章末复习课6 立体几何初步（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

该高中数学必修第二册章末复习课件系统梳理了立体几何核心内容，涵盖几何体表面积与体积计算、空间平行关系、垂直关系及空间角问题，通过体系构建形成知识网络，明确公式法、等积法等解题方法与不同问题类型的对应逻辑，帮助学生建立完整知识框架。 其亮点在于采用“方法总结-角度示例-跟踪训练”复习模式，如用分割法、补形法求不规则几何体体积，结合线面平行判定定理证明等例题，培养学生数学思维与空间观念。跟踪训练分层设计，从基础计算到综合证明，助力学生巩固知识，也为教师提供精准复习指导，提升教学效率。

章 末 复 习 课 章末复习课 必修第二册 数学 章末复习课 必修第二册 数学 章末复习课 必修第二册 数学 章末复习课 必修第二册 数学 章末复习课 必修第二册 数学 章末复习课 必修第二册 数学 章末复习课 必修第二册 数学 章末复习课 必修第二册 数学 章末复习课 必修第二册 数学 章末复习课 必修第二册 数学 章末复习课 必修第二册 数学 章末复习课 必修第二册 数学 章末复习课 必修第二册 数学 章末复习课 必修第二册 数学 章末复习课 必修第二册 数学 章末复习课 必修第二册 数学 章末复习课 必修第二册 数学 章末复习课 必修第二册 数学 章末复习课 必修第二册 数学 章末复习课 必修第二册 数学 章末复习课 必修第二册 数学 章末复习课 必修第二册 数学 章末复习课 必修第二册 数学 章末复习课 必修第二册 数学 章末复习课 必修第二册 数学 章末复习课 必修第二册 数学 章末复习课 必修第二册 数学 章末复习课 必修第二册 数学 章末复习课 必修第二册 数学 章末复习课 必修第二册 数学 章末复习课 必修第二册 数学 章末复习课 必修第二册 数学 章末复习课 必修第二册 数学 章末复习课 必修第二册 数学 章末复习课 必修第二册 数学 章末复习课 必修第二册 数学 章末复习课 必修第二册 数学 章末复习课 必修第二册 数学 章末复习课 必修第二册 数学 章末复习课 必修第二册 数学 章末复习课 必修第二册 数学 章末复习课 必修第二册 数学 章末复习课 必修第二册 数学 章末复习课 必修第二册 数学 谢谢观看 章末复习课 必修第二册 数学 一、几何体的表面积、体积 1．几何体的表面积及体积的计算 现实生活中经常遇到的问题，在计算中应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、台体，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的应用． 2．常见的求几何体体积的方法 (1)公式法：直接代入公式求解． (2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可． (3)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 3．与球有关的组合体主要有“接”和“切”两种 解题时要认真分析图形，明确接点切点的位置，确定元素间的数量关系，并作出合适的截面．若几何体为正方体、长方体，则其体对角线长等于球的直径． 角度1　分割法求体积 对于不规则多面体，求体积时可将其分割成容易求解的几部分，从而求出多面体的体积． [例1]　如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2 eq \r(3) ，BC＝CD＝2，∠ACB＝∠ACD＝ eq \f(π,3) . (1)求证：BD⊥平面PAC； (2)若侧棱PC上的点F满足PF＝7FC，求三棱锥P­BDF的体积． [解]　(1)证明 ∵BC＝CD， ∴△BCD为等腰三角形． ∵∠ACB＝∠ACD，∴BD⊥AC. ∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD. 又∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC. (2)设AC与BD交于点O. 在Rt△BCO中，OC＝ eq \f(1,2) BC＝ eq \f(1,2) ×2＝1， BO＝ eq \r(BC2－OC2) ＝ eq \r(3) ， 故S△BCD＝ 2S△BOC＝2× eq \f(1,2) × eq \r(3) ×1＝ eq \r(3) . 由PA⊥底面ABCD，得VP­BCD＝ eq \f(1,3) ·S△BCD·PA＝ eq \f(1,3) × eq \r(3) ×2 eq \r(3) ＝2. 由PF＝7FC，得三棱锥F­BCD的高为 eq \f(1,8) PA， 故VF­BCD＝ eq \f(1,3) ·S△BCD· eq \f(1,8) PA＝ eq \f(1,3) × eq \r(3) × eq \f(1,8) ×2 eq \r(3) ＝ eq \f(1,4) ， 所以VP­BDF＝VP­BCD－VF­BCD＝2－ eq \f(1,4) ＝ eq \f(7,4) . 角度2　补形法求体积 [例2]　如图，将两个直角边长分别为5和12的直角三角形对接成三棱锥A­BCD，其中AC＝BD＝5 ，BC＝12，作AA′∥BC，且使得AA′＝BC，∠A′BD＝ 60°，则三棱锥A­BCD的体积为__________． [解析]　如图，过点D作DD′∥BC，且使得DD′＝BC，将原图形补形为直三棱柱，则有VA­D′CD＝VA­BCD＝VA­A′BD. 又∠A′BD＝60°，则△A′BD为等边三角形， 且边长为5. 故VA­BCD＝ eq \f(1,3) VACD′­A′BD＝ eq \f(1,3) S△A′BD·BC＝25 eq \r(3) . [答案]　25 eq \r(3) 1．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则四棱锥A­BB1D1D的体积为__________cm3. 答案：6 2．已知底面边长为1，侧棱长为 eq \r(2) 的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为(　　) A． eq \f(32π,3) 　　　　　　　 B．4π C．2π D． eq \f(4π,3) 答案：D 二、空间中平行关系 1．判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)； (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒α∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒ a∥β). 2．证明面面平行的方法 (1)利用面面平行的定义； (2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行； (3)垂直于同一条直线的两个平面平行； (4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行； (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化． [例3]　已知M，N分别是底面为平行四边形的四棱锥P­ABCD的棱AB，PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE.求证： (1)MN∥平面PAD； (2)MN∥PE. [证明]　(1)如图，取DC的中点Q，连接MQ，NQ. ∵NQ是△PDC的中位线， ∴NQ∥PD. ∵NQ⊄平面PAD，PD⊂平面PAD， ∴NQ∥平面PAD. ∵M是AB的中点，四边形ABCD是平行四边形， ∴MQ∥AD. ∵MQ⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， ∴MQ∥平面PAD. ∵MQ∩NQ＝Q，MQ⊂平面MNQ，NQ⊂平面MNQ， ∴平面MNQ∥平面PAD. ∵MN⊂平面MNQ， ∴MN∥平面PAD. (2)∵平面MNQ∥平面PAD，平面PEC∩平面MNQ＝MN，平面PEC∩平面PAD＝PE，∴MN∥PE. 3.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA．在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由． 解析：当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：连接BD交AC于点O，连接FO，(图略) 那么PF＝ eq \f(1,2) PB. 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以O是BD的中点．所以OF∥PD. 又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD，所以OF∥平面PMD. 又MA綊 eq \f(1,2) PB，所以PF綊MA．所以四边形AFPM是平行四边形． 所以AF∥PM. 又AF⊄平面PMD，PM⊄平面PMD， 所以AF∥平面PMD. 又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC. 所以平面AFC∥平面PMD. 故存在点F，当F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD. 三、空间中垂直关系 空间中的各种垂直关系是高中数学的重要内容．在高考中着重考查线线垂直、线面垂直、面面垂直的证明，这就需要利用线面垂直、面面垂直的判定定理及其性质，运用三者之间的转化关系． 1．判定线线垂直的方法 (1)按定义证明两直线所成的角为直角； (2)由线面垂直证得线线垂直； (3)利用面面垂直的性质． 2．判定线面垂直的方法 (1)利用线面垂直的定义：l与α内的任一直线都垂直⇒l⊥α； (2)利用判定定理； (3)利用a∥b，a⊥α⇒b⊥α； (4)利用α∥β，a⊥α⇒a⊥β； (5)利用面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β. 3．判定面面垂直的方法 (1)证明一个平面经过另一个平面的一条垂线； (2)证明一个平面垂直于另一个平面内的一条直线．这两种方法都是将证明“面面垂直”问题转化为证明“线面垂直”的问题． [例4]　如图所示，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝2，AB＝4.求证： (1)AC⊥平面BCE； (2)AD⊥AE. 证明：(1)在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4， 所以AC＝BC＝2 eq \r(2) ， 所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC. 因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE， 所以BE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， 所以BE⊥AC. 又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BE∩BC＝B， 所以AC⊥平面BCE. (2)因为AF⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD， 所以AF⊥AD. 又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD. 又AF⊂平面ABEF，AB⊂平面ABEF，AF∩AB＝A， 所以AD⊥平面ABEF. 又AE⊂平面ABEF，所以AD⊥AE. 4.如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD. (1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB. 证明：(1)连接PG，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点， ∴PG⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， ∴PG⊥平面ABCD.∴PG⊥BG. 又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°， ∴△ABD是正三角形．∴BG⊥AD. 又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD. (2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD. 又BG∩PG＝G， ∴AD⊥平面PBG.∴AD⊥PB. 四、空间角问题 1．空间中的角包括异面直线所成的角，直线和平面所成的角和二面角，如何准确找出或作出空间角的平面角，是解答有关空间角问题的关键，空间角的题目一般都是多种知识的交汇点，因此它也是高考常考查的内容之一． 2．求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算，总是先定其位，后算其值．空间角的计算步骤：一作，二证，三计算． (1)异面直线所成的角的求法一般有如下两种： ①平移相交法：即根据定义，把异面直线中的一条或两条进行平移，并使其相交，作出异面直线所成的角，然后利用三角形边角关系求角的大小． ②线面垂直法：在有些情况下，可以通过判断一条直线与另一条直线所在的平面垂直．从而得到两异面直线所成的角为直角． (2)寻找线面角时，一般在斜线上任取一点作平面的垂线，斜线和其在平面内的投影所成的锐角即是线面角． (3)寻找二面角时通常有三种方法： ①定义法；②垂面法；③垂线法． [例5]　如图，已知四棱锥V­ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形．侧面VAB是等边三角形．且平面VAB⊥平面ABCD, BD和AC交于O点． (1)求VO与平面VAB所成的角； (2)求二面角B­VA­C的正切值． [解]　 (1)如图，在底面ABCD内作OH⊥AB于H，连接VH， ∵平面VAB⊥平面ABCD， ∴OH⊥平面VAB. 则∠OVH为VO与平面VAB所成的角． ∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝OB. 又OH⊥AB，∴AB＝2BH. 在Rt△VOH中，OH＝ eq \f(1,2) a，VH＝ eq \f(\r(3),2) a． ∴tan ∠OVH＝ eq \f(OH,VH) ＝ eq \f(\f(a,2),\f(\r(3),2)a) ＝ eq \f(\r(3),3) . ∴∠OVH＝30°， 即VO与平面VAB所成的角为30°. (2)如(1)图所示，在平面VAB内过H作HE⊥VA于E，连接OE. 由(1)知，OH⊥面VAB， ∴OH⊥VA，OH∩HE＝H. ∴VA⊥面OHE，得OE⊥VA， ∴∠HEO是二面角B­VA­C的平面角． 在Rt△AHE中， HE＝AH·sin 60°＝ eq \f(1,2) a· eq \f(\r(3),2) ＝ eq \f(\r(3),4) a， ∴tan ∠HEO＝ eq \f(OH,HE) ＝ eq \f(\f(a,2),\f(\r(3),4)a) ＝ eq \f(2\r(3),3) ， 即二面角B­VA­C的正切值为 eq \f(2\r(3),3) . 5．如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求： (1)AO与A′C′所成的角的大小； (2)AO与平面ABCD所成的角的正切值； (3)二面角B­AO­C的大小． 解：(1)∵A′C′∥AC， ∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC. ∵AB⊥平面BCC′B′，OC⊂平面BCC′B′， ∴OC⊥AB， 又OC⊥BO，AB∩BO＝B，AB，BO⊂平面ABO， ∴OC⊥平面ABO. 又OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA． 在Rt△AOC中，OC＝ eq \f(\r(2),2) ，AC＝ eq \r(2) ， sin ∠OAC＝ eq \f(OC,AC) ＝ eq \f(1,2) ， ∴∠OAC＝30°. 即AO与A′C′所成的角为30°. (2)如图，作OE⊥BC于E，连接AE. ∵平面BCC′B′⊥平面ABCD，平面BCC′B′∩平面ABCD＝BC，OE⊂平面BCC′B′，∴OE⊥平面ABCD， ∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角． 在Rt△OAE中，OE＝ eq \f(1,2) ，AE＝ eq \r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up20(2)) ＝ eq \f(\r(5),2) ， ∴tan ∠OAE＝ eq \f(OE,AE) ＝ eq \f(\r(5),5) . 即AO与平面ABCD所成的角的正切值为 eq \f(\r(5),5) . (3)由(1)可知OC⊥平面AOB. 又∵OC⊂平面AOC， ∴平面AOB⊥平面AOC. 即二面角B­AO­C的大小为90°. $