第一部分 假期必刷11 对数与对数函数-【快乐假期】2025-2026学年高一数学寒假作业必刷题

快乐假期 假期必刷11 对数与对数函数 〈《思维整合室 (2)对图象的影响：比较图象与y=1的交点， 知识梳理 交点的横坐标越大，对应的对数函数的底 以下1-5题中，a>0,>0,N>0,n∈R. 数越大.也就是说，沿直线y=1由左向右 1.对数式与指数式的转化：a=N,则logN 看，底数a增大（如图）. 2.log 1= loga= a log.N 3.log.(M·N)= M 底数a增大 ,loga N 0 log M"= 2 4.换底公式logV= (3)对数函数图象的特点：函数y=logx(a>0 5.对数函数y=logx(a>0且a≠1)的图象与 且a≠1)的图象无限靠近y轴，但永远不 性质 会与y轴相交；在同一坐标系内，y=logx a>1 0<a<1 (a>0且a≠1)的图象与y=log1x(a>0且 y x=1 1x=1 a≠1)的图象关于x轴（即直线y=0)对称， 图 (1,0) 象 0 1(1,0) 0 《技能提升台 技能提升 定义域 定义域 1.计算2log63+log4的结果是 性 值域 值域 A.logs2 B.2 质 单调性 单调性 C.loge3 D.3 函数图象都过点 2.函数f(x)= n(r+D十√-x的定义域为 自测自查 1.x2.0 1 N 3.log M+log N log M A.[-2,0)U(0,2] B.(-1,0)U(0,2] -log N nlog,M 4.T log,N loga (b>0且b≠1) C.[-2,2] D.(-1,2] 5.(0,+∞)R在(0，十∞)上为增函数 3.函数y=logx,y= y=logx (0,+∞)R 在(0，+∞)上为减函数 logix,y=logx,y= y=logkx (1,0) logx的图象如图所 0 y=log.x 要点记忆 示，则a,b,c,d的大 y=logx 底数对对数函数图象的影响以及图象的特点 小顺序是 (1)依据：对数函数y=logx(a>0且a≠0)的 A.c<d<1<b<a B.d<c<1<a<b 图象与直线y=1的交点是(a,1). C.1<d<c<a<b D.c<d<1<a<6 ·26 三0022 富一数学恐) 4.设a=log20.3,b=l1og0.4,c=0.40.3,则a, 9.计算1og3·log4+8+log:27= b,c的大小关系为 ( 10.设g(x)= e,x≤0， A.a<b<c B.c<a<6 则() C.b<c<a D.a<c<b 5.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里； 11.函数y=2-log(x十1)在区间[0,1]上 不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积 的最大值为 ,最小值为 月累的过程，每天进步一点点，前进不止一 小点.我们可以把(1十1%)35看作是每天的 12.(1)已知1og。>1,求a的取值范围。 “进步”率都是1%，一年后是1.0135≈ (2)已知l1og0.72x<1ogo.,(x-1),求x的取 37.7834;而把(1一1%)365看作是每天的 值范围. “退步”率都是1%，一年后是0.99365≈ 0.0255.这样，一年后的“进步值”是“退步 :99≈1482信.那么当进步值"是 值”的人.0165 “退步值”的5倍时，大约经过（参考数据： lg101≈2.0043，lg99≈1.9956，lg2≈0.3010) () A.70天 B.80天 C.90天 D.100天 (2-a)x-3a十3，x<1, 6.已知函数f(x)= 满足 (logx,x≥1 x≠时恒有，)二fx,>0成立，那么 x1一x2 实数a的取值范围是 A.（1,2) 1] C.(1,+∞) D.2) 7.(多选)函数f(x)=log。(x+2)(0<a<1) 的图象过 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8.(多选)下列函数不满足f(log2)=f(log23) 的有 ) A.f(x)=2+2x B.f(x)=x2+2x C.f)=+1 D.f)= x+1 ·27· 快乐假期 00 13.已知函数f(x)=log x+1 x-1(a>0且a≠1). 14.已知函数f(x)=log。 m -1的图象恒过 (1)求f(x)的定义域. 定点(1,0)，其中a>0且a≠1. (2)判断函数的奇偶性和单调性. (1)求实数m的值，并研究函数y=f(x+1) 的奇偶性； （2)函数g)=bg厂x+士+2-2X+1D, x 关于x的方程f(x)=g(x)恰有唯一解，求 实数k的取值范围. 高考冲浪 1.(2024·北京卷，7)生物丰富度指数d= 是阿流水质的一个评价指标，其中5 V分别表示河流中的生物种类数与生物个 体总数，生物丰富度指数d越大，水质越好. 如果某河流治理前后的生物种类数S没有 变化，生物个体总数由V1变为N2,生物丰 富度指数由2.1提高到3.15，则 ( A.3N2=2N B.2N2=3N C.N2=N D.N=N 2.(2024·全国甲卷（文），15)已知a>1且 1 1 logsa log,1-- 则a ·28·飞曼快乐假阴 假期必刷11 对数与对数函数 技能提升台技能提升 1.B2.B 3.D[由图可知，直线y=1与x轴上半部分图象交点的横 坐标从小到大依次为c,d,a,b,由此可知0<c<d<1< a<b.] 4.D[log20.3<log21=0,∴.a<0, o.4-logs0.4-ogog 1. .b>1, 0<0.40.3<0.4°=1，∴.0<c<1, .a<c<b.] 5.B[设x天后的进步值”是“退步值”的5倍，则上0=5， 0.99r (0) =5,两边同时取对数得1g()月 =lg5,化简 101 =x(1g101-lg99)=lg5, 所以x 1g5 1-1g2 1g101-lg91g101-g9≈ 1-0.3010 2.0043-1.9956≈80， 故当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过80天.] 6.D[因为函教fr)满足≠时恒有）二化>0 1x2 成立，所以函数f(x)= (2-a)x-3a+3,x<1, logax,x≥1 2-a>0, 在R上单调递增，应有{a>1, (2-a)-3a+3≤log1, 解得ae[芹，2)门 7.BCD 8.ABD [由于log32= 0g23,故问题等价于满足f(x) f()的画数，对于A选项f()=2+2≠f， 不符合题意；对于B选项f )+2≠，不特 合题意：对于C选项，f)=+f()=十x f(x),不符合题意.故选A,B,D.] 9.310.2 11.31 12.解：(1)由l1og。2>1,得1og。2>loga. .1 ①当a>1时，有a<2,此时a∈： ②当0<a<1时，有号<a,从而号 1 <a<1. ∴a的取值范图是（合l (2):函数y=log0.7x在(0，十∞)上为减函数， .由log0.72.x<1og0.7(x-1), 2x>0, 得{x-1>0,解得x>1. 2.x>x-1, ·6 900 13.解：(1)要使此函数有意义，则有 x+1>0·或 x-1>0, x+1<0, \x-1<0, 解得x>1或x<-1, 此函数的定义域为(-0，-1)U(1,十o). 2-)=l6,1og昂 =-10®号-f).f)为奇画最. f(x)=log于 告出g(+名)画教=1+名 在区间（一∞，一1）和区间(1，十∞)上单调递减.所以当 。1时f)=在(-0，-1.，+o)上单 调递减； 当0a1时，fa=lg号(-，-1.1，+)上 单调递增， 14.)因为画数)=6(-1)的图象恒过定点1,0. 所以1og。(m-1)=0,则m-1=1,得m=2, 所以f)=io(层-) 所以y=f+1)=lg(是一1）=1g 片0，得-1<<1，即y=f+1)的定义线为 (-1,1),关于原点对称. 令h(x)=f(x+1)=log.+ 1-x 因为(-)=g与=1g异) 、1-=-h(x), =一loga+1 所以h(x)为奇函数，即函数y=f(x十1)为奇函数. 2)由)=g0.得g(侵-） =1e+2+生-2+D小 +2+6+2-2k+1D=2-1, .x 所以 2-1>0, 由2-1>0，得2，>0，解得0<x<2. x 由++牛2-2+1)=2-1 得x2+k2+k+2-2(k+1)x=2-x, 整理得x2-(2k十1)x十k2十k=0, 得(x-k)[x-(k十1)]=0， 解得x=k或x=k十1. 因为关于x的方程f(x)=g(x)恰有唯一解， 所以0<2支≤0， (k+1≥2(0<k+1<2, 解得1≤k<2(舍去)或-1<k≤0. 综上，实数k的取值范围为（一1,0]. =022 高考冲浪 2.1=S1 1.D[由题意可得 In Ni' 3.15= S-1 In N2' 两式相除得2.1lnN1=3.15lnN2, 所以lnN.1=lnN15,即N1=N经15，故(N)l.o5= (Wg)l.5,即=N.] 之舞折：因为记过子6-音所以 1 (log2a+1)(log2a-6)=0,而a>1,故log2a=6,a=64. 答案：64 假期必刷12 函数的应用（二） 技能提升台技能提升 1.D2.C 3.D[对于A,显然f(x)=lnx十x在定义域上单调递增， 且f(日)-1+。<0f1)=1>0,可以使周二分法， 故A错误；对于B,f(x)=e一3x在定义域上连续，且有 f(0)=1>0,f(1)=e-3<0,f(2)=e2-6>0,可以使用 二分法，故B错误：对于C,f(x)=x3一3x十1在定义域上 连续，且有f(一2)=-1<0，f(0)=1>0,f(1)=-10, f(3)=19>0,可以使用二分法，故C错误；对于D,4x2 45x+5=(2x-5)2=0>x=5】 21 所以f(x)=4x2-4√5.x+5只有一个不变号零点，故不 可以使用二分法.故D正确.门 4.D[画数fx)=山的定义城为{xx≠01， 且f-)=l-2-1=-L=-f, 函数f(x)为奇函数，A选项错误； 又当<0时，f(r)=2山≤0，C选项错误： 当>1时)=2山=1=-1，画教单调 递增，B选项错误.] 5.C[,f(2)=ln2+2-4=ln2-2<0,f(3)=ln3-1> lne-1=0,由零点定理得f(2)·f(3)<0.∴x0所在的区 间为(2,3).] 6.D[当x≤0时，函数f(x)= x十2在(-∞，0]上单调递增， f(x)≤f(0)=2. 当x>0时，函数fx)=x十1y x ≥2·=2，当且仅者 0 =1时取等号，函数y=f(x)的大致图象如图所示 令f(x)=t,观察图象知，当t<2时，方程f(x)=t有一 个根，当t≥2时，方程f(x)=t有两个不等根. 函数g(x)=[f(x)]2+4f(x)-a(a∈R)有三个零点，等 价于函数h(t)=t2十4t十a有两个零点t1,t2,并满足t1<2, t2≥2，而函数h(t)图象的对称轴为直线t=一2，于是得 h(-2》=a40”解得a≤-12，所以实教a的取值范 (h(2)=a+12≤0， 围为(-∞，-12].] 6 高一数学 7.CD[设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经 连个率来期“后的合主为（合）八由（侣）”<d得 ≥10.所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测 器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”.] 8.BD[对于A,当M=2时，lgE=4.8十1.5×2=7.8，解 得E=107.8,A错误；对于B,当E=109.3时，9.3=4.8+ 1.5M,解得M=3,B正确：对于C,令9级地震释放的能 量为E1,8级地震释放的能量为E2, g5=1gB-1gE2=(4.8+1.5×9)-(4.8+1.5X8)= 则gE2 1.5,于是105>10，C错误：对于D,设释放的能量 为E。,对应的震级为M。,释放的能量为1000E。,对应的 震级为M,则lgE0=4.8+1.5M,且lg(1000E)=4.8 十1.5M,两式相减得1.5(M'-M)=3,解得M-Mo= 2,D正确.] 9.0,2 10.311.(1)y=2500×0.8x(2)7.2 12.解：(1)设f(x)=a.x十b(a≠0)，由已知条件得 +b2,解得a=b=1,所以f代)=1十1x∈R. 2a+b=3, (2)因为g(x)=-1+1gf(x)=-1+lg(x+1)2在区 间[0,9]上为增函数，且g(0)=-1<0,g(9)=-1+lg10 =1>0, 所以函数g(x)在区间[0,9]上零，点的个数为1个. 13.解：(1)当a=1时，f(x)=4x-1, 则f(x)<0不恒成立： 当a≠1时，Hx∈R,f(x)<0恒成立， 则a-1<0, {4=16+4a-1)<0,解得a<-3. 综上可得，若Hx∈R,f(x)<0恒成立，则实数a的取值 范围是（一∞，一3）. (2)若a=1,由fx)=4x-1=0,得x=子∈(-1，D, 符合题意； 若a≠1，当△=16十4(a一1)=0，即a=一3时，f(x)= -42+4r-1,零点为2∈(-1,1D,符合题意： 当△=16+4(a-1)>0,即a>-3且a≠1时，f(1)· f(-1)=(a-1+4-1)(a-1-4-1)<0,解得-2<a <6,∴.-2<a<1或1<a<6. 又令f1)=a-1十4-1=0，得a=-2,此时方程-3.x2 十4：一1=0的另一根为1=子∈（一1,1），特合题意： 令f(-1)=a-1-4-1=0,得a=6,此时方程5x2+4x -1=0的另一根为x=∈(-1,1D,符合题意： 综上，若函数f(x)在区间（一1,1）内恰有一个零点，则实 数a的取值范围是「一2,6]U{一3}. 14.解析：(1)由已知可得v=500ln200 =500(ln2+ln100)=500[ln2+2(ln2+ln5)] =500(3ln2+21n5)≈2650(m/s). (2)设在材料更新和技术改进前总质比为x, 且=6lnx=501nx,=100ln分，