以，； ． 练1-1. 解：因为， 解得，所以 ； 因为，所以， 解得，又因为，所以，， 所以， 所以．  练1-2. 解：由，等式左边分子分母同时除以， 得，解得， ． 故选：． 练1-3. 解：，， ，， 则， 故答案为：． 例4. 解：依题意，根据诱导公式， 原式． 故答案为： 例5. 解：为第二象限角，，， 则原式． 故答案为． 例6. 解：， ， 故答案为． 练2-1. 解：， ，  ， 故选C． 练2-2. 解：为锐角，且有，  可得，  即， 由，  可得：，  得：，  ，，  ，  ，  又为锐角，，  故答案为  例7. 解： ， 故答案为：． 例8. 解：  ， 因为是第三象限角，且， 所以，， 所以． 故答案为：． 例9 解：， 因为角的终边过点，所以， 故． ， 则， 则， 因为，所以，又，所以， 故，， 由解得，故． 练3-1. 解：，，． ． 故选D． 练3-2. 解：由，可得， 则 ， 故答案为：． 1. 解：如图，为最美三角形，，， 易知，取的中点为，如下图所示： 则在中，易知， 所以． 故选：． 2. 解：， ， ， ， 故答案为． 3. 解：， ， 故余弦距离等于； ； ， 故，， 则． 共12页/第13页 学科网（北京）股份有限公司 $