4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案通用版

2勾·讲与练·高三数学 (2)(2024·上海松江区二模)已知点A的坐标 规律总结 为后 1.三角函数定义的应用 ,将线段OA绕坐标原点O逆时针 (1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终 旋转至OP,则点P的坐标为 边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个 角的三角函数值. 听课记录 (2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角 函数的定义列出含参数的方程，求参数的值。 2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三 角函数中的角是第九象限角，再根据正、余弦函数值 在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所 在象限，那就要进行分类讨论求解. 命题角度2三角函数值符号的判断 【对点训练3】(1)已知点P(m,一√3)(m≠0) 【例4】(1)已知点M(cosa,tana)在第二象限， 则角a的终边在 ( 在角a终边上，且0se-,则ma A.第一象限 B.第二象限 ( C.第三象限 D.第四象限 (2)已知角0的终边经过点P(3“一9，log2a A.- √6 B.- √10 4 4 2),若cos0>0,且sin0<0,则实数a的取值 范围是 ( C 4 D.110 A.(1,3) B.(2,4) 082 C.(3,4) (2)若sina<0且cosa>0,则a的终边所在 D.(4,6) 象限为 ( 听课记录 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 温馨提示0 学习至此，请完成课时作业25 4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式 考试要求 1.理解同角三角函数的基本关系式：sina十cos2a=1, sin a =tan a. cos a 2.掌握诱导公式及其应用. 必备知识回顾 自主学习·基础回扣 教材回扣 2.诱导公式 项目公式一 公式二 公式三公式四 公式五 公式六 1.同角三角函数的基本关系 a+2kπ 角 π π十a -a r一a 2 -a sin2a +cos2a (k∈Z) 2 sin a 与a终 关于原关于x 关于y 关于直线 相同 cos a 边关系 点对称轴对称轴对称y=x对称 第四章 三角函数、解三角形 续表 (3)(sin a +cos a)2+(sin a-cos a)2=2. 项目公式一 公式二 公式三公式四 公式五 公式六 (4)(sin a+cos a)2-(sin a-cos a)2=4sin a cos a. 正弦 sin a sin a sin a cos a 2.诱导公式的记忆口诀 余弦 cos a cos a cos a sin a “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、倡是指牙 正切 tan a tan a 的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化 函数名改变， 记忆 函数名不变，符号看象限 符号看象限 基础检测。一 规律 ,符号看象限 1.判断（正确的画“√”，错误的画“×”） 3.同角关系的几种变形 (1)若a,3为锐角，则sin2a+cos2B=1. ( (1)sin2a= =(1+cos a)(1-cos a); (2)sin(π+a)=一sina成立的条件是a为锐角. cos2a =1-sin'a () （2sina=-tanacosa(a≠交十kπ，k∈Z. 2 (3)若a∈R,则tana sina恒成立.() cos a sina (3)sin'a= 1 sin'a +cos'a a≠ 2 X (④若sin(kr-a)=3(k∈)，则sina=3 kπ，k∈Z () 2.(人教A版必修第一册P185T12改编)如果 (4)cos2a= 1 sim(5-c）=,且e是第四象限角，那么 1 k∈Z: 083 回教材拓展 3.(人教A版必修第一册P195T6改编)若0是钝 1.sina十cosa,sin a cos a,sina-cosa三者之间 角，tan0=-2,则sin0-cos0= 的关系 4.(人教B版必修第三册P26T5改编)若tan0= (1)(sin a +cos a)2=1+2sin a cos a. 2 (2)(sin a-cos a)2=1-2sin a cos a. ，侧己n04eas0 sin 0+2cos 0 关键能力提升 互动探究·考点精讲 考点1同角三角函数的基本关系 4.2 B.- 2 命题角度1弦切互化 6 6 【例1】(1)(2024·河北邯郸模拟)已知tana= C.5 D.- 5 3 ,a为第一象限角，则sina的值为 ( 听课记录 4 8.6 c.- (2)(2024·四川攀枝花二模)若角0的终边经 过点(-1,2).则sim0+号n20的值为 ( 红圈内·讲与练·高三数学 4规律总结 A 2V5 5 B.V5 5 C.5 D.士 2√5 同角三角函数关系式的应用方法 5 (1)利用sina十cos2a=1可实现角a的正弦、 (3)已知x∈（← 1 ),0,sinx十cosx写 2则 余弦的互化，利用n。=tan&可实现角a的弦切 coS a sin x -cos x= ( 互化. A.2 B.-√2 (2)当分式中分子与分母是关于sina,cosa的 C.3 齐次式时，往往转化为关于tana的式子求解. D.-√3 考点2诱导公式 命题角度2“和”“积”转换 【例3】 (1)已知sin 2025r+a= 3,则cos(r 1 【例2】（多选）已知0∈(0，r),sin0+cos0= a)的值为 ( ) 则下列结论正确的是 A.0∈（经 B.cos 0=- 3 5 A C.tan 0=- 3 D.sin 0-cos 0= D.、 9 4 5 3元 听课记录 tan(π-a)cos(2π-a)sina+ 2 (2) cos(-a-x)sin(-元-a) 听课记录 084 规律总结 “sina士cosa,sin a cos a”关系的应用 sina士cosa与sin acos a通过平方关系联系到 -起，即(sina士cosa)2=1±2 sin a cos a, sin a cos a- (sin a +cos a)2-1 sin a cos a= 2 1-(sin a-cos a)2 P 4规律总结、 1.诱导公式的应用步骤 【对点训练】 (1)若sina十2cosa5 5cosa-sin&=i6,则 任意负角的三角面数剂用诱导公式任意正角的 三或一 tan a 三角函数利用诱等公式二0、2示的角的三角函数 利用诗导公式三锐角的三角函数。 或四或五或六 c. n- 2.诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)已知角a的终边在直线y=-2x上，则 (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了. cos a ( 第四章三角函数、解三角形 讲 【对点训练2】(1)已知x∈R,则下列等式恒成 心听课记录 立的是 ( A.sin(3x-x)=-sin x B.sin 2 =-os C.cos竖+3x=sin3a D.cos /3π -2x）=-sin2z 4规律总结 1.利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求 2)已知cos任+a）-则sin(任-)的值 值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活 使用公式进行变形. 为 2注意角的范围对三角函数符号的影响， 考点3基本关系式与诱导公式的综合应用 【例+】(1)(2024·山东泰安模拟)已知sin(2 13元 【对点训练3】(1)已知sin0-sin(受+0=E. 则tan0= ( <a<元，则tana= ( A.-2 B.-1 C.1 D.√2 A.-5 B.、③ 3 C③ 3 D.3 (2)已知sin(x十a)=5sim(竖+a小则 (2)(2024·广东茂名一模)已知cos(a十 sin 2a sin'a 9 11 in'a-3cosa+ 6.26 15 2 cos a A.- 26 C. D 20 085 13 π)=一2sina,则 cos 2a+1 ( 温馨提示0 B.2 c 7 学习至此，请完成课时作业26 A.-1 D. 8 4.3三角恒等变换 考试要求 1.会推导两角差的余弦公式，能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的 正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 2.能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）. 必备知识回顾 自主学习·基础回扣 教材回扣。 sin(a-β)= Sa- cos(a+8)= C(a+8) 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 cos(a-B)= (1)两角和与差的正弦、余弦和正切公式（和角、 Cia-8) 差角公式) tan(a+B)= Ta+8) sin(a +8)= .Sa+8) tan(a-B)= T(a-)4.1 解析：因为角日的终边经过，点P(一1， m)(m>0),所以sin0= 772 √/1+m √ 之m,解得m=1(m=-1舍去)，所 以m=1. 关键能力提升… 例1(1)CD对于A,B,在同一个表达式 中，角度制与孤度制不能混用，故A,B 错误：对于C,9-2x+牙，则与号 终边相同，而至与一至终边相同， 且-7严化为角度制即为一315°，则 4 一315与紧的终边相同，则一315十 &·360∈刀是与要的终边相同的 角的表达式，故C正确；对于D,由C得 贤与受终边相同，则与学终边相同的 4 角可以写成2kπ十元(k∈Z)的形式， 4 故D正确.故选CD. (2)AB对于A,300=300X180= ⑤A正确：对于B,心为第一象限角) 92k元≤a<2kπ十2k∈Z, x<是<x十年∈Z则号为第 一或第三象限角，B正确；对于C,第二 象限角不都是钝角，比如490°为第二 象限角，但不是钝角，C错误；对于D, 终边在直线y=一x上的角的集合是 aa=km-子k∈ZD错误.故 选AB. 2024r=674π+3： 2π 对点训练1(1)B 3 则2024π与2π终边相同，为第二象限 3 3 角.故选B 《2)℃终边落在直线y=3x上的角为 否中x便∈刀终边落在直线y=5z 上的角为行十kπ∈D,故角a的集合 a冬+m<a<号+领b∈Z: 为 故选C. 例2解：(1)设扇形的弧长为1.α= 60=分r=3l=ar=号 3=π. 2对勾·讲与练·高三数学 (2)由题设条件知1十2r=16,l= 16-2r(8 +1<r<8, 因此期形的面积S=子：=子16- 2r)r=-r2+8r=-(r-4)2+16, .当r=4时，S有最大值16，此时l= 16-2r=8,a=1=2, r ∴当a=2时，扇形的面积最大，最大 面积是16. 对点训练2(1)D由题意知OB=1, 1金=2，则圆心角∠B0C=是=2， 1 则∠BOD=1,所以BC=2BD=2X 1×sin1=2sin1.故选D. (2)B由圆M与圆N外切，得MN= 2,又圆M、圆N与x轴分别相切于 原点O和，点B,则OB=MN=2,所 以AB的长1=OB=2,所以AB对 应的扇形面积为号X2X1=1,故 选B. 例3(1)-5 5 解析：由P(一1,2)为角a终边上的一 点，得c0sa= -1 、 5 √/-1)+2 51 e(》 解析：设点P的坐标 为(xpyp).如图，因 为点A的坐标为合 ）所以∠0A= 子，所以∠x0p=十=匹，所 3 2 6 以xp=c0 5π=5， 6 =sin 6 名所以点P的整标为日》： 1 例4(1)C因为，点M(cosa,tana)在第 二象限，所以cosa<0,tana>0,所 以a的终边在第三象限.故选C. (2)B由题意可得P在第四象限，所 3-9>0,。解得2<a<4,故 以ioga-2<0: a的取值范围是(2,4).故选B. 对点训练3(1)A因为点P(m,-√) (m≠0)在角a终边上，且cosa= 年m,所以cosa= m+(-5)2 车m,所以m2=5,所以sina= -462- -√3 -3 、6 √m2+(-3) 2√2 选A. (2)Da的终边过，点(cosa,sina),又 sina<0且cosa>0,则a的终边所在 象限为第四象限.故选D. 4.2同角三角函数的基本 关系及诱导公式 必备知识回顾… 教材回扣 11ama(e≠x十2，k∈Z 2.sin a cos a -cos a sin a tana一tana奇变偶不变 3.(1)1-cos'a (1+sin a)(1-sin a) (3)-tan'a tan'a-1 cos a (4) sin'a+cos a 基础检测 1.(1)× (2)×(3)×(4)× 2.、26 5 解析：由sn(受-e）=cosa=子又 a是第四象限角，所以sina= -oa=-1-() 25所以cs(e+）=sna 5. 2√6 5 3.36 5 解析：因为tan0=一2，所以in日 -2,即sin9=-2cos0,因为sin0+ c0s20=1,所以5c0s20=1,因为0是 钝角，所以cos日=- 誓如0 c0s0=-3c0s9=3 5 4.-1 2 解析：因为tan0=3: 则2sin0-4eos9_ 2tan 0-4 'sin 0+2cos 0 tan 0+2 .-4 =-1. …关键能力提升… 3 例1(1)A因为tana= ，所以 00=,又因为sina+cosa=1, cos a 所以sna+5inra=1,sna=是 9 因为a为第一象限角，所以sina= 子故选A (2)A根据日的终边经过点（一1,2）， 则tan0=二2，则sin0+2sin20与 sin'0 +sin 0cos 6 tan'0+tan sin0 cos0 tan0+1 4-2 4+1 =号数达 例2ABD因为n9十cos0=号，所以 sin'0+2sin @cos 0+cos20 =1+ 1 2sin9cos9=25,所以2sin9cos9= 之4，因为日E(0π)，所以sn日≥0 0s0<0,所以0∈（货x),所以A 正确；又(sin0-cos日)2=sin0 25,所以sin0 4 2sin0cos8十cos0= C0s日三气，所以D正确：联立方程组 [sin g+cos0=5 1 解得 sin a-cos =5 4 sin 5, 所以B正确：由三角函 cos9=-3」 数的基本关系，可得tan0= sin 6 cos 0 4 3,所以C错误.故选ABD. 对点训练1(1)C由 sina十2cosa 5cos a-sin a 可将” 5 一，解得tana= -台故选C (2)C由题设知，tana=-2,即 sina=-2cosa,且sin2a十cos2a=1, 所以c0sa=方，而a终边在第二或第 四象限，所以cosa=士气，故选C (3)B .'sinx+cos'x (sin'x cos2x)2-2sin2x cos2x =1- 1 2sin'cossin'zcos' 又xe(0）小…smx<o 1 cos sin xcos =2sin cos x =-(sin x -cos x)= √/sinx-2 sin xcos z十cosx= √1-2x()=-E.故选R 例3沁n(22+）- sin(1o12x+2+a）= sin(g+a）=cosa= 3,.cos(n a)=-cos a = 子截选c (2)-1 解析：原式= -tana·cosa·(-cosa) cos(π十a)·[-sin(π十a)万 tan a cos'a sin a.cos a -cosa·sina cos a sin a -1. 对点训练2(1)Dsin(3π-x)= sin(r-)-sin x sin sin(受-专）=os台os(受 3x）=cos(经+3z）=-sin3z eos(经-2z）=-sn2z.故选D 2号 解析：由os(任+a)=,得 m(任-)=m[-(受+a] os(+a）= 例4IB由诗导公式得sim(经十 a）=sm(e++a）=-sm( a】cosa=号，所以c0sa3 誓又圆方。∈（货）所以 sin a 2,所以tana= sin a cos a ,故选B 3 (2)D由cos(a+π)=-2sina,得 1 cosa=2sina,则tana= ,所以 sina-3os(e+）ose cos 2a1 sin'a+3sin a cos a 1 2cos'a =2tan'a十 3 1 3 4 子女造n 对点训练31Bn9-sm(十0） sin0-cos0=√2，由题意可得 |sin日-c0s日=2，解得 sin0+cos20 1, -463- sin g= 2 因此，tan8= c0s0= 2 sin =一1.故选B. cos 0 (2)C 由dnc5r+a)=5sn(贤+a）, 可得-sina=5cosa,即tana=-5, 所以sin2a十sina= sin 2asin a 2 sin acos a十sina sina十cosd sina十cosc 2tan a tan'a 2×(-5)+(-5) 1-tan'a 1十(-5)2 2 故选C 4.3三角恒等变换 必备知识回顾 教材回扣 1.(1)sin acos B++cos a sin B sin a cos B- cos a sin B cos a cos B-sin a sin B cos a cos B sin a sin B tan a tan B tan a -tan B 1-tan a tan B 1+tan atan B (2)2sin acos a cos a -sina 1 2sin a 2cos'a -1 2tan a 1-tan'a 1-cos 2a 1+cos 2a 2.(1) 2 2 2 sin 2a 2 a (2)2cos 2 2sin 2 -cos2) --c a b (3) √a+b 基础检测 1.(1)/(2)/ (3)× (4)/ 2、 4 7 解析：因为cos2a= 8 所以1 2sin'a ,即sin 7 a= 又a∈ (0),所以sina=- 4 72 3 10 解析：由cosa= 50 <a< 2,财 sma=1-()= 3 则 sin(a+)=sin acos 参考答案“【 ☑.