精品解析：贵州省贵阳市北京师范大学贵阳附属中学2023-2024学年高一下学期3月第一届“圆周率”杯竞赛数学试题

北京师范大学贵阳附属中学 第一届“π”杯数学竞赛（高一年级） 一、填空题（本题共8小题，每题8分，共64分） 1. 彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂历史．按照图案的载体大致分为彝族服饰图案、彝族漆器图案、彝族银器图案等，其中蕴含着丰富的数学文化，如图1，漆器图案中出现的“阿基米德螺线”，该曲线是由一动点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动所形成的轨迹．这些螺线均匀分布，将其简化抽象为图2，若，则所对应的弧长为______． 2. 已知不等式解集为，则不等式的解集为______ 3. 已知，则________． 4. 在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则______． 16 7 4 5. 已知，表示两个夹角为单位向量，为平面上的一个固定点，为这个平面上任意一点，当时，定义为点的斜坐标.设点的斜坐标为，则______. 6. 已知，是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则_______. 7. 魏晋南北朝时期，我国数学家祖冲之利用割圆术，求出圆周率约为，是当时世界上最精确的圆周率结果，直到近千年后这一记录才被打破．若已知的近似值还可以表示成，则的值为_____． 二、解答题（第9题16分，第10题20分，共36分） 8. ，的夹角为，，. （1）求； （2）若与互相垂直，求. 9 设实数，函数. （1）若的最小正周期是，求在上的最大值与最小值； （2）若在上有且仅有2个零点，求取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京师范大学贵阳附属中学 第一届“π”杯数学竞赛（高一年级） 一、填空题（本题共8小题，每题8分，共64分） 1. 彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂历史．按照图案的载体大致分为彝族服饰图案、彝族漆器图案、彝族银器图案等，其中蕴含着丰富的数学文化，如图1，漆器图案中出现的“阿基米德螺线”，该曲线是由一动点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动所形成的轨迹．这些螺线均匀分布，将其简化抽象为图2，若，则所对应的弧长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到圆心角，结合弧长公式，即可求解. 【详解】由题意，可知圆心角，半径， 所以所对应的弧长为． 故答案为：. 2. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据韦达定理求出，代入解二次不等式即可. 【详解】由不等式解集为，则， 则，则，即， 解得：. 故答案为： 3. 已知，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】设，再用表达求解即可. 【详解】设，则，，， 故 故答案为：5 4. 在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则______． 16 7 4 【答案】 【解析】 【分析】由图，设，由题可得表达式即可得答案. 【详解】由图，设，则由第一列，. 由第二排，有. 又由从左到右对角线，， 又由第三列， 后由从右到到左对角线，. 故答案为： 16 7 4 5. 已知，表示两个夹角为的单位向量，为平面上的一个固定点，为这个平面上任意一点，当时，定义为点的斜坐标.设点的斜坐标为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件得到，再利用模长的定义及数量积的运算，即可求出结果. 【详解】由题知，又，表示两个夹角为的单位向量， 所以， 故答案为：. 6. 已知，是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】由投影向量计算公式，结合数量积的运算律计算即得. 【详解】在向量上的投影向量为，则， 于是，所以. 故答案为： 7. 魏晋南北朝时期，我国数学家祖冲之利用割圆术，求出圆周率约为，是当时世界上最精确的圆周率结果，直到近千年后这一记录才被打破．若已知的近似值还可以表示成，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系式，以及倍角公式，进行转化运算，即可求解. 【详解】因为， 所以 故答案为：. 二