第一部分 假期必刷4 基本不等式-【快乐假期】2025-2026学年高一数学寒假作业必刷题

三0022 假期必刷4基 《思维整合室 知识梳理 1.基本不等式w历<士兰 (1)基本不等式成立的条件：a>0,b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当 时取 等号 (3)其中 叫做正数a,b的算术平均 数， 叫做正数a,b的几何平均数. 2.两个重要的不等式 (1)a2+b≥ (a,b∈R),当且仅当a=b 时取等号 (2)b≤2 +b2 (a,b∈R),当且仅当a=b时 取等号！ 3.利用基本不等式求最值 (1)已知x,y都是正数，如果积xy等于定值P, 那么当x=y时，和x十y有最小值 (2)已知x,y都是正数，如果和x十y等于定值 S,那么当x=y时，积xy有最大值 自测自查 1.(2)a=b (3)a+b 2 √ab 2.(1)2ab 3.(1)2√/p(2)1S 要点记忆 应用基本不等式的常用技巧 在利用基本不等式求最值时，除注意“一 正、二定、三相等”的条件外，最重要的是构建 “定值”，恰当变形、合理拆分项或配凑项是常 用的解题技巧.除此之外还有以下特殊技巧： (1)常值代替 这种方法常用于“已知ax十by=m(a,b, ,均为正数)，求+号的最小值。”和 x “已知+b=1(a,b,x,y均为正数)，求 x十y的最小值”两类题型， (2)构造不等式 当和与积同时出现在同一个等式中时，可 利用基本不等式构造一个不等式从而求出 和或积的取值范围. 不等式 (3)利用基本不等式求最值的关键是获得定值 条件，解题时应对照已知和欲求的式子运 用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法 创设应用基本不等式的条件， 《技能提升台 技能提升 1.已知实数a,b,则“ab≥0”是“a+b≥2√ab”的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.若0<a<1,0<b<1,且a≠b,则a+b, 2√ab,2ab,a2+b中最大的一个是() A.a2+62 B.2√ab C.2ab D.a+b 3.若a>1,则4知十。的最小值为（） A.4 B.6 C.8 D.无最小值 4.已知0<x<1,则x(3一3x)取得最大值时x 的值为 A青 c是 D. 5.制作一个面积为2m2,形状为直角三角形 的铁支架框，有下列四种长度的铁管供选 择，较经济（够用，又耗材最少）的是() A.6.2mB.6.8m C.7mD.7.2m 6.三国时期赵爽在《勾股方圆图 注》中对勾股定理的证明可用 现代数学表述为如图所示，我 们教材中利用该图证明() A.如果a>b,b>c,那么a>c B.如果a>b>0,那么a>b C.对任意正实数a和b,有a+b2≥2ab,当 且仅当a=b时等号成立 D.如果a>b,c>0那么ac>bc 7.(多选)已知正实数a,b满足3a十2b=1,则 下列结论正确的是 ( ) A三+会的最小值为21 B.a+1)的最大值为是 C.+8的最小值为12 Da2+公的最小值为司 飞密快乐假期 8.(多选)位于山东省中部的泰山，为五岳之 一，素有“五岳之首”“天下第一山”之称.小明 和小刚相约登泰山，若小明上山的速率为℃， 下山（原路返回）的速率为2(v,≠2)，小刚 上山和下山的速率都是”，设上山路程 为工，若两人途中休息时间忽略不计，则 ( A,小明上山和下山所用时间之和为4L v1+2 B.小明上山和下山所用时间之和为 (1+v2） U V C.小明上山和下山所用时间之和比小刚上 山和下山所用时间之和少 D.小刚上山和下山所用时间之和比小明上 山和下山所用时间之和少 9.若ab>0,则+≥2取等号的条件 3a b 是 10.如图，已知等腰三角形中一腰上的中线长 为√6，则该等腰三角形的面积最大值为 √6 B 1山.已知x>0>0,且满足号+￥=1，则xy 的最大值为 ,取得最大值时y的 值为 12.设a,b,c都是正数，试证明不等式：十S+ 告+>6 900-= 13.(1)已知x>0,求y=2-x-4的最大值； (2)已知0<<号，求-合1-2x)的最 大值 14.如图，某人计划用篱笆蜜 围成一个一边靠墙（墙 的长度没有限制)的矩 形菜园.设菜园的长为 xm,宽为ym. x m (1)若菜园面积为72m,则x,y为何值 时，所用篱笆总长度最小？ (2)若使用的篱笆总长度为30m,求1+2 的最小值. 高考冲浪 1.(2025·北京卷，6)已知a>0,b>0,则 A.a2+62>2ab 日+6 C.a+b>√ab 2.(2025·上海卷，8)设a,b>0,a十 =1,则 b+二的最小值为三022 13.证明：(1)由于么-只=-a2_b+a)b-a) a b ab ab a<b<0,.b+a<0,b-a>0,ab>0, :b+a)6-<0,故2<。 ab (2)·11 即b-4<0, ab 而a>b,∴.b-a<0,∴.ab>0. 14.解：甲同学做得不对.因为同向不等式具有可加性，但不 能相减，甲同学对同向不等式求差是错误的. 乙同学做得不对.因为不等式两边同乘以一个正数，不 等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号的方向改 变，在本题中只知道-6<a<8.不明确a值的正负，故 不能将行行<号与-6<a<8两边分别相乘，只有两 边都是正数的同向不等式才能分别相乘， 丙同学做得不对，同向不等式两边可以相加，这种转化 不是等价变形，丙同学将2<a-b<4与-2<a十b<2 两边相加得0a<3,又将一4<b一a<一2与一2a十b <2两边相加得出-3<b<0,又将该式与0<a<3两边 相加得出一3<a十b<3,多次使用了这种转化，导致了 a十b范围的扩大 高考冲浪 [由片≥2台导≥0台当≤0台 1x-1)(x+2)≤0台-2≤x<1.] {x-1≠0 假期必刷4基本不等式 技能提升台技能提升 1.B[因为a+b≥2ab等价于(a-√b)2≥0，所以a≥0， b≥0，所以“ab≥0”是“a十b≥2√ab”的必要不充分条件.] 2.D[,0<a<1,0<b<1,且a≠b,∴.a2+b2>2ab,a+b >2√ab,a>a2,b>b2,∴.a+b>a2+b2.] 3C[若a>1.则a+=4a-1)+, a7+4公 24a-1…高+4=8 当且仅当4a-1)=占中a=子时，等号成这， 所以4a十。马的最小值为8.] 4B[由题可得>0,3-3>0，故r(3-3r)=号×3r(3 -3r号×( =3-3x,即x=2时取等号.] 5.C[设两直角边的长度分别为a,b,a>0,b>0, 则ab=4,铁支架框的周长l=a+b+√a2+b≥2√ab+ √2ab=4十2√2≈6.828，当且仅当a=b=2时取等号.] 6.C[可将直角三角形的两直角边长取作a,b,斜边为c(c2 =a2+b2).则外围的正方形的面积为c2,也就是a2+b2, 四个直角三角形所在的阴影面积之和刚好为2ab.对任意 正实数a和b,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号 成立.门 ·5 富一数学 7.AD[已知3a+26=1>06>0,对于A,2+2=(3a +26(2+）12++兴≥1+2巴·答=24，当 且仅当兰-即=日6=时，等号成，2+ 1 b 的最小值为24，A正确；对于B,3a十2(b+1)=3≥2· √3a·26+,所以a(6+1D≤冬，当且仅当a=26叶1D. 即a=弓b=-时，等号成立，与>0矛盾，B错误：对 于c.4+8_0-3a)2+8-u+9-6≥2/9a·g-6= 12,当且牧当如=吕即a=1,6=-1时，等号成立，与力 >0矛盾.C错误：对于D.a2+2=a2+(22) 3 4 4 13 0号时，等号战立，D正确] 8.BD[对于A,B,小明上山和下山所用时间之和为上十 上_，（十2，故A错误，B正确；对于C,D,小刚上山 U2 U1U2 和下山所用时间之和为2L=4业，因为≠2，所 1十w2v1+2 2 以L(0十22L012 = 2L,4L<4L V1U2 12 √012'v1+v22√012 2L,所以(+>4L,所以小刚上山和下山所 √/w1U2 1U2v1十v2 用时间之和比小明上山和下山所用时间之和少，故C错 误，D正确.] 9解折名+兴2品·音 .3弧=2，当且仅当2=3 3a b 即b=3a时取等号. 答案：b=3a 10.解析：如图所示，作CE⊥AB于E, C DF⊥AB于F,则AE=EB,又因为 D为CB中点，所以EF=FB,设 DF=h,FB=b,故AF=3b,在 △ADF中，由AD2=AF2+DF2可 6 得，（√6）2=962+2≥2√9b2Xh2 6bh,即bh1, 当且仅当9b2=h2时等号成立，此时h=√5，b= 3 所以， S△A=2SAAm=2X号×4bXh=4bh≤4. 答案：4 11解析：因为>0)>0且1=营+￥≥2，侣。 所以xy≤3. 当显仅当专-宁宁即x=受y=2时取等学. 答案：32 飞堡快乐假明 12.证明：因为a>0,b>0,c>0, 所以+8≥2，后+>，+2≥2 c 所以(+)+（任+）十（后+）≥6， 即a=b=c时，等号成立. 所以+++++b≥6. b 1.解：1>0+>≥4 y=2-(（+)2-4=-2 当且仅当x=4(x>0), 即x=2时取等号，ymx=一2. (20<<71-2a>0. y-21-2m)=×2x1-2a0≤ 子×2)广-× 当且仅当2=1-2，即x=时取学号， 故y=日1-2)的最大值为5 1 14.解：由已知可得xy=72,而篱笆总长为(x十2y)m. 因为x十2y≥2√2xy=24,当且仅当x=2y, 即x=12,y=6时等号成立， 所以菜园的长为12m,宽为6m时，所用篱笆总长度 最小 (2)由已知得x十2y=30, 则（日+号）+2)=5++号> x y 5+·- 当且仅当x=y,即x=10,y=10时等号成立， 所以L+23 所以+号的最小位为高 高考冲浪 1.C[由基本不等式结合特例即可判断. 对于A,当a=b时，a2+b=2ab,故A错误；对于B、D,取 1 1=8= 1 ab' 1+1=2+4=6> 2 三=4√2= 1、1 2,故B、D错 V 误；对于C,由基本不等式可得a十b≥2√ab>√ab,故C正 确.故选：C.] 2.解析：a>0,b>0a+=1∴0<a<1,b>1∴a=1-6 1 b -b1>0, b 6+日=6+名=6-1++2 a 26-()+2=4 当且仅当六一6一1，即6=2a=之时，等号成立 答案：4 5 00M- 假期必刷5二次函数 与一元二次方程、不等式 技能提升台技能提升 1.C2.A3.C4.B 5.C[依题意，每天有(300一10x)套礼服被租出，该礼服租绩 公司每天租赁礼服的收入为(300一10x)·(200+10x) =-100x2+1000x+60000(元). 因为要使该礼服租赁公司每天租赁货礼服的收入超过6,24 万元， 所以-100x2+1000.x+60000>62400, 即x2-10x+24<0,解得4<x<6. 因为1x20且x∈Z,所以x=5, 即该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为250元.] 6.C[不等式x2-(a+1)x+a<0,可化为(x-a)(x-1) <0. 当a=1时，不等式x2-(a十1)x十a<0的解集为空集， 不符合题意： 当a>1时，不等式x2-(a十1)x十a<0的解集为{x1< x<a}, 要使不等式x2-(a十1)x十a<0恰有四个整数解，则5< a6: 当a<1时，不等式x2-(a十l)x+a<0的解集为{xa x<1》, 要使不等式x2一(a十1)x十a<0恰有四个整数解，则一4 ≤a<-3. 综上可得，实数a的取值范围是{a|一4≤a<一3或5<a ≤6}.] 7.ACD 8.ACD 9.③⑤ 10.（-22 13 11.-2-3 12.解：原不等式可化为一2≠0， 或x-2=0,解得x (.x-1)(.x-3)≥0 ≥3或x≤1或x=2. 所以原不等式的解集为{xx≥3或x1或x=2} 13.解：原不等式可化为(x-a)(.x-a2)>0. 当a<0时，a<a2,解集为{xx<a或x>a}； 当a=0时，a2=a,解集为{xx≠0}： 当0<a<1时，a2<a,解集为{xx<a2或x>a}; 当a=1时，a2=a,解集为{xx≠1}： 当a>1时，a<a2,解集为{xx<a或x>a. 综上所述，当a<0,或a>1时， 解集为{xx<a或x>a2}; 当0<a<1时，解集为{xx<a2或x>a}; 当a=0时，解集为{xx≠0}： 当a=1时，解集为{xx≠1}. 14.解：若不等式mx2-2x-m十1<0恒成立， 即函数f(x)=m.x2-2x-m+1的图象全部在x轴 下方. 当m=0时，1-2<0，则z>分，不满足题意： 当m≠0时，函数f(x)=mx2一2x-m十1为二次函数， 需满足开口向下且方程mx2一2x一m十1=0无解， 即∫m0, 1△=4-4m(1-m)<0, 不等式组的解集为空集，即m不存在. 综上可知不存在这样的m.