第一部分 假期必刷12 函数的应用(二)-【快乐假期】2025-2026学年高一数学寒假作业必刷题

=0022 假期必刷12函数的应用（二） 业精于勤，荒于嬉。 完成日期： 月 日 〈《思维整合室 自测自查 知识梳理 1.f(x)=0 1.函数零点的定义 2.(x1,0),(x2,0) 对于函数y-f(x)(x∈D),把使 成立 3.f(a)·f(b)<0 一分为二零点 的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点. 4.画出散点图选择函数模型求出函数模型 2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与 要点记忆 零点的关系 判断函数零点个数的四种常用方法 △>0 △=0 △<0 (1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的 二次函数 实数根就有几个零点， y=ax2+ (2)画出函数y=f(x)的图象，判断它与x轴 bx+c(a 的交点个数，从而判断零点的个数， 0)的图象 (3)结合单调性，利用f(a)·f(b)<0,可判断 y=f(x)在(a,b)上零点的个数. 与x轴的 (x1,0) 无交点 (4)转化成两个函数图象的交点问题， 交点 例如，函数F(x)=f(x)一g(x)的零点个 零点个数 两个 一个 零个 数就是方程f(x)=g(x)的实数根的个数， 3.二分法 也就是函数y=f(x)的图象与y=g(x)的 对于在区间[a,b]上连续不断且 图象交点的个数. 的函数y=f(x),通过不断地把函数 《技能提升台 f(x)的零点所在的区间 ,使区间 技能提升 的两个端点逐步逼近 ,进而得到零点 近似值的方法叫做二分法. 1.实数a,b,c是图象连续不断的函数y= 4.应用函数模型解决问题的基本过程 f(x)定义域中的三个数，满足a<b<c, 收集数据 f(a)·f(b)<0,f(b)·f(c)<0,则函数 y=f(x)在区间(a,c)上的零点有() A.2个 B.奇数个 C.1个 D.至少2个 2.函数f(x)=x3一4x的零点为 检验 A.(0,0),(2,0) B.(-2,0),(0,0),(2,0) 符合实际 用函数模型解决实际问题 C.-2,0,2 D.0,2 ·29· 飞空快乐假期 S00-= 3.下列方程不能用二分法求近似解的为 8.(多选)研究表明，地震时释放的能量E(单 位：J)与地震里氏震级M之间的关系为lgE A.In x+x=0 B.e-3x=0 =4.8+1.5M,则 ( A.震级为2级的地震释放的能量为10.8J C.x3-3x+1=0 D.4x2-45x+5=0 B.释放能量为10.3J的地震震级为3级 4.函数f()=x山的图象为 C.9级地震释放的能量是8级地震释放的 能量的10倍 D.释放能量之比为1000：1的两场地震的 震级相差2级 9.若一次函数f(x)=x十b的零点是2，那么 函数g(x)=bx2十x的零点是 10.从A地到B地的海底电缆有15个接点， 现发现某处接点发生故障，需及时修理，为 了尽快找出故障的发生点，一般最多需要 检查接点的个数是 11.已知某种药物在血液中以每小时20%的 5.设x。是函数f(.x)=lnx十x一4的零点，则 比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物 x。所在的区间为 ( 2500mg,设经过x个小时后，药物在病人 A.(0,1) B.(1,2) 血液中的量为ymg: C.(2,3) D.(3,4) (1)y与x的关系式为 「x十2，x0, (2)当该药物在病人血液中的量保持在 6.已知函数f(x)= 1 若函数 1500mg以上时，才有疗效；而低于500mg +x>0, 时，病人就有危险.要使病人没有危险，再次 g(x)=[f(x)]+4f(x)+a(a∈R)有三个 注射该药物的时间不能超过 小 不同的零点，则实数a的取值范围为 时.（精确到0.1） ( (参考数据：0.23≈0.6,0.823≈0.6,0.82≈ A.(-∞，4) B.(-∞，4] 0.2,0.8.9≈0.1) C.(-∞，-12) D.(-∞，-12] 12.已知一次函数f(x)满足：f(1)=2,f(2)=3. 7.(多选)当生物死亡后，其体内原有的碳14 (1)求f(x)的解析式 的含量大约每经过5730年衰减为原来的一 (2)判断函数g(x)=一1+1gf(x)在区间 半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内 [0,9]上零点的个数. 的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一 种放射性探测器就探测不到了.若某死亡生物 体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则 它经过的“半衰期”个数可能是 A.8 B.9 C.10 D.11 ·30· =0022 高一数学的 13.已知函数f(x)=(a-1)x2+4x-1,a∈R. (1)若Hx∈R,f(x)<0恒成立，求实数a 高考冲浪 的取值范围； 1.(多选)（新课标I卷）噪声污染问题越来越 (2)若函数f(x)在区间（一1,1）内恰有一 个零点，求实数a的取值范围. 受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定 义声压级L,=20×1g卫，其中常数p(p,> 0)是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为 不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m声压级/dB 燃油汽车 10 6090 混合动力汽车 10 50~~60 电动汽车 10 40 14.近年来，得益于我国先进的运载火箭技术， 我国在航天领域取得了巨大成就.2025年 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动 4月24日，神舟二十号载人飞船搭载航天 汽车10m处测得实际声压分别为p1,p2, 员飞往中国空间站，与神舟十九号航天员 p3,则 () “会师”太空.据了解，在不考虑空气阻力和 地球引力的理想状态下，可用公式v=,ln A.1≥p2 B.p2>10p3 算火箭的最大速度(m/s),其中，m C.p3=100po D.p1≤100p2 2.(北京卷)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰 s)是喷流相对速度，m(kg)是火箭（除推进 剂外)的质量，M(kg)是推进剂与火箭质量 丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷 的总和，称为总质比，已知A型火箭的 制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如 图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态 喷流相对速度为500m/s. (1)当总质比为200时，利用给出的参考数 与T和gp的关系，其中T表示温度，单位 据求A型火箭的最大速度. 是K;p表示压强，单位是bar.下列结论中 (2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭 正确的是 的喷流相对速度提高到原来的2倍，总质 比变为原来的？，若要使火箭的最大速度 4 固态 3 超临界 至少增加500m/s,求在材料更新和技术 状态 2 液态 改进前总质比的最小整数值， 1 (参考数据：ln2≈0.7，ln5≈1.6,2.718< 气态 e<2.719) 0 200250300350400T A.当T=220,p=1026时，二氧化碳处于 液态 B.当T=270,p=128时，二氧化碳处于 气态 C.当T=300,p=9987时，二氧化碳处于 超临界状态 D.当T=360,p=729时，二氧化碳处于超 临界状态 ·31=022 高考冲浪 2.1=S1 1.D[由题意可得 In Ni' 3.15= S-1 In N2' 两式相除得2.1lnN1=3.15lnN2, 所以lnN.1=lnN15,即N1=N经15，故(N)l.o5= (Wg)l.5,即=N.] 之舞折：因为记过子6-音所以 1 (log2a+1)(log2a-6)=0,而a>1,故log2a=6,a=64. 答案：64 假期必刷12 函数的应用（二） 技能提升台技能提升 1.D2.C 3.D[对于A,显然f(x)=lnx十x在定义域上单调递增， 且f(日)-1+。<0f1)=1>0,可以使周二分法， 故A错误；对于B,f(x)=e一3x在定义域上连续，且有 f(0)=1>0,f(1)=e-3<0,f(2)=e2-6>0,可以使用 二分法，故B错误：对于C,f(x)=x3一3x十1在定义域上 连续，且有f(一2)=-1<0，f(0)=1>0,f(1)=-10, f(3)=19>0,可以使用二分法，故C错误；对于D,4x2 45x+5=(2x-5)2=0>x=5】 21 所以f(x)=4x2-4√5.x+5只有一个不变号零点，故不 可以使用二分法.故D正确.门 4.D[画数fx)=山的定义城为{xx≠01， 且f-)=l-2-1=-L=-f, 函数f(x)为奇函数，A选项错误； 又当<0时，f(r)=2山≤0，C选项错误： 当>1时)=2山=1=-1，画教单调 递增，B选项错误.] 5.C[,f(2)=ln2+2-4=ln2-2<0,f(3)=ln3-1> lne-1=0,由零点定理得f(2)·f(3)<0.∴x0所在的区 间为(2,3).] 6.D[当x≤0时，函数f(x)= x十2在(-∞，0]上单调递增， f(x)≤f(0)=2. 当x>0时，函数fx)=x十1y x ≥2·=2，当且仅者 0 =1时取等号，函数y=f(x)的大致图象如图所示 令f(x)=t,观察图象知，当t<2时，方程f(x)=t有一 个根，当t≥2时，方程f(x)=t有两个不等根. 函数g(x)=[f(x)]2+4f(x)-a(a∈R)有三个零点，等 价于函数h(t)=t2十4t十a有两个零点t1,t2,并满足t1<2, t2≥2，而函数h(t)图象的对称轴为直线t=一2，于是得 h(-2》=a40”解得a≤-12，所以实教a的取值范 (h(2)=a+12≤0， 围为(-∞，-12].] 6 高一数学 7.CD[设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经 连个率来期“后的合主为（合）八由（侣）”<d得 ≥10.所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测 器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”.] 8.BD[对于A,当M=2时，lgE=4.8十1.5×2=7.8，解 得E=107.8,A错误；对于B,当E=109.3时，9.3=4.8+ 1.5M,解得M=3,B正确：对于C,令9级地震释放的能 量为E1,8级地震释放的能量为E2, g5=1gB-1gE2=(4.8+1.5×9)-(4.8+1.5X8)= 则gE2 1.5,于是105>10，C错误：对于D,设释放的能量 为E。,对应的震级为M。,释放的能量为1000E。,对应的 震级为M,则lgE0=4.8+1.5M,且lg(1000E)=4.8 十1.5M,两式相减得1.5(M'-M)=3,解得M-Mo= 2,D正确.] 9.0,2 10.311.(1)y=2500×0.8x(2)7.2 12.解：(1)设f(x)=a.x十b(a≠0)，由已知条件得 +b2,解得a=b=1,所以f代)=1十1x∈R. 2a+b=3, (2)因为g(x)=-1+1gf(x)=-1+lg(x+1)2在区 间[0,9]上为增函数，且g(0)=-1<0,g(9)=-1+lg10 =1>0, 所以函数g(x)在区间[0,9]上零，点的个数为1个. 13.解：(1)当a=1时，f(x)=4x-1, 则f(x)<0不恒成立： 当a≠1时，Hx∈R,f(x)<0恒成立， 则a-1<0, {4=16+4a-1)<0,解得a<-3. 综上可得，若Hx∈R,f(x)<0恒成立，则实数a的取值 范围是（一∞，一3）. (2)若a=1,由fx)=4x-1=0,得x=子∈(-1，D, 符合题意； 若a≠1，当△=16十4(a一1)=0，即a=一3时，f(x)= -42+4r-1,零点为2∈(-1,1D,符合题意： 当△=16+4(a-1)>0,即a>-3且a≠1时，f(1)· f(-1)=(a-1+4-1)(a-1-4-1)<0,解得-2<a <6,∴.-2<a<1或1<a<6. 又令f1)=a-1十4-1=0，得a=-2,此时方程-3.x2 十4：一1=0的另一根为1=子∈（一1,1），特合题意： 令f(-1)=a-1-4-1=0,得a=6,此时方程5x2+4x -1=0的另一根为x=∈(-1,1D,符合题意： 综上，若函数f(x)在区间（一1,1）内恰有一个零点，则实 数a的取值范围是「一2,6]U{一3}. 14.解析：(1)由已知可得v=500ln200 =500(ln2+ln100)=500[ln2+2(ln2+ln5)] =500(3ln2+21n5)≈2650(m/s). (2)设在材料更新和技术改进前总质比为x, 且=6lnx=501nx,=100ln分， 飞壁快乐假期 若要使火箭的最大速度至少增加500m/s, 则2-1=1000ln之 -500lnx≥500， 即2n登-nx≥1ln(受)-nx=lh>1. 所以≥e,解得x≥4e, 因为2.718e<2.719, 所以10.872<4e10.876, 所以在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值 为11. 高考冲浪 1.AD[:h-L:=20X1g分-20X1g号 =20X1g20≥0,2≥1， p2 ∴p1≥p2,所以A正确； e-a=0x气>10会会≥n,所 P3 以B错误：L3=20X1g2=40, po ∴g2=100,所以C正确：1-12=20×1g≤90-50= 40,1g1≤2,1≤100，所以D正确.] P2 2.D[A选项：lgp=lg1026>3,T1g4 4 =220,由图易知处于固态：B选项： 周态一 3 1gp=lg128>2,T=270,由图易知处 墨 2 液态 于液态；C选项：lgp=lg9987≈3. 1 气态 999,T=300,由图易知处于固态：D选 项：lgp=lg729>2,T=360,由图易知 923w307 处于超临界状态.所以选D.门 假期必刷13任意角和孤度 制及三角函数的概念 技能提升台技能提升 1.D[根据题意，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所 对国心角的度教为6X15°=90，即孤度数为受.] 2.D[因为角α的顶点与坐标原，点重合，始边与x轴的非 负半轴重合，点P(1,一3)的角a的终边上，所以sina= -3 3.] √12+(-3)2 101 3.D[因为P(sin(-30),cos(-30),所以 P儿子]，所以0是第二象限角，又9E[-x,0所 以0=] 4.D[由00，得cs台0，所以cos>0,又im0·cosB sin <0,所以sin0<0,所以0为第四象限角. 5.C[与角℉的终边相同的角可以写成2kπ+9(k∈Z)或 4 k·360°+45°(k∈Z),但是角度制与孤度制不能混用，排 除A,B,易知D错误，C正确，] 6 0M 6.C[由题意可知，一个质点在圆 y O上每5s逆时针转一圈，2s后， 到达P点，所以∠POP,=铅，而 在△POP。中，OP=OP。=2且为 圆的半径，取PoP的中点T,连接 OT,如图，则∠P0T=经，所以 sn∠PoT-那-in吾则PT-名P,=2n5,所以 PT PP,=4sin经] 7.AC「因为角a的终边经过，点P(一2,1)，所以P到原点 的距离为√5，根据三角函数的定义得到sina= 15 55 cos a= 2=-25 5 2gama=] 8,AD[角号与角-号x相差2x,终边相同，故A正确：终 边在直线y=一x上的角a的取值集合可表示为{aa= ·180°-45°，k∈Z},故B错误；若角a的终边在直线y= 一3x上，则cosa的取值为士，故C错误67化成位 度是3π，故D正确.] 9.解析：原式=sin(2×360°+90)+tan(2×360°+45)+ tan(3×360°+45°)+cos(0°+360°) =sin90°+tan45°+tan45°+cos0°=4. 答案：4 10.解析：设扇形的圆心角为a,半径为r,则扇形的周长为ar十2r =6,所以=多cm,所以扇形的面积S=子2=号(am㎡ 答案：号 11.解析：因为a=1560°=4×360°+120°， 所以与a终边相同的角为360°×k+120°，k∈Z, 令k=-1或k=0,可得0=-240°或0=120° 答案：120°或-240° 12.解：与530°终边相同的角为k·360°+530°，k∈Z.(1)由 -360°<k·360°+530°<0°且k∈Z,可得k=-2,故所 求的最大负角为-190°. (2)由0°<k·360°+530°<360°且k∈Z,可得k=-1,故 所求的最小正角为170°. (3)由-720°≤k·360°+530°≤-360°且k∈Z,可得k= -3,故所求的角为-550°. 13.解：1国为a=100=100×辰-号所以扇形的面积S =7=7ar2=2×5×4=1 91 (2)由题意可知1十2r=20,即1=20一2r,所以扇形的面 积5=宁r=2(20-2)·7=-(-5)2+25,易知当7 =5时，扇形的面积最大，最大值为25，此时1=20一2×5 =10,a=1=10=2. r 5