课时作业19 向量的数量积（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

课时作业(十九)　向量的数量积 [基础达标练] 1．如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成60°角．则当小车向前运动10 m时，力F做的功为(　　) A．100 J　　　　　　　 B．50 J C．50 J D．200 J 解析：选B　由题意，根据向量的数量积的定义，可得力F做的功W＝F·s＝10×10cos 60°＝50(J)，故选B. 2．(多选)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论正确的是(　　) A．e1在e2上的投影向量为cos θe2 B．e＝e C．(e1＋e2)⊥(e1－e2) D．e1·e2＝1 解析：选ABC　因为两个单位向量e1，e2的夹角为θ， 则|e1|＝|e2|＝1，则e1在e2上的投影向量为|e1|cos θe2＝cos θe2，故A正确； e＝e＝1，故B正确； (e1＋e2)·(e1－e2)＝e－e＝0， 故(e1＋e2)⊥(e1－e2)，故C正确； e1·e2＝|e1||e2|cos θ＝cos θ，故D错误． 3．已知|a|＝8，e为单位向量，当它们的夹角为时，a在e方向上的投影数量为(　　) A．4 B．4 C．4 D． 8＋ 解析：选B　设a，e的夹角为α，则α＝. a在e方向上的投影数量为|a|cos α＝8×cos ＝4. 4．如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中，最大的是(　　) A．· B．· C．· D．· 解析：选A　由向量数量积的几何意义只需比较，，，在上投影的数量即可． 由正六边形的性质可知在上投影的数量大于在上投影的数量，||>0.而·＝0，·<0，故选A． 5．已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为__________． 解析：由题意，得a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0， 即a·b＝－2a2， 所以cos 〈a，b〉＝＝＝－， 所以〈a，b〉＝. 答案： 6．下列命题： ①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；③|a||b|<a·b；④非零向量a，b满足a·b>0，则a与b的夹角为锐角；⑤若a，b的夹角为θ，则|b|cos θ表示向量b在向量a上的投影数量，其中正确的是____________(填序号). 解析：由于a2≥0，b2≥0，所以若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故①正确；若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量，所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，故②正确；对于③，应有|a||b|≥a·b，故③错；当a与b的夹角为0°时，也有a·b>0，故④错；由投影数量的定义知，|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的投影数量，故⑤正确．综上可知①②⑤正确． 答案：①②⑤ 7．已知|a|＝5，|b|＝4. (1)若a与b的夹角为θ＝120°. ①求a·b； ②求a在b方向上的投影向量． (2)若a∥b，求a·b. 解：(1)①a·b＝|a||b|cos θ＝5×4×cos 120°＝－10. ②a在b方向上的投影向量为|a|·cos θ＝5××＝－b. (2)∵a∥b，∴a与b的夹角为θ＝0°或180°. 当θ＝0°时，a·b＝|a||b|cos 0°＝20. 当θ＝180°时，a·b＝|a||b|cos 180°＝－20. 8．已知a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝5，|c|＝7. (1)求a与b的夹角θ； (2)是否存在实数λ，使λa＋b与a－2b共线？ (3)是否存在实数μ，使μa＋b与a－2b垂直？ 解：(1)∵a＋b＋c＝0， ∴a＋b＝－c，∴|a＋b|＝|c|. ∴(a＋b)2＝c2，即a2＋2a·b＋b2＝c2， a·b＝ ＝＝＝. 又∵a·b＝|a|·|b|cos θ， ∴＝3×5×cos θ，∴cos θ＝，θ＝60°. (2)假若存在λ，使(λa＋b)∥(a－2b)， ∴存在实数k使得λa＋b＝k(a－2b)＝ka－2kb. ∴∴λ＝k＝－. ∴存在λ＝－，使得(λa＋b)∥(a－2b)， 即存在λ＝－，使得λa＋b与a－2b共线． (3)假若存在μ，使(μa＋b)⊥(a－2b)， ∴(μa＋b)·(a－2b)＝0. ∴μa2－2b2－2μa·b＋a·b＝0， ∴9μ－2×25－2μ×＋＝0， ∴μ＝－. ∴存在μ＝－，使得μa＋b与a－2b垂直． [能力提升练] 9．(多选)已知正三角形ABC的边长为2，设＝2a，＝b，则下列结论正确的是(　　) A．|a＋b|＝1 B．a⊥b C．(4a＋b)⊥b D．a·b＝－1 解析：选CD　分析知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角是120°，故B结论错误； ∵(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3， ∴|a＋b|＝，故A结论错误； ∵(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝4×1×2×cos 120°＋4＝0， ∴(4a＋b)⊥b，故C结论正确； a·b＝1×2×cos 120°＝－1，故D结论正确． 10. 已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于(　　) A．－7 B．7 C．25 D．－25 解析：选D　由题意知∠ABC＝90°， 所以原式＝0＋4×5cos (180°－C)＋5×3cos (180°－A)＝－20cos C－15cos A ＝－20×－15×＝－16－9＝－25. 11．设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________． 解析：a，b为单位向量，且|a＋b|＝1， ∴|a＋b|2＝1. ∴a·b＝－， ∴|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝3， ∴|a－b|＝. 答案： 12. 已知|a|＝2，|b|＝1，(2a－3b)·(2a＋b)＝9. (1)a与b之间的夹角θ＝________； (2)向量a在a＋b方向上的投影数量为________． 解析：(1)(2a－3b)·(2a＋b)＝4a2－4a·b－3b2＝9， 即16－4a·b－3＝9， ∴a·b＝1，∴cos θ＝＝. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝. (2)|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝7， 即|a＋b|＝. 设a与a＋b的夹角为α， 则向量a在a＋b方向上的投影数量为 |a|cos α＝|a|×＝ ＝＝＝. 答案：(1)　(2) 13．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，＝2. (1)若四边形ABCD是矩形，求·的值； (2)若四边形ABCD是平行四边形，且·＝6，求与夹角θ的余弦值． 解：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以·＝0， 由＝2，得＝，＝＝－. 所以·＝(＋)·(＋) ＝· ＝2－·－2 ＝36－×81＝18. (2)由题意，＝＋＝＋ ＝＋， ＝＋＝＋ ＝－， 所以·＝· ＝2－·－2 ＝36－·－18 ＝18－·. 又·＝6，所以18－·＝6， 所以·＝36. 又·＝||·||cos θ ＝9×6×cos θ＝54cos θ， 所以54cos θ＝36，即cos θ＝. 所以与夹角的余弦值为. [素养拓展练] 14．已知非零向量，和满足·＝0，且＝，试判断△ABC的形状． 解：∵，分别表示与，同向的单位向量， ∴以，为邻边的平行四边形为菱形． ∴表示向量＋的有向线段在∠A平分线上， ∴由·＝0 知∠A的平分线垂直于BC，∴△ABC为等腰三角形． 又＝cos C ＝， ∴∠C＝，从而可知∠A＝， 所以△ABC为等腰直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $