第2章 6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

该高中数学课件聚焦平面向量在几何与物理中的应用，涵盖几何中的平行、垂直、夹角问题及物理中的力合成、功计算等核心知识点。课前通过自主梳理向量线性运算、数量积等基础，结合自主检验题衔接旧知，为课堂应用搭建学习支架。 其亮点在于以题型示例驱动教学，如用基底法证明梯形中位线平行、坐标法求夹角，结合物理中力的平衡与功的计算实例，培养数学建模与运算素养。课堂小结提炼基底法与坐标法，帮助学生形成解决问题的思维框架，既提升学生用数学语言表达现实问题的能力，也为教师提供系统的教学流程与实例支持。

第二章　平面向量及其应用 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 §6　平面向量的应用 6.2　平面向量在几何、物理中的应用举例 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（二十四） Part 03 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 课 前 预 习 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 课 堂 互 动 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 课时作业（二十四） 点击进入word 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 谢谢观看 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 学习目标 素养要求 　　经历用向量方法解决某些简单的平面几何、物理中的一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何、物理问题的重要工具． 　　向量作为一种工具，解决平面几何中的平行、垂直、点共线等问题，物理中力的合成与分解、力作功等问题，培养数学建模、数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　向量在平面几何中的应用 [问题]　 平面几何中常涉及：①求线段的长度或证明线段相等；②直线平行或共线问题；③夹角或垂直等问题，对于上述问题，用向量方法如何解决？ 答：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0且b≠0). ①求线段的长度或证明线段相等，可利用向量的线性运算、向量的模|a|＝eq \o\al(2,1) eq \r(x＋y eq \o\al(2,1) ) ； ②线段平行或涉及共线问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0. ③夹角公式cos θ＝ eq \f(a·b,|a||b|) ；a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. ►知识填空 由于向量的运算有着鲜明的几何背景，几何图形的许多变化和性质，如平移、全等、长度、夹角、垂直等都可以用向量的线性运算及数量积表示，因此，用向量方法可以解决几何中的一些问题． 知识点二　向量在物理中的应用举例 [问题]　 向量加法的平行四边形法则、三角形法则、数量积的物理模型分别是什么？ 答：向量加法的平行四边行的物理模型是力(速度)的合成与分解；向量加法的三角形法则的物理模型是位移的合成；向量的数量积的物理模型是力对物体所做的功． ►知识填空 既有大小又有方向的物理量是数学中向量的现实原型，向量是解决许多物理问题(如力的合成与分解、力作功等)的有力工具． [自主检验] 1．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为(　　) A．v1－v2　　　　　 B．v1＋v2 C．|v1|－|v2| D． eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(v1,v2))) 解析：选B　由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．故选B. 2．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3，2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝(　　) A．(－1，－2) B．(1，－2) C．(－1，2) D．(1，2) 答案：D 3．已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形为(　　) A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 解析：选A　∵ eq \o(AB,\s\up14(→)) ＝(3，3)， eq \o(CD,\s\up14(→)) ＝(－2，－2)， ∴ eq \o(AB,\s\up14(→)) ＝－ eq \f(3,2) eq \o(CD,\s\up14(→)) ，∴ eq \o(AB,\s\up14(→)) 与 eq \o(CD,\s\up14(→)) 共线． 又| eq \o(AB,\s\up14(→)) |≠| eq \o(CD,\s\up14(→)) |， ∴该四边形为梯形． 4．已知A，B是圆心为C，半径为 eq \r(5) 的圆上的两点，且AB＝ eq \r(5) ，则 eq \o(AC,\s\up14(→)) · eq \o(CB,\s\up14(→)) ＝________． 解析：由弦长AB＝ eq \r(5) ，可知∠ACB＝60°， 故 eq \o(AC,\s\up14(→)) · eq \o(CB,\s\up14(→)) ＝－ eq \o(CA,\s\up14(→)) · eq \o(CB,\s\up14(→)) ＝－| eq \o(CA,\s\up14(→)) || eq \o(CB,\s\up14(→)) |cos ∠ACB ＝－ eq \f(5,2) . 答案：－ eq \f(5,2) 题型一　向量法解决平面几何中的平行或共线等问题 [例1]　如图，已知AC，BD是梯形ABCD的对角线，E，F分别是BD，AC的中点．求证：EF∥BC. 证明：设 eq \o(AB,\s\up14(→)) ＝a， eq \o(AD,\s\up14(→)) ＝b， 则 eq \o(BD,\s\up14(→)) ＝ eq \o(AD,\s\up14(→)) － eq \o(AB,\s\up14(→)) ＝b－a． ∵ eq \o(AD,\s\up14(→)) ∥ eq \o(BC,\s\up14(→)) ，∴ eq \o(BC,\s\up14(→)) ＝λ eq \o(AD,\s\up14(→)) ＝λb. ∵E为BD的中点， ∴ eq \o(BE,\s\up14(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up14(→)) ＝ eq \f(1,2) (b－a). 连接BF. ∵F是AC的中点， ∴ eq \o(BF,\s\up14(→)) ＝ eq \f(1,2) ( eq \o(BA,\s\up14(→)) ＋ eq \o(BC,\s\up14(→)) )＝ eq \f(1,2) ( eq \o(BC,\s\up14(→)) － eq \o(AB,\s\up14(→)) )＝ eq \f(1,2) (λb－a). ∴ eq \o(EF,\s\up14(→)) ＝ eq \o(BF,\s\up14(→)) － eq \o(BE,\s\up14(→)) ＝ eq \f(1,2) (λb－a)－ eq \f(1,2) (b－a) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ－\f(1,2))) b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ－\f(1,2))) · eq \f(1,λ) eq \o(BC,\s\up14(→)) . ∴ eq \o(EF,\s\up14(→)) ∥ eq \o(BC,\s\up14(→)) . 又E，F，B，C四点不共线，∴EF∥BC. [反思感悟] (1)证明线段相等，通过向量运算，证明 eq \o(AB,\s\up14(→)) 2＝ eq \o(CD,\s\up14(→)) 2，即可证明AB＝CD. (2)证明直线平行：利用 eq \o(AB,\s\up14(→)) ＝λ eq \o(CD,\s\up14(→)) ，点A，B，C，D不共线，可以证明AB∥CD，转别地，当λ＝1时，AB綊CD. (3)证明三点共线：利用 eq \o(AB,\s\up14(→)) ＝λ eq \o(AC,\s\up14(→)) (λ∈R)可以证明A，B，C，三点共线，也可变形为 eq \o(OA,\s\up14(→)) ＝x eq \o(OB,\s\up14(→)) ＋y eq \o(OC,\s\up14(→)) (x，y∈R，x＋y＝1)，其中O为直线AB外一点． 如图，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DM＝CD，延长BE至N使BE＝EN，求证：M，A，N三点共线． 证明：∵D为MC的中点，且D为AB的中点， ∴ eq \o(AB,\s\up14(→)) ＝ eq \o(AM,\s\up14(→)) ＋ eq \o(AC,\s\up14(→)) . ∴ eq \o(AM,\s\up14(→)) ＝ eq \o(AB,\s\up14(→)) － eq \o(AC,\s\up14(→)) ＝ eq \o(CB,\s\up14(→)) . 同理可证明 eq \o(AN,\s\up14(→)) ＝ eq \o(AC,\s\up14(→)) － eq \o(AB,\s\up14(→)) ＝ eq \o(BC,\s\up14(→)) . ∴ eq \o(AM,\s\up14(→)) ＝－ eq \o(AN,\s\up14(→)) . ∵ eq \o(AM,\s\up14(→)) ， eq \o(AN,\s\up14(→)) 共线，又 eq \o(AM,\s\up14(→)) 与 eq \o(AN,\s\up14(→)) 有公共点A． ∴M，A，N三点共线． 题型二　向量法解决平面几何中垂直、夹角等问题 [例2]　已知矩形ABCD中，AB＝ eq \r(3) ，AD＝1，E为DC上靠近D的三等分点，求∠EAC的大小． 解：如图，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，C( eq \r(3) ，1)，E eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1)) ， eq \o(AC,\s\up14(→)) ＝( eq \r(3) ，1)， eq \o(AE,\s\up14(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1)) ， eq \o(AC,\s\up14(→)) · eq \o(AE,\s\up14(→)) ＝2. cos ∠EAC＝ eq \f(\o(AC,\s\up14(→))·\o(AE,\s\up14(→)),|\o(AC,\s\up14(→))||\o(AE,\s\up14(→))|) ＝ eq \f(2,2×\f(2\r(3),3)) ＝ eq \f(\r(3),2) . ∵0<∠EAC< eq \f(π,2) ，∴∠EAC＝ eq \f(π,6) . [反思感悟] 利用平面向量解决几何中的夹角问题时，本质是将平面图形中的角视为两个向量的夹角，借助夹角公式进行求解，解决这类问题有两种思路：一是利用基底法，二是建立坐标系利用坐标运算．在求解过程中，务必注意向量的方向． 如图所示，在正三角形ABC中，D，E分别是AB，BC上的一个三等分点，且分别靠近点A，点B，AE，CD交于点P.求证：BP⊥DC. 证明：设 eq \o(PD,\s\up14(→)) ＝λ eq \o(CD,\s\up14(→)) ，并设△ABC的边长为a，则有 eq \o(PA,\s\up14(→)) ＝ eq \o(PD,\s\up14(→)) ＋ eq \o(DA,\s\up14(→)) ＝λ eq \o(CD,\s\up14(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \o(BA,\s\up14(→)) ＝λ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(BA,\s\up14(→))－\o(BC,\s\up14(→)))) ＋ eq \f(1,3) eq \o(BA,\s\up14(→)) ＝ eq \f(1,3) (2λ＋1) eq \o(BA,\s\up14(→)) －λ eq \o(BC,\s\up14(→)) ， eq \o(EA,\s\up14(→)) ＝ eq \o(BA,\s\up14(→)) － eq \f(1,3) eq \o(BC,\s\up14(→)) . ∵ eq \o(PA,\s\up14(→)) ∥ eq \o(EA,\s\up14(→)) ，∴ eq \f(1,3) (2λ＋1) eq \o(BA,\s\up14(→)) －λ eq \o(BC,\s\up14(→)) ＝k eq \o(BA,\s\up14(→)) － eq \f(1,3) k eq \o(BC,\s\up14(→)) ， 于是有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)(2λ＋1)＝k，,λ＝\f(1,3)k，)) 解得λ＝ eq \f(1,7) . ∴ eq \o(PD,\s\up14(→)) ＝ eq \f(1,7) eq \o(CD,\s\up14(→)) . eq \o(BP,\s\up14(→)) ＝ eq \o(BC,\s\up14(→)) ＋ eq \o(CP,\s\up14(→)) ＝ eq \o(BC,\s\up14(→)) ＋ eq \f(6,7) eq \o(CD,\s\up14(→)) ＝ eq \f(1,7) eq \o(BC,\s\up14(→)) ＋ eq \f(4,7) eq \o(BA,\s\up14(→)) ， ∴ eq \o(BP,\s\up14(→)) · eq \o(CD,\s\up14(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)\o(BC,\s\up14(→))＋\f(4,7)\o(BA,\s\up14(→)))) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(BA,\s\up14(→))－\o(BC,\s\up14(→)))) ＝ eq \f(8,21) a2－ eq \f(1,7) a2－ eq \f(10,21) a2cos 60°＝0， ∴ eq \o(BP,\s\up14(→)) ⊥ eq \o(CD,\s\up14(→)) ， ∴BP⊥DC. 题型三　向量在物理中的应用 [例3]　已知两恒力F1＝i＋2j，F2＝4i－5j(其中i，j分别是x轴、y轴上的单位向量)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点B(7，0)，试求： (1)F1，F2分别对质点所做的功； (2)F1 ，F2的合力对质点所做的功． (力的单位为N，位移单位为m). 解：(1)由已知得F1＝(1，2)，F2＝(4，－5). 设F1，F2对质点所做的功分别为W1，W2. ∵ eq \o(AB,\s\up14(→)) ＝(7－20，0－15)＝(－13，－15)， ∴W1＝F1· eq \o(AB,\s\up14(→)) ＝(1，2)·(－13，－15) ＝1×(－13)＋2×(－15)＝－43(J)， W2＝F2· eq \o(AB,\s\up14(→)) ＝(4，－5)·(－13，－15) ＝4×(－13)＋(－5)×(－15)＝23(J). (2)法一：F1，F2的合力为 F1＋F2＝(1，2)＋(4，－5)＝(5，－3). 设F1，F2的合力对质点所做的功为W，则 W＝(F1＋F2)· eq \o(AB,\s\up14(→)) ＝(5，－3)·(－13，－15) ＝5×(－13)＋(－3)×(－15)＝－20(J). 法二：W＝(F1＋F2)· eq \o(AB,\s\up14(→)) ＝F1· eq \o(AB,\s\up14(→)) ＋F2· eq \o(AB,\s\up14(→)) ＝W1＋W2＝－43＋23＝－20(J). [反思感悟] 在解题过程中要注意两方面的问题，一方面是如何把物理问题转化成数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型，另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象． 设平面上作用于同一点O的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，|F1|＝1N，|F2|＝2N，F1和F2的夹角为 eq \f(2π,3) .求： (1)F3的大小； (2)〈F3，F2〉的大小． 解：(1)因为F1，F2，F3三个力处于平衡状态， 所以F1＋F2＋F3＝0，所以F3＝－(F1＋F2)， 所以|F3|＝|F1＋F2|＝ eq \r((F1＋F2)2) ＝ eq \o\al(2,1) eq \r(F＋F eq \o\al(2,2) ＋2F1·F2) ＝ eq \r(1＋4＋2×1×2cos \f(2π,3)) ＝ eq \r(3) (N). (2)如图，三力的作用点O为坐标原点，以F2所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． 将向量F1，F3正交分解． 设∠MOC＝θ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))))) ， 由受力平衡知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|F3|cos θ＋|F1|cos \f(π,3)＝|F2|，,|F3|sin θ＝|F1|cos \f(π,6)，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|F3|cos θ＝|F2|－|F1|cos \f(π,3)，,|F3|sin θ＝|F1|cos \f(π,6)．)) 将|F1|＝1，|F2|＝2，|F3|＝ eq \r(3) 代入得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(3)cos θ＝2－\f(1,2)，,\r(3)sin θ＝\f(\r(3),2)．)) 所以θ＝ eq \f(π,6) ，所以〈F3，F2〉＝π－ eq \f(π,6) ＝ eq \f(5π,6) . [课堂小结] 1．向量法解决平面几何问题的两种方法 (1)基底法：选取适当的基底(尽量用已知模或夹角的向量作为基底)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算； (2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法． 2．向量法解决物理问题的方法步骤 一般来说分为四步： (1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题； (2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型； (3)参数的获取，求出数学模型的相关解； (4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象． $