第六单元 数学百花园（知识清单）数学北京版五年级下册

该小学数学知识清单系统梳理了“数学百花园”单元核心内容，涵盖组合体表面积计算（长方体、正方体）和用转化法解决分数计算问题两大知识范畴，构建了从概念界定、计算原则到应用步骤的递进式学习支架。 清单通过“知识模块分类+典型题型关联”呈现完整知识体系，如组合体表面积细分拼接、切割、挖空三类计算方法，分数计算结合数形结合步骤分解，培养学生几何直观与运算能力。特别设计“计算步骤拆解”和“图形辅助理解”，如挖空组合表面积的“原表面积+侧面积-接触面积”公式推导，不同层次学生可高效掌握，教师能据此精准设计教学，提升课堂实效。

第六单元 数学百花园 知识清单 知识一、组合体的表面积（长方体、正方体） 1. 组合体的概念：由两个或两个以上的长方体、正方体通过拼接、切割等方式组合而成的立体图形。 2. 组合体表面积的计算原则 (1)组合体表面积等于构成它的各个基本几何体表面积之和减去重叠部分的面积。 (2)重叠部分面积需根据组合方式确定，每个重叠面都要减去2倍的重叠面积（因为两个几何体各有一个面重叠）。 3. 常见组合方式及表面积计算方法 (1)拼接组合：将两个或多个基本几何体拼接在一起，表面积=各几何体表面积之和-2×重叠面面积。 (2)切割组合：从一个基本几何体上切割下一部分，表面积=原几何体表面积+2×新增加的面面积（切割后新增两个相同的面）。 (3)挖空组合：在基本几何体内部挖去一个小几何体，表面积=原几何体表面积+挖去部分侧面积-2×挖空部分与原几何体的接触面积。 4. 计算步骤 (1)分析组合体的构成，确定基本几何体的形状和尺寸。 (2)计算各基本几何体的表面积。 (3)确定重叠部分或新增部分的面积。 (4)根据组合方式进行加减运算，求出组合体表面积。 知识二、用转化法解决分数计算问题（数形结合） 1. 转化法的概念：将复杂的分数计算问题通过某种方式转化为简单的、已知的或易于解决的问题，从而简化计算过程。 2. 数形结合思想 (1)利用图形（如线段图、长方形面积图、圆形图等）直观表示分数的意义和运算过程。 (2)通过图形的几何意义理解抽象的分数运算原理。 (3)实现数与形的相互转化，使抽象问题具体化、直观化。 3. 常见分数计算问题的转化方法 (1)分数加减法转化：将异分母分数加减法通过通分转化为同分母分数加减法。 (2)分数与整数的转化：将整数转化为分母为1的分数，便于统一运算。 (3)分数除法转化：将分数除法转化为分数乘法（除以一个数等于乘以这个数的倒数）。 (4)复杂分数计算转化：将复杂的分数算式通过拆分、合并等方法转化为简单算式。 4. 数形结合解决分数计算问题的步骤 (1)理解题意，确定要解决的分数计算问题。 (2)根据分数的意义，选择合适的图形表示问题。 (3)通过图形分析数量关系，找到转化方法。 (4)利用转化后的简单问题进行计算。 (5)验证结果是否符合题意。 题型一、组合体的表面积（长方体、正方体） 【例1】（24-25五年级下·辽宁营口·期中）比较图1和图2两个立体图形的表面积。（    ） A．图1＞图2 B．图1＜图2 C．图1＝图2 D．无法确定 【练1】（24-25五年级下·山西忻州·期中）下面两个立体图形都是由棱长为1厘米的小正方体摆成的。①号的表面积可以这样计算。 根据①号表面积的算法，求②号的表面积（要写出算式）。 题型二、用转化法解决分数计算问题（数形结合） 【例2】（24-25五年级下·福建宁德·期末）( )，( )。请从减法算式中找到规律，解决( )。 【练2】（2025五年级下·全国·专题练习）照样子计算，找一找有什么规律？                                           用你发现的规律计算下面的算式。 1．（23-24五年级下·湖北武汉·期中）下图是由12个小正方体拼成的长方体，从中间挖去一个小正方体（如图），与原来相比，表面积（    ）。 A．增加了 B．减少了 C．没有变化 D．无法确定 2．（24-25五年级下·北京昌平·期末）下面是由6个同样大小的小正方体摆成的立体图形，在箭头所指的位置放入一个小正方体后，这个立体图形的表面积和原来相比，（    ）。 A．增加2个小正方形面的面积 B．减少2个小正方形面的面积 C．增加3个小正方形面的面积 D．没有变化 3．（24-25五年级下·天津和平·期末）把9个棱长是1厘米的小正方体摆在一起（如图）。如果从前面和上面看，所看到的图形面积之和是（    ）平方厘米。 A．12 B．11 C．10 D．9 4．（24-25五年级下·辽宁辽阳·期末）如图是用8个小正方体拼成的，如果拿走其中的1个，它的表面积( )（填“会”或“不会”）发生变化。 5．（24-25五年级下·陕西汉中·期末）把3个棱长2分米的正方体纸箱放在墙角（如图），有( )个面露在外面，露在外面的面是( )平方分米。 6．（24-25五年级下·辽宁锦州·期末）如图，把5个棱长为4厘米的正方体放在墙角处，有( )个面露在外面。露在外面的面积是( )平方厘米。 7．（23-24五年级下·四川达州·期末）找规律填数。 如果，，，，…，那么( )。 8．（24-25五年级下·湖北黄石·期末），，( )… （1）照样子写一写：－( )＝( )。 （2）根据上面的规律，算一算：＋＋＋＝( )。 9．（23-24五年级下·河南周口·期中）计算并填空。 ( )        ( )        ( ) 观察以上算式，我发现：( )。 按照这样的规律，我知道( )。 10．（24-25五年级下·山西忻州·期中）计算下面图形的表面积。（单位：米） 11．（23-24五年级下·四川成都·期末）看图计算。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 推测：( ) 12．（2025五年级下·全国·专题练习）（1）先计算下面各题，然后找规律。                            （2）应用规律，计算下题。（写出计算过程） 13．（24-25五年级下·河北石家庄·期中）如图，东东用相同的小正方体拼成了一个几何体，已知每个小正方体的棱长是40厘米，这个几何体的表面积是多少平方厘米？ 14．（24-25五年级下·广东深圳·期中）观察算式，，…你发现了什么规律？请你用文字或者含有字母的式子表示出这个规律，并运用规律直接写出的结果。 15．（20-21五年级下·浙江温州·期末）数学思维。             （    ） 用你发现的规律计算：。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 数学百花园 知识清单 知识一、组合体的表面积（长方体、正方体） 1. 组合体的概念：由两个或两个以上的长方体、正方体通过拼接、切割等方式组合而成的立体图形。 2. 组合体表面积的计算原则 (1)组合体表面积等于构成它的各个基本几何体表面积之和减去重叠部分的面积。 (2)重叠部分面积需根据组合方式确定，每个重叠面都要减去2倍的重叠面积（因为两个几何体各有一个面重叠）。 3. 常见组合方式及表面积计算方法 (1)拼接组合：将两个或多个基本几何体拼接在一起，表面积=各几何体表面积之和-2×重叠面面积。 (2)切割组合：从一个基本几何体上切割下一部分，表面积=原几何体表面积+2×新增加的面面积（切割后新增两个相同的面）。 (3)挖空组合：在基本几何体内部挖去一个小几何体，表面积=原几何体表面积+挖去部分侧面积-2×挖空部分与原几何体的接触面积。 4. 计算步骤 (1)分析组合体的构成，确定基本几何体的形状和尺寸。 (2)计算各基本几何体的表面积。 (3)确定重叠部分或新增部分的面积。 (4)根据组合方式进行加减运算，求出组合体表面积。 知识二、用转化法解决分数计算问题（数形结合） 1. 转化法的概念：将复杂的分数计算问题通过某种方式转化为简单的、已知的或易于解决的问题，从而简化计算过程。 2. 数形结合思想 (1)利用图形（如线段图、长方形面积图、圆形图等）直观表示分数的意义和运算过程。 (2)通过图形的几何意义理解抽象的分数运算原理。 (3)实现数与形的相互转化，使抽象问题具体化、直观化。 3. 常见分数计算问题的转化方法 (1)分数加减法转化：将异分母分数加减法通过通分转化为同分母分数加减法。 (2)分数与整数的转化：将整数转化为分母为1的分数，便于统一运算。 (3)分数除法转化：将分数除法转化为分数乘法（除以一个数等于乘以这个数的倒数）。 (4)复杂分数计算转化：将复杂的分数算式通过拆分、合并等方法转化为简单算式。 4. 数形结合解决分数计算问题的步骤 (1)理解题意，确定要解决的分数计算问题。 (2)根据分数的意义，选择合适的图形表示问题。 (3)通过图形分析数量关系，找到转化方法。 (4)利用转化后的简单问题进行计算。 (5)验证结果是否符合题意。 题型一、组合体的表面积（长方体、正方体） 【例1】（24-25五年级下·辽宁营口·期中）比较图1和图2两个立体图形的表面积。（    ） A．图1＞图2 B．图1＜图2 C．图1＝图2 D．无法确定 【答案】C 【分析】由图可知，图2相当于图1去掉了右上角一个小正方体后的图形，图1计算的是去掉小正方体前面、上面、右面3个面的面积，图2计算的是去掉小正方体后新露出的后面、下面、左面3个面的面积，其它部分面积相同，原来计算的3个面的面积和后来新露出的3个面的面积相等，所以这两个立体图形的表面积相等，据此解答。 【详解】分析可知，8个相同的小正方体组成的大正方体的表面积等于去掉1个小正方体后组合体的表面积，所以两个立体图形的表面积相比，图1＝图2。 故答案为：C 【练1】（24-25五年级下·山西忻州·期中）下面两个立体图形都是由棱长为1厘米的小正方体摆成的。①号的表面积可以这样计算。 根据①号表面积的算法，求②号的表面积（要写出算式）。 【答案】32平方厘米 【分析】根据题意可知，可先求出一个小正方形的面积，再根据物体从上、正、左面所看到的正方形个数，再乘2，然后用正方形个数×一个小正方形的面积，即可求出②号的表面积。 【详解】12×（4＋7＋5）×2 ＝12×16×2 ＝1×16×2 ＝32（平方厘米） 答：②号的表面积32平方厘米。 题型二、用转化法解决分数计算问题（数形结合） 【例2】（24-25五年级下·福建宁德·期末）( )，( )。请从减法算式中找到规律，解决( )。 【答案】 【分析】计算异分母分数加减法时，先把异分母分数化为同分母分数，再按照同分母分数加减法计算，计算可知，＝，，以此类推，＝，＝，＝，把中的分数转化为两个分数相减的形式，再去括号计算，最后只剩下第一个分数减去最后一个分数，据此解答。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 所以，＝，，。 【练2】（2025五年级下·全国·专题练习）照样子计算，找一找有什么规律？                                           用你发现的规律计算下面的算式。 【答案】；； 【分析】观察前两个式子发现，第一个分数是，后面的分数分子都是1，分母是2的倍数并逐步连续递增，这样的分数和就是1减去最后一个分数。 【详解】           ​​​​​​​ 1．（23-24五年级下·湖北武汉·期中）下图是由12个小正方体拼成的长方体，从中间挖去一个小正方体（如图），与原来相比，表面积（    ）。 A．增加了 B．减少了 C．没有变化 D．无法确定 【答案】A 【分析】从图中可知，在没挖之前，此处外露2个面；挖去一个小正方体后，此处外露4个面，此时表面积比原来多了2个面，表面积增加了。 【详解】一个长方体从中间挖去一个小正方体后，表面积比原来多了小正方体的2个面，所以与原来相比，表面积增加了。 故答案为：A 2．（24-25五年级下·北京昌平·期末）下面是由6个同样大小的小正方体摆成的立体图形，在箭头所指的位置放入一个小正方体后，这个立体图形的表面积和原来相比，（    ）。 A．增加2个小正方形面的面积 B．减少2个小正方形面的面积 C．增加3个小正方形面的面积 D．没有变化 【答案】A 【分析】如下图，在箭头所指的位置放入一个小正方体后，减少2个小正方形的面积，增加了4个小正方形的面积，据此解答。 【详解】如图： 减少2个小正方形的面积，增加了4个小正方形的面积，则增加了： 4－2＝2（个） 所以，这个立体图形的表面积和原来相比，增加2个小正方形面的面积。 故答案为：A 3．（24-25五年级下·天津和平·期末）把9个棱长是1厘米的小正方体摆在一起（如图）。如果从前面和上面看，所看到的图形面积之和是（    ）平方厘米。 A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】B 【分析】观察可知，从前面可以看到6个小正方形，从上面可以看到5个小正方形，所看到的图形面积之和＝一个小正方形的面积×看到小正方形的总个数，据此解答。 【详解】1×1＝1（平方厘米） （6＋5）×1 ＝11×1 ＝11（平方厘米） 所以，所看到的图形面积之和是11平方厘米。 故答案为：B 4．（24-25五年级下·辽宁辽阳·期末）如图是用8个小正方体拼成的，如果拿走其中的1个，它的表面积( )（填“会”或“不会”）发生变化。 【答案】不会 【分析】根据正方体的特征，正方体的6个面是完全相同的正方形，有8个顶点。用8个小正方体拼成一个大正方体，每个小正方体都在顶点上，顶点上的小正方体原来外露3个面，如果拿走其中的1个，又外露与原来相同的3个面，所以它的表面积不变。 【详解】如图： 用8个小正方体拼成的，如果拿走其中的1个，表面积减少了小正方体的3个面，同时又露出了小正方体的3个面，所以它的表面积（不会）发生变化。 5．（24-25五年级下·陕西汉中·期末）把3个棱长2分米的正方体纸箱放在墙角（如图），有( )个面露在外面，露在外面的面是( )平方分米。 【答案】 7 28 【分析】从正面看有3个面露在外面，从上面看有2个面露在外面，从右侧看有2个面露在外面，一共有（3＋2＋2）个面露在外面；再根据正方形面积＝边长×边长，据此求出一个面的面积，再乘露在外面的面的个数，即可解答。 【详解】3＋2＋2 ＝5＋2 ＝7（个） 2×2×7 ＝4×7 ＝28（平方分米） 把3个棱长2分米的正方体纸箱放在墙角，有7个面露在外面，露在外面的面是28平方分米。 6．（24-25五年级下·辽宁锦州·期末）如图，把5个棱长为4厘米的正方体放在墙角处，有( )个面露在外面。露在外面的面积是( )平方厘米。 【答案】 11 176 【分析】观察图形可知，从正面看到4个面，从上面看到3个面，从右面看到4个面，则露在外面的面一共有（4＋3＋4）个；根据正方体的特征可知，每个面是边长为4厘米的正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出一个面的面积，再乘露在外面的面的个数，即可求出露在外面的面积。 【详解】4＋3＋4＝11（个） 4×4×11 ＝16×11 ＝176（平方厘米） 有11个面露在外面，露在外面的面积是176平方厘米。 7．（23-24五年级下·四川达州·期末）找规律填数。 如果，，，，…，那么( )。 【答案】 【分析】根据被减数＝减数＋差可知：、、…，每个算式的被减数和减数的分子都是1，减数的分母是被减数分母的2倍，这样差＝减数。据此解答即可。 【详解】由分析可得： 8．（24-25五年级下·湖北黄石·期末），，( )… （1）照样子写一写：－( )＝( )。 （2）根据上面的规律，算一算：＋＋＋＝( )。 【答案】 【分析】由，，可发现：分子都是1，分母是两个连续的自然数，它们的差的分子还是1，分母是这两个连续自然数的乘积； （1）根据找到的规律写即可； （2）根据找到的规律，将4个分数都拆为相应的减法算式，再去括号交换数的位置计算；据此解答。 【详解】根据分析： ，所以。 （1），所以照样子写一写：。 （2）＋＋＋ 因此根据上面的规律，算一算：＋＋＋＝。 9．（23-24五年级下·河南周口·期中）计算并填空。 ( )        ( )        ( ) 观察以上算式，我发现：( )。 按照这样的规律，我知道( )。 【答案】 在分数加法中，如果第一个加数是，并且相邻两个分数的分子都是1，后一个分数的分母是前一个分数分母的2倍，那么这几个分数的和就等于1减去最后一个分数。 【分析】，把转化成1－，转化成－，原式转化成1－＋－，进行计算； ，把转化成1－，转化成－，把转化成－，原式转化成1－＋－＋－，进行计算； ，把转化成1－，转化成－，把转化成－，把转化成－，原式转化成1－＋－＋－＋－，进行计算； 由此可以发现，在分数加法中，如果第一个加数是，并且相邻两个分数的分子都是1，后一个分数的分母是前一个分数分母的2倍，那么这几个分数的和就等于1减去最后一个分数，由此计算即可。 【详解】 ＝1－＋－ ＝1－ ＝ ＝1－＋－＋－ ＝1－ ＝ ＝1－＋－＋－＋－ ＝1－ ＝ ＝1－＋－＋－＋－＋－＋…＋ ＝1－ ＝ 综上所述：，，，观察以上算式，我发现：在分数加法中，如果第一个加数是，并且相邻两个分数的分子都是1，后一个分数的分母是前一个分数分母的2倍，那么这几个分数的和就等于1减去最后一个分数。按照这样的规律，我知道。 10．（24-25五年级下·山西忻州·期中）计算下面图形的表面积。（单位：米） 【答案】216平方米 【分析】大正方体棱长6米，挖去的小正方体是在一个角上，挖去后，原来大正方体表面被挖去的部分，会露出小正方体的3个面，而原来大正方体表面减少了小正方体的3个面，所以图形的总体表面积还是大正方体的表面积，依据正方体表面积＝棱长×棱长×棱长，将数据代入公式计算即可。 【详解】计算大正方体的表面积： 6×6×6 ＝36×6 ＝216（平方米） 答：图形的表面积为216平方米。 11．（23-24五年级下·四川成都·期末）看图计算。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 推测：( ) 【答案】 2 4 【分析】（1）（2）根据分数除法的关系，观察图片，分别分析里有几个，里有几个即可得解。 （3）（4）（5）根据异分母分数相加减的计算方法，异分母分数相加减，先通分为同分母的分数，再用分子去相加减。 （6）观察图片及（4）（5）可知，分母是2、4、8256，后一个数是前一个数的2倍，分子为1，则和为末项分数的分母作分母，末项分数的分母与分子的差作分子。 【详解】 12．（2025五年级下·全国·专题练习）（1）先计算下面各题，然后找规律。                            （2）应用规律，计算下题。（写出计算过程） 【答案】（1）； （2） 【分析】（1）分数减法法则：同分母分数相减，分母不变，分子相减。‌异分母分数相减，先通分，再按同分母分数的方法相减； （2）根据（1）中规律，将每一位数拆解成两个数的差值，再利用加减法的结合律和交换律进行解答。 【详解】（1） （2） 13．（24-25五年级下·河北石家庄·期中）如图，东东用相同的小正方体拼成了一个几何体，已知每个小正方体的棱长是40厘米，这个几何体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】35200平方厘米 【分析】先求出小正方体一个面的面积，即40×40＝1600平方厘米，然后分别数出从几何体的前、后、左、右、上、下各个方向看到的小正方形面的数量，从前、后面分别可以看到4个小正方形面，从上面、下面分别可以看到4个小正方形面，从左、右面分别可以看到3个小正方形面。将各个方向的面的数量相加得到一共有多少个小正方形的面，再用小正方体一个面的面积乘小正方形的个数就能得到这个几何体的表面积。 【详解】40×40＝1600（平方厘米） （4＋4＋3）×2×1600 ＝（8＋3）×2×1600 ＝11×2×1600 ＝22×1600 ＝35200（平方厘米） 答：这个几何体的表面积是35200平方厘米。 14．（24-25五年级下·广东深圳·期中）观察算式，，…你发现了什么规律？请你用文字或者含有字母的式子表示出这个规律，并运用规律直接写出的结果。 【答案】规律见详解； 【分析】观察可知，减法算式中被减数和减数是两个连续自然数的倒数，而它们的差等于这两个连续自然数乘积的倒数，然后用含有字母的式子表示出这个规律即可，最后根据计算出算式的结果，据此解答。 【详解】规律：两个连续自然数的倒数之差等于这两个自然数积的倒数，即（为大于0的自然数）。 ＝ ＝ 答：的结果是。 15．（20-21五年级下·浙江温州·期末）数学思维。             （    ） 用你发现的规律计算：。 【答案】， 【分析】观察算式可知，被减数、减数和差的分子部分都是1，被减数和减数的分母的积等于差的分母，依此规律再把算式各项拆成两个分数的差，据此计算即可。 【详解】由分析可知： ＝ ＝ ＝ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $