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一、三角函数的化简与证明
由于三角函数式中包含着各种不同的角和不同的函数种类,以及不同的式子结构,所以在三角函数的化简与证明中,应充分利用所学的三角函数的同角三角函数的基本关系式、和、差、倍、半角等公式,首先从角入手,找出待化简(证明)的式子中的差异,然后选择适当的公式“化异为同”,实现三角函数的化简与证明.
[例1] 化简: eq \f(2cos4x-2cos2x+\f(1,2),2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)-x))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)+x))) .
[解] 原式= eq \f(-2sin2x cos2x+\f(1,2),\f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)-x))cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)-x)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)-x))))
= eq \f(\f(1,2)(1-sin22x),2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)-x))cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)-x))) = eq \f(\f(1,2)cos22x,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)-2x)))
= eq \f(1,2) cos 2x.
1.证明: eq \f(sin α+1,1+sin α+cos α) = eq \f(1,2) tan eq \f(α,2) + eq \f(1,2) .
证明:∵左边= eq \f(\f(2tan \f(α,2),1+tan2\f(α,2))+1,1+\f(2tan\f(α,2),1+tan2\f(α,2))+\f(1-tan2\f(α,2),1+tan2\f(α,2)))
= eq \f(tan2\f(α,2)+2tan\f(α,2)+1,1+tan2\f(α,2)+2tan\f(α,2)+1-tan2\f(α,2)) = eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tan\f(α,2)+1))\s\up20(2),2tan \f(α,2)+2) = eq \f(1,2)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tan \f(α,2)+1))
= eq \f(1,2) tan eq \f(α,2) + eq \f(1,2) =右边,∴原等式成立.
二、三角函数的求值问题
三角函数求值的类型及方法
1.“给角求值”:一般给出的角都是非特殊角,从表面上来看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.
2.“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系.
3.“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围,确定角.
[例2] (1) eq \f(sin 110°sin 20°,cos2155°-sin2155°) 的值为( )
A.- eq \f(1,2)
B. eq \f(1,2)
C. eq \f(\r(3),2)
D.- eq \f(\r(3),2)
(2)已知α,β为锐角,cos α= eq \f(4,5) ,tan (α-β)=- eq \f(1,3) ,求cos β的值.
[解析] (1)原式= eq \f(sin 70°sin 20°,cos 310°)
= eq \f(cos 20°sin 20°,cos 50°) = eq \f(\f(1,2)sin 40°,sin 40°) = eq \f(1,2) .
答案:B
(2)∵α是锐角,cos α= eq \f(4,5) ,∴sin α= eq \f(3,5) ,
tan α= eq \f(3,4) .
∴tan β=tan [α-(α-β)]
= eq \f(tan α-tan (α-β),1+tan αtan (α-β)) = eq \f(13,9) .
∵β是锐角,故cos β= eq \f(9\r(10),50) .
2.已知tan α=- eq \f(1,2) ,则 eq \f(1+2sin αcos α,sin2α-cos2α) =__________.
解析:原式= eq \f((sinα+cos α)2,sin2α-cos2α) = eq \f(sinα+cos α,sin α-cos α)
= eq \f(tan α+1,tan α-1) = eq \f(-\f(1,2)+1,-\f(1,2)-1) =- eq \f(1,3) .
答案:- eq \f(1,3)
三、三角恒等变换的综合应用
1.以三角恒等变换为主要的化简手段,考查三角函数的性质.当给出的三角函数关系式较为复杂时,我们要先通过三角恒等变换,将三角函数的表达式变形化简,将函数表达式变形为y=A sin (ωx+φ)+k或y=A cos (ωx+φ)+k等形式,然后再根据化简后的三角函数,讨论其图象和性质.
2.以向量运算为载体,考查三角恒等变换.这类问题往往利用向量的知识和公式,通过向量的运算,将向量条件转化为三角条件,然后通过三角变换解决问题;有时还从三角与向量的关联点处设置问题,把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查.
3.以三角形为载体,以正、余弦定理为工具,以三角恒等变换为手段来考查三角形问题是近年高考的一类热点题型,在具体解题时,除了熟练使用正、余弦定理外,也要根据条件合理选用三角函数公式,达到化简问题的目的.
角度1 三角恒等变换与向量、三角函数性质的综合
[例3] 已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,- eq \r(3) ),x∈[0,π].
(1)若a∥b,求x的值;
(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x值.
[解] (1)因为a∥b,
所以3sin x=- eq \r(3) cos x,又cos x≠0,
所以tan x=- eq \f(\r(3),3) ,因为x∈[0,π],
所以x= eq \f(5π,6) .
(2)f(x)=3cos x- eq \r(3) sin x=-2 eq \r(3) sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(π,3))) .
因为x∈[0,π],所以x- eq \f(π,3) ∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(π,3),\f(2π,3))) ,
所以- eq \f(\r(3),2) ≤sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(π,3))) ≤1,所以-2 eq \r(3) ≤f(x)≤3,
当x- eq \f(π,3) =- eq \f(π,3) ,即x=0时,f(x)取得最大值,为3;
当x- eq \f(π,3) = eq \f(π,2) ,即x= eq \f(5π,6) 时,f(x)取得最小值,为-2 eq \r(3) .
3.已知向量a=(1,- eq \r(3) ),b= eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin x,2cos2\f(x,2)-1)) ,函数f(x)=a·b.当x∈[0,π]时,函数f(x)的值域为________.
答案:[- eq \r(3) ,2]
角度2 三角恒等变换与解三角形的综合
[例4] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,C.已知 eq \f(cos A-2cos C,cos B) = eq \f(2c-a,b) .
(1)求 eq \f(sin C,sin A) 的值;
(2)若cos B= eq \f(1,4) ,△ABC的周长为5,求b的长.
[解] (1)由正弦定理可设 eq \f(a,sin A) = eq \f(b,sin B) = eq \f(c,sin C) =k,
则 eq \f(2c-a,b) = eq \f(2k sin C-k sin A,k sin B) = eq \f(2sin C-sin A,sin B) ,
所以 eq \f(cos A-2cos C,cos B) = eq \f(2sin C-sin A,sin B) ,
即(cos A-2cos C)sin B= (2sin C-sin A)cos B,
化简可得sin (A+B)=2sin (B+C).
又A+B+C=π,所以sin C=2sin A,所以 eq \f(sin C,sin A) =2.
(2)由 eq \f(sin C,sin A) =2,得c=2a.
由余弦定理及cos B= eq \f(1,4) ,
得b2=a2+c2-2ac cos B=a2+4a2-4a2× eq \f(1,4) =4a2,
所以b=2A.
又a+b+c=5,所以a=1,因此b=2.
4.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b sin C+c sin B=4a sin B sin C,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为__________.
答案: eq \f(2\r(3),3)
$