第2章 5.2,5.3 向量数量积的坐标表示&利用数量积计算长度与角度（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

该高中数学课件聚焦平面向量数量积的坐标表示及长度、角度计算，课堂导入从力的做功现实情境过渡到数量积概念，搭建“物理背景—数学抽象—坐标运算”的学习支架，衔接向量基本概念与坐标应用的知识脉络。 其亮点在于采用“课前预习—课堂互动—课时作业”三阶设计，通过力的做功实例引导学生用数学眼光抽象数量关系，结合\(x_1x_2 + y_1y_2\)等公式推导培养数学思维的逻辑推理，以坐标运算解决长度角度问题强化数学语言表达。帮助学生提升运算能力与应用意识，为教师提供结构化教学资源，提高教学效率。

第二章　平面向量及其应用 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 §5　从力的做功到向量的数量积 5.2　向量数量积的坐标表示　 5.3　利用数量积计算长度与角度 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（二十） Part 03 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 课 前 预 习 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 x1x2＋y1y2 x1x2＋y1y2＝0 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 课 堂 互 动 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 课时作业（二十） 点击进入word 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 谢谢观看 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 学习目标 素养要求 1．掌握向量数量积的坐标表示，会进行向量数量积的坐标运算． 2．会利用向量数量积的坐标运算与度量公式解决有关长度、角度、垂直等问题． 1．通过推导数量积、模长、夹角的坐标表示，培养逻辑推理的核心素养． 2．通过数量积的坐标运算及应用，提升数学运算的核心素养， [自主梳理] 知识点　向量数量积的坐标表示 [问题]　 已知两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2). (1)若i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量，则a，b如何用i，j表示？ (2)|a|，|b|分别用坐标怎样表示？ (3)能用a，b的坐标表示a·b吗？ 答：(1)a＝x1i＋y1j ，b＝x2i＋y2j. (2)|a|＝ eq \r((x1i＋y1j)2) ＝eq \o\al(2,1) eq \r(x＋y eq \o\al(2,1) ) ； |b|＝ eq \r((x2i＋y2j)2) ＝eq \o\al(2,2) eq \r(x＋y eq \o\al(2,2) ) . (3)a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j) ＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2 ＝x1x2＋y1y2. ►知识填空 1．平面向量数量积的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝_________________． 2．两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b_________________． 3．四个重要公式 (1)向量模长公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝___________． (2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则| eq \o(AB,\s\up14(→)) |＝____________________________． eq \o\al(2,1) eq \r(x＋y eq \o\al(2,1) ) eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2) (3)向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝_______________________． (4)点到直线的距离的向量表示 已知定点A和向量 eq \o(AB,\s\up14(→)) ，点P是直线AB外一点，若n⊥ eq \o(AB,\s\up14(→)) ，则P点到直线AB的距离的向量表示d＝______________． eq \o\al(2,1) eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x＋y eq \o\al(2,1) )·\r(x eq \o\al(2,2) ＋y eq \o\al(2,2) )) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AP,\s\up14(→))·\f(n,|n|))) [自主检验] 1．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于(　　) A．1　　　　　　　　 B． eq \r(2) C．2 D．4 解析：选C　∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2 ＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0， ∴n2＝3，∴|a|＝ eq \r(12＋n2) ＝2. 2. 已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为(　　) A． eq \f(π,6) B． eq \f(π,4) C． eq \f(π,3) D． eq \f(π,2) 解析：选B　∵|a|＝ eq \r(10) ，|b|＝ eq \r(5) ，a·b＝5. ∴cos 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|) ＝ eq \f(5,\r(10)×\r(5)) ＝ eq \f(\r(2),2) . 又∵a，b的夹角范围为[0，π]. ∴a与b的夹角为 eq \f(π,4) . 3．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，4)，B(－2，3)，C(2，－1)，若( eq \o(AB,\s\up14(→)) －t eq \o(OC,\s\up14(→)) )⊥ eq \o(OC,\s\up14(→)) ，则实数t＝(　　) A．－ eq \f(1,2) B．－1 C． eq \f(1,2) D．1 答案：B 4．设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝________． 答案： eq \r(10) 题型一　向量数量积的坐标运算 [例1]　(1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于(　　) A．10　　　　　　　　 B．－10 C．3 D．－3 (2)已知a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x等于(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 (3)如图，在矩形ABCD中，AB＝ eq \r(2) ，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若 eq \o(AB,\s\up14(→)) · eq \o(AF,\s\up14(→)) ＝ eq \r(2) ，则 eq \o(AE,\s\up14(→)) · eq \o(BF,\s\up14(→)) 的值是________． 解析：(1)因为a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10. (2)由题意可得，8a－b＝(6，3)， 又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)， ∴18＋3x＝30，解得x＝4. (3)以A为坐标原点，AB，AD分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B( eq \r(2) ，0). 设F(t，2)，(0<t≤ eq \r(2) )， 由 eq \o(AB,\s\up14(→)) · eq \o(AF,\s\up14(→)) ＝ eq \r(2) 得 eq \r(2) t＝ eq \r(2) ， ∴t＝1，即F(1，2)， ∴ eq \o(BF,\s\up14(→)) ＝(1－ eq \r(2) ，2)， eq \o(AE,\s\up14(→)) ＝( eq \r(2) ，1)， 即 eq \o(AE,\s\up14(→)) · eq \o(BF,\s\up14(→)) ＝ eq \r(2) －2＋2＝ eq \r(2) . 答案：(1)B　(2)C　(3) eq \r(2) [反思感悟] 数量积运算的途径及注意点 (1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算． (2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标即可求解． 已知向量a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10. (1)求向量a的坐标； (2)若向量c＝(2，－1)，求(a·c)b. 解：(1)因为向量a与b同向，且b＝(1，2)， 所以a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0). 又因为a·b＝10，所以λ＋4λ＝10， 所以λ＝2，a＝(2，4). (2)因为a·c＝2×2＋4×(－1)＝0， 所以(a·c)b＝0. 题型二　利用坐标运算解决向量模长问题 [例2]　(1)设x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝__________． (2)已知向量a在向量b＝(1， eq \r(3) )方向上的投影为2，且|a－b|＝ eq \r(5) ，则|a|＝__________． 解析：(1)由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a⊥c，,b∥c)) ⇒ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－4＝0，,2y＋4＝0)) ⇒ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－2.)) ∴a＝(2，1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1). ∴|a＋b|＝ eq \r(10) . (2)由已知得|b|＝2， eq \f(a·b,|b|) ＝2， 所以a·b＝4， 所以由|a－b|＝ eq \r(5) ，得a2－2a·b＋b2＝5， 所以a2－8＋4＝5，所以|a|＝3. 答案：(1) eq \r(10) 　(2)3 [反思感悟] 求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算：利用|a|2 ＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算：若a＝(x，y)，则|a|＝ eq \r(x2＋y2) . 1. 已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，|a＋b|＝5 eq \r(2) ，则|b|等于(　　) A． eq \r(5) B． eq \r(10) C．5 D．25 解析：∵a＝(2，1)，∴a2＝5， 又|a＋b|＝5 eq \r(2) ，∴(a＋b)2＝50， 即a2＋2a·b＋b2＝50， ∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5. 答案：C 2．若向量a的始点为A(－2，4)，终点为B(2，1)，则： (1)向量a的模长为__________； (2)与a平行的单位向量的坐标为__________． 解析：(1)∵a＝ eq \o(AB,\s\up14(→)) ＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)， ∴|a|＝ eq \r(42＋(－3)2) ＝5. (2)与a平行的单位向量是± eq \f(a,|a|) ＝± eq \f(1,5) (4，－3)， 即坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5))) 或 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5))) . 答案：(1)5　(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5))) 或 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5))) 题型三　向量的夹角、垂直问题 [例3]　(1)已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1).若向量a＋b与a垂直，则m＝________． (2)如图，△AOE和△BOE都是边长为1的等边三角形，延长OB到C使|BC|＝t(t>0)，连接AC交BE于点D，连接OD. ①用t表示向量 eq \o(OC,\s\up14(→)) 和 eq \o(OD,\s\up14(→)) 的坐标； ②当 eq \o(OC,\s\up14(→)) ＝ eq \f(3,2) eq \o(OB,\s\up14(→)) 时，求向量 eq \o(OD,\s\up14(→)) 和 eq \o(EC,\s\up14(→)) 的夹角的大小． 解析：(1)因为a＋b＝(m－1，3)，a＋b与a垂直， 所以(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7. 答案：7 (2)①由已知得点C是－60°角终边上的点，且|OC|＝|OB|＋|BC|＝t＋1， 所以点C的坐标为((t＋1)cos (－60°)，(t＋1)sin (－60°)， 即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)(t＋1)，－\f(\r(3),2)(t＋1))) ，所以 eq \o(OC,\s\up14(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)(t＋1)，－\f(\r(3),2)(t＋1))) ， 同理可得 eq \o(OA,\s\up14(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))) . 因为 eq \o(BC,\s\up14(→)) ＝t eq \o(AE,\s\up14(→)) ，所以 eq \o(DC,\s\up14(→)) ＝t eq \o(AD,\s\up14(→)) ， eq \o(AD,\s\up14(→)) ＝ eq \f(1,1＋t) eq \o(AC,\s\up14(→)) ， 所以 eq \o(AC,\s\up14(→)) ＝ eq \o(OC,\s\up14(→)) － eq \o(OA,\s\up14(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)t，－\f(\r(3),2)(t＋2))) ， 所以 eq \o(AD,\s\up14(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,2(t＋1))，－\f(\r(3)(t＋2),2(t＋1)))) ， 所以 eq \o(OD,\s\up14(→)) ＝ eq \o(OA,\s\up14(→)) ＋ eq \o(AD,\s\up14(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2t＋1,2(t＋1))，－\f(\r(3),2(t＋1)))) . ②由已知t＝ eq \f(1,2) ，所以 eq \o(OD,\s\up14(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，－\f(\r(3),3))) ， eq \o(EC,\s\up14(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，－\f(3\r(3),4))) ， 所以 eq \o(OD,\s\up14(→)) · eq \o(EC,\s\up14(→)) ＝－ eq \f(1,6) ＋ eq \f(3,4) ＝ eq \f(7,12) . 又因为| eq \o(OD,\s\up14(→)) |＝ eq \f(\r(7),3) ，| eq \o(EC,\s\up14(→)) |＝ eq \f(2\r(7),4) ＝ eq \f(\r(7),2) ， 设向量 eq \o(OD,\s\up14(→)) 与 eq \o(EC,\s\up14(→)) 的夹角为θ，则cos θ＝ eq \f(\f(7,12),\f(7,6)) ＝ eq \f(1,2) ， 所以向量 eq \o(OD,\s\up14(→)) 与 eq \o(EC,\s\up14(→)) 的夹角为60°. [反思感悟] 因为两个非零向量a，b的夹角θ满足0°≤θ≤180°，所以用cos θ＝ eq \f(a·b,|a||b|) 来判断，可将θ分五种情况：cos θ＝1，θ＝0°；cos θ＝0，θ＝ 90°；cos θ＝ －1，θ＝180°；cos θ<0，且cos θ≠－1，θ为钝角；cos θ>0，且cos θ≠1，θ为锐角． 1．已知向量a＝(1， eq \r(3) )，b＝(3，m).若向量a，b的夹角为 eq \f(π,6) ，则实数m等于(　　) A．2 eq \r(3) B． eq \r(3) C．0 D．－ eq \r(3) 解析：因为a＝(1， eq \r(3) )，b＝(3，m). 所以|a|＝2，|b|＝ eq \r(9＋m2) ，a·b＝3＋ eq \r(3) m， 又a，b的夹角为 eq \f(π,6) ，所以 eq \f(a·b,|a||b|) ＝cos eq \f(π,6) ， 即 eq \f(3＋\r(3)m,2\r(9＋m2)) ＝ eq \f(\r(3),2) ，所以 eq \r(3) ＋m＝ eq \r(9＋m2) ， 解得m＝ eq \r(3) . 答案：B 2．已知四边形ABCD的顶点分别为A(2，1)，B(5，4)，C(2，7)，D(－1，4)，求证：四边形ABCD为正方形． 证明：由四边形ABCD的顶点坐标得 eq \o(AB,\s\up14(→)) ＝(3，3)， eq \o(DC,\s\up14(→)) ＝(3，3)， eq \o(AD,\s\up14(→)) ＝(－3，3). ∵ eq \o(AB,\s\up14(→)) ＝ eq \o(DC,\s\up14(→)) ，∴四边形ABCD为平行四边形． 又 eq \o(AB,\s\up14(→)) · eq \o(AD,\s\up14(→)) ＝3×(－3)＋3×3＝0. ∴ eq \o(AB,\s\up14(→)) ⊥ eq \o(AD,\s\up14(→)) ，∴平行四边形ABCD为矩形． 又| eq \o(AB,\s\up14(→)) |＝ eq \r(32＋32) ＝3 eq \r(2) ，| eq \o(AD,\s\up14(→)) |＝ eq \r((－3)2＋32) ＝3 eq \r(2) ， ∴| eq \o(AB,\s\up14(→)) |＝| eq \o(AD,\s\up14(→)) |，∴矩形ABCD为正方形． [课堂小结] 1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．在学习中要不断提高利用向量工具解决数学问题的能力． 2．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔ x1x2＋y1y2＝0. $