1.4二次函数与一元二次方程的联系同步练习2025-2026学年湘教版数学九年级下册

二次函数与一元二次方程的联系 一、单选题 1．已知二次函数，把图象向右平移个单位长度后，使两个函数图象与轴的交点中，相邻的两个交点之间的距离都相等，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 2．关于的图象，下列叙述正确的是（   ） A．顶点坐标为 B．对称轴为直线 C．当时，随增大而增大 D．与轴交于点 3．已知正比例函数与二次函数的图象的交点的横坐标为3，则的值为（  ） A． B． C．1 D．3 4．已知二次函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小值是3 B．图象的对称轴是直线 C．图象开口向下 D．图象与x轴有两个交点 5．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得函数图象与轴的两个交点之间的距离为（      ） A． B． C． D． 7．根据下列表格的对应值，判定方程（a，b，c是常数，且）的一个解x的范围是（   ） x A． B． C． D． 8．二次函数的部分图象如图，当时，的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 9．下列各选项为某同学得出的关于二次函数的性质的结论，其中不正确的是（    ） A．开口向下 B．顶点坐标为 C．方程的解是 D．当，函数值小于0 10．如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则关于的不等式的解集为（　　） A． B． C． D．或 二、填空题 11．抛物线与y轴的交点坐标是 ． 12．对于任意函数，定义当时，若函数值，称为此函数的不动点．例如函数，当时，则点为此函数的不动点．则二次函数的不动点为 ． 13．已知关于的方程的解为，，则抛物线与直线的两个交点，的坐标（如图）分别为 ． 14．如图，抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线，与x轴交于点A，点B，则的长度为 ． 15．如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为 ． 16．如图，二次函数与一次函数的图象交于点和原点O，则关于x的不等式的解集是 ． 三、解答题 17．如图，抛物线交x轴于点A，点（点A在点B左侧），交y轴于点． (1)求抛物线解析式； (2)若将抛物线向右平移个单位长度得到一条新抛物线，且新抛物线与坐标轴仅有两个交点，求m的值． 18．已知二次函数的图象过点，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)已知二次函数与直线交于点，，请结合图象直接写出方程的解． 19．在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求该抛物线的表达式； (2)在坐标系中画出该函数图象，并结合函数图象回答，当时，x的取值范围是__________． 20．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)观察图像，当时，x的取值范围是______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C A B D C C D D 1．D 【分析】本题考查了二次函数的平移，二次函数图象与轴交点问题，先求得平移前的交点坐标，进而根据平移的性质求得平移后的坐标，进而分两个函数图象与轴的交点个数为个和个时，分类讨论，即可求解． 【详解】解：二次函数中， 当时， 解得：，则与轴的交点坐标为： ∵把图象向右平移个单位长度后，则两个函数图象与轴的交点为，即 ∵相邻的两个交点之间的距离都相等， 当和重合时， 时，解得：， 当两个图象与轴有四个交点时，依题意， 解得： ∴或 故选：D． 2．C 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．由抛物线解析式可求得其顶点坐标、对称轴、开口方向，进一步可求得其最值及增减性． 【详解】解：， 抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为，当时，， A、B、D不正确； 对称轴为，且开口向上， 当时随的增大而增大， 故选：C． 3．C 【分析】本题考查正比例函数与二次函数图象的交点问题，熟练掌握该知识点是关键．已知正比例函数与二次函数在横坐标为3的点处相交，将代入两个函数，令其y值相等即可求解k的值． 【详解】解：将代入二次函数，得：， ， 将代入正比例函数，得：， 解得：， 故选：C． 4．A 【分析】本题考查二次函数图象及其性质，涉及抛物线与x轴交点，对称轴，开口方向，二次函数的最值.先将二次函数解析式化为顶点式，即可判断A、B、C，然后计算的值即可判断D． 【详解】解：∵， ∴该抛物线开口向上，故C不符合题意； 该函数有最小值3，故A符合题意； 该抛物线对称轴是直线，故B不符合题意； ，则该抛物线与x轴没有交点，故D不符合题意． 故选：A． 5．B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象和性质，掌握二次函数与一次函数的交点的含义是解题关键．根据题意可知方程的解即为抛物线和直线的交点的横坐标，即可得解． 【详解】解：抛物线与直线的两个交点坐标分别为， 方程的解是， 故选：B． 6．D 【分析】求出抛物线平移后的解析式可得抛物线与轴的交点坐标，进而求解． 【详解】解：将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后所得的函数解析式为，即为， 此抛物线与轴的两个交点坐标为，， 则此抛物线与轴的两个交点之间的距离为， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律和二次函数的交点式是解题关键． 7．C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，通过观察二次函数值的变化，当函数值由负变正时，方程在该区间内有一个解，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解此题的关键． 【详解】解：令， 由表格可得：当时，，当时，， 即在范围内，的值由负变正， ∴方程的一个解的范围是． 故选：C． 8．C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据图象可得对称轴为直线，则另一个交点为，进而根据，写出的取值范围，即可求解． 【详解】解：依题意，抛物线的对称轴为直线，与轴的交点为和，抛物线开口向下， 当时，图象在轴的下方， ∴或， 故选：C． 9．D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识．分别根据二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识逐项判断即可求解． 【详解】解：A. ∵，∴抛物线开口向下，故原选项正确，不合题意； B. ∵，∴抛物线的顶点坐标为，故原选项正确，不合题意； C. 解方程得，故原选项正确，不合题意； D. 由题意得，抛物线开口向下，与x轴交点坐标为，∴当时，函数值大于0，故原选项错误，符合题意． 故选：D 10．D 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，找出一次函数图象位于二次函数图象下方对应的自变量的取值范围即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可知，当或时，一次函数图象位于二次函数图象下方，即， ∴不等式的解集为或， 故选：． 11． 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．令，即可求出抛物线的与y轴的交点坐标． 【详解】解：令，则， 抛物线与y轴的交点坐标是． 故答案为：． 12．或 【分析】本题主要考查二次函数与方程的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念． 根据题意得出，代入函数求解即可． 【详解】解：根据题意得：当时，若函数值，称为此函数的不动点， 即， ∴ ，整理得：， 解得：或， ∴二次函数的不动点为或， 故答案为：或． 13．和 【分析】此题主要考查一元二次方程与二次函数图象；根据题意将，分别代入，即可求解． 【详解】解：∵物线与直线的两个交点， ∴的解为，的横坐标， ∴将，分别代入得， ∴交点，的坐标分别为和 故答案为：和． 14． 【分析】本题考查了求抛物线与坐标轴的交点，待定系数法求解析式，根据对称轴求得的值，解方程，即可求解． 【详解】解：∵抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线， ∴ 解得：， ∴抛物线解析式为：， 令，即， 解得：， ∴, ∴， ∴, 故答案为：． 15．/ 【分析】本题考查二次函数的性质、图象法求不等式的解集．根据二次函数图象的对称性，求出抛物线与x轴的另一个交点，找到图象在x轴上方时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴对称轴为直线， 又∵该函数的图像与轴交于点， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为：， 由图象可知：当时，， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 16．/ 【分析】本题考查了根据二次函数与一次函数的交点确定不等式的解集，由图象并结合交点坐标即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数与一次函数的图象交于点和原点O， ∴由图象可得：关于x的不等式的解集是， 故答案为：． 17．(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式； （1）采用待定系数法进行求解即可； （2）令，求出点A的坐标为及，根据当原抛物线向右平移后，若新抛物线与坐标轴仅有两个交点，则新抛物线必过原点，即可求出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线过，， ∴ 解得：，， ∴抛物线解析式为； （2）解：令，， 解得，， ∴点A的坐标为，， 当原抛物线向右平移后，若新抛物线与坐标轴仅有两个交点，则新抛物线必过原点， ∴． 18．(1) (2)， 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法． （1）利用待定系数法求出函数解析式； （2）根据函数图象求出的解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点和， ∴， 解得， 因此，二次函数解析式为：． （2）解：∵二次函数与直线交于点，， ∴方程的解为，． 19．(1) (2)图见解析，或 【分析】（1）把代入即可求解； （2）求出函数与坐标轴的交点与顶点坐标即可作图，再根据图象求解． 此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知待定系数法的应用． 【详解】（1）把代入得 解得 ∴抛物线的表达式； （2）∵的顶点坐标为， 令，解得或， ∴与x轴交于和， 令，解得， ∴与y轴交于， 故作函数图象如下： ∴当时，x的取值范围为或， 故答案为：或． 20．(1) (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求一次函数的解析式，二次函数与不等式，解题的关键是利用待定系数法求解析式和根据图象得出取值范围． （1）利用二次函数的解析式求出点和点坐标，利用待定系数法求出直线的解析式； （2）通过观察图象的交点和图象的位置关系，即可得出当时，x的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，与轴交于点， ∴， 当时，解得， ∴， 假设直线的解析式为， 将和代入得， 解得 ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：通过观察图像可知在直线和抛物线交点的左侧和交点的右侧，抛物线图象在直线上方， ∴当或时，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $