4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

第四章 三角函数、解三角形 079 4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式 考试 1.理解同角三角函数的基本关系式：sinm'a十cos'a=1,sina =tan aa≠k+ cos a ,k∈2.掌握诱 要求 导公式及其简单应用. 回顾》必备知识 》知识梳理《 (4)(sin a +cos a)2-(sin a-cos a)2=4sin acos a. 1.同角三角函数的基本关系 2.诱导公式可概括为要求角长·受士a(k∈Z)的 sin'a cos a 三角函数值，只需直接求α的三角函数值，其转化过程 sin a 及所得结果满足“奇变偶不变，符号看象限”.其中“奇 cos a 变偶不变”中的奇、偶分别是指k的奇和偶，变与不变 2.诱导公式 是指函数名称的变化.若k是奇数，则正、余弦互变；若 项目 公式一 公式二公式三 公式四 公式五 公式六 是偶数，则函数名称不变.“符号看象限”是把。当成 a+2kπ 角 π -a ,+a 锐角，由此确定角·受士a的终边“所在象限”，进而确 (k∈Z) 2 定三角函数值的符号. 与a终 关于原关于x关于y 关于直线 相同 边关系 点对称轴对称 轴对称 y=x对称 》基础检测《 1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画 正弦 sin a sin a sin a cos a “√”，错误的画“X”. 余弦 cos a cos a cos a sin a (1)对任意a∈R,sina十cos2a=1均成立. 正切 tan a tan a () 函数名改变， 记忆 函数名不变，符号看象限 1 符号看象限 (2)若sin(kπ-a)= 3(k∈Z),则sina= 规律 3 ,符号看象限 () 3.同角关系的几种变形 (3)sin(2025π+a)=-sina成立的条件是a为 (1)sin2a= =(1+cos a)(1-cos a); 锐角 ( cos2a =1-sin2a sin 2 第 四 2sina=tan acos aa≠k元+)，k∈Z (4)对任意角a, Q =tan号郑成立.（ c092 章 sin2a (3)sin a= （a≠k元十 sin a cos a 2.(教材改编题)若a是第二象限角，且tana= 2k∈z. 2cos a-1 (4)cos2a 3.(教材改编题)化简：二2sina tan'a +1 a≠kπ十 长2. 4(教材改编题)已知tana=√3，π<&≤，则 cosa一sina的值为 ○常用结论与知识拓展 5.(多选题)（教材改编题）已知角a的终边经过点 1.sina+cosa,sin a cos a,sina-cosa三者之间 P(-3,4),则 () 的关系 3 A.cos a = (1)(sin a+cos a)2=1+2sin a cos a. 5 B.tan a=-3 (2)(sin a-cos a)2-1-2sin a cos a. (3)(sin a +cos a)2+(sin a -cos a)2=2. C.+x)- D.cose-)=-号 080 红对构·讲与练·高三数学·基础版 提升>关键能力 考点1同角三角函数基本关系式 学生试答： 命题角度1sina,cosa,tana三者知一求二问题 【例】1)若0∈(o,》,m0= 2,则sin0 c0s0= 规律总结 (2)若a为第四象限角，且sina= 3则 这类知一求二问题，一般应用三角恒等式， tana的值是 利用整体代入的方法来解，涉及的三角恒等式有 学生试答： (sina±cosa)2=1±2 sin a cos a,(sina+cosa)2+ (sin a-cos a)2=2,(sin a +cos a)2-(sin a- cosa)2=4 sin a cos a等. 【对点训练2】(1)已知tan0十1 tan0=4,则 sin'0+cos0= 规律总结 这类知一求二问题，注意判断角的范围，另外 (2)已知sinx+cosx=-13(0<x<π)， 熟记以下常见勾股数关系式，可以提高解题速度： 求cosx-2sinx的值. ①32+42=52,62+82=10,92+122=152，…；②52+ 122=132,82+152=172,72+242=252,… 【对点训练1】(1)(2022·浙江卷)设x∈R,则 “sinx=1”是“cosx=0”的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 第 (2)若a为第二象限角，且sina= ,则 章 tan a 命题角度2sina十cosa,sina-cosa, sin a cos a三者知一求二问题 命题角度3关于sina,cosa的齐次式问题 1 【例2】1)已知sin acos a三8，且<a3 3元 4 2 【例3】()已知tan(x-a)=2,则 则cosa一sina的值为 sin a+cos a (2)已知a∈(0，元)，且sina十cosa= 5,给出 2sin a -cos a 下列结论： (2)已知ina+3cosa=5,则coSa十 3cos a-sin a ①<a<:②sin= 12 25 2 sin 2a= ③cosa=g;④cosa-sina= 5· (3)若tan0=-2,则sin0(1十sin20) sin 0+cos 0 其中所有正确结论的序号是 第四章三角函数、解三角形 081 习学生试答： 规律总结 规律总结 应用诱导公式要注意：①三角函数式的化简通 形如a sin a+bcos a和asina+bsin a cos a+ 常先用诱导公式，将角统一后再用同角三角函数基 ccos2a的式子分别称为关于sina,cosa的一次齐次 本关系式，这可以避免交错使用公式时导致的混乱； 式和二次齐次式，对涉及它们的三角变换通常转化 ②在运用诱导公式时正确判断符号至关重要；③三 角函数的化简、求值是三角函数中的基本问题，也是 为正切（分子、分母同除以cosa或cos2a)求解.如果 不含分母，可将原式看成分母为1的式子，将1写成 高考常考的问题，要予以重视；④正确理解“奇变偶 不变，符号看象限”可以提高解题效率. sina十cos2a再进行变换 4 【对点训练3】(1)已知1an0=2,则 【对点训练4】(1)已知sin(a十x)= sin a cos a<0,则 sin0+sin 0 cos30+sin 0cos20 2sin(元-a）-3tan(3元-a) 4cos(a-π) (2)若cosa十3sina=-√10，则tana 1 (2)若sn3x+9)=专则 3sin a cos a c0s(π+0) 考点2诱导公式及应用 cos0Lcos(元-0)-1万+ 【例4】 (1)计算：sin210°+cos120° cos(0-2π) tan 45 sina 3π cos(0-元)-sin( 2+0 (2)已知sin(3π+a)= n+a小，则 sin a +2cos a 2sin a-cos a 》温馨提示 学生试答： 学习至此，请完成训练22 第 4.3三角恒等变换 章 考试 1.会推导两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式， 要求 二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.3.能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推 导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆). 回顾>必备知识 》知识梳理<《 cos(a+8)= .Ca+9 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 cos(a-B)= .Ca8) tan(a +B)= (1)两角和与差的正弦、余弦和正切公式（和角、 T(a+p tan(a-B)= 差角公式) Ta-) (2)二倍角的正弦、余弦、正切公式（倍角公式） sin(a +8)= Sa+9) sin 2a sin(a-β)= Sua-0A=×号x2- 1 3 ×3 1=(m). (2)π16 解析：由a=60=号，可得扇形的孤 长=ar=3 ×3=元.由扇形的周长 为16，可得2r十ar=16心r=2十a 16 扇形的面积S=1 128a (2+a)2 128 128 =16, Q+4+44+2·4 a a 当且仅当a= 4,即a=2rad时等号 成立 对点训练3解：(1)因为&=90°=乞， R=6, 所以扇形的弧长l=αR=3π. (2②)由扇形面积S=子R=号R 5,得1三？，则扇形周长为1+2R习 32 +2R≥2 R /'×2R=16. 当且仅当器=2R,即R=4时，取等 R 1 号，此时2a×4=16,所以a=2, 所以扇形周长的最小值为16，此时 a=2. 例4(1)-6 解析：依题意，x<0,r=|OP= √+64(O为坐标原点)，则sina 8 √/x2+64 =所以工一6 号 红一2 解析：由题意sina=cos3 1 又sn经<0，所以点(sin智ms智) 在第三象限，即Q是第三象限角，所以 Q=7+2k元，k∈Z,最小正值为7 6 (3)- 6 士⑤ 4 3 解析：由sina= √(-√5)2+m m,解得m=士5，当m=5时， 4 -√5 6 cos a √(-√5)2+(W5)2 4Γ tan a = √ 3当m=-5时， -√5 6 C0S&= √(-)+(-5)2 4 tan a √15 3 对点训练4(1)一1 解析：由底Pm,西)在单位圆上， 4 则m2+ =1,解得m= 、4 士有，由点P在第二象限角a的终边 上，则m= 1 (2)- W15 3 解析：由于a为第二象限角，则x<0, 根据三角画数的定义，c0sa= 4= x ,解得x=一√3，则tana= V+5 5 =- 5 x 3 聚焦学科素养 题目呈现(1)6369km 解析：设地心为O,依题意可得， ∠AOB=7.2°，l=800km,设地球 的周长为C,半径为R,则：2=800 360C 2R,所以R= 800 800×360 ≈6369(km). 2r×7.2 (2)2.4m 解析：设扇形所在圆的圆心角为α(a> 0),内环所在圆的半径为rm,外环所 在圆的半径为Rm,则R一r=1.2,因 为扇环外环的弧长为3.2m,内环的孤 长为0.8m,所以cR=3.2可得 {ar=0.8, α(R十r)=4,所以扇环内需要进行工 艺制作的面积的估计值为S= 2aR-)=子aR+R 1 ×4×1.2=2.4(m), r)=2 (3)1.768m 解析：由题意，“弓”所在孤长1=工十 4 干。，其所对的圆心角&三 5π 8 ,2方=，，则双手之间的距离山白 √2×1.25≈1.768(m). 素养检测1.B设圆的半径为r,该圆的 内接正n边形的周长为L,圆的直径为 d,则π≈ L ,如图，连接圆心与正六边 d 形的各顶，点，由正六边形的性质可 ￥∠AOB三3，又OA=OB=r,所 AB=r,所以BC=CD=DE=EF= FA=r,所以L=6r,又d=2r,所以， 6r=3.故选B 当n=6时，元≈= L y B E D 2.π 解析：设内环圆孤所对的圆心角为α， 因为内环孤长是所在国用长的宁，且 内环所在圆的半径为1，所以α×1 ×2红X1,可得a=号，因为径长（外 1 环和内环所在圆的半径之差)为1，所 以，外环圆孤所在圆的半径为1十1= 2,因光，这扇面的面积为宁×号× (22-12)=元. 36-1 4 解析：根据正五边形的性质，可得正五 边形的每个内角为180X3=108,所 5 以∠ACB=72°，又cos∠ACB= c0s72°= -,所以sin18°= AC 4 c0s72°=1 5-1 4 4.2同角三角函数基本 关系式及诱导公式 》回顾·必备知识《… 知识梳理 11amaa≠x十受∈z 2.sin a cos a -cos a sin a tan a -tan a 奇变偶不变 3.(1)1-cos'a (1+sin a)(1-sin a) (3)-tan'a (4) cosa tan'a-1 sin'a十cos2a 基础检测 1.(1)√/(2)×(3)×(4)× 2.、⑤ 5 解析：a是第二象限角，.sina>0, 1 cos a<0.'.'tan a sin a cos a 2 5 sina十cosa=1,.sina= 51 os(g+a）=-sin&=- 51 3.1 解析： cos'a-1 1-2sin'a 2cosa-(sin'a十cosa) (sin&十cosa)-2sina cos'a-sin'a=1. cos a-sin'a 4B-1 2 解析：tana=5,r<a<3。 .a= 4π 3 cos a = 2 ,sin a ,cos a sin a 1 ()= 5-1 2 参考答案429 5.AB角a的终边经过，点P(-3,4), -3 3 .'cos a =一 √(-3)+42 5, 4 4 sin a √/(-3)+4 -5,tan a 4 4 -3 3,c0s(a十π)=-cosa= 寻eos(a-）=sine=号，故A,B 3 正确，C,D错误，故选AB. …》提升·关键能力《 例1(1)- 5 5 解析：闲为0∈(0，受)，所以sin9> 0,cos8>0,又因为tan0= sin cosθ 2,所以c0s0=2sin0,所以c0s'0+ 1 sin20 =4sin20-sin20 =5sin20 =1, 得sing=5或sin9=-5(合去). 5 5 所以sin9-cos0=sin0-2sin9= -sin9=- 5 (2)、② 4 解析：由a为第四象限角，sina= 3,得cosa=V-sima= √-()=2g所以m& 3 sin a 1 2 cos a 2√2 4 对点训练1(1)A由sinx=1,sinx十 c0s2x=1,得cosx=0,故充分性成 立：由c0sx=0,sin2x十c0s2x=1,得 sinx=士1，故必要性不成立，所以 “sinx=1”是“cosx=0”的充分不必 要条件.故选A (2)-3 解析：因为a为第二象限角，且sina= 3 ,所以c0sa=-V个-ma √h 4 =一 交，得到tan&= 3 sin a 2 1 =-5. cos a 2 例2(1) 2 解折：<a<受ias<0 sin a <0 cos a sin a,.'.cos a- sin a >0.(cos a -sin a)2 1- 2sin acos a 1-2 X 8 1 3 4 cos a sin a三9 (2)①②④ 解析：：a∈(0，π)，sina十cosa= (sin。十cosa)2=1+ 1 430红对构·讲与练·高三数学· 1 2 sincs=25,解得sin acosa= 25,故②正确，”a∈(0，π)， 12 sin a cos a = 12 25 <0号 <a< 元，c0sa<0,故①正确，③错误：由 2 ,<a<π可知，cosa-sina<0,且 (cos a-sin a)2=1-2sin acos a 49 ，故④正确.故正确结论 7 sin a = 的序号是①②④. 对点训练2(1) 7 8 解析：tan0十an0 1 sin cos cos日Tsin0 sin'0+cos20 1 =4,则 sin8cosθ sin 0 cos 0 sin 0cos ,故sin'9十cosg= 1 (sin0+cos20)2-2sin20cos26 1- 1 7 2×6=8: (2)解：：sinx十cosx=一13 (0 x<π)，.cosx<0,sinx>0, 即sinx-cosx>0, 把sinx十cosx=一i3 两边平方得 49 1+2sin x cos x 169 即2 sin x cos x= 120 169' ∴.(sinx-cosx)2=1-2sinx· 28 17 cos x 169 ,即sinx-cosx= 13' 7 sinx十cosx= 联立 131 1 sin x-cos x 13' 5 sin z 13' 解得 :12 13 22 .'cos x-2sin x = 131 1 例3(1)一 4 解析：因为tan(π一a)=一tana= 2 所以tana= 2,所以 sin a+cos a tana十1 1 2sin a -cos a 2tan a-1 4 解析：由ina+3cosa=5, 3cosa一sina 得ana十3 3-tan a =5,可得tana=2,则 1 cos'asin 2a-cos'a sin acos a- cosa十sin a cos a 1+tan a 3 cosa十sin'a 1+tan'a 51 基础版 (3)2 解析：sin9(1+sin29) sin 0+cos 0 sin (sin'0+cos'0+2sin 0cos sin0+cosθ sin (sin 0+cos 0)= sin (sin 0+cos sin20+cos0 tan20+tan9_4-2_2 1+tan0 +4=行 对点训练3(1)2 1 解析：因为tan0= ，所以 sin0+sin 0 cos0+sin 0cos sin'0+sin (sin0+cos0) cosθ+sin0cos8 2sin g+sin Ocos 2tan0+tan 0 cos'0+sin 0 cos0 1+tan 0 2×()广+ 3 1 1 1十2 3 2 2 (2)3 10 解析：由cosa十3sina=-√10， sina十cosa=1,联立解得cosa= √0 10,sin a= 3√/10 ,所以tana= 10 3w10 sin a 10 cos a √/10 -3.3sin acos a 10 sin'a十cosa_ 1 3sin acos a 3 tan a 9 例4(1)-1 解析：sim210°+c0s120 tan45° sin(180°+30)+cos(180°-60°) tan 45 11 -sin30°-cos60 22 1. tan 45 1 (2)3 解析：由n3x十a)=sn(经十a)小： 得-sina=-cosa,所以sina=cosa, 所以na十2osa=0sa十2c0sa_ 2sin a cos a 2cos a-cos a 3cos4=3. cos a 7 对点训练4(1) 3 解析：sin(a十π)= 5sin a 4 4 5 <0.sin a cos a<0,.'.cos a> 3 0osa=√1-sma=号tana= ，原式=2sim4c3tan-a2 4 4c0s(π-a) 2sin a+3tan a= -4cos a 2×(号)+3×（号） 4×5 (2)18 3,可得sin9 解析：由sin(3π十0)= 1 c0s(π+日) 3 cos8Lcos(元-0)-1万+ cos(0-2π) h0-号）m0-)-a(号+ -cos 0 cos cos8(-c0s9-1) -cos20+cos 0 1 1 1+cos0+1-c059 2 2 (1+c0s8)(1-c0s0) 1-cos20 2 sin'g =18. 4.3 三角恒等变换 …》回顾·必备知识《 知识梳理 1.(1)sin acos B+cos a sin B sin a. cos B -cos asin B cos a cos B- sin a sin B cos a cos B++sin asin B tan a +tan B tan a-tan B 1-tan atan B 1-tan atan (2)2sin acos a cos'a -sin'a 1- 2sina2cosa-】1-tana 2tan a 2.(1)1-cos2a 1十cos2a 2 2 2 sin 2a (2)2c0s2g 2sn号 (sin2十cos2) (号-m) b b (3) √a+b √a+b a 考教衔接 A因为cos(a十B)=m,所以c0sa· cos B-sin a sin B =m,tan a tan B= 2,所以sin asin B=2 cos acos B,故 cos a cos B-2cos acos B m, cos a cos B=-m,从而sin asin3= -2m,故cos(a-3)=一3m.故选A. 基础检测 1.(1)/(2)/(3)×(4)/ 7 2.11 解析：由题意知tan(a十B)=4, tan(a-3)=-3,可得tan23= tanLa十B-(a-B)]= tan(a+B)-tan(a-B) 7 1+tan(a+B)iana-月=一： 3.-1 解析：原式=一sin20°c0s70° cos20°sin70°=-(sin20°cos70°+ c0s20°sin70°)=-sin(20°+70°)= -sin90°=-1. 解析：由题意可得sin0= 5 5 = √-12)2+5 则c0s20=1 2n0=1-2×(信)=1器 1+tan 15 5.ABC对于A,-anl5 tan45°+tan15 1-tan 45'tan 15 =tan(45°+15°)= tan60°=√5，故A正确：对于B,tan60° tan(20°+409)=ian20°+tan40° 1-tan201an40=5, 所以tan20°十tan40°十√3tan20°· tan40°=√3，故B正确；对于C, sin50°（√3+3tan10°）= sin 503cos 10+3sin 10 c0s10° sin50°. 2W3sin(10°+30) cos10° 25sin40sim50°_ 23sin 40cos 40 c0s10 c0s10° √5sin80°V3cosl0° c0s10° c0s10 =,故C正确；对 于D, 2tan 15 =tan(2X15°)= 1-tan215° tan30°= 3,故D错误.故选AC …》提升·关键能力《… 例1(1)-316_56 一33 解析：由sina= 4 得cosa=-√1-sina= --() =- 5,tan a sin a 由ms月=一是第 = 5 cos a 三象限角，可得sinB=-√1-cosp -() =- 2 ,ian月 -号，剩sa-A)=+ cos B sne月=(-号)×()+音× ()= sin(a)= 33 4 sin acos B cos asin B 5 ()+()×()= tan(B-a)= tan B-tan a 1-tan Btan a 号-(】 56 1+号x(←) 33 (2)B因为 =√3，所以 cos a sin a 1-tan a =3→ana=1-,所以 m+)--25-1 故选B. 1 (3)9 解析：因为sin(a-B)=sin a cos B cos asin B- F3,cos asin月=」 6,所以 sin a cos B= 之，则sin(a+月)= snae0as月十wsas如月=号，片以 cos(2a+28)=1-2sin(a十B)=1- 2x(号) 1 -9. 45-1 4 解析：因为cosa=1-2sin28 1+5 ,a为锐角，所以sin 4 2 /3-5 /(W5-1)2 =5-1 8 16 4 对点训练1(1)- 5+2√2 6 解析：因为点P(x,2√2)是角a终边上 一点，所以c0sa= W2+(22)2 x 3,于是得 3,解得x=-1, 1 √+8 则sina= 2√2 ，因此 22 √+8 2W2 5+2√2 3 6 (2)、 3 折：图为caa十君）-c。 2 cos a 1 2 sin a √5cosa,所以-sina= √5cosa,故tana=-√5，所以tan(a十 3 B)= tan a+tan B 1-tan a tan B 1+3x3 3 2W5 3 2 =3 3 2号侣- 解析：原式= [n(经-) 参考答案431