专题01：三角函数中任意角 、同角三角函数基本关系与诱导公式【10大考点+10大题型】讲义-2025-2026学年高一数学上学期《考点·题型·难点》期末高效复习（人教A版2019必修第一册）

该高中数学讲义以“任意角、同角三角函数关系与诱导公式”为核心，通过表格归纳六组诱导公式，结合“一全正，二正弦”等口诀及图示呈现象限符号规律，系统梳理同角关系变形技巧，构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于分层题型设计，从“终边相同的角”基础题到“化简求值”综合题，融入“奇变偶不变”口诀培养推理意识，通过齐次化计算提升运算能力。专题精练覆盖多样题型，助力学生分层提升，为教师精准教学提供支持。

专题01：三角函数中任意角 、同角三角函数基本关系与诱导公式 【考点梳理】 【考点梳理】 知识点01：正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 1．图示： 2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 知识点02：同角三角函数的基本关系：(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：＝tan α. 知识点03：六组诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 知识点04：技巧归纳： 1．诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限． 2．同角三角函数基本关系式的常用变形： (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α. 【题型归纳】 题型一、 终边相同的角 【例1】．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高一上·天津红桥·期末）集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（   ） A．B．C． D． 【变式2】．（24-25高一上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，若角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则终边与角相同的角的集合为（   ） A．或 B． C． D． 题型二、 象限角 【例2】．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】．（24-25高一上·广西百色·期末）顶点与坐标系原点重合，始边与x轴非负半轴重合，大小为的角的终边落在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】．（24-25高一上·河南开封·期末）已知是第一象限角，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 题型三、 弧度制 【例3】．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角度（弧度）是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（23-24高一上·浙江杭州·期末）二十四节气是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民智慧的结晶．从立春起的二十四节气依次是立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒．二十四节气的对应图如图所示，从2022年4月20日谷雨节气到2022年12月7日大雪节气圆上一点转过的弧所对圆心角的弧度数为（　　）    A． B． C． D． 【变式2】．（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知一个扇形的周长为，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数为（    ） A． B．1 C． D．2 题型四、 任意角的三角函数 【例4】．（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高一下·四川泸州·期末）角是第二象限角，以为始边，它的终边与单位圆O相交于点P，且点P的纵坐标为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一上·广西玉林·期末）若函数的图象经过定点P，且点P在角的终边上，则（   ） A． B． C． D． 题型五、 各象限三角函数的符合 【例5】．（24-25高一下·陕西·月考）“”是“角为第二象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】．（24-25高一上·江苏苏州·期末）“点在第二象限”是“角为第三象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】．（24-25高一上·重庆黔江·期末）在平面直角坐标系中，已知点，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型六、 同角三角函数的基本关系 【例6】．（25-26高一上·全国·课后作业）已知为第二象限角. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【变式1】．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）（1）已知角的终边经过点，求； （2）已知，求． 【变式2】．（24-25高一上·云南怒江·期末）（1）已知，在第二象限，求，的值； （2）已知，求的值； （3）已知，，求的值. 题型七、 诱导公式求值化简 【例7】．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）已知. (1)化简； (2)若，求. 【变式1】．（24-25高一下·河北保定·期末）已知． (1)若是第二象限角，求的值； (2)求的值． 【变式2】．（24-25高一下·河南驻马店·期末）在平面直角坐标系中，已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点，且. (1)求实数及相应的值； (2)当时，化简并求值. 题型八、 同角三角函数平方关系的巧用 【例8】．（25-26高一上·贵州·期末）如果角满足，那么的值是（   ） A． B． C．1 D．2 【变式1】．（2025·河北·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一上·山东淄博·期末）已知，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型九、 正、余弦的齐次化计算 【例9】．（24-25高一下·上海黄浦·期末）若，则的值为 ． 【变式1】．（24-25高一上·广东肇庆·期末）已知，则 ． 【变式2】．（24-25高一下·甘肃武威·期末）已知满足，则 ． 题型十、 三角函数化简求值问题 【例3】．（25-26高一上·江苏泰州·月考）已知函数，其中. (1)化简； (2)若，求 的值； (3)若，求的值. 【变式1】．（24-25高一上·安徽宿州·期末）已知. (1)化简； (2)若，求的值； (3)若为第三象限角，且，求的值. 【变式2】．（25-26高三上·辽宁大连·期中）计算求值. (1)已知，求的值. (2)若，且，求下列式子的值. （i）；（ii）. 【专题精练】 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·期末）已知圆心角为的扇形其弧长为，则该扇形面积为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有40齿，小轮有25齿，小轮的半径为，若大轮的转速为（转/分），则小轮轮周上一点每秒转过的弧长为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·山东东营·期末）若，且是第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·广西百色·期末）已知角的终边过点，则（   ） A． B．1 C． D． 7．（24-25高一上·黑龙江鸡西·期末）已知，若，则（   ） A．3 B． C．2 D． 二、多选题 8．（25-26高一上·安徽宿州·期末）下列说法正确的是（ ） A．化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．与的终边相同 9．（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）下列说法中正确的是（   ） A．终边在直线上角的集合是 B．若角的终边落在第二象限，则角是钝角 C．若角是第一象限的角，则在第一、二、三象限的角 D．周长为定值的扇形中，面积最大时扇形的半径为 10．（25-26高一上·河南安阳·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·吉林通化·期末）已知，，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）已知且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高一上·湖北·期末）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·湖北·期末）在数学史上，为了三角计算的简便及计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作．下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．函数的最大值为 三、填空题 15．（24-25高一下·上海·期末）已知角终边上一点，则 ． 16．（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的弧长为 . 17．（24-25高一上·贵州铜仁·期末）已知角的终边过点，则 ． 18．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知为第三象限角，且，则的值为 ． 19．（24-25高一上·宁夏石嘴山·期末）已知角的终边经过点，则的值为 . 四、解答题 20．（24-25高一上·湖北武汉·期末）（1）已知，求； （2）已知是第三、四象限角，且，求. 21．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知是第二象限角，且满足． (1)求的值； (2)求的值． 22．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）已知，. (1)求的值； (2)已知，先化简再求值. 23．（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知角满足. (1)求的值； (2)若角α是第三象限角，，求的值. 24．（24-25高一上·海南·期末）已知函数. (1)化简； (2)若，且，求的值. 25．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，射线绕点按逆时针方向旋转角后交单位圆于点，点的纵坐标为． (1)若，求的值； (2)若，且，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01：三角函数中任意角 、同角三角函数基本关系与诱导公式 【考点梳理】 【考点梳理】 知识点01：正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 1．图示： 2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 知识点02：同角三角函数的基本关系：(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：＝tan α. 知识点03：六组诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 知识点04：技巧归纳： 1．诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限． 2．同角三角函数基本关系式的常用变形： (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α. 【题型归纳】 题型一、 终边相同的角 【例1】．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将化成弧度结合选项即可求解； 【详解】用弧度制可表示为， 所以与角的终边相同的角构成的集合为 故选：D． 【变式1】．（24-25高一上·天津红桥·期末）集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】对按奇偶分类讨论可得． 【详解】当时，， 此时的终边和的终边一样， 当时，， 此时的终边和的终边一样． 故选：C． 【变式2】．（24-25高一上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，若角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则终边与角相同的角的集合为（   ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角的终边所在位置写出终边相同的角，即得终边与角相同的角的集合. 【详解】由题设且，故终边与角相同的角的集合为. 故选：B 题型二、 象限角 【例2】．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据终边相同的角和象限角的定义计算. 【详解】因为，易知的终边在第二象限， 故角的终边在第二象限. 故选：B. 【变式1】．（24-25高一上·广西百色·期末）顶点与坐标系原点重合，始边与x轴非负半轴重合，大小为的角的终边落在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】由象限角的定义对进行判定. 【详解】∵，∴的角的终边落在第二象限. 故选：B. 【变式2】．（24-25高一上·河南开封·期末）已知是第一象限角，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据是第一象限角，可得角的终边在一、二象限或y轴非负半轴上，角的终边在第一象限或第三象限，再根据三角函数在各象限的符号判断即可. 【详解】因为是第一象限角， ∴，所以 则角的终边在一、二象限或y轴非负半轴上， ，A不正确；，B不正确； 由，角的终边在第一象限或第三象限， 所以 ，D正确； 角的终边在第三象限时，，C不正确； 故选：D． 题型三、 弧度制 【例3】．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角度（弧度）是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过相互啮合的两个齿轮转动的齿数相同，得到大轮转动一周时，小轮转动的周数，即可求小轮转动的角度. 【详解】因为相互啮合的两个齿轮，大轮48齿，小轮20齿， 所以当大轮转动一周时时，大轮转动了48个齿， 所以小轮此时转动周， 即小轮转动的角度为. 故选：B 【变式1】．（23-24高一上·浙江杭州·期末）二十四节气是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民智慧的结晶．从立春起的二十四节气依次是立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒．二十四节气的对应图如图所示，从2022年4月20日谷雨节气到2022年12月7日大雪节气圆上一点转过的弧所对圆心角的弧度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用弧度制的定义计算出每个节气所表示的弧度数，即可求解. 【详解】由题意，二十四节气将一个圆24等分，所以每相邻的两个节气对应的弧度数为， 则从谷雨到大雪，二十四节气圆盘需要逆时针旋转15个节气， 所以转过的弧所对的圆心角的弧度数为. 故选：C. 【变式2】．（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知一个扇形的周长为，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】利用扇形的弧长和面积公式列方程求出，利用弧度数公式求得结果. 【详解】设扇形的弧长为，半径为， 则且，解得， 则该扇形的圆心角的弧度数为， 故选：D. 题型四、 任意角的三角函数 【例4】．（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角函数定义可得，从而计算出答案. 【详解】终边过点，故， 所以. 故选：C 【变式1】．（24-25高一下·四川泸州·期末）角是第二象限角，以为始边，它的终边与单位圆O相交于点P，且点P的纵坐标为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再利用三角函数定义求出目标值. 【详解】依题意，点在第二象限，则点的横坐标为， 所以. 故选：A 【变式2】．（24-25高一上·广西玉林·期末）若函数的图象经过定点P，且点P在角的终边上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数型函数求出定点坐标，再利用三角函数的定义即可求得结果. 【详解】因为函数的图象经过定点，所以函数的图象经过定点， 因为点在角的终边上所以． 故选：A． 题型五、 各象限三角函数的符合 【例5】．（24-25高一下·陕西·月考）“”是“角为第二象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合三角函数的符号法则判断. 【详解】当角为第二象限角时，，则； 反之，当时，或， 则为第二象限角或为第四象限角， 所以“”是“角为第二象限角”的必要不充分条件. 故选：B 【变式1】．（24-25高一上·江苏苏州·期末）“点在第二象限”是“角为第三象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据三角函数值在各象限的符号及充分条件与必要条件的概念判断. 【详解】若点在第二象限，则，则角为第三象限角，故充分性成立， 若角为第三象限角，则，则点在第二象限，故必要性成立， ∴“点在第二象限”是“角为第三象限角”的充要条件. 故选：C. 【变式2】．（24-25高一上·重庆黔江·期末）在平面直角坐标系中，已知点，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】由诱导公式可判断的正负，即可判断出答案. 【详解】由于，而， 故点在第三象限， 故选：C 题型六、 同角三角函数的基本关系 【例6】．（25-26高一上·全国·课后作业）已知为第二象限角. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为为第二象限角，所以. 因为，所以. 所以. （2），则. 因为为第二象限角，所以， 所以. 【变式1】．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）（1）已知角的终边经过点，求； （2）已知，求． 【答案】（1） ；（2） 【分析】（1）利用三角函数定义求出正弦和余弦值，从而得到答案； （2）齐次化变形求出，从而得到，代入求值，即得答案. 【详解】（1）由三角函数定义可知 ， 所以； （2），故， 则. 【变式2】．（24-25高一上·云南怒江·期末）（1）已知，在第二象限，求，的值； （2）已知，求的值； （3）已知，，求的值. 【答案】（1）（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由同角三角函数的平方关系代入计算即可得到，从而得到； （2）将原式化为齐次式，代入计算，即可得到结果； （3）结合同角三角函数关系解出方程即可. 【详解】（1）在第二象限，，. （2）由， 所以. （3）因为，且，解得或（舍去）， 则. 题型七、 诱导公式求值化简 【例7】．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）已知. (1)化简； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由诱导公式化简求值； （2）在（1）基础上得到，凑角后利用诱导公式即得答案. 【详解】（1）； （2）由可得， 则. 【变式1】．（24-25高一下·河北保定·期末）已知． (1)若是第二象限角，求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用诱导公式及同角公式列式计算得解. （2）利用诱导公式化简，再利用齐次式法计算得解. 【详解】（1）依题意，，由是第二象限角，得， 又，解得，所以. （2）． 【变式2】．（24-25高一下·河南驻马店·期末）在平面直角坐标系中，已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点，且. (1)求实数及相应的值； (2)当时，化简并求值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由三角函数的定义建立方程，求得解，分情况求得函数值，可得答案； （2）由题意求得正弦值与余弦值，利用诱导公式与同角三角函数关系式，可得答案. 【详解】（1）根据三角函数的定义得，解得或， 当时，，， 当时，. （2）由可知，此时，， 原式. 题型八、 同角三角函数平方关系的巧用 【例8】．（25-26高一上·贵州·期末）如果角满足，那么的值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】将给定等式切化弦，再利用同角三角函数的基本关系计算即可. 【详解】，，即， 那么，即D正确. 故选：D． 【变式1】．（2025·河北·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将题给等式两边同时平方得到，结合范围可判断的符号，再利用同角三角函数基本关系可即求得. 【详解】， 故， 又且，故， ，故. 故选：A. 【变式2】．（24-25高一上·山东淄博·期末）已知，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用与之间的关系式，再由平方关系计算可得A错误，B错误，联立方程组并由商数关系可得C错误，代入计算可得D正确. 【详解】由可得，即； 所以，即，即A错误； 又，所以，因此 所以，即B错误； 联立，可得， 所以，即C错误； 代入计算可得，即D正确. 故选：D 题型九、 正、余弦的齐次化计算 【例9】．（24-25高一下·上海黄浦·期末）若，则的值为 ． 【答案】5 【分析】由已知利用诱导公式和同角三角函数关系式即可求解. 【详解】由，得， 根据诱导公式，化简. 故答案为：5. 【变式1】．（24-25高一上·广东肇庆·期末）已知，则 ． 【答案】/1.5 【分析】根据同角三角函数的平方关系构造齐次式，再利用商数关系求解即可. 【详解】因为， 所以， 故答案为： 【变式2】．（24-25高一下·甘肃武威·期末）已知满足，则 ． 【答案】/0.25 【分析】利用诱导公式可求得，利用二倍角的正余弦公式可化为齐次式，即可求解. 【详解】由，可得，所以， 所以. 故答案为：. 题型十、 三角函数化简求值问题 【例3】．（25-26高一上·江苏泰州·月考）已知函数，其中. (1)化简； (2)若，求 的值； (3)若，求的值. 【答案】(1)且； (2)； (3)； 【分析】（1）应用诱导公式化简函数式即可； （2）由平方关系，将目标式化为关于正余弦的齐次式，再由弦化切，即可求值； （3）由已知得，两侧平方并化为，即可得. 【详解】（1）由且； （2）由题设及（1）知，而 （3）由题设，即， 所以，可得， 所以，即， 所以，即. 【变式1】．（24-25高一上·安徽宿州·期末）已知. (1)化简； (2)若，求的值； (3)若为第三象限角，且，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）利用诱导公式和特殊角的三角函数值求解即可； （3）利用诱导公式和同角三角函数关系求出，，再根据余弦的两角和公式求解即可. 【详解】（1）由题意可得. （2）若， 则. （3）因为，所以， 又为第三象限角，所以， 所以. 【变式2】．（25-26高三上·辽宁大连·期中）计算求值. (1)已知，求的值. (2)若，且，求下列式子的值. （i）；（ii）. 【答案】(1). (2)（i），（ii）. 【详解】（1） （2）∵ ∴，则 （i） （ii） 【专题精练】 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·期末）已知圆心角为的扇形其弧长为，则该扇形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出扇形的半径，从而利用扇形面积公式进行求解. 【详解】设扇形的半径为，则，解得， 又扇形弧长，故扇形面积为． 故选：A 2．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有40齿，小轮有25齿，小轮的半径为，若大轮的转速为（转/分），则小轮轮周上一点每秒转过的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设大齿轮的半径为，小齿轮的半径为，结合大齿轮的齿数和小齿轮的齿数得到，解得，由大轮的转速为（转/分），从而得到小轮的转速为，即小轮的转速为，故小轮轮周上一点每秒转过的弧长为计算得解. 【详解】设大齿轮的半径为，小齿轮的半径为， 大齿轮的齿数为，小齿轮的齿数为， 故有，解得，大轮的转速为（转/分）， 则小轮的转速为， 即小轮的转速为， 故小轮轮周上一点每秒转过的弧长为. 故选：B. 3．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将两边平方整理得到，由得到，由得到，从而得到，由和得到，求出利用求出，联立和的等式，解得和，利用求出，从而得到答案. 【详解】，， ，， ，， ，，，，故选项A正确； ， ， ，， ，故选项D错误； 联立，解得，则，故选项B和C正确. 故答案为：D. 4．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用弦化切可求出的值，再将所求代数式化为，代入即可得出所求代数式的值. 【详解】因为，所以， 可得. 故选：A. 5．（24-25高一下·山东东营·期末）若，且是第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式结合同角三角关系可得，再利用诱导公式运算求解. 【详解】因为，即， 且是第三象限角，则， 所以. 故选：B. 6．（24-25高一上·广西百色·期末）已知角的终边过点，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】由三角函数的定义求得，利用诱导公式化为齐次式，进而求解即可. 【详解】因为角的终边过点，所以， 所以 . 故选：D. 7．（24-25高一上·黑龙江鸡西·期末）已知，若，则（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由诱导公式化简函数，由，得到的值，将所求代数式转换为齐次式后分子分母同除，然后代入的值即可得到答案. 【详解】， ∴， . 故选：B 二、多选题 8．（25-26高一上·安徽宿州·期末）下列说法正确的是（ ） A．化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．与的终边相同 【答案】ABD 【分析】根据弧度与角度的互化即可判断ABC，根据终边相同的角的概念即可判断D． 【详解】对于A，对应的弧度为，所以对应的弧度为，故A正确； 对于B，对应的角度为，所以对应的角度为，故B正确； 对于C，对应的弧度为，故C错误； 对于D，，，所以这两个角的终边相同，故D正确； 故选：ABD． 9．（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）下列说法中正确的是（   ） A．终边在直线上角的集合是 B．若角的终边落在第二象限，则角是钝角 C．若角是第一象限的角，则在第一、二、三象限的角 D．周长为定值的扇形中，面积最大时扇形的半径为 【答案】ACD 【详解】对于A，终边落在直线上角的集合是， 终边落在直线上角的集合是， 所以终边在直线上角的集合是，A正确； 对于B，终边落在第二象限的角的集合为， 所以角不一定为钝角，例如，所以B错误； 对于C，因为角是第一象限的角，所以， 由此可得：， 当时，，位于第一象限； 当时，，位于第二象限； 当时，，位于第三象限； 所以为第一、二、三象限的角，C正确； 对于D，设扇形的半径为，弧长为，由题意可知：， 扇形面积为，、均大于零，则， 即，整理有， 当且仅当时，扇形面积取最大值， 此时，解得，所以D正确. 故选：ACD 10．（25-26高一上·河南安阳·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据同角三角函数的基本关系判断选项. 【详解】对于A，因为，所以， ， 所以，故A正确； 对于B，由已知可得， 因为， 所以，故B错误； 对于C，D，由， 可得，所以，故C，D都正确． 故选：ACD 11．（24-25高一上·吉林通化·期末）已知，，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对A，将条件式平方化简得解；对B，利用与的关系，结合求解判断；对C，由选项B，结合条件求出得解；对D，由平方差公式结合选项B求解. 【详解】对于A，由，则，化简得，故A正确； 对于B，由，，则，即， ，，故B正确； 对于C，由，解得，所以，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABD. 12．（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）已知且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】计算即可得出A；根据A判断范围，再利用齐次化思想得到，即可得出B. C；利用齐次化思想得到D. 【详解】由，得，所以，A正确； 因为，所以，，则， 而，得出或， 若，则，与矛盾. 故，故C错误； ，B正确； ，D错误． 故选：AB 13．（24-25高一上·湖北·期末）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用三角函数定义计算可得A错误，将代入计算可判断BD正确，再由诱导公式化简计算即可得出C正确. 【详解】对于A，由三角函数定义可知，即A错误； 对于B，易知，所以，即B正确； 对于C，化简，即C正确； 对于D，将代入可得： 原式，可得D正确. 故选：BCD 14．（24-25高一上·湖北·期末）在数学史上，为了三角计算的简便及计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作．下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．函数的最大值为 【答案】ABC 【分析】AB选项，按照题干信息进行计算即可；C选项，按照题干信息计算得到，再分子分母同除以把弦化切，进行求解；D选项，利用诱导公式及题干信息化简得到，进而求出最大值. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：由， 所以，故C正确； 对D：因为. 当时，取得最大值4.故D错误. 故选：ABC 三、填空题 15．（24-25高一下·上海·期末）已知角终边上一点，则 ． 【答案】 【分析】由三角函数的定义得，再应用诱导公式、齐次式法求值即可. 【详解】由角终边上一点，根据三角函数定义得： 点到原点的距离：， 因此，，所以， 因为，， ，， 所以 分子分母同除以（齐次式弦化切），并把代入得： 原式， 故答案为：. 16．（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的弧长为 . 【答案】cm 【分析】利用弧长公式求解． 【详解】， 故答案为： 17．（24-25高一上·贵州铜仁·期末）已知角的终边过点，则 ． 【答案】 【分析】由三角函数的定义求解. 【详解】因为角的终边过点，故， 原式， 故答案为：. 18．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知为第三象限角，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】由已知条件，利用同角三角函数关系以及角的象限所对应的三角函数值的符号求得的值，再根据为第三象限角，借助同角基本关系式求得的值. 【详解】因为为第三象限角，所以， 所以 ， 则， 又，所以,解得， 又，所以， 故答案为：. 19．（24-25高一上·宁夏石嘴山·期末）已知角的终边经过点，则的值为 . 【答案】 【分析】借助三角函数定义可得，再利用诱导公式及同角三角函数基本关系化简计算即可得. 【详解】由题意可得， 则. 故答案为：. 四、解答题 20．（24-25高一上·湖北武汉·期末）（1）已知，求； （2）已知是第三、四象限角，且，求. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用诱导公式化简，再利用同角三角函数的基本关系即可求值； （2）利用同角三角函数的基本关系化简，再结合是第三、四象限角求解即可. 【详解】（1）原式， 又，所以原式； （2）因为①， 两边平方得， 因为②，所以③， ②+③得， 即，所以， 因为是第三、四象限角，所以， 所以， 所以④， 联立①④，解得，， 所以. 21．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知是第二象限角，且满足． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)-4 【分析】（1）先结合同角三角函数关系得出，再结合已知求出正弦及余弦值，最后作商求出正切； （2）先应用诱导公式，再把齐次式弦化切计算即可. 【详解】（1）因为 ，所以，可得， 所以，即． 又是第二象限角，所以． 联立方程组解得 所以． （2） ． 22．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）已知，. (1)求的值； (2)已知，先化简再求值. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解法一：因为，则， 因为，联立，得， 解得，所以. 解法二：因为，，所以， 所以，即， 因为， 因为，则，所以，，所以. （2）解法一：因为 ， 由（1）得，所以； 解法二： . 由，解得，，所以， 所以. 23．（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知角满足. (1)求的值； (2)若角α是第三象限角，，求的值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据同角三角函数基本关系分象限求解计算； （2）应用诱导公式化简再求值即可. 【详解】（1）由题意和同角三角函数基本关系式，有， 消去得，解得或， 当角是第一象限角时，，，， 因为角是第三象限角，，，. （2）由题意可得， 因为角是第三象限角，所以，所以. 24．（24-25高一上·海南·期末）已知函数. (1)化简； (2)若，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用同角三角函数关系化简； （2）应用诱导公式化简结合同角三角函数关系求值. 【详解】（1）； （2）当时，， 所以，所以 于是， ， 所以. 25．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，射线绕点按逆时针方向旋转角后交单位圆于点，点的纵坐标为． (1)若，求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为锐角的终边与单位圆交于点，所以， 所以， ，将，代入可得 （2）由三角函数定义得，因为， 且，又为锐角，故， 所以，即， 因为， 又，所以， 所以. 故 1 学科网（北京）股份有限公司 $