第一部分 假期必刷15 三角函数的图象与性质-【快乐假期】2025-2026学年高一数学寒假作业必刷题

=022 高一数学为) 假期必刷15三角函数的图象与性质 《思维整合室 自测自查 知识梳理 1.-1 (2)(π，-1) 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象中， 2.{x∈R,且x≠kx+}[-1, 五个关键点是：(0,0) -1,1]2π2ππ 奇函数偶函数 ,(2π，0). 2k- ，2kx+ [2kπ-元，2kπ] (2)余弦函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象中， 2 五个关键点是：0,1)，（0 2kx+受，2x π kπ- 2 [2kπ，2kπ+π] (kπ，0) 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中 x=kπ十 k∈Z) 2 x=kπ 函数 y-sin x y=cos x y=tan x 要点记忆 y 3π 1.对称性与周期性 图象 元22元 π (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻 定义域 R R 两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的 值域 R 对称中心与对称轴之间的距离是子个 最小 周期 正周期 (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半 奇偶性 奇函数 个周期. 递增 2.若f(x)=Asin(w.x十p)(A,w≠0)，则 区间 递减 (1)f代x)为偶函数的充要条件是g-+kx∈ZD. 无 区间 (2)f(x)为奇函数的充要条件是0=kπ(k∈Z). 对称 3.对于y=tanx不能认为其在定义域上为增 中心 对称轴 函数，而是在每个区问(x一受，kx十(k 无 方程 ∈Z)内单调递增. ·37· 火燮快乐限期 000-□ 《技能提升台 7.(多选)已知函数f(x)=sin(sinx)+ cos(cosx),下列关于该函数的结论正确 技能提升 的是 ( 1.用“五点法”作y=2sinx的图象时，首先描 A.f(x)的一个周期是2π 出的五个点的横坐标是 ( B.f(x)的图象关于直线x-对称 3π，2元 A0,受x, C.f(x)的最大值为2 B0,7受 D.f)在0，)上单调递增 C.0,元，2元，3元，4π 8.(多选)已知函数f)=-sinar+至(w>0) 的图象在区间[0，π]上有且仅有4条对称 D.0,看5吾 轴，则下面给出的结论中，正确的是() 2.函数y=sin+∈R在 A。的取值范同是[华，) B.f(x)的最小正周期可能是2 A[一，上单调递增 C.f(x)在区间(0，π)上可能恰有4个零点 B.[0,π]上单调递减 D.f()在区间0，是)上可能单调递增 C.[一π，0]上单调递减 9函数值snsn经，从大到小的顺序为 D.[一π，π]上单调递减 .(用“>”连接) 3.函数f(x)=1+3cosx的最小值为( 10.函数f(x)=√3-tan2x的定义域是 A.-3 B.-2 C.3 D.4 4.与函数y=tan 的图象不相交的一 11.已知方程cos2x+4sinx-a=0在x∈[0，π] 时有解，则实数a的取值范围为 条直线是 ( A.x=号 12.已知函数f()=sim(2x+g<号)的 B.y-2 Cx=君 D.y-晋 图象的一条对称轴为直线x=品 (1)求9的值； 5.下列函数中，以2π为最小正周期的是 (2)当x∈[0，π]时，求f(x)的单调递增 区间. A.y=sin xl B.y=sin 2x C.y=cos 4x D.y- cos 2 6.下列函数中，既在0，受 上单调递增，又以 π为周期且为偶函数的是 ( A.y=sin x B.y=cos 2.x C.y=sin 2x D.y-lsinl ·38· 三0022 高一数学 13.已知fx)=iam2x+ 14.已知函数f(x)=2sin(wx十p)(-元<p<0, (1)求f(x)的最小正周期； 。>0)的图象关于直线x=对称，且两相 (2)若f(x十p)是奇函数，则p应满足什么 邻对称中心之间的距离为受。 条件？并求出满足p<罗的9值. (1)求f(x)的最小正周期和单调递增 区间； (2)若函数g(x)=f(x+a)为偶函数，求|a 的最小值. 高考冲浪 1.(多选)(2024·新课标Ⅱ卷，9)对于函数 fx)=sim2z和g(x)=sim2x-,下列 说法正确的有 A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 2.(2024·北京卷，6)设函数f(x)=sinr(w>0), 已知f(x1)=-1,f(x2)=1,且|x1-x2|的 最小值为5，则w= () A.1 B.2 C.3 D.4 ·39·快乐假期 14.解：(1)f(a)= -cos asin a(-tan a) tan a(-sin a) =-cos a 2f(a+)-cos(e+受）-ma 因为a)·f(+受)=一g,所以cosa·ima=g: 可得e+f+)门=(sina-cosa)2=是，由明 ≤a<3,得cosa>sina, 所以fa)+f+受)sima-cosa=-写 高考冲浪 1.B[因为n cos a=尽，所以ana=1-5 cos a-sin a 3 m(+）把--1] 2.解析：由sin(a十)=sin(a-3),即 sin acos B+cos asin B=sin acos B-cos asin B, 得cos asin3=0,故cosa=0或sin3=0: 同理，由cos(a十)≠cos(a-B), 可得sin asin B≠0，故sina≠0且sin3≠0 则必有cosa=0且sin≠0 故取a=受否可满足题设要求 答案：（受，吾）答案不唯一) 假期必刷15三角函数的图象与性质 技能提升台技能提升 1.A[y=2sinx与y=sinx对应五点的横坐标相同，则用 “五点法”作图时，对应五个点的横坐标分别为0，受，， 经2.] 2.B[因为y=sin(e+受）=c0s,所以在区间[-x,0]上 单调递增，在[0，π]上单调递减.] 3.B[因为-1≤cosx≤1，所以-2≤1+3cosx≤4，所以 函数的最小值为一2.] 4.C[令2x+至-=kx+受(k∈z,得x管+答(k∈Z. 令=0，得x=答] 5.D[对于A,y=|sinx的图象是由y=sinx把x轴下方 的图象翻折上去、x轴上方的图象保持不变得到的，易知 最小正周期为元，故A错误；对于B,y=sin2x的最小正 周期为经=，故B错误：对于C,y=c0s4r的最小正周 期为经=受，故C错误：对于Dy=cs艺的因象是由 y=c0s号把x轴下方的图象翻折上去、x轴上方的图象 保持不变得到的，易知最小正周期为2π，故D正确.] ·6 900= 6.D[显然函数y=sinx,y=sin2x都是奇函数，故A,C 不符合题唐：当x∈(0，受）时，2x∈(0，x,而画鼓y=c0sx 在(0)上单洞造减，所以画数y=c0s2x在(0，受)上单 调递减，故B不特合题意：画数)y子sn是周期为元的偏 函数，当(0受）时，im>0,此时y=合sin,丙y= 之imx在(0，受)上单调递增，故D符合题意] 7.ABD[因为f(x+2x)=sin[sin(.x十2x)]+cos[cos(x+ 2x)]=sin(sinx)+cos(cosx)=f(x),故A正确；因为 f(x-x)=sin[sin(-z)]+cos[cos(x-x)]=sin(sin x) +cos(-cos z)=sin(sin z)+cos(cos z)=f(x),B 确；由于sinx∈[-1,1]，cosx∈[-1，l],所以sin(sinx)<1, cos(cosx)≤1，故f(x)=sin(sinx)+cos(cosx)<2,故C 错误：当x∈(0，受）时，sinx∈(0.1D且单调造增，故y sin(sin)在区问(（0，受）上单调递增，同理可判断，y cos(osx)在区间(0，)上单调诡增，故f(x)在区间 (0,)上单调递增，故D正确.] &.AC[由题意知f)=sim(ar+)w>0, 令ar+至-受+x,k∈Z,则x-+运，∈Z 因为函数在区间[0，π]上有且仅有4条对称轴， 即0≤1士k)r≤x有4个整数k符合，由0<1+) ≤元，得0≤<1士≤1，故0≤1十4h≤4m, 4w 则k=0,1,2,3,即1十4X3≤4w<1+4×4,所以13≤ 4w 号，故A正境：若画鼓的最小正周期为2，则。=元足 [停7)故B错溪：当∈(0，x)时，ar+吾∈ (匠om+)又m+[受)： 当m+音∈[管4]时，f)有3个不同的零点， 当ar+平∈（π，）时，fx)有4个不同的零点， 则f(x)在区间(0，π)上可能恰有4个零点，故C正确； 当xe(0)时r+∈（受管+） 因为<w< 所以登+[器，爱) 而繁>吾，所以f)在区间(0，)上不单满，tD 错误.] 9解析：“受<要<5 5 5 又画教)y=sinx在[臣]小上单润递减， sin>sn 答案n>s 4元 三0022 10.解析：由题意得3-tan2x≥0，即tan2x≤3， 所以一尽≤tan rs≤√尽， 所以kx一<km+，k∈ 故所求画鼓的定义骏为[红一晋k+答]∈乙 答案：[x一音kx+晋]∈乙 11.解析：因为方程cos2x十4sinx-a=0在x∈[0，π]时有解， 所以y=cos2x十4sinx,x∈[0，π]的图象与直线y=a有 交点 因为y=-sin2x+4sinx+1=-(sinx-2)2+5,且0≤ sinx≤1，所以y∈[1,4]. 所以实数a的取值范围是[1,4]. 答案：[1,4] 12.解：(1)依题意得2×十9=吾+kx∈Z, 所以华=受+kxEZ》, 因为9<受，所以9=子 (2)由)得fx)=5in(（2x+） 当x[0,]时，2+号∈[停] 所以当红+学[肾]成2+晋∈[竖]时) 单调递增， 此时解得x0][侣x], 故0止的率调造增区间为[0，][合小 13.解：(1)法一：因为y=tanx的最小正周期是元. 所以y=tan(2x+)的最小正周期是。 法二：由诱导公式知： am[(z+s)十x]-a[2(e+受)+] =ta(z+） 即f(+)f. 所以fx)的最小正周期是受 (2)因为fx十g)=1am(2z+号+29)是奇函载，所以图 象关于原点中心对称， _k匹(k∈Z), 所以答+29=受 若k∈z. 解得-k<k乙 所以k=-1,0,1,2. 从而得9=-晋是吾 6 高一数学型) 14.解：(1)函数f(x)=2sin(r十g)(-元<g<0,w>0),且两相 尔对称中心之间的距离为受， 则T=2红=元，解得w=2. 函数的图象关于直线x=对称， 则2x看+9=x+受(k∈0， 解得9=x十若（∈. 由于一π<9<0， 则9=- 6 故通数f)=2sim(2:-晋)月 所以f(x)的最小正周期T==元 2 令-吾+2≤2x-≤受+2∈z 解得答+m≤r<+xk∈ZD, 所以函数f(x)的单调递增区间为 [答+，径+kx]k∈z (2)画数g)=f(x十a)=2sin(2x十2a-）)为偶函 敦，则2a一晋=kx十受（∈， 解得2a=k红十（∈ 当及=-1时，anm=若 高考冲浪 1.BC[A错，代x=0便知；B显然对，两者值域相同；C显 然对，两者最小正周期都为：D错，前者对称轴为2=受十 kx∈Z,后者是=餐+x∈Z.] 2.B[由题意可知：x1为f(x)的最小值，x2为f(x)的最大 值点， 则11一lm号-=受即T= 且w>0,所以w-祭=2] 假期必刷16三角恒等变换 技能提升台技能提升 1.D[sin105°=sin(45°+60°)=sin45cos60°+cos45sin60° 2 入2 2D[由题意可知m2音os2管-co音r吾 =c0s62· &.B[cos c0吾-inn吾-o(+) =cOs x=/2 42·