第1章 3 弧度制（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

本高中数学讲义聚焦弧度制核心内容，系统梳理弧度概念的定义、角度与弧度的互化方法及扇形弧长与面积公式，构建“概念理解-互化运算-实际应用”的学习支架，衔接角度制知识脉络。 资料以问题链驱动数学抽象，通过“1°角定义”“单位圆度量”等问题引导概念建构，结合例题与自主检验提升数学运算、逻辑推理素养，配套示意图及分层题型设计，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、弥补薄弱点。

§3　弧度制 学习目标 素养要求 1．理解1弧度角的定义，了解弧度制的概念． 2．能进行角度与弧度之间的互化．熟悉特殊角的弧度数． 3．掌握弧度制下弧长与面积公式，能应用公式解决问题． 1．通过弧度制概念的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．通过弧度制与角度制的互化，提升数学运算、逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点一　弧度概念 [问题]　 在平面几何中，1°的角是怎样定义的？ 答：将圆周分成360等份，每一段圆弧所对的圆心角就是1°的角． ►知识填空 1．弧度制的定义 在单位圆中，把__长度等于1___的弧所对的圆心角称为1弧度的角．其单位用符号__rad__表示，读作弧度．在单位圆中，每一段弧的长度就是它所对圆心角的__弧度数__．这种以__弧度__作为单位来度量角的方法，称作弧度制． 2．任意角的弧度数与实数的对应关系 一般地，弧度与实数一一对应．正角的弧度数是一个__正数__，负角的弧度数是一个__负数__，零角的弧度数是__0__． 知识点二　弧度与角度的换算 [问题]　 在单位圆中，圆周角用角度制度量是多少度？用弧度制度量是多少弧度？你能进行角的角度数与弧度数的换算吗？ 答：360°； 2π；即360°＝2π⇔180°＝π， 可以，即1°＝ rad，1 rad＝. ►知识填空 1．弧度与角度的换算 2．一些特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π 知识点三　扇形的弧长和面积公式 ►知识填空 设扇形的半径为r，弧度为l，α为其圆心角，则 α为度数 α为弧度数 扇形的弧长 l＝ l＝__|α|r__ 扇形的面积 S＝ S＝__lr__＝__|α|r2__ [自主检验] 1．下列命题中，假命题是(　　) A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的 C．1 rad的角比1°的角要大 D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 答案：D 2．1 920°的角化为弧度数为(　　) A．　　　　　　　 B． C．π D．π 答案：D 3．若α＝－2 rad，则α的终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：C 4．周长为9 cm，圆心角为1 rad的扇形面积为________cm2. 解析：设扇形的半径为r，弧长为l， 由题意可知所以 所以S＝lr＝(cm2). 答案： 题型一　弧度与角度的换算 [例1]　把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72°； (2) －300°； (3)2; (4)－. 解：(1)72°＝72×＝. (2) －300°＝－300×＝－. (3)2＝2×＝. (4)－＝－×＝－40°. [反思感悟] 角度与弧度互化问题的注意点 (1)角度与弧度的互化关系为π rad＝180°，则度数×＝弧度数，弧度数×＝度数． (2)将角度化为弧度，当角度制中含有“分”“秒”单位时，应先将它们统一转化为“度”表示，再利用1°＝ rad化为弧度即可． 将下列角度与弧度进行互化： (1)－；(2)π；(3)10°； (4)－855°. 答案：(1)－105°　(2)15 330°　(3)　(4)－ 题型二　用弧度制表示终边相同的角 [例2]　把下列各角化成2kπ＋α，0≤α<2π，k∈Z的形式，并指出是第几象限角． (1)－1500°； (2)；(3) －4. 解： (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°. ∴－1 500°可化成－10π＋，是第四象限角． (2)∵＝2π＋， ∴与终边相同，是第四象限角． (3)∵－4＝－2π＋(2π－4)， <2π－4<π. ∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角． [反思感悟] 1．弧度制下与角α终边相同角的表示 用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α，k∈Z时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用，单位要统一． 2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤 (1)仔细观察图形； (2)写出区域边界作为终边时角的表示； (3)用不等式表示区域范围内的角． (1)用弧度制表示与150°角终边相同的角的集合为(　　) A． B． C． D． (2)用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内的角θ的集合． 解析：(1)选D　150°＝150×＝， 故与150°角终边相同的角的集合为. (2)终边落在射线OA上的角为θ＝135°＋k·360°，k∈Z， 即θ＝＋2kπ，k∈Z. 终边落在射线OB上的角为θ＝－30°＋k·360°，k∈Z， 即θ＝－＋2kπ，k∈Z， 故终边落在阴影部分的角θ的集合为. 题型三　扇形的弧长与面积公式的应用 [例3]　如图，扇形OAB的面积是4 cm2，它的周长是8 cm，求扇形的圆心角及弦AB的长． 解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为r cm， 依题意有 由①②得r＝2，l＝4，∴θ＝＝2. 过O作OC⊥AB，则OC平分∠BOA， 又∠BOA＝2 rad， ∴∠BOC＝1 rad， ∴BC＝OB·sin 1＝2sin 1(cm)， ∴AB＝2BC＝4sin 1(cm). 故所求扇形的圆心角为2 rad，弦AB的长为4sin 1 cm. [反思感悟] 扇形的弧长和面积的求解策略 (1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝lR＝αR2(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π). (2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解． 若扇形的圆心角为216°，弧长为30π，求扇形的半径及面积． 解：设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S， ∵216°＝216×＝， ∴l＝α·r＝r＝30π，解得r＝25， ∴S＝lr＝×30π×25＝375π. [课堂小结] 1．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式．易知： 度数× rad＝弧度数，弧度数×＝度数． 2．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度． 学科网（北京）股份有限公司 $