课时作业42 柱、锥、台的侧面展开与面积&柱、锥、台的体积（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

课时作业(四十二)　柱、锥、台的侧面展开与面积柱、锥、台的体积 [基础达标练] 1．如下图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E是棱AB上一点，M是棱D1C1上一点，则三棱锥E­MCD的体积是(　　) A．　　　　　　　 B． C． D． 解析：选C　S△MCD＝，三棱锥E­MCD的高h＝1， 故VE­MCD＝·S△MCD·h＝××1＝.故选C. 2．母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于120°，则该圆锥的体积为(　　) A．π B．π C．π D．π 解析：选A　母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于120°，则扇形的弧长为l＝αR＝，则圆锥的底面圆的半径满足2πr＝⇒r＝，圆锥的高h＝ ＝，则圆锥的体积是V＝Sh＝π. 3．如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为(　　) A．5π B．6π C．20π D．10π 解析：选D　用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π， 故所求几何体的体积为10π. 4．(多选)已知△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，则下列说法正确的是(　　) A．以BC所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15π B．以AB所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为 C．以AC所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为25π D．以AC所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π 解析：选ABD　以BC所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为3，母线长为5，高为4的圆锥，其侧面积为π×3×5＝15π，故A正确； 以AB所在直线为轴旋转时，所得旋转体是具有同底的两个圆锥体的组合体，其半径为，故所得旋转体的体积为V＝π××5＝，故B正确； 以AC所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为4，母线长为5，高为3的圆锥，侧面积为π×4×5＝20π，体积为×π×42×3＝16π，故C错误，D正确． 5．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且＝，则的值是__________. 解析：设甲、乙两个圆柱的底面半径和高分别为r1，h1，r2，h2，则2πr1h1＝2πr2h2，故有＝.又＝，得＝＝，故＝，得＝＝＝. 答案： 6．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为__________． 解析：设新的底面半径为r，由题意得 ×π×52×4＋π×22×8＝×π×r2×4＋π×r2×8， ∴r2＝7，∴r＝. 答案： 7．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥． (1)求剩余部分的体积； (2)求三棱锥A­A1BD的体积及高． 解：(1) ＝S△ABD·A1A＝×·AB·AD·A1A＝a3. 故剩余部分的体积 V＝V正方体－＝a3－a3＝a3. (2) ＝a3. 设三棱锥A­A1BD的高为h， ＝××(a)2h＝a2h， 故a2h＝a3，解得h＝a． 8．如图所示，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5 cm，BC＝16 cm，AD＝4 cm，求： (1)以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积； (2)以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积． 解：(1)以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台， 其上底面半径是4 cm，下底面半径是16 cm，母线DC＝＝13(cm)， 所以该几何体的表面积为π×(4＋16)×13＋π×42＋π×162＝532π(cm2). (2)以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体， 如图所示，其中圆锥的高为16－4＝12(cm)， 由(1)可知圆锥的母线DC长为13 cm， 又圆柱的母线AD长为4 cm. 故该几何体的表面积为2π×5×4＋π×52＋π×5×13＝130π(cm2). [能力提升练] 9．(多选)把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，则这个圆柱的体积为(　　) A． B． C． D． 解析：选AD　设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则 ①当2πr＝6时，r＝，l＝3， 所以V圆柱＝πr2.l＝π··3＝. ②当2πr＝3时，r＝，l＝6， 所以V圆柱＝πr2·l＝π··6＝. 所以所得圆柱的体积为或. 10．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等．现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是半径为3的圆的三分之一，则该几何体的体积为(　　) A．π B．π C．4π D．π 解析：选A　由题意可知，该几何体的体积等于圆锥的体积， ∵圆锥的侧面展开图恰为一个半径为3的圆的三分之一， ∴圆锥的底面周长为＝2π， ∴圆锥的底面半径为1，母线长为3， ∴圆锥的高为＝2， ∴圆锥的体积V圆锥＝×π×12×2＝π. 从而所求几何体的体积为V＝π. 11．学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD­A1B1C1D1挖去四棱锥O­EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm，3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g. 解析：依题意知V长方体ABCD­A1B1C1D1＝6×6×4＝144(cm3)， V四棱锥O­GHEF＝×3×(6×4－6×2)＝12(cm3)， ∴V模型＝144－12＝132(cm3). ∴制作该模型所需原料的质量为0.9 V模型＝0.9×132＝118.8(g). 答案：118.8 12．一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为(　　) A． B． C．2 D． 解析：选D　因为E，F，F1，E1分别为所在棱的中点， 所以棱柱EFCB­E1F1C1B1的体积V＝S梯形EFCB×3＝S△ABC×3＝S△ABC.设图甲中水面的高度为h， 则S△ABC×h＝S△ABC，解得h＝. 13．如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积． 解：如图，连接EB，EC，AC. V四棱锥E­ABCD＝×42×3＝16. ∵AB＝2EF，EF∥AB， ∴S△EAB＝2S△BEF. ∴V三棱锥F­EBC＝V三棱锥C­EFB ＝V三棱锥C­ABE ＝V三棱锥E­ABC ＝×V四棱锥E­ABCD＝4. ∴多面体的体积V＝V四棱锥E­ABCD＋V三棱锥F­EBC ＝16＋4＝20. [素养拓展练] 14．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化公路上的积雪之用)，已建仓库的底面直径为12 m，高4 m．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变). (1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积和表面积． (2)哪个方案更经济？ 解：(1)方案一中仓库的底面直径变成16 m，半径r1为8 m，高h1为4 m，则圆锥的母线长l1＝4 m，所以仓库的体积V1＝πrh1＝π(m3).表面积S1＝πr1l1＝32π(m2). 方案二中仓库的高h2变成8 m，半径r2为6 m，则圆锥的母线长为l2＝10 m．所以仓库的体积V2＝πrh2＝π(m3)，表面积S2＝πr2l2＝60π(m2). (2)∵V2>V1，S2<S1， 故方案二比方案一更经济． 学科网（北京）股份有限公司 $