1.4 二次函数与一元二次方程的联系-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（湘教版）

将0，-1D代入，得-1=4a,解得a=一子 六该抛物线的表达式为y=一十(x一2. (2)可以.将抛物线y=一子x向右平移2个单位即可得到 该抛物线， (3)顶点绕原点O旋转180°后的对应点的坐标为（一2,0）， 且得到的新抛物线开口向上、开口大小不变.故新抛物线的 表达式为y=(x+2). 1.4二次函数与一元二次方程的联系 1.-华变式题k>42.名 3.解：(1)1 (2).m=1,.y=x2十x-2.当y=0时，x2十x-2=0. .△=b2-4ac=12-4×1×(-2)=9>0, .二次函数的图象与x轴有2个交点 4.C5.2.56.B7.k≥-1且k≠08.0或19.C 10.m<a<bn11.2≤t11 12.解：(1)证明：令y=0,则x2-2mx十m2-1=0, .∴.△=(-2m)2-4(m2-1)=4>0, ∴.不论为何值，该函数的图象与x轴都有两个交点， (2)对于x2-2mx十m2-1=0,x1十x2=2m,x1x2=m2-1. x十x吃=4， x十x号=(x1十x2)2-2.x1x2=4m2-2(m2-1)=4, 解得m1=1,2=-1. 故m的值为1或-1. 13.解：(1)①③(2)0<x<5 (3)令x2-2x-3=0,解得x1=3,x2=-1, 抛物线y=x2一2x一3与x轴的交点坐标 为(3,0)和（一1,0）.画出二次函数y=x2 2x一3的大致图象（如图所示）.由图象可 知，当x<一1或x>3时，函数图象位于x 轴上方，此时y>0,即x2-2x-3>0,.一元二次不等式x2 -2x-3>0的解集为x<-1或x>3. 专题二二次函数的图象与系数a,b,c的关系 1.A2.B3.B4.A5.C6.②③ 7.解：(1)根据抛物线开口向上，得α>0..抛物线的对称轴在 y销右侧一名>00.又：抛物线与y销的交点在y 轴负半轴上，.c<0.故a>0,b<0,c<0. (2).抛物线y=ax2十bx十c过点(-1,0)，(0，-1)，∴.a-b +c=0,c=-1,即a-b=1,.a=b+1,.a+b+c=b+1十b -1=2b..b<0,.2b0.a>0,.b+1>0,.b>-1, .2b>-2.故a十b十c的取值范围是-2<a十b十c<0. 专题三二次函数的最值及函数值的范围 1.A2.B3.4 4.解：(1)-6-3 (2)y=-x2-6x-3=-(x+3)2+6. 一4≤x≤0，.当x=一3时，y取得最大值，最大值为6. (3)①若-3<0， 当x=0时，y取得最小值，最小值为一3； 当x=m时，y取得最大值，最大值为一m2一6m一3， .-m2-6-3+(-3)=2, 解得1=-2，m2=-4(不合题意，舍去). ②若m≤一3，当x=一3时，y取得最大值，最大值为6. .y的最大值与最小值之和为2，∴.y的最小值为一4， ,.-(m十3)2十6=-4， 解得m=-3一√10，m4=-3十√/10（不合题意，舍去）. 综上所述，m的值为-2或-3-√10. 5.解：由题意，得二次函数顶点式为y=a(x十1)2-2.：当x= 1时y红-2=0，解得a=分二次函数的表达式为y (x+1)2-2.当x=-3时，y=0,当x=3时，y=6, 当-3≤x<3时，函数值y的取值范围是-2≤y<6. 6.解：若x=-20时，y大=3，则4a-2a-1)-3,解得a 2a Aa =a=-号，此时x=-2.又：-是<x≤2a=-号不 合题意：若x=2时，y大=3，则4a十2(2a-1)十1=3，a= 合，此时抛物线开口向上，对称轴为直线x=0,离对称轴的 距离越远，值越大，Q=号符合题意；若x=一号时，y大= 3,则a…(-号)+(2a-1)×(-2)+1=3,解得a= 号，经检验符合题意，综上，实数口的值为子或-号 专题四二次函数与几何图形的综合问题 1.解：(1)抛物线y=-x2十2x十3与x轴相交于A,B两点， .-x2十2x十3=0，解得=-1，x2=3, .A(-1,0),B(3,0). (2)设M(,0). .抛物线y=一x2十2x十3与y轴相交于点C,.C(0,3). 设直线BC的表达式为y=kx十b. 13k十b=0, 把B(3,0),C(0,3)代入y=kx+b,得 b=3, 用。 .直线BC的表达式为y=-x十3，.F(m,-m十3). 又：E(m,-m+2n十3)， :EF=(-m+2m+3)-(-m+3)=-(m-号）+号。 又'点M在线段OB上，即0≤m≤3， :当m=受时，EF取得最大值 2.解：(1)二次函数y=-x2十c的图象经过点A(-2,5), .5=-4十c,.c=9,.y=-x2十9. (2)证明：当y=0时，0=-x2十9，解得x1=-3,x=3, .B(3,0). 设直线AB的表达式为y=kx十b, 则十。年0月 （k=-1, .y=-x+3. 1b=3, 点P,Q在二次函数的图象上，点D在直线AB上，x2=x1十3， ∴.P(x,-x+9),Q(x+3,-(+3)2+9),D(x,-x十3)， .PD=-x+9-(-x1+3)=-x+x1+6=(x1十2)(-x1十 ,m=-4十8：积- 号PD(0-w) 2D.w-刀 下册参考答案 1651.4二次函数与一元二次方程的联系 香图提园 1.二次函数y=ax2十bx十c(a,b,c是常数，a≠0)的图象与x轴的位置关系对应着一元二次方程a,x2十bx十c =0的根的三种情况：(1)当抛物线与x轴有两个交点时，方程有两个不相等的实数根；(2)当抛物线与x 轴有一个交点时，方程有两个相等的实数根；(3)当抛物线与x轴没有交点时，方程没有实数根. 2.利用二次函数图象求一元二次方程的近似根：求一元二次方程ax2十bx十c=0的根就是求二次函数y= ax2十bx十c在y=0时，自变量x的值，也就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，由于作图或观察存 在误差，由图象求得的根一般是近似的. 3.已知二次函数y=ax2十bx十c的某一个函数值y=M,求对应的自变量的值时，需要解一元二次方程ax +bx+c=M. 已课内基础练 知识点② 用二次函数求一元二次方程的近 知识点① 二次函数与一元二次方程的联系 似解 1.已知抛物线y=一x2+5x+m与x轴有且只 4.(2024永州零陵区模拟)根据下列表格中的 对应值，判断方程ax2+bx十c=0(a≠0)的 有一个交点，则m= 个解的范围是 ( x 3.23 3.24 3.25 3.26 变式题已知抛物线y=x2十4x十k与x轴 y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09 没有交点，则k的取值范围是 A.x>3.26 B.3.23<x<3.24 C.3.24<x<3.25 D.3.25<x<3.26 2.已知一元二次方程2x2一3x一5=0的两个 5.小颖用几何画板软件探索方程a.x2十bx十c= 根分别为4=》。=一1，则抛物线y=2父 0的实数根，作出了如图所示的图象，观察得 一个近似根为≈-4.5，则方程的另一个近 一3x一5与x轴的两个交点间的距离为 似根为x2≈ (结果精确到0.1). 3.已知二次函数y=x2十mx十m2-3(m为常 3-22345 数，m>0)的图象经过点P(2,4). (1)m的值为 -4 ； 第5题图 第6题图 (2)判断二次函数y=x2+.x十m2-3的图 知识点③ 运用二次函数与一元二次方程的 象与x轴交点的个数， 关系解决实际问题 6.(教材第26页例2变式)教练对小明某次扔铅 球的录像进行技术分析，并根据录像画面建 立如图所示的平面直角坐标系，发现铅球行 进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之 间的关系式为y=一 x一4+3.由此可 知，这次铅球扔出的距离为 17 下册第1章 A.12mB.10m C.13m D.15m 核心素养练 易错点忽略二次项系数的取值 13.数学核心素养·运算能力请阅读下列解 7.已知二次函数y=kx2一6.x一9的图象与 题过程： x轴有交点，则k的取值范围是 解一元二次不等式：x2-5x>0. 解：令x2一5x=0,解得x1=0,x2=5,则抛 8.若函数y=m.x2+2x+1的图象与x轴只 物线y=x2一5x与x轴的交点坐标为(0， 有一个交点，则常数为 0)和(5,0).画出二次函数y=x2-5x的大 致图象（如下图所示）.由图象可知，当x<0 已课外拓展练 或x>5时函数图象位于x轴上方，此时y 9.(2024张家界模拟改编)已知二次函数y= >0,即x2-5x>0,.一元二次不等式x ax2-2ax十c(a≠0)的图象与x轴的一个交 -5.x>0的解集为x<0或x>5. 点为(-2,0)，则关于x的一元二次方程a.x 通过对上述解题过程的学习，按其解题的 一2ax十c=0的两根之积是 思路和方法解答下列问题： A.-2 B.-4C.-8 D.8 (1)上述解题过程中，渗透了下列数学思想 10.二次函数y=(x-a)(x-b)-2(a<b)的图 中的 思想和 思想； 象与x轴的两个交点的横坐标分别为m和 (填序号)》 n,且m<n,则a,b,m,n的大小关系是 ①转化 ②分类讨论 ③数形结合 (2)一元二次不等式x2-5x<0的解集为 11.抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x 1.若关于x的一元二次方程x2+bx+3-t (3)用类似的方法解一元二次不等式：x2一 =0(t为实数)在一1<x<4的范围内有实数 2x-3>0. 根，则t的取值范围是 12.已知二次函数y=x2-2m.x十m2-1(m是 常数). (1)求证：不论m为何值，该函数的图象与 x轴都有两个交点； (2)若该抛物线y=x2-2mx十m2一1与x 轴的两个交点分别为(x1,0),(x2,0),且x 十x号=4，求m的值. 18 九年级数学XJ版