1.4 二次函数与一元二次方程的联系-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（湘教版）

1.4二次函数与一元二次方程的联系 森点提园 l.二次函数y=ax2十bx十c(a,b,c是常数，a≠0)的图象与x轴的位置关系对应着一元二次方程ax2十bx 十c=0的根的三种情况：(1)当抛物线与x轴有两个变点时，方程有两个不相等的实数根；(2)当抛物线 与x轴有一个交点时，方程有两个相等的实数根；(3)当抛物线与x轴没有交点时，方程没有实数根. 2.利用二次函数图象求一元二次方程的近似根：求一元二次方程a.x2十bx十c=0的根就是求二次函数y =ax十bx十c在y=0时，自变量x的值，也就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标.由于作图或观 察存在误差，由图象求得的根一般是近似的 3,已知二次函数y=a.x十bx十c的某一个函数值y=M,求对应的自变量的值时，需要解一元二次方程 ax+hx十c=M. 已课内基础练 知识点② 用二次函数求一元二次方程的近 知识点①二次函数与一元二次方程的联系 似解 1.已知抛物线y=a.x2十b.x十c与x轴的两个 4.根据下面表格中的对应值，判断方程a.x十 交点坐标是（一2,0），(5,0)，则一元二次方 b.x+c=0(a≠0)的一个解的范围是 ( 程ax2+b.x十c=0的两个解是 ( 3.23 3.243.25 3.26 y=ax2+bx+c -0.06-0.020.030.09 A.x1=-2,x2=5B.x1=2,x2=-5 A.x>3.26 B.3.23<x<3.24 C.x1=-2,x2=-5D.x1=2,x2=5 C.3.24<x3.25 D.3.25<x<3.26 2.已知二次函数y=a.x2十b.x十c的图象如图 5.小颖用几何画板软件探索方程a.x2十bx十c 所示，则关于x的方程a.x2+bx十c=0的根 0的实数根，作出了如图所示的图象，观察得 的情况是 一个近似根为x1≈一4.5，则方程的另一个近 A,有两个不相等的实数根 似根为x2≈ (结果精确到0.1). B.有两个相等的实数根 1 C.有两个同号的实数根 D.没有实数根 第2题图 3.已知二次函数y=x2十.x十m2一3(m为常 数，m>0)的图象经过点P(2,4). 第5题图 第6题图 (1)m的值为 知识点③ 运用二次函数与一元二次方程的 (2)判断二次函数y=x2+m.x十m2一3的图 关系解决实际问题 象与x轴交点的个数， 6.(教材变式)教练对小明某次扔铅球的录像进 行技术分析，并根据录像画面建立如图所示 的平面直角坐标系，发现铅球行进高度y(单 位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系式 为y=一 2x一4)+3.由此可知，这次铅球 扔出的距离为 A.12m B.10m C.13m D.15m 下册第1章 已课外拓展练 (2)若该抛物线y=x2一2m.x十m2一1与x 7.(2025岳阳平江期中)若抛物线y=x+ 轴的两个交点分别为(x1,0),(x2,0),且 2m.x十9与x轴只有一个交点，则m的值为 x+x=4,求m的值. A.3 B.-3 C.±32D.±3 变式题与x轴有交点>与x轴无交点 若函数y=x2+2x十m的图象与x轴没 有交点，则m的取值范围是 已核心素养练 ( A.m<1 B.m>1 C.m21 D.m=1 13.运算能力请阅读下列解题过程： 解一元二次不等式：x2-5x>0. 8.已知二次函数y=a.x2一2a.x十c(a≠0)的图 解：令x2一5x=0,解得x1=0,x2=5,则抛 象与x轴的一个交点为（一2,0），则关于x 物线y=x2一5x与x轴的交点坐标为(0， 的一元二次方程a.x2一2a.x十c=0的两根之 0)和(5,0).画出二次函数y=x2一5x的大 积是 致图象（如下图所示）.由图象可知，当x<0 A.-2 B.-4 C.-8 D.8 或x>5时函数图象位于x轴上方，此时y 易错点忽略二次项系数的取值 >0,即x2-5.x>0,.一元二次不等式x 9.已知二次函数y=k.x2一6.x一9的图象 一5.x>0的解集为x<0或x>5. 与x轴有交点，则k的取值范围是 通过对上述解题过程的学习，按其解题的 思路和方法解答下列问题： (1)上述解题过程中，渗透了下列数学思想 10.二次函数y=(x一a)(x一b)-一2(a<b)的 中的 思想和 思想 图象与x轴的两个交点的横坐标分别为m (填序号) 和n,且m<n,则a,b,m,n的大小关系是 ①转化 ②分类讨论 ③数形结合 (2)一元二次不等式x2一5.x<0的解集为 11.抛物线y=x2十bx十3的对称轴为直线x= 1.若关于x的一元二次方程x2十bx十3一t =0(t为实数)在一1<x<4的范围内有实 (3)用类似的方法解一元二次不等式：x2一 数根，则1的取值范围是 2x-3>0. 12.已知二次函数y=x2一2m.x+m2一1(m是 常数) (1)求证：不论m为何值，该函数的图象与 x轴都有两个交点 18 九年级数学版把A(-2,25)代入，得a·(-2)(-2-4)=25, 解得a= 6 六这条抛物线的表达式为y= 6x(x-4),即y= 5-23 61 3x. 13.y=(x-1)2-414.y=x2+4x+3 15.y=(x+1)2-3 16.y=-x2十6x-9【解析】：y=x2-6x+9=(x- 3)2. .旋转后抛物线的表达式为y=一(x一3)=一x+ 6x-9 17.解：(1)已知抛物线y=x+x十c经过点A(1,0), B(0,2), 六将A,B两点的坐标代人，得01+6十 12=c, 利化23 故抛物线的表达式为y=x-3x十2. (2)A(1,0),B(0,2),.OA=1,OB=2,可得旋转 后点C的坐标为(3,1).当x=3时，x一3x+2= 2,抛物线y=x2一3x十2经过点(3,2)，将原抛 物线沿y轴向下平移1个单位后经过点C,∴.平移后 所得新抛物线的表达式为y=x一3x+1. 1.4二次函数与一元二次方程的联系 1.A2.D 3.解：(1)1 (2),m=1,.y=x2+x-2.当y=0时，x+x-2 =0. .△=b2-4ac=12-4×1×(-2)=9>0, 二次函数的图象与x轴有2个交点. 【解析】1)将P(2,4)代入y=x十mx十m2-3,得4= 4十2m十m2-3,解得m1=1,m:=-3. 又m>0,∴.m=1. 4.C5.2.5 6.B【解折1令y=0,则一立红-0+3=0.即x-) =36,解得x1=10,x:=一2.由题意可知，x>0,∴x= 10,∴.这次铅球扔出的距离为10m 7.D变式题B 8.C【解析】二次函数y=ax2-2ax+c(a≠0)的图象 的对称轴是直线x=-二20-1.：点（一2,0）关于直 2a 线x=1的对称点是(4,0)，∴.一元二次方程ax-2ax 十c=0的两个实数根是x1=一2，x:=4,.两根之积 是一8. 9.≥一1且k≠0【解析】令y=0,则x-6x一9=0. ,二次函数y=kx一6x一9的图象与x轴有交点， ∴一元二次方程kx2一6x一9=0有实数根，.是≠0且 4=(-6)2-4k·(-9)≥0，解得k≥-1且k≠0. 10.m<a<b<n【解析】如图.由题意可知，二次函数y =(x-a)(x-b)一2的图象开口向上，与x轴交点 的横坐标为m,n.令y=一2，则(x一a)(x一b)=0, 解得x1=a,x:=b. 观察图象可知，m<a<b<n. 11.2≤1<11【解析】：抛物线y=x十a+3的对称轴 为直线=1心一会=1：解得6=-2抛物线的表 达式为y=x-2x十3，.一元二次方程x+bx+3 一1=0的实数根可以看作抛物线y=x一2x十3与 直线y=t的交点的横坐标. 方程在一1<x<4的范围内有实数根， y=x2-2x+3在x=1时有最小值2， 当x=一1时，y=6:当x=4时，y=11. t的取值范围是2≤1<11. 12.解：(1)证明：令y=0,则x2-2mx十m2-1=0, ∴.△=(-2m)2-4(m2-1)=4>0, ∴不论m为何值，该函数的图象与x轴都有两个 交点. (2)对于x2-2mx十m3-1=0,x1十x:=2m,x1x:= m2-1. x+x=4, ∴xi+x=(x1十x:)2-2x1x2=4m2-2(m2-1) =4, 解得m1=1,m:=1. 故m的值为1或一1. 13.解：(1)①③(2)0<x<5 (3)令x2-2x-3=0,解得x1=3,x:= 一1，∴.抛物线y=x2一2x一3与x轴 的交点坐标为(3,0)和（一1,0）.画出二下 次函数y=x2-2x一3的大致图象（如 图所示).由图象可知，当x<一1或x>3时，函数图 象位于x轴上方，此时>0，即x2-2x一3>0，∴一 元二次不等式x-2x-3>0的解集为x<-1或x >3. 易错易混专练二次函数的图象 与系数a,b,c的关系 1.A2.B3.B4.A 5.C【解析】：直线I为抛物线y=ax2十bx+c(a≠0) 的对后轴对称轴为直线=一云>0.当a<0时.力 >0:当a>0时，b<0.故a,b异号. 下田参考答案