第一部分 假期必刷16 三角恒等变换-【快乐假期】2025-2026学年高一数学寒假作业必刷题

快乐假期 00-= 假期必刷16三角恒等变换 天行健，君子以自强不息。 完成日期： 月 日 〈《思维整合室 自测自查 1.(1)cos acos B-+sin asinβ(2)cos acosβ 知识梳理 isin asin B (3)sin acos -cos asin B 1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (4)sin acos B+cos asin B (5)n (1)公式Ca: (6)tan a+tan B 1-tan atan B cos(a-β)= 2.√a+bsin(a+p) (2)公式C+: 3.(1)2sin acos a (2)cos a-sin2a 2cos2&-1 cos(a+B)= 1 1-2sin2a (3) 2tan a -cos a (3)公式S。m: 1-tan'a 2 1+cos a 1-cos a sin(a-B)= 2 √1+c0sa (4)公式Se+B: 要点记忆 sin(a+8)= 1.两角和与差的公式的常用变形 (1)sin asin B++cos(a+B)=cos acos B; (5)公式Ta:tan(a-B)= (2)cos asin B+sin(a-B)=sin acos B; (6)公式T(a+:tan(a十B)= (3)tana士tanB-tan(a士B)(l干tan atan B), 2.辅助角公式 tan atan B=1-tan a+tan B tan(a+B) asin a+bcos a= ,其中sinp _an&-tan里-l. tan(a-B) b va2+b ,C0s9= √a2+b 2.降幂公式：cos'a=1十cos2a」 2 sin'a= 1-cos 2a 1-cos 2a 3.二倍角的正弦、余弦、正切公式 P e,tan'a=1+cos 2a' (1)公式Sa:sin2a= 3.升幂公式：1+sin2a=(sina+cosa)2, 1-sin 2a=(sin a-cos a)2, (2)公式Ca:cos2a= 1±sin2a=(sina±cosa). 《技能提升台 (3)公式Ta:tan2a= 技能提升 1.sin105°的值为 4.半角公式 A.B+2 B.E+1 sin 2 2 2 C.6-2 D+6 4 2.o- ( 12 tan 2 (无理形式). 1 A.2 B. tan 2 sin a 1+cosa 1一cos&(有理形式). c号 D. sin a 2 ·40· 三0022 奢一数半 π 3.cos 12cos 6 6 1.若函数f(x)-sinos-sim A. 以号 c 则函数f(x)的最小正周期为 D.1 函数f(x)在区间[一π，0]上的最小值 4.已知si+sn0+-1,则sma+若) 是 2已知ac(小且m+ms A B.③ c (1)求cosa的值； (2)若na-0=-哥e〔臣小，求s月 5.已知a,B都是锐角，若sina= 5,sin 的值. 10 10,则a+g= A至 B C牙和 4 D.-牙和- 4 6.设函数f(x)=2cos2x+√3sin2x+a(a为实 常数)在区间 0,引上的最小值为-4，那么 a的值为 ( A.4 B.-6 C.-4 D.-3 7.(多选)已知函数f(x)=0s2一1，则下列 sin 2x 说法正确的是 A.函数f(x)的图象关于直线x=罗对称 B函数f(x)的图象关于点，0对称 C.函数f(x)是奇函数 D.函数f(x)的最小正周期为π 8.(多选)cosa一√3sina化简的结果可以是 ( c方m-e D2in(- 9,若nx-号则c0s2x 10.已知tan(π+a)=2,则cos2a+sin2a ·41· 飞壁快乐假期 S00- 13.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴 14.已知函数f(x)=cos2wx+3 sin wx·cos wx 的正半轴重合，终边经过点P(一3,3). (w>0)的最小正周期为元. (1)求sin2a-tana的值； (1)求w的值； (2)若函数f(x)=cos(x-a)cosa-sin(x-a) (2)求函数f(x)的单调递增区间及其图象 sina,求函数g()=f-2a2fx） 的对称轴方程. 在区间0，上的值域。 高考冲浪 1.(2025·全国二卷，8)已知0<a<,cos2 要则sn。-} () A将 C32 10 D.L/ 10 2.(2024·新课标I卷，4)已知cos(a十B)=m, tan atan B-=2,则cos(a-β)= () A.-3m B一罗 c D.3m ·42·三0022 10.解析：由题意得3-tan2x≥0，即tan2x≤3， 所以一尽≤tan rs≤√尽， 所以kx一<km+，k∈ 故所求画鼓的定义骏为[红一晋k+答]∈乙 答案：[x一音kx+晋]∈乙 11.解析：因为方程cos2x十4sinx-a=0在x∈[0，π]时有解， 所以y=cos2x十4sinx,x∈[0，π]的图象与直线y=a有 交点 因为y=-sin2x+4sinx+1=-(sinx-2)2+5,且0≤ sinx≤1，所以y∈[1,4]. 所以实数a的取值范围是[1,4]. 答案：[1,4] 12.解：(1)依题意得2×十9=吾+kx∈Z, 所以华=受+kxEZ》, 因为9<受，所以9=子 (2)由)得fx)=5in(（2x+） 当x[0,]时，2+号∈[停] 所以当红+学[肾]成2+晋∈[竖]时) 单调递增， 此时解得x0][侣x], 故0止的率调造增区间为[0，][合小 13.解：(1)法一：因为y=tanx的最小正周期是元. 所以y=tan(2x+)的最小正周期是。 法二：由诱导公式知： am[(z+s)十x]-a[2(e+受)+] =ta(z+） 即f(+)f. 所以fx)的最小正周期是受 (2)因为fx十g)=1am(2z+号+29)是奇函载，所以图 象关于原点中心对称， _k匹(k∈Z), 所以答+29=受 若k∈z. 解得-k<k乙 所以k=-1,0,1,2. 从而得9=-晋是吾 6 高一数学型) 14.解：(1)函数f(x)=2sin(r十g)(-元<g<0,w>0),且两相 尔对称中心之间的距离为受， 则T=2红=元，解得w=2. 函数的图象关于直线x=对称， 则2x看+9=x+受(k∈0， 解得9=x十若（∈. 由于一π<9<0， 则9=- 6 故通数f)=2sim(2:-晋)月 所以f(x)的最小正周期T==元 2 令-吾+2≤2x-≤受+2∈z 解得答+m≤r<+xk∈ZD, 所以函数f(x)的单调递增区间为 [答+，径+kx]k∈z (2)画数g)=f(x十a)=2sin(2x十2a-）)为偶函 敦，则2a一晋=kx十受（∈， 解得2a=k红十（∈ 当及=-1时，anm=若 高考冲浪 1.BC[A错，代x=0便知；B显然对，两者值域相同；C显 然对，两者最小正周期都为：D错，前者对称轴为2=受十 kx∈Z,后者是=餐+x∈Z.] 2.B[由题意可知：x1为f(x)的最小值，x2为f(x)的最大 值点， 则11一lm号-=受即T= 且w>0,所以w-祭=2] 假期必刷16三角恒等变换 技能提升台技能提升 1.D[sin105°=sin(45°+60°)=sin45cos60°+cos45sin60° 2 入2 2D[由题意可知m2音os2管-co音r吾 =c0s62· &.B[cos c0吾-inn吾-o(+) =cOs x=/2 42· 快乐假期 4.B[根据两角和的正孩公式展开sm0叶如（叶骨） 2 =n(0+）1.所以sm(+）9] 5.A[由于a,3都为锐角，所以cosa=√1-sina 2,0s个厂smF-3所以osa十》 25 10 cosa·cosB-sina·sinB=Y2 所以a+月=至] 6.C [f(x)=2cos2x+3sin 2x+a =1+cos2.x十√3sin2x+a =2sim(2x+若）十a+1, 当[0，]时，2x+若∈[答，] 所以f)m=2x(2)十a+1=-4, 所以a=-4.] 7.BCD[因为f(x=os2x-1 -2sin2.x sin 2x 2sin rcos x -n(子受∈2）小所以通发：)是周指为 奇函数，图象关于点（受0）对称] 8.BD =2(答-sin sin子） =2cos(e+吾)=2sin(-a）门 9,解析：直接应用二倍角的余弦公式， cs2x=1-2si㎡=1-2（号）了=1-含-=号 1 答案：9 10.解析：，tan(x十a)=tana=2, sin 2a+cos 2a-2sin acos acosa-sin'a sin2a+cos2a =2ana+1-tan2e_2X2+1-2=1 tan a+1 22+1 5 答案：5 1 .解析：因为f)=sn乞cos营-Esin2含 号(sn+mr-1D=n(+）一竖， 2 所以函数f(x)的最小正周期为2π； 因为[=01，所以+[-警] 则当x十=一，即x= 4 3时 41 多数x)在区同[-不，0]上取装小值-1-号 答案2x-1-号 90M-= 12,解：1)因为m号十os受- 2 ,两边同时平方，得sina 又受<a<x,所以c0sa=一个-sn㎡a=- 2 (2)图为受<a<,受<Kx 所以-吾<a-K受 又由sin(a-)=-3 得cos(a-刷=号所以cos月=6osa-(a-] =cos acos(a-B)+sin asin(a-B) -43+3 10 13.解：(1)角α的终边经过点P(-3,W3), '.sin a=2.cos a- ，tana=- 5 31 sin 2a-tan a-2sin acos a-tana- 9+9- 2+3 (2).'f(z)=cos(z-a)cos a-sin(x-a)sin a -cosR-cor)2co =5sin2x-1-os2x=2sin(2x-吾）厂1， 0<-≤2< 3 ∴-2≤2sim(2z-吾）-1长1， 故教g)=f(臣-2x）2f)在区同[0，号] 上的值域是[-2,1]. 14.解：(1)f(x)=cos2wx+√3sinw.rcos wx -1+e2+n2ar=n(2ar+培）十合 2 由T=元，得w=1. (2)由(1)知fx=sm(2:+音)十2 令2x-<2+否≤2kr+∈2. 解得一 +x≤≤晋+m∈Z, ∴画鼓的单调递增区同为[红晋红十晋]e∈☑ 令2+音-受+c刀，解得吾+受∈2D。 “画敬圆象的对称轴方程为=吾+经∈ZD, 高考冲浪 1.D[由0<a<x可知0<号<受，因为c0s号-号，所以 n告-25，所以5m=2sn台cs号=2x9x2 5 、4 cos a=cos 台-受-()-(2)=所以 70 三022 ×9恶] 2 2.A[由tan atan B=2,得sin asin3-2 cos acos3, cos(a+B)=cos acos B-sin asin B=-cos acos B=m, 故os acos B--一m,所以cos(a一)=cos acos B+ sin asin B=3cos acos B=-3m.] 假期必刷17函数y=Asin(wx十p) 技能提升台技能提升 1A[令4一吾=警，得x=登第四个关皖点的坐标 为(0小门 2A[D=3sm(2z+吾)=3sim[2(+6)]为得到函载)y 3sim(2x+）的图象，只需把C上的所有点向左平移西个 单位长度.] 3.A[因为g)=os(2x-5）=sn(2x-号+)】 =sim(2x+）且f)=n(2x-若）) m(2+）-m[(）+] 所以将g()的图象向右平移个单位长度得到函教f代x)的 图象.] 4B[由题中国象可知，召-警专-音小T= 由T=2红，得u=2, .'.y=2sin(2x+). 点（管2）在画载图象上， 2=2sn(2x音+9小，即sm(年+9）=1， “9=2张r+至便∈Z, 0<9= 所求解折式为y=2sm(2红+资）门 五A[由题意知函教f心)的最小正周期T-吾则子-吾，得 w=3,所以f(.x)=tan(3x一p). 将画数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到y an[(+登)一]-tan(3x+音9）的国象.要使该图象 关于愿点对称，则号-g会∈Z所以9=于-受∈乙 又0<g<,所以当=-1时，9取得最大值，最大位为平] 6.D[画数y一s血x的图象向左平移交个单位长度后，得到画 鼓)=如(+受）-cosx的图象，f)=cmx为偶函 数，最小正周期为2x,故A,B错误：由f(受)=0s令=0，知 f代)=c0sx的图象不关于直线x=受对称，故C错误：由 f(受)=co(-音）0，知fx)=cosx的图象关于点 （-0）对称，故D正确] .71 7ACD[由题围可知A-1,子-登音-子， 则T=xw-=2. 又f()=sin(2x+9)-sim(答+）=-1. 解得g=2kx+哥，k∈乙 又因为<受，所以9=晋， 所以f)=in(2x+音)】 令2x+号=x+受，∈乙，解得x=名x+瓷AC乙，当= 2时-瓷放八正确：令2十学-，C乙.解得 合x吾∈Z,故B得溪：◆26x受≤2+音≤2x 十受k长Z解得饭一登<x<kx十臣k∈乙，故C正确： 将画数f()的图象向右平移晋个单位长度得到y= sm[(晋)十答]sin2x的图象，再将共横坐标伸长 为原来的2倍得到函数y=sinx的图象，故D正确.] &D[对于A,因为画教x)在区间（肾，爱）上单调逆 或，所以号≥晋警-音所以f)的最小正两期T广 答即f)的最小正周期的最小值为子，故A错误：对于 B,因为f(肾）)十f(图）)=0，所以f)的园象关于点 (径0）)时称，所以f()=0,故B正确：对于C,若 f(+吾)户f(x)恒成立，则号为画教fx)的周期或同 期的倍数，所以k,2红=否，k∈Z(k≠0)，所以m=6k,k∈ 3 ≠0，因为7≥号所以w祭≤6又>0，所以0< w≤6，所以w=6,即满足条件的w有且仅有1个，故C正 确：对于D.尚题意可知（停晋）为f)=in(r一音) 单调递减区间的子集， 所以 其中k∈Z, 贤<+ 解得3达+1C<g+2,长Z, 当及=0时，1w≤2，当及=1时，4长w<号，故w的取位 范是1.2U4,号]故D正确.] 9.解析：将函数y=2sin2x=1一cos2x的图象向下平移1个 单位长度得到y=1-cos2x-1=-cos2x的图象，再将 画数y=一c0s2x的图象向左平移平个单位长度得到y =f)=-co[2+)门-os(ex+受)=in2x 的图象 答案：f(x)=sin2x