课时作业17 平面向量基本定理（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

课时作业(十七)　平面向量基本定理 [基础达标练] 1．(多选)如果{e1，e2}是平面α内所有向量的一组基，那么下列说法正确的是(　　) A．若存在实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0 B．对平面α中任意向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R C．λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)不一定在平面α内 D．对于平面α内任意向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对 解析：选AB　易知A正确；B正确，平面中的任意向量都可以用一组基表示；C错，在平面α内任意向量都可表示为λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；D错，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是无数对． 2．如图所示，在矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，则等于(　　) A．(5e1＋3e2) B．(5e1－3e2) C．(3e2－5e1) D．(5e2－3e1) 解析：选A　＝＝(－)＝(＋) ＝(5e1＋3e2). 3．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2，则(　　) A．x＝，y＝ B．x＝，y＝ C．x＝，y＝ D．x＝，y＝ 解析：选A　由题可知＝＋，又＝2. 所以＝＋＝＋(－)＝＋， 所以x＝，y＝，故选A． 4．如图，在△ABC中，＝，＝3，若＝a，＝b，则＝(　　) A．a＋b B．－a＋b C．a＋b D．－a＋b 解析：选B　因为＝3，所以－＝3(－). 所以4＝＋3. 因为＝，所以＝， 所以4＝＋， 所以4＝－＋(－)＝－2＋， 所以＝－＋，所以＝－a＋b. 5．在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________． 解析：如图所示，连接MN并延长交AB的延长线于点T. 由已知易得AB＝AT， ∴＝ ＝λ＋μ， 即＝λ＋μ. ∵T，M，N三点共线，∴λ＋μ＝1，即(λ＋μ)＝1. ∴λ＋μ＝. 答案： 6．如图，在△MAB中，C是边AB上的一点，且AC＝5CB，设＝a，＝b，则＝________．(用a，b表示) 解析：＝＋＝＋ ＝＋(－) ＝＋ ＝a＋b. 答案：a＋b 7．如图，在平行四边形ABCD中，设＝a，＝b，试用a，b表示，. 解：法一：设AC，BD交于点O， 则有＝＝＝a，＝＝＝b. 所以＝＋＝－＝a－b， ＝＋＝a＋b. 法二：设＝x，＝y， 则＝＝y， 又 所以解得x＝a－b，y＝a＋b， 即＝a－b，＝a＋b. 8．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)证明：{a，b}可以作为一组基； (2)选择基{a，b}，试写出向量c＝3e1－e2在此基下的分解式． 解：(1)证明：假设a＝λb(λ∈R)， 则e1－2e2＝λ(e1＋3e2). 由e1，e2不共线，得 所以λ不存在． 故a与b不共线，可以作为一组基． (2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)， 则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2) ＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2. 所以解得 所以c＝2a＋b. [能力提升练] 9．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，则下列结论正确的是(　　) A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向 C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向 解析：选D　∵c∥d，∴c＝λd， 即ka＋b＝λ(a－b)＝λa－λb. 又∵a，b不共线，∴∴ ∴c＝－d，∴c与d反向． 10.在△ABC中，已知AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于H，M为AH的中点，若＝λ＋μ，则λ，μ的值分别是(　　) A．，　　　　　　 B．， C．， D．， 解析：选B　＝＝(＋)， 因为AH⊥BC，∠ABC＝60°， 所以BH＝1，所以BH＝BC， 故＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋， 故λ＝，μ＝. 11．已知向量a在基{e1，e2}下可以表示为a＝2e1＋3e2，若a在基{e1＋e2，e1－e2}下可以表示为a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，则λ＝____________，μ＝________． 解析：由条件可知解得 答案：　－ 12．如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2 .若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________． 解析：如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作▱OMCN，使得M在直线OA上，N在直线OB上， 则存在λ，μ，使＝λ，＝μ， 即＝＋＝λ＋μ. 在Rt△OCM中，∵||＝2 ，∠COM＝30°， ∴||＝4，∴＝4， 又||＝||＝2，∴＝2， ∴＝＋＝4＋2， 即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6. 答案：6 13．已知△OAB中，延长BA到C，使AB＝AC，D是将分成2：1的一个分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b. (1)用a，b表示向量，； (2)若＝λ，求实数λ的值． 解：(1)∵A为BC中点， ∴＝(＋)，＝2a－b. ∴＝－＝－ ＝2a－b－b＝2a－b. (2)∵＝λ. ∴＝－＝λ－ ＝λa－2a＋b＝(λ－2)a＋b. ∵与共线， ∴存在实数m，使得＝m， 即(λ－2)a＋b＝m， 即(λ＋2m－2)a＋b＝0. ∵a，b不共线，∴ 解得λ＝. [素养拓展练] 14．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：＝＋. (1)求△ABM与△ABC的面积之比； (2)若N为AB中点，AM与CN交于点O，设＝x＋y，求x，y的值． 解：(1)如图，由＝＋可知M，B，C三点共线，令＝λ⇒＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ⇒λ＝，所以＝，即面积之比为1∶4. (2)由＝x＋y⇒＝x＋， ＝＋y，由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线⇒ ⇒ 学科网（北京）股份有限公司 $