课时作业1 周期变化（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

课时作业(一)　周期变化 [基础达标练] 1．下列说法： ①若T是f(x)的周期，则2T也是f(x)的周期； ②若T是f(x)的周期，则也是f(x)的周期； ③已知x0为y＝f(x)定义域上的某一个值，T是非零常数，若f(x0＋T)＝f(x0)，则T是y＝f(x)的周期． 其中正确的个数是(　　) A．0　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 解析：选B　根据函数的周期的定义可知，若T是f(x)的周期，即对定义域内的任意x，都有f(x＋T)＝f(x)， 则f(x＋2T)＝f(x＋T)＝f(x)，即2T也是f(x)的周期，故①正确；显然不一定是函数的周期， 如f(x)＝|x－2n|，x∈[2n－1，2n＋1]，其周期为2，由图象(图略)知1不是该函数的周期，显然③不满足周期的定义，故③错误；即正确的只有一个． 2．若f(x)满足f(x＋2)－f(x)＝0，且f(1)＝2，则f(5)的值为(　　) A．4　　　　　　　 B．3 C．2 D．1 解析：选C　∵f(x＋2)＝f(x)， ∴2是f(x)的周期， ∴f(5)＝f(1)＝2.故选C. 3．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1]时，f(x)＝则f的值为(　　) A．－1 B．－ C． D． 解析：选B　∵2是f(x)的周期， ∴f＝f＝f， ∴f＝－＝－.故选B. 4．奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)＝f (1－x)，则函数f(x)的一个周期为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选A　∵f(1＋x)＝f(1－x)， ∴f(x＋2)＝f[1－(1＋x)]＝f(－x). 又f(x)是奇函数，∴f(x＋2)＝－f(x)， 即f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 故4是f(x)的一个周期．故选A． 5．函数f(x)＝(－1)[x]的周期为________． 解析：画出f(x)的图象知f(x)的周期为2. 答案：2 6．当x∈N时，函数y＝2＋(－1)n的周期为________． 解析：当n∈N时，函数的取值依次为3，1，3，1，…， 故函数的周期为2. 答案：2 7．已知f(x)是定义在R上的周期为4的偶函数，当x∈[－2，0]时，f(x)＝－2x，则f(5)＝________． 解析：∵f(x)是定义在R上的周期为4的偶函数， 当x∈[－2，0]时，f(x)＝－2x， ∴f(5)＝f(1)＝f(－1)＝－2－1＝－. 答案：－ 8．已知定义在R上的偶函数f(x)，对任意实数x都有f(x＋4)＝－f(x)＋2.若f(2)＝3，则f(2 022)的值为________． 解析：由f(x＋4)＝－f(x)＋2得 f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＋2＝f(x). ∴8是f(x)的周期， ∴f(2 022)＝f(6＋8×251)＝f(6)＝f(－2). 又∵f(x)是偶函数， ∴f(－2)＝f(2)＝3，∴f(2 022)＝3. 答案：3 [能力提升练] 9．偶函数y＝f(x)的图象关于x＝2对称，且f(3)＝3，则f(－1)的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C　∵f(x)的图象关于x＝2对称， ∴f(x)＝f(4－x)，即f(4＋x)＝f(－x). 又f(x)为偶函数，∴f(4＋x)＝f(x)， ∴4是f(x)的周期，∴f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3.故选C. 10．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则下列结论正确的是(　　) A．f(－25)<f(11)<f(80) B．f(80)<f(11)<f(－25) C．f(11)<f(80)<f(－25) D．f(－25)<f(80)<f(11) 解析：选D　由函数f(x)是奇函数且f(x)在[0，2]上是增函数可以推知，f(x)在[－2，2]上递增，又f(x－4)＝－f(x)⇒f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，故函数f(x)以8为周期，所以f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(3－4)＝f(1)，f(80)＝f(0)，故f(－25)<f(80)<f(11). 11．已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>时，f＝f.则f(6)＝________． 解析：当x>0时，x＋>， 所以f＝f， 即f(x＋1)＝f(x)， 所以f(6)＝f(5)＝f(4)＝…＝f(1)＝－f(－1)＝2. 答案：2 12．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f＝－f成立． (1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期； (2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值． 解：(1)证明：由f＝－f， 且f(－x)＝－f(x)，知f(3＋x)＝f ＝－f＝－f(－x)＝f(x)， 所以y＝f(x)是周期函数，且T＝3是其一个周期． (2)因为f(x)为定义在R上的奇函数， 所以f(0)＝0，且f(－1)＝－f(1)＝－2， 又T＝3是y＝f(x)的一个周期， 所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2. [素养拓展练] 13．已知定义在R上的奇函数f(x)满足：f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间 [－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________． 解析：①根据“R上的奇函数f(x)”，可知函数图象关于坐标原点对称且f(0)＝0，根据“在区间[0，2]上是增函数”，可得函数在[－2，0]上是增函数，从而可以得出函数f(x)在[－2，2]上单调递增，可以画出函数在[－2，2]上的特征图象；②根据“f(x－4)＝－f(x)”，可得f(4－x)＝f(x)，可知函数f(x)的图象关于直线x＝2对称；③根据①②，可得函数在[－2，6]上的特征图象；④f(x－4)＝－f(x)⇒f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，即函数以8为周期，这样就清楚了函数f(x)图象的特征，画出特征图象即可找到问题的答案．根据上面的分析，可知函数在[－8，8]上的特征图象(如图所示)，根据图象不难看出方程f(x)＝m(m>0)的两根关于直线x＝2对称、两根关于直线x＝－6对称，故四个根的和为2×(－6)＋2×2＝－8. 答案：－8 学科网（北京）股份有限公司 $