第一部分 假期必刷5 二次函数与一元二次方程、不等式-【快乐假期】2025-2026学年高一数学寒假作业必刷题

=0022 富一数学型) 假期必刷5二次函数与一元二次方程、不等式 温故而知新，可以为师矣。 完成日期： 月 日 思维整合室 要点记忆 知识梳理 三个“二次”之间的关系 三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式间 次函数主要是将问题转化为一元二次方程和 的关系 一元二次不等式的形式来研究，而讨论一元二 二次函数 元二次不等式 次方程和一元二次不等式又要将其与相应的 元二次 y= ax? ax2+bx+c-0 二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质 △= 方程ax +bx+c 的解集 来解决问题，关系如下： b2-Aac +bx+c (a>0) ax2+bx+c>0(或<0)(a≠0)的解集端点 =0(a>0) 的图象 a>0 a<0 方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点 有两相异 《技能提升台 实数根 技能提升 △>0 X1,2= 1.下列四个不等式： (x1<x2) ①-x2+x+1≥0；②x2-25x+W5>0; ③x2+6x+10>0:④2x2-3.x+4<1. 有两相等 解集为R的是 ( 实数根 A.① B.② C.③ D.④ △=0 0=x1=x2= 2.不等式>0的解集是 () A{>号或<-} △<0 B{-<} 0 c{>} 自测自查 D{<} -b士√-4ac 2a {x|x<x1,或x>x2} 3.若关于x的不等式x2一6x一m≥0对任意 x∈R恒成立，则m的最大值为() {xx1<x<x2} 2a {xlx∈R,x≠ A.9 B.-6 ☑没有实数根R C.-9 D.6 ·11 火堡快乐假期 S00-= 4.对任意a∈[-1,1]，函数f(x)=x2+(a- 10.在R上定义运算☒：x☒y=x(1一y).若不 4)x+4一2a的值恒大于零，则x的取值范 等式(x-a)⑧(x+a)<1对任意的实数x 围是 ) 都成立，则a的取值范围是 A.(1,3) B.(-∞，1)U(3,+∞) 11.在解方程x2十px十q=0时，甲同学看错了 C.(1,2) D.(-∞，1)U(2,+o∞) p,解得方程的根为x1=1,x2=一3；乙同学 5.某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若 看错了q,解得方程的根为x1=4,x2=一2.则 每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服 方程中的p= ,q= 均被租出；若将每套礼服每天的租价在200 12.解不等式：(x2-4x+4)(x2-4x+3)≥0. 元的基础上提高10x元(1≤x≤20，x∈Z), 则被租出的礼服会减少10x套.若要使该礼 服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24 万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租 价应定为 () A.220元 B.240元 C.250元 D.280元 6.已知关于x的不等式x2一(a+1)x+a<0 恰有四个整数解，则实数a的取值范围是 13.解关于x的不等式x2-(a十a2)x+a3>0. A.{a|5<a≤6》 B.{a|-4≤a<-3} C.{a|-4≤a<-3或5<a≤6} D.{a|-4<a≤-3或5≤a<6} 7.(多选)若使不等式x2十(a十2)x+2a≤0成 立的任意一个x都满足不等式x一1≤0，则 常数a可以是 () A.1 B.0 14.已知不等式mx2一2x一m+1<0,是否存 C.-2 D.-1 在实数m对所有的实数x,不等式恒成立？ 若存在，求出m的取值范围；若不存在，请 8.(多选)在R上定义运算： a b c d =ad-bc, 说明理由. 若不等式 x-1a-2 a+l x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a可以是 A.- 2 B.不变 c D号 9.已知关于x的不等式ax2一bx十c>0的解 高考冲浪 集是 2小对于系数a,b,(有下列 1.(2025·天津卷，15)若a,b∈R,Hx∈[-2， 说法： 2],均有(2a十b)x2+bx-a-1≤0恒成立， ①a>0;②b>0:③c>0;④a+b+c>0; 则2a十b的最小值为 ⑤a-b+c>0. 2.(2024·上海卷，3)不等式x2一2x一3<0的 正确的序号是 解集为 ·12·飞堡快乐假明 12.证明：因为a>0,b>0,c>0, 所以+8≥2，后+>，+2≥2 c 所以(+)+（任+）十（后+）≥6， 即a=b=c时，等号成立. 所以+++++b≥6. b 1.解：1>0+>≥4 y=2-(（+)2-4=-2 当且仅当x=4(x>0), 即x=2时取等号，ymx=一2. (20<<71-2a>0. y-21-2m)=×2x1-2a0≤ 子×2)广-× 当且仅当2=1-2，即x=时取学号， 故y=日1-2)的最大值为5 1 14.解：由已知可得xy=72,而篱笆总长为(x十2y)m. 因为x十2y≥2√2xy=24,当且仅当x=2y, 即x=12,y=6时等号成立， 所以菜园的长为12m,宽为6m时，所用篱笆总长度 最小 (2)由已知得x十2y=30, 则（日+号）+2)=5++号> x y 5+·- 当且仅当x=y,即x=10,y=10时等号成立， 所以L+23 所以+号的最小位为高 高考冲浪 1.C[由基本不等式结合特例即可判断. 对于A,当a=b时，a2+b=2ab,故A错误；对于B、D,取 1 1=8= 1 ab' 1+1=2+4=6> 2 三=4√2= 1、1 2,故B、D错 V 误；对于C,由基本不等式可得a十b≥2√ab>√ab,故C正 确.故选：C.] 2.解析：a>0,b>0a+=1∴0<a<1,b>1∴a=1-6 1 b -b1>0, b 6+日=6+名=6-1++2 a 26-()+2=4 当且仅当六一6一1，即6=2a=之时，等号成立 答案：4 5 00M- 假期必刷5二次函数 与一元二次方程、不等式 技能提升台技能提升 1.C2.A3.C4.B 5.C[依题意，每天有(300一10x)套礼服被租出，该礼服租绩 公司每天租赁礼服的收入为(300一10x)·(200+10x) =-100x2+1000x+60000(元). 因为要使该礼服租赁公司每天租赁货礼服的收入超过6,24 万元， 所以-100x2+1000.x+60000>62400, 即x2-10x+24<0,解得4<x<6. 因为1x20且x∈Z,所以x=5, 即该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为250元.] 6.C[不等式x2-(a+1)x+a<0,可化为(x-a)(x-1) <0. 当a=1时，不等式x2-(a十1)x十a<0的解集为空集， 不符合题意： 当a>1时，不等式x2-(a十1)x十a<0的解集为{x1< x<a}, 要使不等式x2-(a十1)x十a<0恰有四个整数解，则5< a6: 当a<1时，不等式x2-(a十l)x+a<0的解集为{xa x<1》, 要使不等式x2一(a十1)x十a<0恰有四个整数解，则一4 ≤a<-3. 综上可得，实数a的取值范围是{a|一4≤a<一3或5<a ≤6}.] 7.ACD 8.ACD 9.③⑤ 10.（-22 13 11.-2-3 12.解：原不等式可化为一2≠0， 或x-2=0,解得x (.x-1)(.x-3)≥0 ≥3或x≤1或x=2. 所以原不等式的解集为{xx≥3或x1或x=2} 13.解：原不等式可化为(x-a)(.x-a2)>0. 当a<0时，a<a2,解集为{xx<a或x>a}； 当a=0时，a2=a,解集为{xx≠0}： 当0<a<1时，a2<a,解集为{xx<a2或x>a}; 当a=1时，a2=a,解集为{xx≠1}： 当a>1时，a<a2,解集为{xx<a或x>a. 综上所述，当a<0,或a>1时， 解集为{xx<a或x>a2}; 当0<a<1时，解集为{xx<a2或x>a}; 当a=0时，解集为{xx≠0}： 当a=1时，解集为{xx≠1}. 14.解：若不等式mx2-2x-m十1<0恒成立， 即函数f(x)=m.x2-2x-m+1的图象全部在x轴 下方. 当m=0时，1-2<0，则z>分，不满足题意： 当m≠0时，函数f(x)=mx2一2x-m十1为二次函数， 需满足开口向下且方程mx2一2x一m十1=0无解， 即∫m0, 1△=4-4m(1-m)<0, 不等式组的解集为空集，即m不存在. 综上可知不存在这样的m. 三0022 高考冲浪 1.解析：取x=-合，得(2a十)-合(2a十b)-1<0,即 2a+b≥-4. 另一方面，取2a十6=-4，一222+万=-是，此时6=- b 1 4,a=0, (2a十b)x2+bx-a-1≤0即-4x2-4x-1≤0，亦即(2.x 十1)2≥0，显然恒成立，符合题意.故2a十b的最小值为 -4. 答案：一4 2.解析：将不等式分解因式得(x一3)(x十1)<0，解得一1< x<3. 答案：(-1,3) 假期必刷6函数的概念及其表示 技能提升台技能提升 1.C2.C 3.C[根据函数的定义选C.] 4.B[设g(x)=a.x2+bx十c(a≠0)，因为g(1)=1, g(-1)=5,且图象过原点， a+b+c=1, /a=3, 所以a-b十c=5,解得b=-2, (c=0, (c=0, 所以g(x)=3x2-2.x.] 5,A[圆壶的结构是底端与上端细、中间粗，所以在注水水 流速度恒定的情况下，开始时水的高度增加的快，中间增 加的慢，最后水的高度增加的速度又变快，由图可知选项 A符合题意.门 6.C[足然f0)=子当≠0时x)=g-司 x2+12 =2(x+1)2-(x2+1)_x2+4.x+11 2 2(x2+1) 2(x2+1)2 x十x 令1=当>0时1=x十>2·=，当且 x 仅当x=1时等号成立， 当0时1=+士≤-2√-0…(（百)=-2 当且仅当x=一1时等号成立， 则长}<0，-2x名=-fx)K分 蜂上所迷)的位城为[一名号]所以，根据高斯病 数的定义，函数y=[f(x)]的值域是{-1,0,1.] 7.ABC[函数y=x2-4x-4的图象如图，f(0)=f(4)= -4,f(2)=一8.因为函数y=x2-4x-4的定义域为 [0,m],值域为[一8，一4]，所以实数m的取值范围 是[2,4].] =2 x2-4x-4 -40 ·5 高一教学 8.AC[因为f(x)= 1-,所以f-)=1+(-)2 1+x2 =f(x), 1-(-x)2 1+) x2+1 =-f(x), 2-1 () x2+1 =-fx),故选A,C] x2-1 9.[2,11] 10.2x-3或-2x+111.21或3 12.解：D由题意得/（号）】 =(2+)=f()》 =f(+1）=f(合)=2x2+1=2. (2)当0<a<2时，由f(a)=2a十1=4， 得a= 当a≥2时，由fa)=a2-1=4,得a=√5或 a=-5(舍去).综上所运a=号或a=6 13.解：(1)设t=√x+1,则x=(t-1)2(t≥1)， 代入原式，有f(t)=(t-1)2+2(t-1) =t2-2t+1+2t-2=t2-1, 所以f(x)=x2-1(x≥1). (2)因为f(x)是一次函数，可设fx)=ax十b(a≠0)， 所以3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17. 即ax十(5a+b)=2x十17，因此应有=2， 15a+b=17, 解得2故fx)的解析式是fx)=2x十7. 1b=7. (3)因为2f(.x)+ ① 所以起x用，得2f()十fx)= ② 由①②解得f(.x)=2.x 1(x≠0)， 即fx)的解析式是f(r)=2x-1(x≠0)。 14.解：(1)因为每件产品售价为5元，则x万件商品销售收 入为5.x万元，依题意得，当0<x<8时， L(x)=5.x (+x-3=-32+4-3, 当≥8时10=5(6r+190-38）3 =35-(+10四) x2+4x-3,0<x<8, 所以L(x)= 5-(+19）≥8 (2)当0<x<8时，y= 言-62+9e9. 因此当x=6时，y取得最大值9； 当≥8时y=35-(+1）35-22…=15. 当且仅当x=10,即x=10时y取得最大值15. x 因为15>9，所以年产量为10万件时，小王在这一商品 的生产销售中所获利润最大，最大利润是15万元，