第一部分 假期必刷3 等式性质与不等式性质-【快乐假期】2025-2026学年高一数学寒假作业必刷题

三0022 假期必刷3等式性质与不 《思维整合室 知识梳理 1.两个实数比较大小的方法 fa-b>0台a b, (1)作差法{a-b=0台a b, a-b<0台a b. (2)作商法 g21(a∈R,b>0)=a b(a∈R,b>0), a=1台a b(a,b≠0)， <1(a∈R,b>0)=a b(a∈R,b>0). b 2.不等式的性质 (1)对称性：a>b台b<a: (2)传递性：a>b,b>c→a>c; (3)可加性：a>b台a+c b+c; (4)同向可加性：a>b,c>d→a十c b+d; (5)可乘性：a>b,c>0→ac bc; a>b,c<0→ac<bc; (6)同向可乘性：a>b>0,c>d>0→ac bd; (7)可乘方性：a>b>0→a” b”(n∈ N,n≥1). 自测自查 1.(1)> (2)> 2.(3)> (4)> (5)> <(6) (7)> 要点记忆 1.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、 综合法、分析法、反证法、放缩法 2.有关分式的性质 (1)若a>b>0,m>0,则b<b+m "aa+m 6b-m(b-m>0). a a-m (2)若ab>0,则a>b=1<1 高一数类) 等式性质 学然后知不足，教然后知困。 完成日期： 月 日 《技能提升台 技能提升 1.将一根长5m的绳子截成两段，已知其中一 段的长度为xm,若两段绳子长度之差不小 于1m,则x所满足的不等式关系为( A./2-5≥1 B. 5-2.x≥1 10<x<5 0<x<5 C.2x-5≥1或5-2x≥1 D./2x-51≥1 0<x<5 2.不等式a2+b≥2|ab成立时，实数a,b一 定是 A.正数 B.非负数 C.实数 D.不存在 3.已知a<b<0,则下列式子恒成立的是 ) A.1< B.1>1 ab C.a<62 D.<1 4.已知-1<a<0,则-a,-a3,a2的大小关 系是 () A.a2>-a3>-a B.-a>a2>-a3 C.-a3>-a>a D.a2>-a>-a3 5.已知<a<-3b,则号 的取值范围为 ( A{o<<3 B{lo≤<3 c{8l川> {会l<<3 6.体育课是体育教学的基本组织形式，主要使 学生掌握体育与保健基础知识、基本技术、 技能，实现学生的思想品德教育，提高其运 动技术水平.新学期开学之际，某校计划用 不超过1500元的资金购买单价分别为120 元的篮球和140元的足球.已知该校至少要 飞密快乐假期 购买8个篮球，且至少购买2个足球，则不 同的选购方式有 () A.6种 B.7种 C.8种 D.5种 7.(多选)下面列出的几种不等关系中，正确 的是 () A.x与2的和是非负数，可表示为“x十2>0” B.小明的体重为x,小华的体重为y,则小 明比小华轻可表示为“x>y” C.△ABC的两边之和大于第三边，记三边 分别为a,b,c,则可表示为“a+b>c且 a+c>b且b+c>a” D.若某天的最低温度为7℃，最高温度为 13℃，则这天的温度t可表示为“7℃≤t ≤13℃” 8.(多选)下列不等式中不成立的是() A.若a>b>0,则ac2>bc B.若a>b>0,则a2>b C.若a<b<0,则a2<ab<b D.若a<K0.则>方 9.已知a为实数，则(a十3)(a-5) (a十2)(a-4).(填“>”“<”或“=”) 10.不等式a>6和日>同时成立的条件是 11.若一1<a<B<1,则a一B的取值范围 是 12.已知0<a<b且a+b=1,试比较： (1)a2+b与b的大小： (2)2ab与2的大小 00M-= 13.(1a<<0,求证：台<号： (2)已知a>b, <方，求证：ab>0. 11 14.下面是甲、乙、丙三位同学做的三个题目， 请你看看他们做得对吗？如果不对，请指 出错误的原因， 甲：因为-6<a<8,-4<b<2, 所以-2<a-b<6. 乙：因为2<<3，所以}<1<1」 3b21 又因为-6<a<8,所以-2<号<4. 丙：因为2<a-b<4, 所以-4<b-a<-2. 又因为-2<a十b<2, 所以0<a<3,-3<b<0, 所以-3<a+b<3. 高考冲浪 (2025·全国二卷，4)不等式二>2的解 集是 () A.{x|-2≤x≤1》 B.{xx≤-2} C.{x|-2≤x<1} D.xlx>1)飞壁快乐假期 10.解析：根据特称命题为假命题，可知“1x∈R,x器 -m十 1≥0”为真命题，由此分离参数，即可求得答案 由题意知命题“臼x∈R,x器一m+十1<0”为假命题， 则命题“Vx∈R,x器一m十1≥0”为真命题，即Vr∈R, x器+1≥m, 由于Vx∈R,x器=V202≥0，x=0时取等号，故Hx ∈R,x器+1≥1， 所以m1,即m的取值范围为（一o,1]. 答案：（一0,1] 11.0≤a≤2 12.解：(1)存在量词命题.x=2时，x一2=0成立.所以命题 是真命题 (2)全称量词命题.邻边不相等的矩形的对角线不垂直，所 以，全称量词命题“矩形的对角线垂直平分”是假命题. (3)全称量词命题.三角形中，两边之和大于第三边，所以， 全称量词命题“三角形的两边之和大于第三边”是真命题. (4)存在量词命题.3是素数也是奇数，所以，存在量词命 题“有些素数是奇数”是真命题. 13.解：由x2-x一2>0，解得x>2,或x-1, 令A={xx>2或x<-1}, 由4+p0,得B={红K-}: 当BCA时，即-≤-1，即p≥4， 此时<-≤-1p2-1-2>0, .当p≥4时，4x十p<0是x2-x-2>0的充分条件. 14.解：由命题p为假命题，可知p:Hx∈R,a.x2+2x-1 ≠0为真命题， 当a=0时，Hx∈R,2x一1≠0，显然不成立： 当a≠0时，只需△=4+4a<0→a<-1. 所以A={aa<-1}. 选①：“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件， 则B手A, 当B=时，3m≥m十2→m≥1，满足要求： 当B≠时，3mCm+2:解得m≤-3. 1m+2≤-1， 所以实数m的取值范围是{mm≤-3或m≥1}. 选②：“x∈B”是“x∈CRA”的充分条件，则B二CRA,而 CRA={aa≥-1}， 当B=☑时，3m≥m十2→m≥1，满足要求： 当B≠②时{m0十解得-了≤m<1. (3m≥-1， 所以实数m的取值范国是{mm≥-号} 选③：B∩(CRA)=☑， 当B=☑时，3m≥m十2→m≥1，满足要求； 当B≠时，{3mm+2:解得m≤-3. 1m+2≤-1， 所以实数m的取值范围是{mm≤一3或m≥1}. 高考冲浪 1.A[本题考查了命题的充要条件，由x=0→sin2x=sin0 =0,由sin2x=0>2x=kmd=经，k∈Z不一定为x=0 .∴.sin2x=0px=0 .x=0是sin2x=0的充分不必要条件.] 2.B[由x=0不成立知p假，x=1时成立知q真，所以 选B.] 3.C[根据立方的性质和指数函数的性质，a3=b3→a=b →3a=3的，3a=30→a=b→a3=b3,所以二者互为充要 条件.] ·5 0M= 假期必刷3等式性质与不等式性质 技能提升台技能提升 1.D[由题意可知，另一段绳子的长度为(5-x)m,因为两 段绳子的长度之差不小于1m,所以 x-（5x)川≥1即2x-5≥1 0x5, 10<x<5. 2.C[原不等式可变形为a2+b2-2abl=|a2+|b2-2ab =(a-|b)2≥0，对任意实数都成立.] 3.B[因为a<b<0,不妨令a=-3,b=-2,则-3 1 可#除A:(-32>(-2,可排除C号=号>1 1 可棉路D:>脚B正确] 4.B[,-1<a0,.1+a>0,0<-a<1, .∴.-a-a2=-a(1+a)>0,a2-(-a3) =a2(1+a)>0,.-a>a2>-a3.] 5.B[因为a<-3动，所以b<0,则有方<0， 1 所以-3b·云<a:方<b·飞 6即-3<号<1， 所以0≤ a <3.] 6.D[设购买的篮球个数为x,足球个数为y,且y∈N*, 1x≥8， 根据题意可得{y≥2， (120x+140y1500, 解得符合题意的有序实数对(x,y)可以是(8,2)，(8,3)， (9,2),(9,3),(10,2),共5种不同的选购方式.] 7.CD[对于A,x与2的和是非负数，应表示为“x十2≥ 0”,故A错误；对于B,小明比小华轻，应表示为“x<y”, 故B错误；C、D正确.门 8.AC[对于A,若a>b>0,当c=0时，ac2=bc2,故A满 足题意：对于B,若a>b>0,则a2-b2=(a+b)(a一b)> 0,即a2>b2,故B不满足题意对于C,若a<b<0,则a2 >ab,ab>b2,即a2>ab>b2,故C满足题意；对于D,若a <0,则-大=>0，即>行，故D不满足 a b ab 题意.] 9.解析：因为(a十3)(a-5)-(a十2)(a-4) =(a2-2a-15)-(a2-2a-8)=-7<0, 所以(a+3)(a-5)(a+2)(a-4). 答案：< 0,解析：若a,b同号，则a>b子<，所以a>0且b<0 a 答案：a>0>b 11.解析：由-1<a<1,-1<3<1,得-1<-<1， 所以-2<a-32,又a<B,故-2<a-B<0, 即α一3的取值范围是（一2,0）. 答案：(-2,0) 12.解：(1)因为0<a<b且a十b=1, 所以0<a<2<b, 则a2+b2-b=a2+b(b-1)=a2一ab =a(a-b)<0, 所以a2+b2<b. (2图为2a-言-2a1-a）专 =-2a2+2a-=-2(a2-a+） =-2(a-2)<0 所以2abC2 6 三022 13.证明：(1)由于么-只=-a2_b+a)b-a) a b ab ab a<b<0,.b+a<0,b-a>0,ab>0, :b+a)6-<0,故2<。 ab (2)·11 即b-4<0, ab 而a>b,∴.b-a<0,∴.ab>0. 14.解：甲同学做得不对.因为同向不等式具有可加性，但不 能相减，甲同学对同向不等式求差是错误的. 乙同学做得不对.因为不等式两边同乘以一个正数，不 等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号的方向改 变，在本题中只知道-6<a<8.不明确a值的正负，故 不能将行行<号与-6<a<8两边分别相乘，只有两 边都是正数的同向不等式才能分别相乘， 丙同学做得不对，同向不等式两边可以相加，这种转化 不是等价变形，丙同学将2<a-b<4与-2<a十b<2 两边相加得0a<3,又将一4<b一a<一2与一2a十b <2两边相加得出-3<b<0,又将该式与0<a<3两边 相加得出一3<a十b<3,多次使用了这种转化，导致了 a十b范围的扩大 高考冲浪 [由片≥2台导≥0台当≤0台 1x-1)(x+2)≤0台-2≤x<1.] {x-1≠0 假期必刷4基本不等式 技能提升台技能提升 1.B[因为a+b≥2ab等价于(a-√b)2≥0，所以a≥0， b≥0，所以“ab≥0”是“a十b≥2√ab”的必要不充分条件.] 2.D[,0<a<1,0<b<1,且a≠b,∴.a2+b2>2ab,a+b >2√ab,a>a2,b>b2,∴.a+b>a2+b2.] 3C[若a>1.则a+=4a-1)+, a7+4公 24a-1…高+4=8 当且仅当4a-1)=占中a=子时，等号成这， 所以4a十。马的最小值为8.] 4B[由题可得>0,3-3>0，故r(3-3r)=号×3r(3 -3r号×( =3-3x,即x=2时取等号.] 5.C[设两直角边的长度分别为a,b,a>0,b>0, 则ab=4,铁支架框的周长l=a+b+√a2+b≥2√ab+ √2ab=4十2√2≈6.828，当且仅当a=b=2时取等号.] 6.C[可将直角三角形的两直角边长取作a,b,斜边为c(c2 =a2+b2).则外围的正方形的面积为c2,也就是a2+b2, 四个直角三角形所在的阴影面积之和刚好为2ab.对任意 正实数a和b,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号 成立.门 ·5 富一数学 7.AD[已知3a+26=1>06>0,对于A,2+2=(3a +26(2+）12++兴≥1+2巴·答=24，当 且仅当兰-即=日6=时，等号成，2+ 1 b 的最小值为24，A正确；对于B,3a十2(b+1)=3≥2· √3a·26+,所以a(6+1D≤冬，当且仅当a=26叶1D. 即a=弓b=-时，等号成立，与>0矛盾，B错误：对 于c.4+8_0-3a)2+8-u+9-6≥2/9a·g-6= 12,当且牧当如=吕即a=1,6=-1时，等号成立，与力 >0矛盾.C错误：对于D.a2+2=a2+(22) 3 4 4 13 0号时，等号战立，D正确] 8.BD[对于A,B,小明上山和下山所用时间之和为上十 上_，（十2，故A错误，B正确；对于C,D,小刚上山 U2 U1U2 和下山所用时间之和为2L=4业，因为≠2，所 1十w2v1+2 2 以L(0十22L012 = 2L,4L<4L V1U2 12 √012'v1+v22√012 2L,所以(+>4L,所以小刚上山和下山所 √/w1U2 1U2v1十v2 用时间之和比小明上山和下山所用时间之和少，故C错 误，D正确.] 9解折名+兴2品·音 .3弧=2，当且仅当2=3 3a b 即b=3a时取等号. 答案：b=3a 10.解析：如图所示，作CE⊥AB于E, C DF⊥AB于F,则AE=EB,又因为 D为CB中点，所以EF=FB,设 DF=h,FB=b,故AF=3b,在 △ADF中，由AD2=AF2+DF2可 6 得，（√6）2=962+2≥2√9b2Xh2 6bh,即bh1, 当且仅当9b2=h2时等号成立，此时h=√5，b= 3 所以， S△A=2SAAm=2X号×4bXh=4bh≤4. 答案：4 11解析：因为>0)>0且1=营+￥≥2，侣。 所以xy≤3. 当显仅当专-宁宁即x=受y=2时取等学. 答案：32