课时作业16 向量的数乘与向量共线的关系（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

课时作业(十六)　 向量的数乘与向量共线的关系 [基础达标练] 1．下列各组向量中，一定能推出a∥b的是(　　) ①a＝－3e，b＝2e； ②a＝e1－e2，b＝－e1； ③a＝e1－e2，b＝e1＋e2＋. A．①　　　　　　　　 B．①② C．②③ D．①②③ 解析：选B　①中，a＝－b，所以a∥b； ②中，b＝－e1＝＝－a，所以a∥b； ③中，b＝＝(e1＋e2)，若e1与e2共线， 则a与b共线，若e1与e2不共线，则a与b不共线． 2．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交DC于点F，若＝a，＝b，则＝(　　) A．a＋b B．a＋b C．a＋b D．a＋b 解析：选A　由已知条件可知BE＝3DE， 所以DF＝AB， 所以＝＋＝＋＝a＋b. 3．若＝3e1，＝－5e1，且||＝||，则四边形ABCD是(　　) A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．不等腰的梯形 解析：选C　因为＝－， 所以AB∥CD，且||≠||， 而||＝||， 所以四边形ABCD为等腰梯形． 4．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，又＝t，则t的值为(　　) A． B． C． D． 解析：选A　∵＝－， ＝－， ∴－＝t(－)， ∴＝(1－t)＋t＝＋， ∴t＝. 5．下列向量中a，b共线的有________________(填序号). ①a＝2e，b＝－2e；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2； ③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2. 解析：①中，a＝－b；②中，b＝－2e1＋2e2＝－2(e1－e2)＝－2a；③中，a＝4e1－e2＝4＝4b；④中，当e1，e2不共线时，a≠λb. 答案：①②③ 6．设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k＝__________． 解析：因为A，B，D三点共线， 故存在一个实数λ，使得＝λ， 又＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2， 所以＝－＝3e1－2ke2－(ke1＋e2) ＝(3－k)e1－(2k＋1)e2， 所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2， 所以 解得k＝－. 答案：－ 7．如图，在△ABC中，已知＝a，＝c，O为△ABC的重心，求＋.(用a，c表示) 解析：连接AO并延长交BC于点D， 则＋＝＋＋＋＝2. 又＝，＝(＋)＝(a－c)， 所以＋＝2＝＝(a－c). 8．设a，b是两个不共线的非零向量，若向量2ka＋b与8a＋kb的方向相反，求k的值． 解：由题意可知存在实数λ使2ka＋b＝λ(8a＋kb)， 即2ka＋b＝8λa＋λkb， ∴解得或 ∵2ka＋b与8a＋kb的方向相反， ∴k＝2不符合题意，舍去， ∴k＝－2. [能力提升练] 9．如图所示，向量，，的终点A，B，C在同一条直线上，且＝－3.设＝p，＝q，＝r，则下列等式中成立的是(　　) A．r＝－p＋q B．r＝－p＋2q C．r＝p－q D．r＝－q＋2p 解析：选A　∵＝－3，∴(－)＝－3(－)， ∴＝－＋， 即r＝－p＋q.故选A． 10．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝－λ，λ∈(0，＋∞)，则P点的轨迹一定通过△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 解析：选C　如图，取BC中点D， 则＝， ∴＝－λ， ＝(λ>0)， 故P点在中线上，故选C. 11．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则(　　) A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝ 解析：选D　∵向量m与向量n共线， ∴设m＝λn(λ∈R)， ∴－e1＋ke2＝λe2－2λe1， ∵e1与e2不共线， ∴∴ 12．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m等于________． 解析：设BC的中点为D，则＋＝2. 由已知条件可得M为△ABC的重心， 则＝， 故＋＝3. 即m＝3. 答案：3 13．已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)(λ∈R，λ≠0，且λ≠1). (1)求证：A，B，M三点共线； (2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围． 解：(1)证明：因为＝λ＋(1－λ)，所以＝λ＋－λ， －＝λ－λ， 所以＝λ(λ∈R，λ≠0，且λ≠1). 又与有公共点A，所以A，B，M三点共线． (2)由(1)知＝λ，又点B在线段AM上， 则与同向，且||>||>0，所以λ>1. [素养拓展练] 14．已知P是△ABC所在平面内的点，且＋2＋3＝3. (1)求证：点P在直线AB上； (2)求△PAC与△PBC的面积之比． 解析：(1)证明：因为＝－. 所以＋2＋3＝3可化为＋2＋3＝3(－)， 即2＝－4，得＝－2， 故∥，又，共起点， 所以点P在直线AB上． (2)由(1)知，点P在底边AB上，且PB＝2PA． 因为△PAC与△PBC同高， 所以△PAC与△PBC的面积之比为＝. 学科网（北京）股份有限公司 $