章末检测卷1 三角函数（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

章末检测卷(一)　三角函数 (时间：120分钟，满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．计算cos (－780°)的值是(　　) A．－　　　　　　　 B．－ C． D． 解析：选C　cos (－780°)＝cos 780° ＝cos (360°×2＋60°)＝cos 60°＝. 2．设角α的终边与单位圆相交于点P，则sin α－cos α的值是(　　) A． B．－ C．－ D． 解析：选C　sin α－cos α＝－－＝－. 3．若sin x·tan x<0，则角x的终边位于(　　) A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 答案：B 4．函数f(x)＝2cos 是(　　) A．最小正周期为2π的奇函数 B．最小正周期为2π的偶函数 C．最小正周期为2π的非奇非偶函数 D．最小正周期为π的偶函数 解析：选A　f(x)＝2cos ＝2cos ＝－2sin x， 故f(x)是最小正周期为2π的奇函数． 5．在直径为20 cm的圆中，165°圆心角所对应的弧长为(　　) A． cm B． cm C． cm D． cm 解析：选B　∵165°＝×165＝， ∴l＝×10＝(cm). 6．函数y＝x cos x＋sin x在区间[－π，π]上的图象可能是(　　) 解析：选A　令f(x)＝x cos x＋sin x， 所以f(－x)＝(－x)cos (－x)＋sin (－x) ＝－x cos x－sin x＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数，排除C，D. 又f(π)＝－π<0，排除B.故选A． 7．已知函数f(x)＝sin (ω>0)，x∈[0，π]的值域为，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D．(0，＋∞) 解析：选C　∵0≤x≤π，∴－≤ωx－≤ωπ－， 又f(x)∈，∴≤ωπ－≤， 由数学运算解得≤ω≤.故选C. 8．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且f(x)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x).若g＝，则f＝(　　) A．－2 B．－ C． D．2 解析：选C　由f(x)为奇函数，可知f(0)＝A sin φ＝0，由|φ|<π可得φ＝0.由f(x)的最小正周期为π可得T＝＝π，所以ω＝2，则f(x)＝A sin 2x.将f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得g(x)＝A sin x的图象，结合已知条件可得g＝A sin ＝，可得A＝2，则f(x)＝2sin 2x.所以f＝2sin ＝.故选C. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．下列结论正确的是(　　) A．－是第三象限角 B．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形面积为 C．若角α的终边过点P(－3，4)，则cos α＝－ D．若角α为锐角，则角2α为钝角 解析：选BC　选项A，－终边与相同，为第二象限角，所以A不正确； 选项B，设扇形的半径为r，r＝π， ∴r＝3，扇形面积为×3×π＝，所以B正确； 选项C，角α的终边过点P(－3，4)， 根据三角函数定义，cos α＝－，所以C正确； 选项D，角α为锐角时，0<α<，0<2α<π， 所以D不正确． 10．在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边经过点P(－1，m)(m>0)，则下列各式的值一定为负的是(　　) A． sin α＋cos α B．sin α－cos α C．sin αcos α D． 解析：选CD　由已知得r＝|OP|＝，则sin α＝ >0，cos α＝－<0，tan α＝－m<0，∴sin α＋cos α的符号不确定，sin α－cos α>0，sin αcos α<0，＝cos α<0.故选CD. 11．已知函数f(x)＝cos (ω>0)的最小正周期为4π，则下列叙述中正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称 B．函数f(x)在区间(0，π)上单调递增 C．函数f(x)的图象向右平移个单位长度后关于原点对称 D．函数f(x)在区间[0，π]上的最大值为－ 解析：选CD　由题意知＝4π，则ω＝， ∴f(x)＝cos .∵f＝cos ≠±1， ∴直线x＝不是f(x)图象的对称轴，A错误； ∵x∈(0，π)，∴x＋∈， 当x＋∈时，f(x)单调递减； 当x＋∈时，f(x)单调递增， ∴f(x)在[0，π]上的最大值为cos ＝－，B错误，D正确； f(x)的图象向右平移个单位长度后得到图象的函数解析式为g(x)＝cos ＝cos ＝－sin x，是奇函数，图象关于原点对称，C正确． 12．将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数g(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象．已知函数g(x)的部分图象如图所示，则下列关于函数f(x)的说法正确的是(　　) A．f(x)的最小正周期为π，最大值为2 B．f(x)的图象关于点中心对称 C．f(x)的图象关于直线x＝对称 D．f(x)在区间上单调递减 解析：选ACD　由图可知，A＝2，T＝4×＝， ∴ω＝＝3. 又由g＝2可得φ＝－＋2kπ，k∈Z， 且|φ|<，∴φ＝－. ∴g(x)＝2sin ， ∴f(x)＝2sin . ∴f(x)的最小正周期为π，最大值为2，选项A正确． 对于选项B，令2x＋＝k′π，k′∈Z，得x＝－，k′∈Z， ∴函数f(x)图象的对称中心为，k′∈Z， 由－＝， 得k′＝，不符合k′∈Z，B错误； 对于选项C，令2x＋＝＋kπ，k∈Z， 得x＝＋，k∈Z， ∴函数f(x)图象的对称轴为直线x＝＋，k∈Z， 当k＝0时，x＝，故C正确． 当x∈时，2x＋∈， ∴f(x)在区间上单调递减， ∴选项D正确．故选ACD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若sin x＝2m＋1，且x∈R，则m的取值范围是________． 解析：∵sin x∈[－1，1]， ∴－1≤2m＋1≤1， ∴－1≤m≤0. 答案：[－1，0] 14．已知cos (45°＋α)＝，则cos (135°－α)＝________． 解析：cos (135°－α)＝cos [180°－(45°＋α)] ＝－cos (45°＋α)＝－. 答案：－ 15．已知函数f(x)＝2sin ，x∈，则f(x)的值域为________． 解析：因为x∈， 所以x＋∈， 所以<2sin ≤2， 所以f(x)∈(，2]. 答案：(，2] 16．有下列说法： ①函数y＝－cos 2x的最小正周期是π； ②终边在y轴上的角的集合是； ③在同一直角坐标系中，函数y＝sin x的图象和函数y＝x的图象有三个公共点； ④把函数y＝3sin 的图象向右平移个单位长度得到函数y＝3sin 2x的图象； ⑤函数y＝sin 在[0，π]上是减函数． 其中正确的说法是__________．(填序号) 解析：对于①，y＝－cos 2x的最小正周期T＝＝π，故①对；对于②，因为k＝0时，α＝0，角α的终边在x轴上，故②错；对于③，作出y＝sin x与y＝x的图象，可知两个函数只有(0，0)一个交点，故③错；对于④，y＝3sin 的图象向右平移个单位长度后，得y＝3sin ＝3sin 2x，故④对；对于⑤，y＝sin ＝－cos x在[0，π]上为增函数，故⑤错． 答案：①④ 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知函数f(x)＝2sin . (1)若点P(1，)是角α终边上一点，求f＋tan α的值； (2)若x∈，求函数g(x)＝sin2x＋f＋2的最小值． 解：(1)若点P(1，)在角α的终边上， 则sin α＝，tan α＝， ∴f＋tan α＝2sin α＋tan α＝＋＝2. (2)由已知得g(x)＝sin2x－2sin x＋2 ＝(sin x－1)2＋1， ∵x∈，∴sin x∈， ∴当sin x＝1，即x＝时，g(x)有最小值， 最小值为1. 18．(12分)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<2π)的部分图象如图所示，且f(0)＝f . (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求f(x)的解析式，并写出它的单调递增区间． 解：(1)由题意知，函数图象的一条对称轴为直线 x＝＝，则＝－＝， 所以T＝π. 所以函数f(x)的最小正周期是π. (2)由图可知，A＝2. 因为T＝π，所以ω＝＝2. 又因为f ＝－2， 所以2sin ＝－2， 即sin ＝－1. 所以＋φ＝2kπ－，k∈Z， 即φ＝2kπ－，k∈Z. 因为0<φ<2π，所以φ＝. 所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin . 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 解得kπ－≤x≤kπ－，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z. 19．(12分)已知函数f(x)＝a sin ＋a＋b. (1)当a＝1时，求函数f(x)的单调递减区间； (2)当a<0时，函数f(x)在[0，π]上的值域为[2，3]，求a，b的值． 解：(1)当a＝1时，函数f(x)＝sin ＋1＋b. 因为函数y＝sin x的单调递减区间为(k∈Z)， 所以当2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)， 即2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)时，f(x)是减函数． 所以函数f(x)的单调递减区间是(k∈Z). (2)f(x)＝a sin ＋a＋b， 因为x∈[0，π]，所以－≤x－≤， 所以－≤sin ≤1. 又因为a<0，所以a≤a sin ≤－a， 所以a＋a＋b≤f(x)≤b. 因为函数f(x)的值域是[2，3]， 所以a＋a＋b＝2且b＝3，解得a＝1－，b＝3. 20．(12分)如图，函数y＝2cos (ωx＋θ)的图象与y轴相交于点(0，)，且其最小正周期是π. (1)求θ和ω的值； (2)已知点A，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝，x0∈时，求x0的值． 解：(1)将(0，)代入y＝2cos (ωx＋θ)，得cos θ＝， 因为0≤θ≤，所以θ＝. 由最小正周期是π，且ω>0，得ω＝＝＝2. (2)由已知得P，将点P的坐标代入y＝2cos 中，得cos ＝. 又≤x0≤π，所以≤4x0－≤， 所以4x0－＝或，解得x0＝或. 21．(12分)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x＝时，f(x)取得最大值3；当x＝时，f(x)取得最小值－3. (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数f(x)的单调递减区间； (3)若x∈时，函数h(x)＝2f(x)＋1－m的图象与x轴有两个交点，求实数m的取值范围． 解：(1)由题意，A＝3，T＝2＝π，ω＝＝2. 由2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 得φ＝＋2kπ，k∈Z， 又因为－π<φ<π，所以φ＝. 所以f(x)＝3sin . (2)由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 得＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z， 则＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递减区间为 ，k∈Z. (3)由题意知，方程sin ＝在上有两个根． 因为x∈，所以2x＋∈. 所以∈. 所以m∈[3＋1，7). 22．(12分)已知函数f(x)＝2sin . (1)求函数f(x)的最小值及f(x)取到最小值时自变量x的集合； (2)指出函数y＝f(x)的图象可以由函数y＝sin x的图象经过哪些变换得到； (3)当x∈[0，m]时，函数y＝f(x)的值域为[－，2]，求实数m的取值范围． 解：(1)f(x)min＝－2，此时2x－＝2kπ－，k∈Z， 即x＝kπ－，k∈Z， 即此时自变量x的集合是 . (2)把函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象，再把函数y＝sin 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数y＝sin 的图象， 最后再把函数y＝sin 的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到函数y＝2sin 的图象． (3)函数f(x)的图象如图所示， 因为当x∈[0，m]时，y＝f(x)取到最大值2， 所以m≥. 又函数y＝f(x)在上是减函数，f(0)＝－， 故m的最大值为内使函数值为－的值， 令2sin ＝－，得x＝， 所以m的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $