精品解析：山东省青岛第一中学2025-2026学年高一上学期1月份月考数学试卷

青岛一中2025级月考试题（数学） 2026.01 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共计40分.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性求出函数的值域，再根据交集的定义计算即可. 【详解】因为对数函数是上的增函数， 所以由，得，则； 因为指数函数是上的减函数， 所以由，得，则， 由此，. 故选：B. 2. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】从中解出，代入整理得到，利用基本不等式求解即可. 【详解】，，， ， ，， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 的最小值为. 故选：C. 3. 在直角坐标系中，设角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，将角的终边逆时针旋转，与单位圆交点的纵坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】有三角函数的定义得，然后利用二倍角的余弦公式求出，求解即可. 【详解】将角的终边逆时针旋转，与单位圆交点的纵坐标为， 所以，所以， 所以， 故选：B. 4. 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先把弧度转化成角度，利用三角函数的单调性和特殊角的三角函数值，确定、、的取值范围，即可比较大小. 【详解】因为，所以弧度为第一象限角， 在第一象限，单调递增，所以； 在第一象限，单调递减，所以， 在第一象限，单调递增，所以； 综上所述，有. 故选：B 5. 华为手机的大部分零件已实现国产化，5G技术更是遥遥领先，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率以及信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，香农公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至5000，则最大信息传递速度大约增加了（ ） （参考数值：） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把两个信噪比代入，然后作商运算即可. 【详解】由题意， 由参考数值可得：， 大约增加了， 故选：B 6. 下列函数中，既是减函数，又是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性即可排除AC,根据基本函数的单调性，结合复合函数的单调性即可求解BD. 【详解】对于A, 的定义域为，且,故为偶函数，A错误， 对于B，的定义域为，关于原点对称，且，故为奇函数，且，故不是减函数，故B错误， 对于C, 的定义域为,则故为偶函数，C错误， 对于D, 的定义域为，，故为奇函数，且函数为单调递增函数，则单调递减函数，故为单调递减函数，D正确， 故选：D 7. 已知函数，对任意的，恒有，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于A：令后计算即可判断；对于B：根据奇函数的性质即可判断；对于C：令后计算即可判断；对于D：先通过变形确定函数的周期，然后利用周期来求解． 【详解】对于A：令，则， 又，所以，故A错误； 对于B：因为，所以不为奇函数，故B错误； 对于C：令，则， 即，得。由的任意性可知，故C正确； 对于D：令，则， ，则， 所以，可得， 可知是周期为6的周期函数． 所以，故D错误． 故选：C． 8. 已知函数恰有两个对称中心在区间上，且，则的所有可能取值之和是（ ） A. 6 B. C. D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质结合对称中心个数分类求出的值. 【详解】函数，其最小正周期， 由函数在区间上恰有两个对称中心，得， 即，解得，又， 则当是函数图象对称轴时，，解得， 此时或，或； 当与为周期长的区间两个端点时，，解得，符合题意， 所以的所有可能取值之和是. 故选：D 【点睛】关键点点睛：由在区间上的对称中心个数得求出范围，再结合函数值相等分类求解是关键. 二、多选题（本题共3个小题，每小题满分6分，共计18分.每个小题给出的选项中有多个选项符合题意，全对得6分，对但不全得部分分，选错或不答得0分） 9. 已知函数，且，则（    ） A. b＝1 B. 是减函数 C. 函数的值域为 D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由求出可判断A；利用可判断B；利用分离常数法求值域可判断C；利用单调性和奇偶性可判断D． 【详解】，解得，A正确； ，是上的单调递增函数，B错误； ∵，∴，，， ∴，∴的值域为，C正确； 的定义域为，∵，∴为奇函数， ∵， ∴，即， 解集为，D正确． 故选：ACD． 10. 下列命题中，正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】举例说明判断A；利用不等式的性质判断B；作差判断CD. 【详解】对于A，取，满足，而，A错误； 对于B，由，得，则，B正确； 对于C，由，，得，C正确； 对于D，由，得 ，D正确. 故选：BCD 11. 在平面直角坐标系中，已知点，定义一次“15°旋转跳”，以原点O为中心，把当前点绕O逆时针旋转15°，再把新点到O的距离变为原来的倍．从A出发，连续进行n次“15°旋转跳”.得到点列，，…，．参考数据：，.下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. 的坐标记为，那么 C. 的面积是 D. 使的最小正整数为12 【答案】AC 【解析】 【分析】，设，由三角函数的定义可得点的坐标判断A项；同理可得，利用辅助角公式化简判断B项；依次求出，利用三角形的面积公式计算节课判断C项；将代入计算即可判断D项. 【详解】以原点O为中心，把点绕O逆时针旋转15°，再把新点到O的距离变为原来的倍得到点， 则，角的终边为， 设，由三角函数的定义得，解得， ，解得，则，故A正确； 同理类推可得， 则 ，故B错误； ， ， ， ，故C正确； 因，由， 两边取对数，，即， 因，，则，解得， 使的取小正整数为，故D错误. 故选：AC. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共计15分.） 12. 若幂函数为偶函数，且函数的最小值为2，则实数______. 【答案】2 【解析】 【分析】先根据幂函数的定义及奇偶性确定，进而根据二次函数的性质列方程求解即可. 【详解】由为幂函数，得，解得或， 当时，为奇函数，不符合题意； 当时，为偶函数，符合题意， 此时函数， 则时，函数取得最小值， 则，解得. 故答案为：2. 13. 设计一段宽30m的公路弯道，弯道内沿和外沿分别为共圆心的两个圆上的一段弧，弯道中心线到圆心的距离为（如图），中心线到弯道内沿和外沿的距离相等，公路外沿弧长为，则这段公路的占地面积为_____.（单位：） 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式计算得解. 【详解】依题意，公路外沿弧所在圆半径为60m，内沿弧所在圆半径为30m，圆心角， 所以段公路的占地面积为（）. 故答案为： 14. 如图是抽象的城市路网，其中线段|AB|是欧式空间中定义的两点最短距离.但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过.在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用表示，定义：，若，，则，又称“曼哈顿距离”.设,为“曼哈顿扩张距离”，它由个绝对值之和组成，其中为正整数.如：.若恒成立，则实数的取值范围是____________________. 【答案】 【解析】 【分析】结合题意分、、三种情况讨论去掉绝对值符号可得. 【详解】若恒成立， 则当时，； 当时，； 当时，； 综上，实数的取值范围是 故答案为： 四、解答题（本题共5个小题，15题13分，16-17题每小题15分，18-19题每小题17分.） 15. 如图，单位圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，，为正三角形. （1）求的值； （2）化简，并求其值. 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，数形结合，由三角函数的定义求出答案； （2）利用诱导公式化简得到，凑角法，结合，得到答案. 【小问1详解】 ， 由图知：角对应的终边为，因为点的坐标为， 且圆为单位圆，由三角函数定义得． 【小问2详解】 ． 其中， 由（1）知：， 所以． 16. 设函数，其中，区间. （1）求的长度（注：区间的长度定义为； （2）给定常数，当时，求长度的最小值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式，再根据定义求出区间长度作答. （2）由（1）的结论结合对勾函数的单调性，并作商求出最小值作答. 【小问1详解】 由，得，解得，，因此， 所以的长度为. 【小问2详解】 当时，，由（1）知，的长度， 即有，函数在上单调递减，在上单调递增， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， ，而， 于是，从而， 因此当时，在区间上取得最小值. 17. △ABC的顶点A，B分别在矩形CDEF的边DE，EF上运动，且，，，记，△ABC的面积为. （1）写出的解析式； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，利用，，求得两边，进而可求得面积； （2）利用三角恒等变换可求得的最小值. 【小问1详解】 因为在矩形CDEF中，，，所以， 因为△ABC的顶点A，B分别在矩形CDEF的边DE，EF上运动，所以， 由，可得，由，得， 所以，； 【小问2详解】 由（1）知， 所以 ， 因为，所以，所以， 所以时，. 18. 定义中心对称函数：设函数的定义域为，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.例如，函数就是中心对称函数，其对称中心为. （1）已知定义在上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求的值； （2）已知函数为中心对称函数，有唯一的对称中心，求其对称中心； （3）若连续函数具有以下性质：①定义域为，②在区间[0，4]上单调递减，③，都有.函数，求使不等式成立的实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据中心对称函数的定义得，分别令、，结合时的函数解析式，求出、. （2）先确定函数定义域，再依据中心对称函数的定义计算的定值，进而得到函数的对称中心. （3）由确定的对称中心，结合的单调性得出的单调性，将不等式转化为，再结合定义域列不等式组求解的范围. 【小问1详解】 由函数的图象关于点中心对称，故有， 令，则有，故. 令，则有， 又因为当时，，故， 所以. 【小问2详解】 由，得，所以的定义域为. 因为对于， 有， 所以函数的对称中心为. 【小问3详解】 因为，都有，所以函数的图象关于点中心对称. 又因为在区间[0，4]上单调递减，所以在区间上单调递减. 由得，， 因为， 所以， 化简得， 所以. 因为函数的定义域为，所以函数的定义域为. 又因为函数且在上单调递减， 所以函数在上单调递减. 所以，解得. 所以实数的取值范围为. 19. 已知集合，集合，表示集合元素的个数. （1）若，求， （2）若 ①求的最大值； ②证明： 【答案】（1）， （2）①最大值为2；②因，可设则，即m表示除以n所得余数， 下证，m可取，，除以n所得的余数，且两两不相等. 任取，则， 因为，则，，均不是质数97的倍数， 所以，除以n所得余数两两不相等，即满足条件的非空集合至少48个， 由①知，每个集合有2个元素，所以 【解析】 【分析】（1）根据新定义集合的规则分别求集合，即可； （2）①当时，推理可得1，，即存在非空集合，且，可推得，且，假设还有，经推理分析，得，或，故得的最大值为2；②设得到，先证m可取，，除以n所得的余数，且两两不相等， 即满足条件的非空集合至少48个，结合①的结论得到每个集合有2个元素，故得证. 【小问1详解】 当时，， 则；. 【小问2详解】 ① 当时，，因， 则由，，可得1，， 即存在非空，取非空集合，且，即， 由，可得，因，故 假设还存在，即，则， 又，，且97为质数，则必有，或， 即若非空，则其有且仅有2个元素，且这样的存在. 综上所述，的最大值为2. ②略 【点睛】思路点睛：本题主要考查集合的新定义问题，属于难题. 求解集合新定义的问题，必须充分了解新定义的内涵，根据其规则分析、思考、演算，逐步推理，兼顾待求或待证的结果，找到彼此的切入点，有时还需关注前面小题已得的结论，多方考虑才能完成. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛一中2025级月考试题（数学） 2026.01 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共计40分.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3. 在直角坐标系中，设角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，将角的终边逆时针旋转，与单位圆交点的纵坐标为，则（ ） A. B. C. D. 4. 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 华为手机的大部分零件已实现国产化，5G技术更是遥遥领先，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率以及信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，香农公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至5000，则最大信息传递速度大约增加了（ ） （参考数值：） A. B. C. D. 6. 下列函数中，既是减函数，又是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，对任意的，恒有，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 8. 已知函数恰有两个对称中心在区间上，且，则的所有可能取值之和是（ ） A. 6 B. C. D. 16 二、多选题（本题共3个小题，每小题满分6分，共计18分.每个小题给出的选项中有多个选项符合题意，全对得6分，对但不全得部分分，选错或不答得0分） 9. 已知函数，且，则（    ） A. b＝1 B. 是减函数 C. 函数的值域为 D. 不等式的解集为 10. 下列命题中，正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 11. 在平面直角坐标系中，已知点，定义一次“15°旋转跳”，以原点O为中心，把当前点绕O逆时针旋转15°，再把新点到O的距离变为原来的倍．从A出发，连续进行n次“15°旋转跳”.得到点列，，…，．参考数据：，.下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. 的坐标记为，那么 C. 的面积是 D. 使的最小正整数为12 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共计15分.） 12. 若幂函数为偶函数，且函数的最小值为2，则实数______. 13. 设计一段宽30m的公路弯道，弯道内沿和外沿分别为共圆心的两个圆上的一段弧，弯道中心线到圆心的距离为（如图），中心线到弯道内沿和外沿的距离相等，公路外沿弧长为，则这段公路的占地面积为_____.（单位：） 14. 如图是抽象的城市路网，其中线段|AB|是欧式空间中定义的两点最短距离.但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过.在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用表示，定义：，若，，则，又称“曼哈顿距离”.设,为“曼哈顿扩张距离”，它由个绝对值之和组成，其中为正整数.如：.若恒成立，则实数的取值范围是____________________. 四、解答题（本题共5个小题，15题13分，16-17题每小题15分，18-19题每小题17分.） 15. 如图，单位圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，，为正三角形. （1）求的值； （2）化简，并求其值. 16. 设函数，其中，区间. （1）求的长度（注：区间的长度定义为； （2）给定常数，当时，求长度的最小值. 17. △ABC的顶点A，B分别在矩形CDEF的边DE，EF上运动，且，，，记，△ABC的面积为. （1）写出的解析式； （2）求的最小值. 18. 定义中心对称函数：设函数的定义域为，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.例如，函数就是中心对称函数，其对称中心为. （1）已知定义在上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求的值； （2）已知函数为中心对称函数，有唯一的对称中心，求其对称中心； （3）若连续函数具有以下性质：①定义域为，②在区间[0，4]上单调递减，③，都有.函数，求使不等式成立的实数的取值范围. 19. 已知集合，集合，表示集合元素的个数. （1）若，求， （2）若 ①求的最大值； ②证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $