2026年浙江省杭州市中考数学一轮专题复习：比值之代数式问题

2025-2026年浙江省杭州中考专题复习：比值之代数式问题 1.有甲、乙两种糖果，原价分别为每千克α元和b元.根据调查，将两种糖果按甲种糖果x 千克与乙种糖果y千克的比例混合，取得了较好的销售效果.现在糖果价格有了调整：甲种 糖果单价下降156，乙种糖果单价上涨20%，但按原比例混合的糖果单价恰好不变，则'等 于() A出 B 4a c36 36 D Aa 3a 2.如图，点P是正方形ABCD的中心，过点P的线段EF和GH将正方形ABCD分割成4个 相同的四边形，这4个四边形拼成正方形POMN.连结HF,记△PHF和△HCF的面积 分别为S,S2, 设是=kk> (1)若A,B,Q三点共线，则k= (2)正方形ABCD和CIL的面积之比为 ·(用含k的代数式表示) G ⊙ H C M 3.如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，点D是弧AB的中点，过点D作AB的平行线交CA的 延长线于点E,连结BD,BE (I)求证：∠EDC=∠DBC: (2)当CD=2时，求S△BCE的值； (3)设BC=nAC. ①求器的值：（用含n的代数式表示） ②若3CE=8AC,DE=6,求AB的长. A B E D 2 4.如图，己知△ABC内接于⊙O,AB是直径，点D在⊙O上，OD∥BC,过点D作DE LAB ,垂足为E,连接CD交OE边于点F. (1)求证：△DOE∽△ABC: (2)求证：∠ODF=∠BDE; (3)连接OC,设△DOE的面积为S1,四边形OCBD的面积为S2,若 总=品，用含n BC 的代数式表示 D B C 5.如图，E是正方形ABCD边BC上一个动点（不与B,C重合），F是CD延长线上一点， 且DF=BE,连接AE,AF,EF. (1)求证：△AEF为等腰直角三角形. (2)过点A作EF的垂线，与直线EF,BC分别交于G,H两点，记∠DFE=a,EF交 AD于点L. ①当C=30°，AI=2,求线段AE的长。 ②设品=k,△4G1的面积记作S,△HGE的面积记作S,用含k的代数式表示 D G 6.△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D是BC上一点，连接AD,将线段AD绕着点A逆 时针旋转，使点D的对应点E在BC的延长线上，过点E作EF⊥AD,垂足为点G,EF 交AB于点F,EF交AC于点H. (1)求证：FE=AE; (2)填空：器=反_， (3)若器=，求器的值（用含k的代数式表示）. F G H B D C 7.如图，AB是⊙O的直径，弦AC=OA,点D在C上，点E是CD中点，连结AD分别交 OC,OE于点F,G. (1)请直接写出∠AOC与∠EGD的度数. (2)求证：△ACF∽△OGF. (3)△AFC,△ODG的面积分别记为S,&2.若CF=kOF,求三的值. (用含k的式 子表示) C D G B 8.如图，在△ABC中，点D,E,F分别在边AB,AC,BC上，且DE∥BC,DF∥AC.已 知器=k,记△ABC的面积为S,四边形DBCP的面积为T. T (1)试用含k的代数式表示 (2)将△4DE沿DE对折，若点A与点F刚好重合，求证：①于=号：②AB=AC A D E B F 7 2025-2026年浙江省杭州中考专题复习：比值之代数式问题 1.有甲、乙两种糖果，原价分别为每千克a元和b元．根据调查，将两种糖果按甲种糖果x千克与乙种糖果y千克的比例混合，取得了较好的销售效果．现在糖果价格有了调整：甲种糖果单价下降15%，乙种糖果单价上涨20%，但按原比例混合的糖果单价恰好不变，则等于（　　） A. B. C. D. 【正确答案】 D 2.如图，点P是正方形ABCD的中心，过点P的线段EF和GH将正方形ABCD分割成4个相同的四边形，这4个四边形拼成正方形PQMN．连结HF，记△PHF和△HCF的面积分别为S1，S2，设． （1）若A，B，Q三点共线，则k＝　　 ． （2）正方形ABCD和CIKL的面积之比为 　　 .（用含k的代数式表示） （2）由（1）可知，，a2+b2＝2c2，进而得到，推导出正方形ABCD的边长为（a+b），CJKL的边长为（b﹣a），进而得到面积之比． 【解答】解：（1）如图1，连接BQ，EH、EG、GF， ∵EF和GH将正方形ABCD分割成4个相同的四边形， ∴AE＝DH＝CF＝BG，AG＝DE＝CH＝BF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°， ∴△DEH≌△CHF（SAS）， ∴EH＝FH，∠EHD＝∠HFC， ∴∠EHD+∠FHC＝∠HFC+∠FHC＝90°， ∴∠EHF＝90° 90°， ∴△EFH是等腰直角三角形， 同理可得，EG＝GF＝FH＝EH， ∴四边形EHFG是正方形， ∴PF＝PH＝PG，∠HPF＝90°＝∠GPF， 设AE＝DH＝CF＝BG＝b，AG＝DE＝CH＝BF＝a，PF＝PH＝PG＝c， 由题意知，， ∵这4个四边形拼成正方形PQMN， ∴QF＝PH＝c，FJ＝CH＝a， ∴PQ＝2c， ∵A，B，Q三点共线， ∴tan∠PQG＝tan∠BQF， ∴，即， 解得BQ＝2a， 由勾股定理得，QF2＝BF2+BQ2 即 c2＝a2+（2a）2＝5a2， ∴， 由勾股定理得FH2＝CH2+CF2，FH2＝PF2+PH2， ∴FH2＝a2+b2＝c2+c2， ∴﹣b＝3a， ∴， 故答案为：； （2）由（1）可知，，a2+b2＝2c2， ∴，即a2+b2＝2kab， 由题意知，正方形ABCD的边长为（a+b），CJKL的边长为（b﹣a）， ∴正方形ABCD和CJKL的面积之比为， 故答案为：． 3.如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，点D是弧AB的中点，过点D作AB的平行线交CA的延长线于点E，连结BD，BE． （1）求证：∠EDC＝∠DBC； （2）当CD＝2时，求S△BCE的值； （3）设BC＝nAC． ①求的值；（用含n的代数式表示） ②若3CE＝8AC，DE＝6，求AB的长． 【解答】（1）证明：连接AD， ∵ED∥AB， ∴∠ADE＝∠BAD， ∵点D是弧AB的中点， ∴∠CDB＝∠ECD， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCD＝45°， ∵， ∴∠BCD＝∠BAD， ∵， ∴∠ADC＝∠CBA， ∴∠EDC＝∠CBD； （2）解：∵∠ECD＝∠BCD，∠EDC＝∠CBD， ∴△CDE∽△CBD， ∴CD2＝BC•CE， ∵CD＝2， ∴BC•CE＝4， ∴S△BCEBC•CE＝2； （3）①解：过D点作DG⊥AE交于G点， ∵BC⊥AE， ∴DG∥BC， ∴∠CED＝∠ACB， ∵BC＝nAC， ∴tan∠CAB＝n， 设GE＝a，则GD＝na， ∵∠ACB＝45°， ∴CG＝GD＝na， ∴CDna，CE＝a+na， ∵CD2＝BC•CE， ∴2n2a2＝（a+na）BC， 解得BC， ∵△CDE∽△CBD， ∴， ∴； ②解：由①可知BC，则AC， ∴AB， ∵DE6， ∴36＝a2（1+n2）， ∵3CE＝8AC， ∴3（a+na）＝8•， 解得n＝3或n， 当n＝3时，a，则AB＝9； 当n时，a，则AB＝3； 综上所述：AB＝9或3． 4.如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D在⊙O上，OD∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CD交OE边于点F． （1）求证：△DOE∽△ABC； （2）求证：∠ODF＝∠BDE； （3）连接OC，设△DOE的面积为S1，四边形OCBD的面积为S2，若，用含n的代数式表示． 【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵DE⊥AB， ∴∠DEO＝90°， ∴∠DEO＝∠ACB， ∵OD∥BC， ∴∠DOE＝∠ABC， ∴△DOE∽△ABC； （2）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵DE⊥AB， ∴∠DEO＝90°， ∴∠DEO＝∠ACB， ∵OD∥BC， ∴∠DOE＝∠ABC， ∴△DOE∽△ABC； ∴∠ODE＝∠A， ∵∠A和∠BDC是所对的圆周角， ∴∠A＝∠BDC， ∴∠ODE＝∠BDC， ∴∠ODF＝∠BDE； （3）解：∵△DOE∽△ABC， ∴（）2， 即S△ABC＝4S△DOE＝4S1， ∵OA＝OB， ∴S△BOCS△ABC，即S△BOC＝2S1， ∵，S2＝S△BOC+S△DOE+S△DBE＝2S1+S1+S△DBE， ∴S△DBES1， ∴BE＝（）OE， 即OEOBDO， ∴sinA＝sin∠ODE． 5.如图，E是正方形ABCD边BC上一个动点（不与B，C重合），F是CD延长线上一点，且DF＝BE，连接AE，AF，EF． （1）求证：△AEF为等腰直角三角形． （2）过点A作EF的垂线，与直线EF，BC分别交于G，H两点，记∠DFE＝α，EF交AD于点I． ①当α＝30°，AI＝2，求线段AE的长． ②设，△AGI的面积记作S1，△HGE的面积记作S2，用含k的代数式表示． 【解答】（1）证明：∵正方形ABCD边， ∴AD＝AB，∠ADF＝∠ADC＝∠B＝90°， ∵DF＝BE， ∴Rt△ADF≌△ABE（HL）， ∴∠DAF＝∠BAE，AF＝AE， ∴∠DAF+∠DAE＝∠BAE+∠DAE＝∠ABC＝90°， ∴∠EAF＝90°， ∴△AEF为等腰直角三角形； （2）解：①∵AH⊥EF， ∴∠AGF＝90°， ∵∠ADF＝90°， ∴∠AGF＝∠ADF， ∵∠GIA＝∠DIF， ∴∠GAI＝∠DFE＝30°， ∴AG＝AI•cos30°＝2， 由（1）知：△AEF是等腰直角三角形， ∴∠AEF＝∠AFE＝45°， ∴AF； ②由①知：∠GAI＝∠DFE， ∴tan∠GAI＝tan∠DFE， ∴， 由①知：∠AEF＝45°， ∴tan∠AEF， ∴AG＝EG， ∴， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥CB， ∴△AGI∽△HGE， ∴． 6.△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是BC上一点，连接AD，将线段AD绕着点A逆时针旋转，使点D的对应点E在BC的延长线上，过点E作EF⊥AD，垂足为点G，EF交AB于点F，EF交AC于点H． （1）求证：FE＝AE； （2）填空：　　 ； （3）若k，求的值（用含k的代数式表示）． 【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，BC＝AC， ∴∠B＝∠CAB＝45°， ∵将线段AD绕着点A逆时针旋转，使点D的对应点E在BC的延长线上， ∴AD＝AE， ∵AC⊥DE， ∴∠CAD＝∠CAE， ∴∠EAF＝∠CAB+∠CAE＝∠B+∠CAD， ∵EF⊥AD， ∴∠AGH＝90°＝∠ACE， ∴∠CAD+∠AHG＝∠CEH+∠CHE＝90°， ∵∠AHG＝∠CHE， ∴∠CAD＝∠CEH， ∴∠EAF＝∠B+∠CEH， ∵∠AFE＝∠B+∠CEH， ∴∠EAF＝∠AFE， ∴EF＝AE； （2）如图1， 过点F作FN⊥BC于N， ∴∠BNF＝∠ENF＝90°， ∵∠B＝45°， ∴∠BFN＝45°＝∠B， ∴BFFN， 在△ENF和△ACE中， ， ∴△ENF≌△ACE（AAS）， ∴FN＝CE， ∵DE＝2CE， ∴， 故答案为； （3）如图2， 过点G作GM⊥BC于M， ∵AC⊥BC， ∴GM∥AC， ∴， ∵k， ∴， 设DM＝a，则CE＝CD＝（k+1）a， ∴DE＝2CD＝2（k+1）a， ∵∠DMG＝∠DGE＝90°，∠MDG＝∠GDE， ∴△DMG∽△DGE， ∴， ∴DG2＝DM•DE＝a•2（k+1）a＝2（k+1）a2， ∴DGa， ∴AG＝kDG•ka， ∵∠AGH＝∠ECH＝90°，∠AHG＝∠EHC， ∴△AHG∽△EHC， ∴． 7.如图，AB是⊙O的直径，弦AC＝OA，点D在上，点E是CD中点，连结AD分别交OC，OE于点F，G． （1）请直接写出∠AOC与∠EGD的度数． （2）求证：△ACF∽△OGF． （3）△AFC，△ODG的面积分别记为S1，S2．若CF＝kOF，求的值．（用含k的式子表示） 【解答】（1）解：∵AC＝OA，OA＝OC， ∴OA＝OC＝AC， ∴△OAC为等边三角形， ∴∠AOC＝∠ACF＝60°， ∴， ∵点E是CD中点，OE经过圆心， ∴OE⊥CD， ∴∠EGD＝90°﹣∠ADC＝60°； （2）证明：∵∠EGD＝60°， ∴∠FGO＝∠EGD＝60°， ∵∠ACF＝60°， ∴∠ACF＝∠OGF， ∵∠AFC＝∠OFG， ∴△ACF∽△OGF； （3）解：过点C作CM⊥AD于点M，过点F作FH⊥AO于点H， 由CF＝kOF，不妨设OF＝1，则CF＝k， ∴AC＝AO＝OC＝k+1， ∵∠AOC＝60°， ∴，， ∴， ∴在Rt△AFH中，由勾股定理得，， ∵△ACF﹣△OGF， ∴， ∴， ∴， ∵∠CDA＝30°， ∴在Rt△CMD 中，， ∴，， ∴． 8.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，DF∥AC．已知，记△ABC的面积为S，四边形DECF的面积为T． （1）试用含k的代数式表示． （2）将△ADE沿DE对折，若点A与点F刚好重合，求证：①；②AB＝AC． 【解答】（1）解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴k2， ∴S△ADE＝Sk2， ∵DF∥AC， ∴△BDF∽△BAC， ∴（1﹣k）2， ∴S△BDF＝S（1﹣k）2， ∴2k﹣2k2； （2）证明：连接AF交DE于点O． ∵A，F关于DE对称， ∴DE垂直平分AF， ∴AO＝OF， ∵DE∥BC， ∴AD＝DB，AE＝EC，AF⊥BC， ∴DF＝AD＝DB， ∵DE∥BC，DF∥AC， ∴四边形DECF是平行四边形， ∴DF＝CE＝AE， ∵AB＝2DF，AC＝2CE， ∴AB＝AC， ∴BF＝CF， ∴EF∥AB， S△ADE＝S△BDF＝S△CEFS， ∴TS， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $