第一部分 假期必刷13 任意角和弧度制及三角函数的概念-【快乐假期】2025-2026学年高一数学寒假作业必刷题

快乐假期 假期必刷13任意角和弧度制及三角 《《思维整合室 知识梳理 1.角的概念的推广 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的 旋转所形成的图形. 按旋转方向不同分为 (2)分类 按终边位置不同分为 和轴线角. (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角， 连同角α在内，可构成一个集合S={βB= a+k·360°，k∈Z}. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义：长度等于 的圆弧所对的圆 心角叫做1弧度的角，记作1rad. (2)公式 角a的弧度数公式 1a=(孤长用1表示) 角度与弧度的换算 1°=高0ad 1 rad= 弧长公式 弧长= 扇形面积公式 3.任意角的三角函数 (1)定义 如图，设a是一 前 个任意角，它的 P(x,y) 提 终边与 A(1,0) 交于点P(x,y) 32 900-= 非学无以广才，非志无以成学。 函数的概念 完成日期： 日 续表 叫做α的正弦函数， 正弦 记作sina,即sina= 叫做α的余弦函数， 余弦 记作cosa,即cosa= 叫做α的正切函数， 定 正切 记作tana,即tana= (x≠0) 正弦、余弦、正切都是以角为自 三角 变量，以单位圆上的点的坐标 函数 或坐标的比值为函数值的函 数，将它们统称为三角函数 (2)定义的推广 设P(x,y)是角α终边上异于原点的任一点， 它到原点的距离为r(r>O),那么sina= cos a- tan a- (x≠0) 自测自查 1.(1)端点 (2)正角 负角零角 象限角 2.(1)半径长 180 alr 3.(1)单位圆 y y (2) x 2 要点记忆 1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正， 二正弦，三正切，四余弦 2.角度制与弧度制可利用180°=πrad进行互 化，在同一个式子中，采用的度量制必须一 致，不可混用. 三0022 3.象限角 第一象限角{a2km<a<2kπ+于，keZ T 角 第二象限角{a2km+号<a<2km+,kEZ 集 第三象限角a2km+<a<2km+3,k∈习 第四象限角a2km+3罗<a<2kT+2m,kEZ 2 《技能提升台 技能提升 1.现行的二十四节气是根据地球在黄道（即地 球绕太阳公转的轨道)上的位置变化而制定 的，每个节气对应地球在黄道上运动15°所 到达的一个位置.根据描述，从立冬到立春 对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度 数为 春分 夏谷雨 惊蛰雨水立 满 芒种 小寒 夏至 冬至 小暑 大 秋处 白露 等 秋分 A.-3 B. 3 c D.答 2.已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，点P(1,一3)在角α的 终边上，则sina= ( A.-10 B.①0 10 10 C.30 10 D.-30 10 3.已知点P(sin(-30),cos(-30))在角0的终 边上，且∈[一2元，0)，则角0的大小为() A. 2 b. C.-2 D.一4π ·3 高一数学 4.若sin0·cos00, tan 0 sin >0,则角0是( A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 5.下列与角的终边相同的角的表达式中正 确的是 A.2kπ+45°(k∈Z) B.k·360+要k∈Z C.k·360°-315°(k∈Z) D.x十平（∈ 6.在平面直角坐标系xOy中，一个质点在半 径为2的圆O上，以圆O与x轴正半轴的 交点P。为起点，沿逆时针方向匀速运动到 P点，每5s转一圈，则2s后P。P的长为 ( A.2im号 B.2cos5 c4sim号 D.4cos 2π 7.（多选)已知角a的终边经过点P(一2,1)， 则下列各式正确的是 A.sin a= 囵 2√5 5 B.sin a= 5 C.cos a=- 25 5 D.tan a=-2 8.（多选)下面说法正确的是 ( ) A.角5与角- 终边相同 B.终边在直线y=一x上的角α的取值集合 可表示为{aa=k·360°-45°，k∈Z} C.若角a的终边在直线y=一3x上，则cosa 的取值为 10 D.6730'化成弧度是智 壁快乐蹊期 9.sin810°+tan765°+tan1125°+cos360 10.已知扇形的圆心角为2rad,其周长为6cm, 则扇形的面积为 cm2. 11.若a=1560°，角0与a终边相同，且-360° <0<360°，则0= 12.在与530°终边相同的角中，求满足下列条 件的角. (1)最大的负角； (2)最小的正角； (3)-720°到-360°的角. ·34 900-= 13.已知扇形的圆心角是a,半径是r,弧长 为1. (1)若α=100°，r=2,求扇形的面积； (2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最 大值，并求此时扇形圆心角的弧度数， 14.已知角a的终边落在直线2√2x十y=0 上，求sina,cosa,tana的值. 高考冲浪 1.(2024·北京卷，12)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角3均以Ox为始边，它们的终边 关于原点对称.若α [吾，引，则cos的最 大值为 2.(2023·全国乙卷（文），14)若0∈(0，引， tan0=号，则sin0-cos0=_飞壁快乐假期 若要使火箭的最大速度至少增加500m/s, 则2-1=1000ln之 -500lnx≥500， 即2n登-nx≥1ln(受)-nx=lh>1. 所以≥e,解得x≥4e, 因为2.718e<2.719, 所以10.872<4e10.876, 所以在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值 为11. 高考冲浪 1.AD[:h-L:=20X1g分-20X1g号 =20X1g20≥0,2≥1， p2 ∴p1≥p2,所以A正确； e-a=0x气>10会会≥n,所 P3 以B错误：L3=20X1g2=40, po ∴g2=100,所以C正确：1-12=20×1g≤90-50= 40,1g1≤2,1≤100，所以D正确.] P2 2.D[A选项：lgp=lg1026>3,T1g4 4 =220,由图易知处于固态：B选项： 周态一 3 1gp=lg128>2,T=270,由图易知处 墨 2 液态 于液态；C选项：lgp=lg9987≈3. 1 气态 999,T=300,由图易知处于固态：D选 项：lgp=lg729>2,T=360,由图易知 923w307 处于超临界状态.所以选D.门 假期必刷13任意角和孤度 制及三角函数的概念 技能提升台技能提升 1.D[根据题意，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所 对国心角的度教为6X15°=90，即孤度数为受.] 2.D[因为角α的顶点与坐标原，点重合，始边与x轴的非 负半轴重合，点P(1,一3)的角a的终边上，所以sina= -3 3.] √12+(-3)2 101 3.D[因为P(sin(-30),cos(-30),所以 P儿子]，所以0是第二象限角，又9E[-x,0所 以0=] 4.D[由00，得cs台0，所以cos>0,又im0·cosB sin <0,所以sin0<0,所以0为第四象限角. 5.C[与角℉的终边相同的角可以写成2kπ+9(k∈Z)或 4 k·360°+45°(k∈Z),但是角度制与孤度制不能混用，排 除A,B,易知D错误，C正确，] 6 0M 6.C[由题意可知，一个质点在圆 y O上每5s逆时针转一圈，2s后， 到达P点，所以∠POP,=铅，而 在△POP。中，OP=OP。=2且为 圆的半径，取PoP的中点T,连接 OT,如图，则∠P0T=经，所以 sn∠PoT-那-in吾则PT-名P,=2n5,所以 PT PP,=4sin经] 7.AC「因为角a的终边经过，点P(一2,1)，所以P到原点 的距离为√5，根据三角函数的定义得到sina= 15 55 cos a= 2=-25 5 2gama=] 8,AD[角号与角-号x相差2x,终边相同，故A正确：终 边在直线y=一x上的角a的取值集合可表示为{aa= ·180°-45°，k∈Z},故B错误；若角a的终边在直线y= 一3x上，则cosa的取值为士，故C错误67化成位 度是3π，故D正确.] 9.解析：原式=sin(2×360°+90)+tan(2×360°+45)+ tan(3×360°+45°)+cos(0°+360°) =sin90°+tan45°+tan45°+cos0°=4. 答案：4 10.解析：设扇形的圆心角为a,半径为r,则扇形的周长为ar十2r =6,所以=多cm,所以扇形的面积S=子2=号(am㎡ 答案：号 11.解析：因为a=1560°=4×360°+120°， 所以与a终边相同的角为360°×k+120°，k∈Z, 令k=-1或k=0,可得0=-240°或0=120° 答案：120°或-240° 12.解：与530°终边相同的角为k·360°+530°，k∈Z.(1)由 -360°<k·360°+530°<0°且k∈Z,可得k=-2,故所 求的最大负角为-190°. (2)由0°<k·360°+530°<360°且k∈Z,可得k=-1,故 所求的最小正角为170°. (3)由-720°≤k·360°+530°≤-360°且k∈Z,可得k= -3,故所求的角为-550°. 13.解：1国为a=100=100×辰-号所以扇形的面积S =7=7ar2=2×5×4=1 91 (2)由题意可知1十2r=20,即1=20一2r,所以扇形的面 积5=宁r=2(20-2)·7=-(-5)2+25,易知当7 =5时，扇形的面积最大，最大值为25，此时1=20一2×5 =10,a=1=10=2. r 5 三0022 14.解：直线2√2x十y=0,即y=-2√2.x,经过第二、四象 限.在第二象限取直线上的点（一1,2√2），则r= VD+2=3,所以se=22sa=- 3 tana=-2√2. 在第四象限取直线上的点(1，一2√2)，则r= +(-=3,所以n=-2,sa= tana=-2√2. 高考冲浪 1.解折：a∈[]cos≤os≤cos，即< ,又月-a=元+2kr,k∈Z,∴cosB=cos(a十x十 2kx)-cos(ar)coc cosB的最大值为一2 答案：司 2.解析：因为0(0，受）则sim>0,cos0>0, 又因为tan0= sin 6 1 os9z,则cos0=2sin0, cos20+sin20=4sin20+sin20=5sin20=1, 解得sin=5或in9=-5(会去)， 5 5 所以sin0-cos0=sin0-2sin0=-sin9-号 答案：- 假期必刷14同角三角函数的 基本关系及诱导公式 技能提升台技能提升 3 1.B[因为sin(经+a）-cosa= 所以cosa=一 2.B[由题意得cosa=一号故ana=&至 cosa4· 3.csn(-)m(+-）-si(- 4.B[原式=ing.(-sina)·cosa=-sin'a.] cos a 5.B ['.'sin(+a)= F分，且sin(r+a)=-sina, sin&=号，又a是第四象限角 .'cos(a-2x)=cos a=v1-sin2a 6.D[因为角a的终边上有一点P(1,3), 3 所以sina 希 3 1 1 √10 cos a= √2+32√10101 所以cos(管-a)十2ms(-x+a)=-sn&一20sa = 高一数学盈 7.BC [f(x+x)=sin(x+x)=-sin x,f(2x-z)=sin(2x x)=一 in,f(e-）=sim(-) -sin5-x）=-cos,f(r-）=sin(x-x)=sinx= f(x),故B、C成立.] 8.AB [sin(3)sin()sin ,sin =n(受一)=s言，os(受+3)-os(受+3x) =-sin3x,co(径+2x）=sin2.】 9.解析：因为11°+79°=90°，所以sin79°=cos11°，所以原 式=sin211°+cos211°=1. 答案：1 10.解析：sin(a-）)=sm[-各-（胥-a)] n受+（音-小-（晋-）-号 答案：一3 11.解析：因为a是第四象限的角， 所以sina=√-cosa=-2V2 3 =_22 3 答案：-22 -2E 3 3 12.解：：sin(4x-a)=sin(-a)=-sina, cos(+a）=cos[ix+(受+a)] =cos(+a）=-sina n(+a）-sim[6x-(受-a)] sin(5-a）F-cosa, tan(5x-a)=tan(x-a)=-tan a, sin(3x-a)=sin(x-a)=sin a, .原式=sin asin a -tan a -cos acos a sin acos a +l要2- 13.解：(1)cosa-sing+cosa十sina cos a++sin a'cos a-sin a 1-tan a1+tan a 1+tan a'1-tan a 1、2 1+2 T3_26 将tana名代入，原式三2十与 2 1-3 (2)sin2a-2sin acos a+4cos a -sin'a-2sin acos a+4cos2a sin a+cos a =ma,培an。=号代入 tan2a+1 28