数列解答题中档题专练-2026届高三数学二轮复习

数列 一、倒序相加求和 1. 已知函数，数列满足. (1)求证：为定值，并求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【知识点】倒序相加法求和、裂项相消法求和 【分析】（1）计算为定值2，用倒序相加法求得通项公式； （2）由（1）得到，裂项相消求和得，进而结合单调性证明不等式即可. 【详解】（1）由题意得 ， 则， 得到， 两式相加得，即. （2）由题意得， 则， 而，而，可得当时，， 令，因为反比例函数在上单调递减， 所以在上单调递增，即在上单调递增，故得证. 2. 定义在上的函数． (1)求． (2)是否存在常数，对任意的，有？ 【答案】(1) (2)不存在 【知识点】数列求和的其他方法、倒序相加法求和 【分析】（1）由题意得，结合倒序相加法即可求解； （2）通过放缩说明当趋向于无穷大时，也趋向于无穷大即可求解. 【详解】（1）由于，即， 所以，解得． （2）不存在． ， 说明，当趋向于无穷大时，也趋向于无穷大， 所以不存在常数，使得． 3. 已知函数，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】裂项相消法求和、倒序相加法求和、由正弦函数的奇偶性求函数值 【分析】（1）应用倒序相加结合正弦函数的奇偶性计算求解得出通项公式； （2）应用裂项相消计算即可证明. 【详解】（1）因为， 所以． 当时，， 所以， 所以，即当时，． 又当时，，所以数列的通项公式为． （2）， 所以． 所以． 4. 已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 【答案】(1)1； (2). 【知识点】倒序相加法求和、等比数列下标和性质及应用、求函数值 【分析】（1）直接代入化简即可； （2）由（1），结合等比数列性质，即可求解. 【详解】（1）因为函数， 所以 （2）因数列是正项等比数列，且，则， 所以， 同理， 令， 又， 则有，故， 所以. 5. 已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 【答案】(1) (2)1012 【知识点】倒序相加法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由题意得，再利用可求出， （2）先求得，，然后利用倒序相加法可求得结果. 【详解】（1）因为点均在函数的图象上， 所以， 当时，，即， 当时， ， 因为满足上式， 所以； （2）因为， 所以， 因为，所以， 所以 ①， 又 ②， ①+②，得， 所以. 二、错位相减求和 6. 已知数列的前项和，且. (1)证明：数列为等差数列； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据数列前项和与通项公式的关系，通过作差法证明数列为等差数列即可. （2）根据等差数列定义，写出数列通项公式，进而求出数列通项公式，再根据错位相减法，以及等比数列前项和公式，求出结果即可. 【详解】（1）由题意可知，当时，，因为，解得， 当时，，化简得， 因为，所以，则，即， 可知数列是以1为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）可知，，则， 则， 则， 可得， 解得. 7. 已知等差数列的通项公式，数列满足． (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)已知数列求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、错位相减法求和 【分析】（1）结合已知得，，再根据等比数列的定义与通项公式求解即可； （2）由题知，再根据错位相减法求解即可. 【详解】（1）因为数列满足，即 所以， 又，，故,， 所以，， 所以数列是等比数列，首项为，公比为， 所以，即， 所以的通项公式为. （2）因为等差数列的通项公式， 可得， 所以  ①，   ②， 得： ， 所以. 8. 已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且. (1)求数列、的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2) 【知识点】写出等比数列的通项公式、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）当时，当时，结合，求得，再由，利用等比数列的通项公式，即可求解； （2）由（1）得到，利用乘公比错位相减法，即可求出数列的前项和. 【详解】（1）因为，所以当时，， 当时，， 当时，，符合上式，所以， 又因为，数列是公比为3的等比数列，所以， 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为. （2）由（1）知，，可得， 则， ， 两式相减，可得 ， 所以. 9. 已知正项数列满足，且． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、错位相减法求和 【分析】（1）利用递推式结合已知条件求出公比，再利用求出，从而求出的通项公式； （2）先求出数列的通项公式，列出和，再利用错位相减法结合等比数列前项和公式求． 【详解】（1）因为数列为正项数列，所以，故， 又， 所以，故是公比为的等比数列， 又因为，， 所以，解得， 所以． （2），①， ②， 式①减去②得， ． 10. 已知的前项和为，且. (1)当为何值时，数列为等比数列，并求此时数列的通项公式； (2)当时，设，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【知识点】写出等比数列的通项公式、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）分别代入计算得，再根据等比中项求出，最后再即可； （2）利用错位相减法即可. 【详解】（1）（1）因为的前项和， 所以， 所以， 若是等比数列，则，求得， 当时，， 又当时，， 则当时，也适合此通项公式.即， 由于对都成立，所以此时数列为等比数列， 所以当时，数列为等比数列，此时数列的通项公式为. （2）（2）当时，， 则， ， 所以， 故. 三、裂项相消求和 11. 已知等差数列的前项和为，公差不为，，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、等比数列的定义、裂项相消法求和 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得，即可求得数列的通项公式； （2）由（1）得到，结合裂项法求和，即可求解. 【详解】（1）解：设等差数列的公差为， 由，可得，即， 又由成等比数列，可得，所以， 整理得，联立方程组，解得， 所以， 所以数列的通项公式为. （2）解：由（1）知，可得， 所以． 12. 已知为公差不为零的等差数列，其中，，成等比数列，. (1)求数列通项公式； (2)记，设的前项和为，求最小的正整数，使得. 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用、裂项相消法求和 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算，结合等比中项的概念列式求和，可得数列的通项公式. （2）利用裂项求和法求，再解不等式可得的取值范围，可得的最小值. 【详解】（1）设数列首项为，公差为， 因为，，成等比数列，所以， 又，所以. 又， 所以. 所以. （2）因为， 所以， 由. 所以的最小值为1013. 13. 设正项数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和，求证： 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）应用关系及已知递推关系得，结合等差数列的定义写出通项公式； （2）由（1）及裂项相消法求，即可证. 【详解】（1）当时，由，得，，得， 又，，且，作差得， 所以，，则且， 故数列是公差为1的等差数列，故数列的通项公式为； （2） ∴. 又，所以. 14. 在数列中，. (1)求的通项公式； (2)若，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】由递推关系式求通项公式、裂项相消法求和 【分析】（1）利用题干条件构造恒等式，从而得出通项公式，注意检验时是否满足通项公式. （2）由（1）得出，再将进行奇偶讨论，先算出项数为偶数时的和，再计算项数为奇数的和，可以简化运算. 【详解】（1）因为， 所以当时，，即， 所以当时，， 所以， 在中，令时，，解得. 对于，，当时，， 符合上式，所以通项公式为. （2）由（1）得， 当为偶数时， ； 当为奇数时， 所以. 15. 已知数列的通项公式为. 数列满足，. (1)求数列的前n项和. (2)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式. (3)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2)证明见解析， (3) 【知识点】由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、裂项相消法求和、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据给定条件，利用裂项相消法求和即得. （2）利用构造法，结合等比数列定义推理得证，进而求出通项公式. （3）利用分组求和法，结合等差数列、等比数列前n项和计算得解. 【详解】（1）由，得， 所以. （2）依题意，，由，得，得， 而，则， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，，即. （3）由（2）知， 所以. 四、分组、并项求和 16. 已知数列的各项均为正数，前项和为，且． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用的关系，可得是等差数列，利用等差数列通项公式可得答案； （2）先根据求出的通项公式，利用并项求和可得答案. 【详解】（1）因为，当时，可得； 因为当时，有， 所以，整理得， 所以是首项为4，公差为4的等差数列． 所以， 因为数列的各项均为正数，所以. （2）由（1）知，当时，． 当时，成立，所以． 所以， 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 综上，． 17. 已知是等差数列，是等比数列，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)求数列前项和的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3)75. 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和的最值、等比数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据得到的通项公式，进而可得的通项公式； （2）由（1）中的通项公式可得的通项公式，分组求和； （3）根据等差数列的求和公式可得的表达式，根据二次函数的性质可得的最大值. 【详解】（1）因为， 所以等比数列的公比为，所以. 所以， 所以等差数列的公差为， 所以. （2）由（1）知， 所以 . （3）由等差数列的前项和公式知 ， 由二次函数的性质知，当时，取得最大值75. 18. 已知数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，为数列的前项和，求. 【答案】(1) (2) 【知识点】求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，即可求解； （2）利用（1）中结果得，再分组利用等差数列、等比数列的前项和公式，即可求解 【详解】（1）因为①，当时，②， 由①②得到， 又时，，不满足， 所以 （2）由（1）知， 所以 . 19. 已知数列满足：，． (1)求，并判断是否恒成立； (2)设，证明：是等差数列； (3)数列的前项和为，求． 【答案】(1)，不恒成立 (2)证明见解析 (3) 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推关系证明数列是等差数列、求等差数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）利用数列递推式求出数列的前5项，即可判断结论； （2）将数列递推式分和，展开相加，推得，进而得到，利用等差数列的定义证明即可； （3）由数列递推式可得，结合，将的展开式按照各项的下标的奇偶分成两类，再并项求和，利用等差数列的求和公式即可求得. 【详解】（1）因为，所以，，；       又，，故不恒成立． （2）当，，；      当，，；    两式相加，可得，故， 由，可得是等差数列． （3）当时，，又，      所以，则在偶数项的和中，每对，均满足此条件．   又由（2）可得 ，      则                    20. 已知等差数列的前n项和为，是公比大于1的等比数列， (1)求和的通项公式； (2)设求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2) 【知识点】分组（并项）法求和、等比数列通项公式的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，根据题意建立方程组，求解即可； （2）利用分组求和法结合等差数列和等比数列的求和公式求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，且． 依题意得，得，故， 又，消去可得，则（舍）或． 则，故． （2）因为，所以， 则. 五、数列其他求和方法 21. 已知数列的前n项和为，且（）.数列是公比为2的等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)证明：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【知识点】求等比数列前n项和、错位相减法求和、数列求和的其他方法、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据与的关系求解； （2）利用错位相减法求解； （3）利用放缩求和证明. 【详解】（1）当时，； 当时，； 又， 所以 （2）因为，，所以. 所以. 所以①， 所以②， 所以①②得 ， 所以 （3）因为，所以， 又当时，，即，所以， 所以， 所以 ，得证. 22. 在公差不为0的等差数列中，，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)设，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析. 【知识点】数列求和的其他方法、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）用基本量表示已知可求，进而求通项公式； （2）证明是递增数列可证；放缩求和可证. 【详解】（1）设等差数列公差为，则， 由题可得，解得， 所以. （2）由（1），， 所以， 所以是递增数列. 所以，且， 所以. 23. 记为数列的前项和，已知，，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，若对任意，，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】数列不等式恒成立问题、利用an与sn关系求通项或项、数列求和的其他方法、分组（并项）法求和 【分析】（1）首先求出，再利用数列通项公式与前项和的关系得到递推关系，因为，可求得数列为等差数列，由此可写出数列的通项公式； （2）先写出数列的通项公式，再求出数列的前项和为，解法一是分部求和，解法二是分组求和，解法三直接从问题入手，构造新数列，求其最小值，则不大于其最小值，此即为恒成立，由此可得实数的取值范围. 【详解】（1）时，，解得或，因为，所以， 时，，得， 因为，所以，又， 故数列是首项为3，公差为2的等差数列， 所以数列的通项公式为； （2）解法一：由，所以， 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 所以， 因为对任意的，成立， 所以，当为奇数时，即，所以， 不等号的右边可看作关于的二次函数，对称轴为， 因为为奇数，所以时，，则 当为偶数时，，所以， 同理可得，因为为偶数，所以时，，则， 综上，. 解法二：由， 当为偶数时， . 当为奇数时， ， 所以（下同解法一） 解法三：因为对任意的，成立， 则，即求的最小值，令， 当为奇数时， 则，所以最小值一定在为奇数时取到， 当为奇数时， ， 当时，，当时，， 所以当为奇数时，， 则的最小值为， 所以. 24. 已知数列的前项和为，其中，；数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； 【答案】(1) (2) 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、数列求和的其他方法 【分析】（1）根据求解即可； （2）根据，求出的通项公式，根据通项公式研究数列各项正负情况，进而得到的前项和. 【详解】（1）， 时，有， 时有， ， ， 又，也符合上式， 故数列是首项为1，公比为2的等比数列， . （2）， 时，， 时有， ，又，也符合上式， 所以， 当时，当时， 当时，， 当时，. 故. 25. 已知数列的首项为，且满足. (1)证明：数列为等差数列； (2)设数列的前n项和为，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】数列求和的其他方法、求等差数列前n项和、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】（1）将递推数列变形，结合等差数列的定义，即可证明； （2）由（1）的结果可知，再分别讨论为奇、偶的两种情况的前项和. 【详解】（1）因为，， 若，则，与矛盾， 所以，所以， 所以，因为，所以， 所以数列是以首项为2，公差为4的等差数列. （2）由（1）知， 数列的前项和为， 所以， 设数列的前n项和为， 当n为偶数时，， 因为， 所以， 当为奇数时，为偶数. ， 所以 六、数列与不等式 26. 已知各项均为正数的数列的前n项和为，，且． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求使得成立的正整数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）先利用递推式求得，然后利用与的关系，结合等差数列通项公式求解即可； （2）先利用裂项相消法求得，解不等式可得取值范围． 【详解】（1）由，且，可得，即， 当时，由，可得， 两式相减可得，因为，可得， 即该数列的奇数项构成以为首项公差为2的等差数列，偶数项构成以为首项公差为2的等差数列， 即有， 可得； （2）， 可得数列的前项和． 则，即， 当时，成立；当时，成立；当时，成立， 当时，， 综上所述，使得成立的正整数的取值范围是. 27. 已知数列满足的前项和为. (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式. (2)记的前项和为. （i）求； （ii）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析， (2)（i）；（ii）. 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、错位相减法求和、数列不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）应用等比数列定义证明等比数列，根据通项公式计算求解； （2）（i）应用错位相减法计算求解；（ii）设新数列，再根据单调性得出最小值分奇偶计算求参. 【详解】（1）由，可得， 则，又，所以为等比数列， 故，则，得. （2）（i）由（1）可得， 因为， 则， 得， 化简得， （ii）原不等式化简可得， 记， 则. 记，知是关于的增函数， 其中. 故时，，又，所以. 原不等式成立，则存在，使得. 则当为奇数时，此时， 故，即，此时无解，不等式恒不成立； 当为偶数时，即， 解得或， 故的取值范围为. 28. 已知数列满足，. (1)证明：数列是常数列，并求数列的通项公式； (2)设，为的前项和. （i）求； （ii）若，恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1)证明见解析， (2)（i）；（ii） 【知识点】由递推关系式求通项公式、错位相减法求和、数学归纳法证明数列问题、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）将两边同时除以，令，利用数学归纳法证明，从而可得结果； （2）（i）由错位相减法计算可得结果；（ii）化简可得，令，计算可得，分析为奇数和为偶数时的单调性可知当时，有最小值，求出从而得到的最大值. 【详解】（1）由题意知， 令，则， 由，可得， 所以对任意，，即， 所以数列是常数列， 所以. （2）（i），则， ， 所以， 所以. （ii）由题意知，即. 令，则， 当为奇数时，，所以单调递减， 当为偶数时，，所以单调递增. 所以当时，有最小值，且， 所以的最大值为. 29. 已知数列的前项和为，，. (1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)设，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析， (2) (3) 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）根据等差数列的定义证明是等差数列，从而得，进而可求解； （2）根据错位相减法求和即可； （3）确定数列的单调性得最值，即可得，解一元二次不等式即可得实数的取值范围. 【详解】（1）由得，又， 所以数列是以为首项，公差为1的等差数列 ∴，即    ∴当时，， 又不满足上式，所以； （2）设的前n项和为， 所以， 所以， 两式相减得： ， 所以， 故数列的前n项和为； （3）由（1）知， 则 ∴， ∴当时，； 当时，，即      所以的最大值为， 依题意，即，解得或， 所以实数的取值范围是：. 30. 已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项. (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数，设求数列的前项和. (3)若对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】数列不等式恒成立问题、错位相减法求和、等比数列通项公式的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）利用及求出，再结合，是和的等比中项可求出； （2）利用错位相减法即可求出； （3）由题可得对于恒成立，令，当时，，当时，单调递减，从而可得. 【详解】（1）由，，解得，           所以；则，           由是和的等比中项，则，解得，      又由，所以，所以. （2）由（1）可得，                  则①， ②，               将两式相减得：， 解得； （3）若，对于恒成立， 即，对于恒成立，         化简得对于恒成立，令， 则，当时，； 所以当时， ， 所以当时，单调递减，当时，， 所以，所以， 故实数的取值范围为． 七、数列新定义 31. 已知数列满足：对任意的，都有（为常数），则称数列为“友好数列”，特别地，当时，数列为“极好数列”. (1)若数列的通项公式分别为，求证：数列为“友好数列”； (2)若数列为“极好数列”，，求数列的通项公式； (3)已知正整数列为“友好数列”，数列为等比数列，且，求证：数列为等差数列. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、等比数列的定义、错位相减法求和、数列新定义 【分析】（1）根据“友好数列”以及错位相减求和法证得数列为“友好数列”. （2）利用退一作差法，结合等比数列的定义求得. （3）根据“友好数列”以及等差数列的定义证得数列为等差数列. 【详解】（1）因为数列的通项公式分别为， 所以. 设， 则， 两式相减，可得 ， 所以. 又， 所以对任意，都有， 所以为“友好数列”. （2）因为，所以，，， 且， 所以，① 当时，，② ①-②得，即. 当时，①可化为，即 所以成立，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以. （3）因为数列为“友好数列”， 所以对任意的，都有. 设等比数列的公比为，则. 当时，可得，即. 由得或. 当时，. 当时，，则. 当时，，则. 这与矛盾，所以不符合题意. 当时，， 进而时，恒有，① 所以时，恒有，② ①-②可得. 故数列为等差数列. 32. 已知数列的首项，前项和为，若对任意的正整数，均有成立，其中和是实数，则称此数列为“”数列. (1)若等差数列是“”数列，求的值； (2)若正项数列是“”数列，求数列的通项公式； (3)对于给定的，是否存在三个不同的数列为“”数列，且？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【知识点】数列新定义、利用an与sn关系求通项或项、写出等比数列的通项公式、由递推关系式求通项公式 【分析】（1）根据可直接得到结果； （2）根据“”数列定义可推导得到，由等比数列通项公式可求得，根据与关系可求得； （3）令，可推导得到，分别讨论和的情况，构造关于的表达式后结合双勾函数即可求得结果. 【详解】（1）等差数列是“”数列，， ，存在，. （2）正项数列是“”数列，， ，，即， 又，数列是以为首项，为公比的等比数列，， 当时，， 当时，不满足， . （3）由“”数列定义知：，又，， 令，则，故，且，且， ，； 若，则恒成立，则， 若，则 ， 因为存在三个不同的数列为“”数列， 故有解，故有解且解不为1， 由双勾函数的单调性可得， ，即实数的取值范围为. 33. 已知数列的前项和为，若数列满足，则称数列是“方特数列”. (1)证明：数列是“方特数列”； (2)若数列是“方特数列”，求的取值范围； (3)证明：当时，数列是“方特数列”. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求等比数列前n项和、错位相减法求和、数列新定义 【分析】（1）求出利用“方特数列”的定义即可证明； （2）分类讨论当和时，数列的前项和为，“方特数列”的定义列出不等式即可求解； （3）当时，由（1）知满足条件，当且时，利用错位相减法求出数列的前项和为，利用“方特数列”的定义结合导数即可证明. 【详解】（1）当时，， ， ∴数列满足，即数列是“方特数列”. （2）当时，， ，满足条件； 当时，， ∵数列是“方特数列”， ∴，. ∴，∴且， 综上所述，当数列是“方特数列”时，的取值范围为. （3）当时，由（1）知满足条件， 当且时，， ， ∴， ∴， ， 设，∴， 当时，单调递增；当时，单调递减，∴， ∴， 综上所述，当时，数列是“方特数列”. 34. 定义: 对于任意 ，满足条件 且 ( 是与 无关的常数) 的无穷数列 称为数列. (1)若 ，证明:数列 是 数列； (2)设数列的通项为 ，且数列是数列，求常数的取值范围； (3)设数列 ，问数列 是否是数列？请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)数列是数列，理由见解析 【知识点】数列新定义、确定数列中的最大（小）项、判断数列的增减性 【分析】（1）根据题中的新定义代入即可证出. （2）作差得出数列的单调性，代入通项解不等式组，使即可求解. （3）作差求出恒成立，又得，再根据题中新定义即可求解. 【详解】（1）解：（1）由得， 所以数列满足． 单调递减， 所以当时，取得最大值0，即． 所以，数列是T数列． （2）由， 得， 当，即时，，此时数列单调递增； 而当时，，此时数列单调递减； 因此数列中的最大项是， 所以的取值范围是． （3）假设数列是数列，依题意有： ， 因为，所以当且仅当小于的最小值时， 对任意恒成立， 即可得． 又当时，，，故， 综上所述：当且时，数列是数列． 35. 定义:对于任意，满足条件且(是与无关的常数)的无穷数列称为数列. (1)若，试举反例说明数列不是数列； (2)若，证明:数列是数列； (3)设数列的通项为，且数列是数列，求常数的取值范围. 【答案】(1)说明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】根据数列的单调性求参数、数列新定义、确定数列中的最大（小）项、判断数列的增减性 【分析】（1）根据函数的性质，结合新定义的条件，即可判断； （2）首先计算，再结合二次函数的最值，即可说明； （3）首先判断数列的单调性，再求数列的最值，即可求解的取值范围. 【详解】（1）数列，当时，，所以不存在使，所以数列不是数列； （2）由，得 所以数列满足. 又，当或5时，取得最大值，即. 综上，数列是数列. （3）因为， 所以当即时，，此时数列单调递增 当时，，此时数列单调递减；故数列的最大项是， 所以，的取值范围是 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数列 一、倒序相加求和 1. 已知函数，数列满足. (1)求证：为定值，并求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：． 2. 定义在上的函数． (1)求． (2)是否存在常数，对任意的，有？ 3. 已知函数，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求证：． 4. 已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 5. 已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 二、错位相减求和 6. 已知数列的前项和，且. (1)证明：数列为等差数列； (2)设，求数列的前n项和. 7. 已知等差数列的通项公式，数列满足． (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)已知数列求数列的前项和． 8. 已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且. (1)求数列、的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 9. 已知正项数列满足，且． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 10. 已知的前项和为，且. (1)当为何值时，数列为等比数列，并求此时数列的通项公式； (2)当时，设，求数列的前项和. 三、裂项相消求和 11. 已知等差数列的前项和为，公差不为，，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 12. 已知为公差不为零的等差数列，其中，，成等比数列，. (1)求数列通项公式； (2)记，设的前项和为，求最小的正整数，使得. 13. 设正项数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和，求证： 14. 在数列中，. (1)求的通项公式； (2)若，求的前项和. 15. 已知数列的通项公式为. 数列满足，. (1)求数列的前n项和. (2)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式. (3)求数列的前n项和. 四、分组、并项求和 16. 已知数列的各项均为正数，前项和为，且． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 17. 已知是等差数列，是等比数列，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)求数列前项和的最大值． 18. 已知数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，为数列的前项和，求. 19. 已知数列满足：，． (1)求，并判断是否恒成立； (2)设，证明：是等差数列； (3)数列的前项和为，求． 20. 已知等差数列的前n项和为，是公比大于1的等比数列， (1)求和的通项公式； (2)设求数列的前n项和. 五、数列其他求和方法 21. 已知数列的前n项和为，且（）.数列是公比为2的等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)证明：. 22. 在公差不为0的等差数列中，，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)设，证明：． 23. 记为数列的前项和，已知，，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，若对任意，，求实数的取值范围. 24. 已知数列的前项和为，其中，；数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； 25. 已知数列的首项为，且满足. (1)证明：数列为等差数列； (2)设数列的前n项和为，求数列的前项和. 六、数列与不等式 26. 已知各项均为正数的数列的前n项和为，，且． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求使得成立的正整数的取值范围． 27. 已知数列满足的前项和为. (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式. (2)记的前项和为. （i）求； （ii）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 28. 已知数列满足，. (1)证明：数列是常数列，并求数列的通项公式； (2)设，为的前项和. （i）求； （ii）若，恒成立，求实数的最大值. 29. 已知数列的前项和为，，. (1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)设，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 30. 已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项. (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数，设求数列的前项和. (3)若对于恒成立，求实数的取值范围. 七、数列新定义 31. 已知数列满足：对任意的，都有（为常数），则称数列为“友好数列”，特别地，当时，数列为“极好数列”. (1)若数列的通项公式分别为，求证：数列为“友好数列”； (2)若数列为“极好数列”，，求数列的通项公式； (3)已知正整数列为“友好数列”，数列为等比数列，且，求证：数列为等差数列. 32. 已知数列的首项，前项和为，若对任意的正整数，均有成立，其中和是实数，则称此数列为“”数列. (1)若等差数列是“”数列，求的值； (2)若正项数列是“”数列，求数列的通项公式； (3)对于给定的，是否存在三个不同的数列为“”数列，且？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 33. 已知数列的前项和为，若数列满足，则称数列是“方特数列”. (1)证明：数列是“方特数列”； (2)若数列是“方特数列”，求的取值范围； (3)证明：当时，数列是“方特数列”. 34. 定义: 对于任意 ，满足条件 且 ( 是与 无关的常数) 的无穷数列 称为数列. (1)若 ，证明:数列 是 数列； (2)设数列的通项为 ，且数列是数列，求常数的取值范围； (3)设数列 ，问数列 是否是数列？请说明理由. 35. 定义:对于任意，满足条件且(是与无关的常数)的无穷数列称为数列. (1)若，试举反例说明数列不是数列； (2)若，证明:数列是数列； (3)设数列的通项为，且数列是数列，求常数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $