圆锥曲线解答题中档题专练-2026届高三数学二轮复习

圆锥曲线 一、弦长、面积最值 1. 已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若一条直线与椭圆恰有一个公共点，则定义该直线为椭圆的切线，这个公共点称为切点．以椭圆（，且）上为切点的切线方程是（，且）． （ⅰ）过椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为，．若点在定直线上运动，求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，设为坐标原点，求面积的最大值． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）证明见解析，；（ⅱ）2. 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的直线过定点问题 【分析】（1）根据给定条件，列出方程组求出即可. （2）（ⅰ）设出点的坐标，写出切线方程，进而求出直线方程即可推理得证；（ⅱ）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理列出三角形面积的函数关系，再利用基本不等式求出最大值. 【详解】（1）由椭圆的离心率为，得，则， 由椭圆过点，得，解得， 所以椭圆的标准方程是. （2）（ⅰ）由点在直线上，设，切点， 依题意，切线，切线， 由切线都过点，得，点都在直线上， 因此直线的方程为，所以直线恒过定点. （ⅱ）由消去并整理得：， 则，，的面积 ，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为. 2. 已知动点到定点的距离和它到定直线距离的比是常数． (1)求动点的轨迹； (2)已知不过原点的直线与曲线交于、两点，若直线，直线，直线的斜率成等比数列． ①求直线的斜率； ②记以为直径的圆的面积分别为，试探究是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由． 【答案】(1)曲线的方程为：，曲线的轨迹是焦点在轴上的椭圆. (2)①；②是，． 【知识点】求平面轨迹方程、轨迹问题——椭圆、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中的定值问题 【分析】（1）根据条件列方程，化简可得曲线的轨迹方程，再根据方程描述其轨迹. （2）①设直线方程为，把直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，表示出，，再表示出，，利用表示，化简即可. ②用，表示出，将化简即可. 【详解】（1）由题意： . 所以曲线的方程为：． 所以曲线的轨迹是焦点在轴上的椭圆. （2）①设直线方程为，，，， 如图： 由得， ， 所以，. 因为，，且成等比数列，， ， 又，所以，解得． ②， ， 为定值． 3. 已知动圆与直线相切且与圆外切. (1)求圆心的轨迹的方程; (2)若过定点的两条相互垂直的直线交曲线于A，C，B，D四点，求四边形面积的最小值. 【答案】(1)； (2)32. 【知识点】求抛物线的轨迹方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】（1）根据给定条件，利用圆的切线性质及两圆外切的性质列式，再化简即得轨迹方程. （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立求出弦长及四边形面积，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）定圆的圆心为，半径，直线与圆相离，且在圆左侧， 设圆心Q的坐标为，动圆Q的半径为R，由动圆Q与直线相切，得， 由两圆外切，得，即，化简得， 所以圆心Q的轨迹的方程为. （2）显然直线不垂直于轴，设直线的斜率为，则直线的斜率为， 直线的方程为，由消去得：， 设，则， ，同理得， 四边形ABCD的面积为 ，当且仅当，即时取等号， 所以四边形面积的最小值为32.    4. 已知动点与两个顶点，的距离之比为，动点的轨迹为曲线. (1)求的轨迹方程； (2)已知，过直线上的动点（）分别作圆的两条切线，（，为切点），与交于点. （i）证明直线的方程为，并判断直线是否过定点； （ii）是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点坐标和面积最大值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析，过定点；（ii）存在，，最大值为1 【知识点】直线过定点问题、轨迹问题——圆、过圆外一点的圆的切线方程、求平面轨迹方程 【分析】（1）设，由两点间距离公式将几何关系转为代数运算并化简即可求解； （2）（i）先设，利用圆的切线性质（圆心与切点的连线垂直于切线），推导出切线PQ、PR的方程，再将动点P的坐标代入切线方程，得到Q、R满足的直线方程，从而确定直线QR的方程，最后判断其过定点； （ii） 先根据切线相关性质（结合几何关系或向量垂直等）确定N的位置特征，再得出N在以OB为直径的圆上运动，结合的底固定，通过分析高的最大值情况，利用直线斜率关系求出p的值，进而确定点P坐标和面积最大值. 【详解】（1）设，由题， 整理得，即； （2）（i）设，，易知为曲线C的圆心， 由与圆相切，可得直线的法向量为，    因此的方程为， 整理得，由在圆上得， 因此的方程为， 同理可得的方程为， 由两切线交于点，可得，这说明，在直线上， 因此直线的方程为，直线过定点； （ii）由，是圆的切线可得，因此为的中点， 由可得，在以为直径的圆上运动，该圆的圆心为，， 当位于点时，的面积最大，为， 此时，故，即， 因此存在使得面积最大，最大值为1. 5. 已知椭圆的离心率为，且过点，其左、右顶点分别为，为椭圆上异于的两点． (1)求椭圆的方程． (2)设直线的斜率分别为，且直线过定点． ①设和的面积分别为，求的最大值； ②证明为定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析， 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题、椭圆中的定值问题 【分析】（1）根据椭圆的几何性质，利用待定系数法即可求出椭圆的方程； （2）①设直线的方程为：并与椭圆C联立方程组，解得，分别表示面积，可得，再用换元法，令，构造新函数并利用函数的单调性以及基本不等式即可求解. ②由①知可得表达式，根据韦达定理，代入化简即可求证. 【详解】（1）依题意知：，解得， 所以椭圆C的方程为： （2）①依题意由（1）知，直线的斜率不为0． 设其方程为：，并与椭圆C联立方程组： ，得， 则， ，同理：， 所以． 令，则， 所以， 因为，则， 所以，结合函数单调性定义知，在时单调递增． 所以，则. 所以的最大值是. ②证明：由①知. 所以 . 、 二、定值问题 6. 椭圆的离心率为，左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，四边形是边长为的菱形． (1)求椭圆C的方程； (2)已知A是椭圆C在第一象限上的点，B与A关于原点对称，为椭圆C的右焦点，连接与，并延长交椭圆C于D，E两点，若直线AB的斜率为，直线DE的斜率为，试探究是否为定值．若是，则求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，． 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据离心率和菱形的边长，建立关于的方程组，求解即得椭圆方程； （2）设，求出，写出直线的方程并与椭圆方程联立，消去后得到韦达定理，从而用表示出点的坐标，写出的算式并化简即可求出的定值. 【详解】（1）由可得 又由题意，， 联立两式，解得 所以椭圆C的方程为． （2） 设，则，，， 则，． 则直线与椭圆方程联立， 消去可得：， 即． 显然,， 所以，． 所以，同理可得． 所以． 所以． 7. 已知双曲线：的焦距为，且左右顶点分别为,，过点的直线与双曲线的右支交于,两点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为1，求弦长； (3)记直线,的斜率分别为,,证明：是定值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、求双曲线中的弦长、双曲线中的定值问题 【分析】（1）根据双曲线的焦距和虚半轴长求出实半轴长，即得其标准方程； （2）设直线MN的方程为，与双曲线方程联立，利用弦长公式求解； （3）设直线方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理得到，再由化简计算即得. 【详解】（1）因为双曲线：的焦距为， 所以，解得， 由题意得，则， 所以双曲线的方程为； （2）依题意，可设直线MN的方程为， 由，消去y得， 由韦达定理得， 所以； （3）如图所示，设直线的方程为，， 由，消去x得， 则，且， 则，可得， 又，则，. 8. 设，两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为.设点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)过原点的直线与交于，两点（与不重合），证明：直线与直线的斜率之积为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2)证明见解析，定值为 【知识点】轨迹问题——椭圆、椭圆中的定值问题 【分析】（1）依题意求出与的斜率，写出并化简曲线的轨迹方程即可； （2）分直线的斜率不存在和存在两种情况，分别写出直线与直线的斜率，化简并计算斜率之积即得结论. 【详解】（1）设，则，， 由题意有， 化简得点的轨迹的方程为：； （2）当直线的斜率不存在时，交点为的上､下顶点，不妨设， 则； 当直线的斜率存在时，设，与的方程联立､化简得， 不妨设， 则， 综上所述，直线与直线的斜率之积为定值.    9. 已知以为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点，设直线、的斜率分别是和． (1)求抛物线的标准方程及其准线方程． (2)求证：为定值． (3)求证：直线过定点，并求出该定点． 【答案】(1)标准方程为，准线方程为； (2)证明见解析； (3)证明见解析，. 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、抛物线中的直线过定点问题、抛物线中的定值问题 【分析】（1）根据焦点坐标求解即可； （2）设切线的方程为，将其与抛物线方程联立，利用韦达定理求解即可； （3）直线的方程为，将其与抛物线方程联立，利用得到且，代入计算即可得证． 【详解】（1）由题意知抛物线的标准方程为（）且， ∴，抛物线的标准方程为，准线方程为； （2）设点P的坐标为，， 由题意，过点与抛物线相切的直线的斜率存在且不为0， 设切线的斜率为，则切线的方程为， 联立方程组，消去，得， ∴得（*）， 又、为方程（*）的两根，由韦达定理得为定值； （3）由题知，直线的斜率不为， 设直线的方程为，，， 联立，整理得，， ∴，， ∵， ∴， 整理得， 代入有， ∴， ∴且， ∴，故直线过定点． 10. 已知椭圆：的离心率为，，分别为的左、右焦点，，分别为的左、右顶点，椭圆的右顶点到右焦点的距离为1，为坐标原点.椭圆上一点在第一象限，点与点关于原点对称，连接，并延长与椭圆交于点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定值问题 【分析】（1）根据椭圆离心率公式，结合椭圆顶点和焦点的坐标公式进行求解即可； （2）根据直线斜率公式，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以，，所以， 所以椭圆的标准方程为.    （2）证明：由椭圆的方程得，， 设，，则， 由题意得直线斜率不为零，设直线的方程为， 联立得， 显然，，， 所以 ， 所以为定值3. 三、定点问题 11. 已知椭圆上任意一点到它的两个焦点的距离之和为4，且椭圆的离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)A,B是椭圆上关于x轴对称的两点，设,连接DB交椭圆于另一点E，证明直线AE 恒过x轴上的定点P. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的直线过定点问题 【分析】（1）由已知可求得，进而可求得椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，设点，求得直线的方程，令，结合根与系数的关系计算可求得定点. 【详解】（1）因为椭圆上任意一点到它的两个焦点的距离之和为4， 所以，解得，又因为椭圆的离心率为，所以，解得， 故，则椭圆的标准方程为； （2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为， 由，得，① 设点，则，直线的方程为， 令得， 将代入整理得，② 由①得， 代入②整理得， 所以直线与轴相交于定点． 12. 已知椭圆的上顶点为，四个顶点组成的四边形面积为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的动直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为点，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标 【答案】(1)椭圆的方程为； (2)直线恒过定点，该定点为点. 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的直线过定点问题 【分析】（1）由题意列出关于的方程组求出即可得解； （2）先由题意设直线的方程为，联立椭圆方程求出韦达定理，接着利用点D写出直线AD的方程为，令，求出x为定值即可得解. 【详解】（1）由题得， 所以椭圆的方程为； （2）证明：由题可得直线的斜率存在，设， 联立， 则， 设，则，， 则直线AD斜率为， 所以直线AD的方程为， 令，则 ， 所以直线恒过定点，该定点为点. 13. 已知椭圆，点P为C的上顶点． (1)求椭圆C的离心率； (2)求椭圆上动点T到点P的距离的最大值； (3)设与两坐标轴均不垂直的直线l与椭圆C交于异于P的两点A和B，设直线PA、PB的斜率分别为、．当时，判断直线l是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)过定点， 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆中的最值问题、椭圆中的直线过定点问题 【分析】（1）根据方程确定的值，再求离心率的值. （2）利用两点间的距离公式，结合椭圆的范围和二次函数在给定区间上值域的求法求最大值. （3）设直线，与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示出，，根据列式，化简可得的关系，再确定直线是否过定点. 【详解】（1）由题，，． 所以离心率． （2）由题可知，设， 则，． 由于， 所以当时，PT取到最大值为． （3）如图：    设，，． 因为直线l与椭圆C交于异于P的两点和，所以. 所以，故，则， ， 即． 故，所以或（因为，故舍去）． 当，，过定点. 因此直线过定点． 14. 如图，已知直线与抛物线交于两点，且.    (1)求证：直线恒过定点，并求此定点； (2)若交于点，点的坐标为，请你求出的值； (3)在第（2）问的基础上，若是抛物线上的任一点，为抛物线的焦点，求的最小值及此时点的坐标. 【答案】(1)证明见解析，定点为； (2) (3)的最小值为，此时点的坐标为 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的直线过定点问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据题意设直线方程为，进而与抛物线方程联立，再根据得即可判断定点； （2）根据得直线方程为，再结合（1）得； （3）根据（2）得抛物线，再根据抛物线的定义求解即可. 【详解】（1）解：由题知直线斜率不为，且不过原点， 故设直线方程为， 联立方程得，， 所以，， 所以 因为，所以，解得， 所以直线方程为，即直线恒过定点 （2）解：因为交于点，点的坐标为， 所以，直线方程，即 因为直线方程为， 所以，即. （3）解：由（2）知，故抛物线，焦点为，准线方程为， 如图，过点作，垂足为，由抛物线的定义得， 所以， 当且仅当三点共线时等号成立，此时，代入抛物线方程得， 所以的最小值为，此时点的坐标为    15. 在平面直角坐标系xOy中，，曲线上有两点A，B，当时，. (1)求曲线E方程； (2)若点A在曲线E的右支上，点B在曲线E的左支上，点A，B，F三点不共线，且，试判断直线AB是否恒过一个定点，若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)过定点， 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的直线过定点问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据条件，结合几何关系确定点的坐标，代入双曲线方程，即可求解； （2）首先设直线，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示，即可求解. 【详解】（1）由得，又， 所以，故点在曲线E上，所以，解得， 故的方程为. （2）判断：直线AB恒过一个定点； 由图形关系可知点A，B在x轴异侧， 故由可得直线AF，BF的斜率互为相反数 设，    联立，可得 所以 而直线AF，BF的斜率之和为 即 =， 而，故， 所以直线AB过定点. 四、相切问题 16. 已知椭圆的方程为，短轴长为2，右焦点为． (1)求椭圆的方程； (2)设是椭圆上的两点，，且直线AB与曲线相切，求直线AB的方程． 【答案】(1) (2)或 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的弦长、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据条件求，即可求椭圆方程； （2）首先设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示弦长，再结合直线与圆相切，列式求解. 【详解】（1）由题意知， 所以， 又，所以， 故椭圆的方程为. （2）由题意可知，直线的斜率不为0， 设直线的方程为. 此时圆心到的距离， 即， 联立得， ， 即， 因为，所以， 因为曲线为右半圆，则， 所以直线的方程为或.    17. 已知点的坐标分别为，点是抛物线上的一个动点． (1)求证：以点为圆心，为半径的圆与直线的相切； (2)设直线与抛物线的另一个交点为点，连接，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）的坐标为，求得即点到直线的距离即可证明； （2）分别过点作直线的垂线，垂足分别为，通过证明即可证明. 【详解】（1）设点的坐标为，则； 又因为点到直线的距离为， 所以，以点为圆心，为半径的圆与直线的相切． （2）如图，分别过点作直线的垂线，垂足分别为． 由（1）知，，同理可得，． 因为都垂直于直线，所以，， 于是，所以，因此， 于是，从而. 18. 已知双曲线. (1)若双曲线的离心率为，求的值； (2)若直线与圆相切，证明：直线与双曲线的左右两支各有一个公共点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】讨论双曲线与直线的位置关系、由双曲线的离心率求参数的取值范围、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】（1）根据双曲线的离心率公式可得出关于的等式，解之即可； （2）由直线与圆相切可得出，再将直线方程与双曲线方程联立，结合韦达定理可证得结论成立. 【详解】（1）由题意可得，因为，解得. （2）因为直线与圆相切，所以，可得， 联立得，即， 则，所以方程有两个不等的实根， 设这两个实根分别为、，则， 因此，直线与双曲线的左右两支各有一个公共点. 19. 如图所示，已知抛物线的焦点为，直线过点. (1)若直线与抛物线相切于点，求线段的长度； (2)若直线与抛物线相交于，两点，且，直线与抛物线交于另一点，连接，记中点为，直线交于点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、利用焦半径公式解决直线与抛物线交点问题、求抛物线的切线方程 【分析】（1）利用直线与抛物线相切得到参数值，进而得到点坐标，再利用抛物线的定义求解长度即可. （2）联立方程组结合韦达定理得到，结合给定向量关系建立方程，求出点的坐标，再结合重心的性质求解三角形面积即可. 【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为， 设直线的方程为， 联立方程组，得到， 因为直线PQ与抛物线相切，所以，解得， 此时，代入抛物线中得， 由抛物线定义得． （2）由题意得直线的方程为， 如图，设，，连接， 联立方程组，得到，由，则． 因为，且，， 所以，解得， 当时，，，所以直线， 联立方程，得到，则， 因为，所以为的中点，又为的中点，直线交于点， 所以点为的重心，所以 ， 同理当时，，综上可得． 20. 已知点为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线交直线于点，设点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若过点的直线与曲线相切，且与直线分别交于点. （i）证明：点为线段的中点； （ii）求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线的轨迹方程 【分析】（1）由双曲线的定义求解即可； （2）（i）设，分类讨论，当直线的斜率存在时，设过点且与相切的直线的方程为，与双曲线的方程联立，求得，的坐标证明即可； （ii）由（i）知，求得，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】（1） 为的垂直平分线上一点，则. . 点的轨迹为以为焦点的双曲线，且 故点的轨迹方程为. （2） （i）设， 双曲线的渐近线方程为①，② 当直线的斜率存在时，设过点且与相切的直线的方程为， 与双曲线联立 由，且，故可得. 由； . . 点为线段的中点. 当直线的斜率不存在时，直线的方程是，根据双曲线的对称性可知， 此时直线即是双曲线的切线，同时满足点为线段的中点. 综上，点为线段的中点. （ii）由（i）知，. . 当且仅当，即时取等号. 又， 的取值范围为. 五、四点共圆问题 21. 已知圆经过椭圆的右焦点及右顶点. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，求线段的中点的轨迹方程； (3)过点作与轴平行的直线与交于点，直线与轴交于点，证明：点共圆. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【知识点】根据韦达定理求参数、求直线与椭圆的交点坐标、轨迹问题——椭圆、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）根据给定条件，求出点的坐标，进而求出即得的方程. （2）直线的方程与椭圆方程联立，借助韦达定理求出点即可求出轨迹方程. （3）利用弦长公式求出，再借助相似三角形及圆内四边形的判定推理得证. 【详解】（1）在圆中，令，解得或，则， 因此椭圆的半焦距，长半轴长，短半轴长， 所以椭圆的方程为. （2）点，当直线与轴不重合时，设直线方程为， 由消去得：， 设，则，， 联立得，即， 当直线与轴重合时，点满足方程， 所以线段的中点的轨迹方程是. （3）由，得，不妨令， 直线斜率，则， ， 因此，∽，则， 所以点共圆. 【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点. 22. 已知点N(1，2)，过点N的直线交双曲线于A，B两点，且． (1)求直线AB的方程； (2)若过点N的直线交双曲线于C，D两点，且，那么A，B，C，D四点是否共圆？为什么？ 【答案】(1)y＝x＋1 (2)四点共圆，原因见解析 【知识点】由弦中点求弦方程或斜率、求双曲线中的弦长、判断点与圆的位置关系 【分析】（1）设直线的方程为，代入双曲线方程，设，，根据得是的中点，利用韦达定理求出可得直线的方程为； （2）直线的方程代入双曲线方程解得可得，坐标，根据得垂直，求出所在直线方程代入双曲线方程，令，及中点，根据韦达定理得弦长及，可得四点共圆. 【详解】（1）由题意知直线的斜率存在, 设直线：，代入， 得 (*)， 设，，则是方程(*)的两根， ∴且， ∵，∴是的中点，∴， ∴，解得， ∴直线的方程为； （2）共圆，理由如下， 将代入方程(*)得，解得或， ∴，，∵，∴垂直， ∴所在直线方程为，即， 代入双曲线方程整理得， 令，及中点，则，， ∴，，即， ， 所以，， 即到的距离相等，∴四点共圆.    23. 已知两点,点是直角坐标平面上的动点，若将点P的横坐标保持不变、纵坐标扩大到倍后得到点满足, (1) 求动点P所在曲线C的轨迹方程； (2)过点B作斜率为的直线l交曲线C于M,N两点，且满足，又点H关于原点O的对称点为点G，试问四点M,G,N,H是否共圆，若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由． 【答案】（1）;(2)见解析. 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求直线与椭圆的交点坐标、轨迹问题——椭圆 【详解】试题分析：（1）确定向量AQ，BQ的坐标，利用，即可得到动点P所在曲线C的轨迹方程；（2）假设l的方程与椭圆方程联立，利用向量知识，确定M，N，G，H的坐标，进而确定点到四点的距离相等，从而可得结论． 详解：（1）依据题意，有， ∵， ∴x2﹣1+2y2=1． ∴动点P所在曲线C的轨迹方程是． （2）因直线l过点B，且斜率为k=﹣，故有l：y=﹣． 联立方程组，得2x2﹣2x﹣1=0． 设两曲线的交点为M（x1，y1）、N（x2，y2）， ∴x1+x2=1，y1+y2=． 又，点G与点H关于原点对称， 于是，可得点H（﹣1，﹣）、G（1，）． 若线段MN、GH的中垂线分别为l1和l2，则有l1：y﹣=（x﹣），l2：． 联立方程组，解得l1和l2的交点为O1（，﹣）． 因此，可算得|O1H|==， |O1M|= ． 所以，四点M、G、N、H共圆，圆心坐标为O1（，﹣），半径为． 点睛:本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查四点共圆，正确运用向量知识，确定圆心坐标与半径是关键,这道题目圆锥曲线中的求轨迹方程的方法；常见的方法有：数形结合法即几何法；相关点法，直接法；定义法，代入法，引入参数再消参的方法，交轨法是一种解决两直线交点的轨迹的方法，也是一种消参的方法. 24. 设双曲线：的一个焦点坐标为，离心率，，是双曲线上的两点，的中点． (1)求双曲线的方程； (2)求直线方程； (3)如果线段的垂直平分线与双曲线交于、两点，问、、、四点是否共圆？若共圆证之，若不共圆给予充分理由． 【答案】(1) (2) (3)共圆，证明过程见解析 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据离心率求双曲线的标准方程、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】（1）利用离心率定义以及双曲线中的关系式即可求得双曲线方程； （2）设出，直线方程为，联立方程，再结合中点坐标即可求得直线的方程； （3）假设、、、四点共圆，且圆心为，只需证的中点满足即可得到、、、四点共圆. 【详解】（1）由题知，， 又，则， 所以， 则双曲线的方程为. （2）设， 直线方程为， 联立得， 又的中点为， 所以， 即，解得，此时满足， 故直线方程为. （3）假设、、、四点共圆，且圆心为， 为圆的弦，圆心在垂直平分线上， 又为圆的弦且垂直平分，圆心为中点， 下面只需证的中点满足即可. 由，得，， 由（1）得直线方程为， 由，得， 的中点， ，, ，， ， 即、、、四点在以为圆心，为半径的圆上. 25. 在平面直角坐标系中，动圆与圆：内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为． (1)求轨迹的方程； (2)已知分别为轨迹的左、右顶点，点不与重合．直线与直线交于点，与轴交于点，直线与直线的交点为，若四点共圆．求实数的值． 【答案】(1)； (2). 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、轨迹问题——椭圆 【分析】（1）根据两圆内切和外切满足的几何关系，即可得，结合椭圆的定义即可求解； （2）由四点共圆，得到，表示出斜率，代入计算即可. 【详解】（1）圆：的圆心为，半径为； 圆：的圆心为，半径为； 因为，,设动圆的半径为，经分析可得，, 因为动圆与圆内切且与圆外切， 所以,两式相加, 所以点的轨迹为以,为焦点的椭圆，可设其方程为， 则，解得，所以椭圆方程为， 所以轨迹的方程为. （2）由题意可知直线的斜率不为，故可设直线方程为,且 由易知：， 联立，可得， 所以则 即， 联立，可得， 所以直线的斜率为：， 所以直线的斜率为：， 因为四点共圆，且直线与轴垂直； 所以, 所以,即，解得：. 故实数的值为.    【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用四点共圆，得到斜率之间的关系，借助韦达定理等内容求解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆锥曲线 一、弦长、面积最值 1. 已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若一条直线与椭圆恰有一个公共点，则定义该直线为椭圆的切线，这个公共点称为切点．以椭圆（，且）上为切点的切线方程是（，且）． （ⅰ）过椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为，．若点在定直线上运动，求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，设为坐标原点，求面积的最大值． 2. 已知动点到定点的距离和它到定直线距离的比是常数． (1)求动点的轨迹； (2)已知不过原点的直线与曲线交于、两点，若直线，直线，直线的斜率成等比数列． ①求直线的斜率； ②记以为直径的圆的面积分别为，试探究是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由． 3. 已知动圆与直线相切且与圆外切. (1)求圆心的轨迹的方程; (2)若过定点的两条相互垂直的直线交曲线于A，C，B，D四点，求四边形面积的最小值. 4. 已知动点与两个顶点，的距离之比为，动点的轨迹为曲线. (1)求的轨迹方程； (2)已知，过直线上的动点（）分别作圆的两条切线，（，为切点），与交于点. （i）证明直线的方程为，并判断直线是否过定点； （ii）是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点坐标和面积最大值；若不存在，请说明理由. 5. 已知椭圆的离心率为，且过点，其左、右顶点分别为，为椭圆上异于的两点． (1)求椭圆的方程． (2)设直线的斜率分别为，且直线过定点． ①设和的面积分别为，求的最大值； ②证明为定值，并求出该定值． 二、定值问题 6. 椭圆的离心率为，左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，四边形是边长为的菱形． (1)求椭圆C的方程； (2)已知A是椭圆C在第一象限上的点，B与A关于原点对称，为椭圆C的右焦点，连接与，并延长交椭圆C于D，E两点，若直线AB的斜率为，直线DE的斜率为，试探究是否为定值．若是，则求出这个定值；若不是，请说明理由． 7. 已知双曲线：的焦距为，且左右顶点分别为,，过点的直线与双曲线的右支交于,两点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为1，求弦长； (3)记直线,的斜率分别为,,证明：是定值. 8. 设，两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为.设点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)过原点的直线与交于，两点（与不重合），证明：直线与直线的斜率之积为定值，并求出该定值. 9. 已知以为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点，设直线、的斜率分别是和． (1)求抛物线的标准方程及其准线方程． (2)求证：为定值． (3)求证：直线过定点，并求出该定点． 10. 已知椭圆：的离心率为，，分别为的左、右焦点，，分别为的左、右顶点，椭圆的右顶点到右焦点的距离为1，为坐标原点.椭圆上一点在第一象限，点与点关于原点对称，连接，并延长与椭圆交于点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 三、定点问题 11. 已知椭圆上任意一点到它的两个焦点的距离之和为4，且椭圆的离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)A,B是椭圆上关于x轴对称的两点，设,连接DB交椭圆于另一点E，证明直线AE 恒过x轴上的定点P. 12. 已知椭圆的上顶点为，四个顶点组成的四边形面积为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的动直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为点，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标 13. 已知椭圆，点P为C的上顶点． (1)求椭圆C的离心率； (2)求椭圆上动点T到点P的距离的最大值； (3)设与两坐标轴均不垂直的直线l与椭圆C交于异于P的两点A和B，设直线PA、PB的斜率分别为、．当时，判断直线l是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由． 14. 如图，已知直线与抛物线交于两点，且.    (1)求证：直线恒过定点，并求此定点； (2)若交于点，点的坐标为，请你求出的值； (3)在第（2）问的基础上，若是抛物线上的任一点，为抛物线的焦点，求的最小值及此时点的坐标. 15. 在平面直角坐标系xOy中，，曲线上有两点A，B，当时，. (1)求曲线E方程； (2)若点A在曲线E的右支上，点B在曲线E的左支上，点A，B，F三点不共线，且，试判断直线AB是否恒过一个定点，若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由. 四、相切问题 16. 已知椭圆的方程为，短轴长为2，右焦点为． (1)求椭圆的方程； (2)设是椭圆上的两点，，且直线AB与曲线相切，求直线AB的方程． 17. 已知点的坐标分别为，点是抛物线上的一个动点． (1)求证：以点为圆心，为半径的圆与直线的相切； (2)设直线与抛物线的另一个交点为点，连接，求证：． 18. 已知双曲线. (1)若双曲线的离心率为，求的值； (2)若直线与圆相切，证明：直线与双曲线的左右两支各有一个公共点. 19. 如图所示，已知抛物线的焦点为，直线过点. (1)若直线与抛物线相切于点，求线段的长度； (2)若直线与抛物线相交于，两点，且，直线与抛物线交于另一点，连接，记中点为，直线交于点，求的面积. 20. 已知点为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线交直线于点，设点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若过点的直线与曲线相切，且与直线分别交于点. （i）证明：点为线段的中点； （ii）求的取值范围. 五、四点共圆问题 21. 已知圆经过椭圆的右焦点及右顶点. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，求线段的中点的轨迹方程； (3)过点作与轴平行的直线与交于点，直线与轴交于点，证明：点共圆. 22. 已知点N(1，2)，过点N的直线交双曲线于A，B两点，且． (1)求直线AB的方程； (2)若过点N的直线交双曲线于C，D两点，且，那么A，B，C，D四点是否共圆？为什么？ 23. 已知两点,点是直角坐标平面上的动点，若将点P的横坐标保持不变、纵坐标扩大到倍后得到点满足, (1) 求动点P所在曲线C的轨迹方程； (2)过点B作斜率为的直线l交曲线C于M,N两点，且满足，又点H关于原点O的对称点为点G，试问四点M,G,N,H是否共圆，若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由． 24. 设双曲线：的一个焦点坐标为，离心率，，是双曲线上的两点，的中点． (1)求双曲线的方程； (2)求直线方程； (3)如果线段的垂直平分线与双曲线交于、两点，问、、、四点是否共圆？若共圆证之，若不共圆给予充分理由． 25. 在平面直角坐标系中，动圆与圆：内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为． (1)求轨迹的方程； (2)已知分别为轨迹的左、右顶点，点不与重合．直线与直线交于点，与轴交于点，直线与直线的交点为，若四点共圆．求实数的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $