第一部分 假期必刷9 函数的应用(一)-【快乐假期】2025-2026学年高一数学寒假作业必刷题

三0022 假期必刷8幂函数 技能提升台技能提升 1.A[暴函数的通式为y=x“(a为常数)，则y=x3,y= √匠，y=工均符合幂函教的定义，而y=e不符合幂函数 的定义.] 2.C[因为f(x)为幂函数，所以m2+m一1=1，即m2+m -2=(m十2)·(m-1)=0,解得m=-2或m=1,则 f(x)=x2或f(x)=x.又因为f(x)的图象与坐标轴没 有公共点，所以f)=2,则2)=2=子】 3.C[由暴函数y=x的图象关于y轴对称知，函数y=x“ 是偶函数，排除B,D选项；再根据幂函数y=x“的图象在 第一象限内从左到右下降，可得a<0,排除A选项.故C 选项正确. 4.A[暴函数y=x“的图象过定点(1,1)，.f(x)=x 十b的图象过定点(1,1十b),结合已知条件可知1十b=0, 则b=一1.] 5.B[①f(x)=x1只满足值域是{y|y∈R,且y≠0}： ③f(x)=x3只满足在(-∞，0)上单调递增；④f(x)=x 只满足在（一∞，0）上单调递增：②f(x)=x2是偶函数， 在（一∞，0）上单调递增，但其值域是{yy>0.门 6.D[当a<0时，f(x)=x“(x>0)的图象不过原点且在 第一象限，f(x)单调递减，g(x)=4(x>0)的图象在第 四象限且g(x)单调递增，如选项C所示，当a=0时， f(x)=1且x>0,g(x)=0(x>0),没有符合要求的图 象，当a>0时，g(x)=兰>0)的图象在第-象限且g) 单调境减.当0<a<1时，f(x)=xa(x≥0)的图象过原 点，在第一象限且f(x)单调递增，且增长得越来越慢，没 有符合要求的图象；当a≥1时，f(x)=x“(x≥0)的图象 过原，点，在第一象限且f(x)单调递增，如A,B所示.] 7.BD[暴函数f(x)=x”,n∈{-2，-1,1,3}的图象关于 y轴对称，则n=-2,则fx)=之f(-x)=f(),且 f(x)在(0，十∞)上单调递减，于是有f(-2)=f(2)<f(1) =f(-1),则A错误，B正确，C错误；若|a>b>0,则 f(a)<f(b),即f(a)<f(b)成立.故D正确.] 8BD[对于A,比如y=二，图象不过点(0,0)，故A错误： 对于B,设幂函数为y=x“,幂函数的图象经过点 (日2）则2=（合）”解得a=弓，所以y=,故B 正确：对于C,比如y=√：，其定义域不关于原点对称，不 具有奇偶性，故C错误；对于D,任何幂函数的图象都不 经过第四象限，故D正确.] 9.解析：因为y=x在[0，十o∞)上是增函数，且2.3<2.4， 所以2.3产<2.4」 答案：< 10.解析：由题意可得m2一m-1=1,解得m=2或m=一1. 若m=2,则y=x1在(0，十∞)上单调递减，不符合题 意：若m=一1，则y=x2在[0，十∞)上单调递增，符合 题意. 综上所述，m=一1. 答案：-1 6 高一数学型 11.解析：暴函数f(.x)=(m2+4m十4).xm+2在(0，十oo)上单调 递减，剥m十十1=1解得m=一3. {m+2<0, 不等式(2a-1)m<(a+3)-m化为(2a-1)3< (a十3)3，显然函数y=x3在R上单调递增， 因此2a-1<a十3，解得a<4, 所以a的取值范围是（一o,4). 答案：(-o∞，4) 12.解：因为y=x音为(0，十o∞)上的减函数，且√2<√5，所 以(2)>(3) 13.解：设f(x)=x,g(x)=x月. 点（√瓦，2）是幂函数f(x)图象上的点， ∴.2=(2)“， a=2,f(x)=x2 “点(-2，)是器孟教g)国 f(x)=x2 象上的点， =(-2月=-2，g0 g(x)=x-2 =x一2.在同一平面直角坐标系 10 中作出两函数的图象，如图所示，则 ①若f(x)>g(x),则x>1或x<-1: ②若f(x)=g(x),则x=1或x=-1; ③若f(x)<g(x),则-1<x<0或0<x<1. 14.解：(1)由函数f(x)是幂函数， 得m2+m-1=1, 解得m=-2或m=1. 又因为f(x)在(0，十∞)上单调递减， 所以m=-2. (2)由(1)知，f(x)=x2(x≠0)， y个f=x2 则f(x)的大致图象如图所示. (3)由(2)知，f(x)的图象关于y 轴对称，且在(0，+∞)上单调 递减， 则由f(2a-1)>f(a), 得2a-1<a, 即(2a-1)2<a2,可得(a-1)(3a-1)<0, 解得号<al.又a≠号且a≠0， 所以a的取维范国哭（合）U(合) 高考冲浪 B[当x-1=1,即x=2时，y=1,其图象恒过定点(2,1).] 假期必刷9函数的应用（一） 技能提升台技能提升 1.C[由已知投入广告费用为3万元，药品利润为27万 元，代入y=x“中，得3“=27，解得《=3，故函数解析式为 y=x3,所以当x=5时，y=125.] 2.A[前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增 长，只有A,C图象符合要求，而后3年年产量保持不变， 可知图象斜率不变，呈直线性变化.门 3.D[由题意，得2.x十y=20,所以y=20-2x,因为y>0, 所以20一2x>0,所以x<10.又因为三角形两边之和大 于第三边，所以2x>, (y=20-2.x, 解得x>5,所以5<x<10.] 飞密快乐假期 4.C[根据题意，设每天从报社买进x(250≤x≤400，x∈ N)份报纸，每月所获利润为y元，具体情况如表. 数量/份 单价/元金额/元 买进 30x 2 60x 卖出20.x+10×250 60x+7500 退回10(x-250)0.8 8.x-2000 .y=[(60x+7500)+(8.x-2000)]-60.x =8.x+5500(250≤x≤400，x∈N). :y=8.x+5500在[250,400]上单调递增， ∴.当x=400时，y取得最大值8700. 即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大， 最大利润为8700元.] 5.C[令y=60,若4x=60,则x=15>10,不满足题意：若 2.x十10=60，则x=25,满足题意：若1.5.x=60,则x=40 <100,不满足题意.故该公司拟录用25人.] 6.C[根据二次函数的图象设二次函数为y=a(x-6)2十 11(a≠0)，因为图象过，点(4,7)，所以7=a(4-6)2+11, 解得a=-1,所以y=-(x-6)2+11=-x2+12.x-25 (x∈N*). 所以义=二2+12-25=-【-5+12=-（+)】 x 十12≤-2,2.25+12=2，当且仅当x=25,即x=5时 取等号，所以其营运的年平均利润义最大时，每辆客车营 运5年.] 7.BD[在A中，甲在公园休息的时间是10min,所以只走 了50min,A错误：由题中图象知B正确；甲从家到公园 所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离 相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度 慢，C错误：当0≤x≤30时，设y=k.x(k≠0)，则2=30k,解 1 得k=D正确.] 8.ABD[在药物释放过程中，设y=kx(k≠0)，由题图知， 将点(0.2,1)代入，可得k=5,所以当0≤x≤0.2时，y= 5,A正确：当x>0.2时，将点(0.2,1)代入y=兰，解得 a=0.2,此时y=立B正确：令5=025，解得=0.05h: 即x=3min,D正确； 令=0.25，解得x=0,8h,即48mim,教室内持续有效杀灭 病毒时间为48-3=45(min),C错误.] 9.解析：由已知得，该户每月交费y元与实际用水量xm3 满足的关系式为y=m,0区≤10， 12m.x-10m,x>10. 由y=16m,得x>10,所以2m.x-10m=16m. 解得x=13. 答案：13 10.解析：设矩形垂直于墙的边长为xm,则其邻边长为(200 -4.x)m,故矩形面积S=x(200-4x)=-4(x-25)2+ 2500(0<x<50),所以当x=25时，Smax=2500,即最 大面积是2500m2. 答案：2500 ·6 900-= 5w2 1.解析：由题意，可得1=200087X9 9+3600 又0<v≤100，所以由“对勾函数”的 性质知当0=60时，t取得最小值，n=f(60)=号》 (60+36001=200 60 31 答案：60kmh9 12.解：(1)甲地调运x台电脑到B地，则剩下(6-一x)台电脑 调运到A地，乙地应调运(8一x)台电脑至B地，运往A 地12-(8-x)=(.x十4)台电脑(0≤x≤6，x∈N). 则总运费y=30x+40×(6-x)+50×(8-x)+80× (x十4)=20x+960(x∈N,且0≤x≤6). (2)令y≤1000，即20x十960≤1000，得x≤2. 又0≤x≤6，x∈N, .0x2,x∈N. ∴x=0,1,2,即有3种调运方案。 (3),y=20.x+960是R上的增函数， 又0x6,x∈N, .当x=0时，y有最小值960. .从甲地运6台到A地，从乙地运8台到B地、运4台 到A地，此时运费最低，最低为960元. 13.解：(1)由题意，得R=kr(k是大于0的常数). (2)由r=3cm,R=400cm3/s,得k·3=400, 所以一所以函数解新式为R智 (3)因为R=. 所以当r=5cm时，R=400X5≈3086(cm3/s).所以气 81 体通过管道半径为5cm时，该气体的流量为3086cm3/s. 14解：1)当8≤20时f=935y=影-2%-1， 当3<≤8时，f=17:-16+68), 当且仅当1=8时，f=k(17×8-1g5+68）=935。 解得友=5，所以f=57-15+68)。 (-+)<8 故y 10,8≤≤20. t (2)当8≤t≤20时，y 110单调递减， t 故当1=8时有最大值，为的， 当3≤1<8时y=10-9+)=-80(日-)+ 15,当t=4时有最大值，为15. 综上，当发车时间间隔为4min时，每辆列车的日均车票 收入最大，为15万元. 三0022 高考冲浪 1.B f(r)=-z2+(er-ex)sin x, f(-x)=-(-x)2+(e-x-ez)sin(-z) =-x2+(ez-e x)sin x=f(x) y=f(x)为偶函数，排除A,C: f(）+e-。 =e-e>0, 故排除D,B正确.] 2.C[由题意可知所得利润y=25.x-(3000十20x-0.1x2)= 0.1x2+5x-3000,可见函数在区间(0,220]上是增函数， 当x=220时，利润最大ymax=0.1×2202+5×220 3000=2940(万元).] 假期必刷10 指数与指数函数 技能提升台技能提升 1.D 2.D[①中底数一8<0，所以不是指数函数；②中指数不是 自变量x,所以不是指数函数：③中，只有规定a>0且a ≠1时，才是指数函数：④中3？前的系数是2，而不是1， 所以不是指数函数.门 3.B 4.B[:号<2+1<4921<2+1<2台-1<x+1<2 台-2<x<1,∴.N={x-2<x<1,x∈Z}={-1,0. 又.M={-1,1},∴.MnN={-1}.] 5.A[画数y=的定义战（一0，十o0)关于原点对 2x+1 标且-名是-1 1-2 +1是+11+20 =一f(x),所以该函数是奇函数.] 6.B[由函数y=x是增函数，且1.44<√3，故1.445< (√3)5，即c>a:又函数y=1.2x是增函数，所以1.44 =(1.22)E=1.22>1.25,即a>h.故c>a>b.] 7.BC[由W√一a.x成立可知-a.x3≥0，当a>0时，得x3≤0， 即x≤0.因此√一ax=√一a.x·xZ=√一a.z·√x2= √一az·x=一x√一a.x,同理，当a<0时W/一ax3= x√一ax,故选B,C.] 8.BD[由指数函数的定义得函数y=2-1不是指数函数， A错误；函数y= ) ,设u(x)=-x2十2x -(x-1)2+1,则u(x)在(-o∞，1)上单调递增，在(1，十o∞) 上单调递减，又y= (行)在R上单调道减，因光函数y =() x+2x 的单调递增区间是(1，十∞)，B正确；当0 <a<1时，由am>a",得m<n,C错误：在函数f(x) ax-2-3(a>0,a≠1)中，由x-2=0,得x=2,f(2)=a0 一3=1一3=-2，即函数f(x)的图象必过定点(2，-2)， D正确.] 9.4a10.0<b<a<1<d<c 山.（合1）1，+∞） ·6 高一数 12.解：（专） -.14-x0+1-2-222 2 =-3-1+2-W2-2(2-② 4-2 =-2-√2-(2-√2)=-4. (2)aa÷√a8.√a(a>0) =(a.a音)÷(a号·a4) =a÷a音=l. 1解：①5)=1+22-100 ∴函数f(x)的定义域为{xx∈R,且x≠0. (2)证明：任意设x1,x2∈（-∞，0)且x1<x2. f1)-f(x2)=242,-1 2 2 2(2x2-2x1) (23-1)(2x-1) x1,x2∈（-∞，0)且x1<x2, .2>2x且21<1,222<1. ∴.f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). .函数f(x)在(-o∞，0)上为减函数. 14.(1)证明：设x1,x2是R上任意两个实数，且x2>x1,则 2->0,f(x2)-f(m）=2-1-2-1 20+124+1 2(2x2-2x1) (2x,+1)(22+1)' x2>x1,.22>22,.22-2>0. 又(2x,+1)(2x+1)>0,.f(x2)-f(.x1)>0, ∴f(x)是R上的增函数. (2)解：f(x)=2+12=1-、2 2x+1 2+1 2r+1>1012,脚-220… 11-71 .f(x)的值域为(-1,1). (3)g(x)为偶函数. 由题意知g(x)=f2- x2+1 ·x, 函数g(x)的定义域为(-∞，0)U(0,十∞)， g-)=(-0名=(-)1+2 2-x-1 1-2x 2x+1 21=g(x), =x· 函数g(x)为偶函数. 高考冲浪 1.B[因为y=4.2x在R上递增，且-0.3<0<0.3， 所以0<4.20.3<4.20<4.20.3， 所以0<4.20.3<1<4.20.3，即0<a<1<b, 因为y=log.2.x在(0，十o∞)上递增，且0<0.2<1， 所以10g4.20.2<1og4.21=0,即c<0, 所以b>a>c.] 2.D[由y=1.012在R上递增， 则a=1.0105<b=1.010.6, 由y=x0.5在(0，十o∞)上递增，则a=1.010.5>c=0.60.5. 所以b>a>c.故选D.]=0022 假期必刷9函数的应 《思维整合室 知识梳理 1.常见函数模型 名称 解析式 条件 一次函 y=kx+b k≠0 数模型 反比例函 y=ktb k≠0 数模型 x 般式：y=a.x2十bx十c 二次函 顶点式：y=ax十名P a≠0 数模型 +4ac-b2 Aa 幂函数 a≠0， y=ax"+b 模型 n≠1 2.分段函数模型 一种比较复杂的函数模型，可以用来描述在 不同区间上有不同变化规律的实际问题.或 者将定义域上变化复杂的函数分成几段区 间来研究，在每一段区间上函数有各自的变 化规律，根据函数的具体变化，再分段选择 相应的函数模型。 要点记忆 解决函数应用问题的步骤 利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一 般按以下几个步骤进行： ①审题；②建模；③求模；④还原. 用框图表示为 实际问题 分析、联想、抽象、转化 →建立函数模型 数 决 答 实际问题结论 转译 数学问题结论 2 高一数学 驽马十驾，功在不舍。 用（一） 完成日期： 月 日 《技能提升台 技能提升 1.某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其 广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在 的关系为y=x“(α为常数)，其中x不超过 5万元.已知去年投入广告费用为3万元 时，药品利润为27万元，若今年广告费用投 入5万元，预计今年药品利润为 () A.115万元 B.120万元 C.125万元 D.130万元 2.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3 年年产量的增长速度越来越快，后3年年产 量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产 量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是 B 3.若等腰三角形的周长为20，底边长y是关 于腰长x的函数，则它的解析式为() A.y=20-2x(x≤10) B.y=20-2x(x<10) C.y=20-2x(5≤x≤10) D.y=20-2x(5<x<10) 4.一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是 每份2元，卖出的价格是每份3元，卖不完 的还可以以每份0.8元的价格退回报社.在 一个月（以30天计算）内有20天每天可卖 出400份，其余10天每天只能卖出250份， 且每天从报社买进报纸的份数都相同，要使 推销员每月所获得的利润最大，则应该每天 从报社买进报纸 A.215份 B.350份 C.400份 D.250份 飞燮快乐假明 5.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计 r4z,1≤x<10,x∈N, 算，计算公式为y={2x+10,10≤x<100x∈N,其 1.5x,x≥100，x∈N 中，x代表拟录用人数，y代表面试人数.若 面试人数为60，则该公司拟录用人数为 A.15 B.40 C.25 D.130 6.某汽车运输公司购买 了一批豪华大客车投 入营运，据市场分析每 辆客车营运的总利润 y(单位：十万元)与营 46 运年数x(x∈N)为 二次函数关系（如图所示），则其营运的年平 均利润义最大时，每辆客车营运 A.3年 B.4年 C.5年 D.6年 7.(多选)甲同学 y(km) 家到乙同学家 的途中有一座 公园，甲同学家 0 102030405060 (min) 到公园的距离 与乙同学家到公园的距离都是2km.如图 所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过 的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列 结论正确的是 () A.甲同学从家出发到乙同学家走了60min B.甲从家到公园的时间是30min C.甲从家到公园的速度比从公园到乙同学 家的速度快 D.当0≤x≤30时，y与x的关系式为y= 8.(多选)为预防流感病 毒，某校每天定时对教 室进行喷洒消毒.当教 室内每立方米药物含00.2 量超过0.25mg时能有效杀灭病毒.已知教 2 000-= 室内每立方米空气中的含量y(单位：mg)随 时间x(单位：)的变化情况如图所示.在药 物释放过程中，y与x成正比；药物释放完 毕后，y与x的函数关系式为：y=a(a为常 数)，则下列说法正确的是 () A.当0≤x≤0.2时，y=5x B.当x>0.2时，y=5z 1 C.教室内持续有效杀灭病毒时间为号h D.喷洒药物3min后开始进行有效杀灭 病毒 9.某小区物业管理中心制订了一项节约用水 措施，作出如下规定：如果某户月用水量不 超过10m°，按每立方米m元收费；月用水 量超过10m3,则超出部分按每立方米2m 元收费.已知某户某月交水费16m元，则该 户这个月的实际用水量为 m3. 10.有一批材料可以建成200m Wh 的围墙，如果用此材料在 一边靠墙的地方围成一块 矩形场地，中间用同样的材料隔成面积相等 的三个小矩形，如图所示，则围成矩形的最大 面积为 m(围墙厚度不计)： 11.10辆货车从A站匀速驶往相距2000km 的B站，其时速都是vkm/h,为安全起见， 要求每辆车时速不得超过100km/h,每辆 货车间隔为kkm(k为常数，货车长度忽 略不计).将第一辆货车由A出发到最后 一辆货车到达B站所需时间t表示为v的 函数f(0)=200+9女.若k=品，则当 时，t有最小值，为 12.某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司， 甲地分公司现有电脑6台，乙地分公司有 同一型号的电脑12台.现A地某单位向 该公司购买该型号的电脑10台，B地某单 位向该公司购买该型号的电脑8台.已知 甲地运往A、B两地每台电脑的运费分别 是40元、30元.乙地运往A、B两地每台电 三0022 脑的运费分别是80元、50元.设甲地调运 x台电脑至B地，该公司运往A、B两地的 总运费为y元 (1)求y关于x的函数关系式； (2)若总运费不超过1000元，问有几种调 运方案？ (3)哪种方案总运费最低？并求出最低 运费. 13.在固定压力差（压力差为常数）下，当气体 通过圆形管道时，其流量R与管道半径 的四次方成正比. (1)写出函数解析式； (2)假设气体在半径为3cm的管道中的流 量为400cm3/s,求该气体能过半径为rcm 的管道时，其流量R的函数解析式； (3)已知(2)中的气体通过的管道半径为 5cm,计算该气体的流量（精确到1cm3/s). ·23 高一数学 14.地铁作为城市交通的重要组成部分，以其 准时、高效的优点广受青睐.某城市新修建 了一条地铁线路，经调研测算，每辆列车的 载客量f(单位：人)与发车时间间隔t(单 位：min,且3≤t≤20)有关：当发车时间间 隔达到或超过8min时，列车均为满载状 态，载客量为935人；当发车时间间隔不超 过8mim时，地铁载客量f与17-16+68 成正比，假设每辆列车的日均车票收入y -盖单位：万元： (1)求y关于t的函数表达式. (2)当发车时间间隔为何值时，每辆列车的 日均车票收入最大？并求出该最大值， 高考冲浪 1.(2024·全国甲卷（文），8)函数f(x)=一x2+ (e-ex)sinx在区间[-2.8,2.8]的图象 大致为 路烟 2.(2023·新课标I卷，改编)某产品的总成本 y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是 y=3000+20x-0.1x2(0<x≤220，x∈ N),若每台产品的售价为25万元，则生产 者的最高利润是 () A.2950万元 B.3000万元 C.2940万元 D.2980万元